ДЕФОРМИРОВАНИЕ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ. С МИКРОПОВРЕЖДЕНИЯМИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Varnacheva Irina Valeryevna, candidate of technical sciences, docent, [email protected]. Russia, Kursk, Southwest State University,

Hardikov Sergey Vladimirovich, candidate of technical sciences, senior lecturer, [email protected], Russia, Kursk, Southwest State University

УДК 621.785.5

DOI: 10.24412/2071-6168-2023-9-551-552

ДЕФОРМИРОВАНИЕ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ. С МИКРОПОВРЕЖДЕНИЯМИ

Т.И. Дородных, А.В. Парамонов

В настоящей работе рассматривается модель, описывающая деформирование пьезоэлектрических поликристаллических материалов с использованием стохастических уравнений электроупругости микронеоднородной среды (метод условных моментов). Использована структурная модель накопления микротрещин Даниэля для прогрессирующей микроповреждаемости. Предполагается, что при деформации трещины не растут и не взаимодействуют. Применительно к трансверсально-изотропному материалу, который рассматривается в данной статье, можно использовать критерий прочности Мизеса-Хилла. В качестве примера, иллюстрирующего представленный подход, рассматривается трансверсально-изотропная пьезокерамика при одноосном растяжении материала в направлении поляризации и с заданной составляющей электрического поля

Ключевые слова: пьезоэлектрические материалы, пьезокерамика, микроповреждаемость, критерий прочности, эффективные постоянные материала.

Пьезоэлектрические материалы широко применяются в технике, например, в датчиках, приводах, устройствах памяти и системах сбора энергии благодаря их электромеханическим характеристикам и поляризации. Пьезоэлектрические материалы могут использоваться как в мезомасштабе так и в наномасштабе. Однако, под воздействием нагрузки материалы могут преждевременно выйти из строя из-за распространения дефектов или дефектов, возникших в процессе производства, а также в результате электромеханического нагружения в процессе эксплуатации. Поэтому необходимы модели, описывающие процесс деформирования и предсказывающие электроупругие свойства таких пьезоэлектрических материалов.

Решению подобных задач посвящено немало работ, использующих различные подходы. В ряде работ экспериментально исследуются электромеханические свойства конкретных пьезокерамических материалов [1]. Другие посвящены поведению пьезоэлектриков в сильных электрических полях или при воздействии температур [2,3]. Касательно разрушения, в том числе усталостного, композитных материалов и пьезокерамик следует отметить работы [4,7]

Разрушение материалов является сложным многоэтапным процессом, включающим рассеянное разрушение структурных элементов, которое может происходить путем образования плоских микротрещин отрывом, сдвигом либо при наличии обоих механизмов. Микроскопические повреждения при разгрузке не исчезают и на макроуровне проявляются в виде изменения механических свойств материала, например, по деформируемости.

В настоящей работе представлена модель, описывающая деформацию электроупругохрупких трансвер-сально-изотропных материалов, сопровождающуюся накоплением повреждений в виде микротрещин, стохастически распределенных по объему. Модель построена с учетом совместного процесса повреждаемости и деформирования материала с последующим определением эффективных электроупругих свойств поврежденной среды на основе метода условных моментов. Считается, что при деформации трещины не растут, не взаимодействуют. Объемная плотность (концентрация) микродефектов изменяется с увеличением уровня средних напряжений из-за особенности ориентации анизотропных материалов. Разрушение структурных элементов происходит при разных уровнях напряжения из-за случайного характера ориентации и различия значений предела прочности структурных элементов в разных направлениях.

Плотность микротрещин и их распределение по ориентациям соответственно связаны с ростом эквивалентного напряжения, определяющего характер разрушения структурных элементов, и видом напряженного состояния в материале. Для определения плотности микротрещин вводится параметр p , который обозначает относительную объемную долю разрушенных путем растрескивания структурных элементов.

Совместное деформирование и трещинообразование. Рассмотрим поляризованную пьезокерамику трансверсально-изотропной симметрии. Для описания прогрессирующего накопления микроповреждений используется структурная модель Дэниэлса [5,6].

В отношении трансверсально-изотропного материала можно использовать критерий прочности Мизеса-Хилла. Пусть в лабораторной (фиксированной) системе координат заданы средние напряжения, связанные с представительным объемом материала, тогда этот критерий можно записать в виде

12 Л ' - * '

Л°13 + а2з)

Z Z ^ Z 1

11 22 + °33 + 12 1

2 2 2 2 2 a(bi)11 a(bi)11 (bi)33 (bi)12 (bi)13

1

22 <J(bi)11 a(bi)33

сг11сг22 "

(bi)33

-(P22g33 + сг11сг33) = 1

1

Главные оси симметрии механических свойств направлены вдоль осей координат (0 х3 - ось поляризации, оси 0х1,0х2 лежат в изотропной плоскости). Согласно этому критерию для определения начала разрушения необходимо знать четыре константы. Эти константы характеризуют разрушение при чистом растяжении (г = 1) или чистом сжатии (г = 2) в основном направлении анизотропии (Г(Ы)П =Г(Ы)22,Г(Ы)33) и чистом сдвиге

(г(Ыг)12, Г(Ыг)13 ) в основных плоскостях. Для рассматриваемого материала предел прочности при растяжении (сжатии) и при чистом сдвиге зависит от направления, определяемого углом 3 - углом поворота системы координат 0х,х0х, относительно оси0х. или оси0х, . Формулы для прочности на растяжение (сжатие) г/и.^„ в направле-

1 2 3 2 1 (Ыг )3

нии, определяемом углом 3, отсчитываемым от оси 0х3, можно записать в виде

Г' = Г = а(Ыг)33 _

а(Ыг)3 - а(Ыг)33 ~

2

2 п -2л (Ыг)33

со82 3 + sin2 3 +

Г(Ыг)11

(Ыг)33 _ 1

2

\а(Ыг)13

sin2 3cos2 3

(2)

I 4 л ■ 2 п Г(Ыг)33 ГШ)33 . 2 л 2 п

3 + Sin2 3 2 + 2 Sin2 3cos2 3

I/ Г(Ыг)11 Г(Ыг)13

В локальных системах координат0'х'х'х', где оси0'х' направлены по нормали к поверхности единичной сферы, в сечениях пересекаемых N структурных элементов площадками, перпендикулярными оси 0'х', действуют одни и те же локальные истинные напряжения Г33. Истинные напряжения отличаются от условных тем 0"33 , что первые относятся к участкам поврежденной среды, а вторые относятся к участкам сплошной среды. Локальные условные напряжения (( и средние напряжения г , заданные в теле, связаны уравнением

Г33 = ^к1а3ка31,

где аък, аъ1 - направляющие косинусы локальной системы координат относительно лабораторной системы координат. В качестве критерия разрушения микроэлементов материала путем отрыва принимается соотношение первой теории прочности

( >г(3), (3)

здесь г(3) - случайное значение, обозначающее предельную величину истинных растягивающих или сжимающих нормальных напряжений Г для разнонаправленных структурных элементов. Когда истинное растягивающее напряжение Г33 достигает уровня г(3) в соответствующей элементарной области, образуются микротрещины отрыва с боковыми поверхностями, перпендикулярными оси0'х' . Если условные напряжения являются сжимающими, микротрещины ориентированы преимущественно параллельно направлению Г из-за разности коэффициентов

Пуассона структурных элементов. Для аппроксимации распределения микропрочностных свойств структурных элементов используем степенной закон распределения.

( V

Г _г

Рг () = _(_1ГГ

Г _ Г

V тг ^ 0г

С плотностью распределения случайной величины г

(() =

dFl() Г 1 а

= а

г _ Г

V тг г

г ^ 0 г

Г _ Г

V тг г У

(4)

(5)

Г о 1 ,Гт а- параметры распределения; г0 . , гт, - минимальное и максимальное значения указанных величин, а — коэффициенты рассеивания отрывной микропрочности. В силу малости размеров структурных элементов такие данные отсутствуют и прямое определение параметров г0 . , Гт,, а неосуществимо. Поэтому используются опосредованные приемы определения этих величин по экспериментальным значениям соответствующих условных параметров макропрочности отрывом для выборки макрообразцов: Указанные параметры при известных экспериментальных статистически обработанных данных для характеристик микропрочности структурных элементов определяются методом моментов [15]. Подробно процедура определения этих параметров описана в [6].

Истинное локальное напряжение в сечениях с неразрушенными структурными элементами можно рассматривать в рамках рассматриваемой модели как случайную величину г = Г /I 1 _ I Распределение ис-

^33 ^33' I 1 N у

тинного локального напряжения Г33 зависит от количество разрушенных элементов. N - общее количество элементов. Ожидаемое значение п1 имеет следующий вид < п1 >= NF1 (г33 ), коэффициент вариации

(Ыг)33

=

1 - ^ (сгзз )п1/2

Щ (стзз )

значений п и033 . В результате имеем

Из последней формулы следует, что для реальных материалов можно пренебречь разбросом

(6)

33 1 - (°33 )

С учетом (3) и (5) плотности микротрещин нормального отрыва при растяжении или сжатии определяются выражениями

/ _ \а1 /•у _

ег = ^ (СТ33) = (,- = 1,2). (7)

В случае локальных истинных растягивающих напряжений о33, когда структурные элементы разрушаются при растяжении, образуя микротрещины нормального отрыва, имеем формулу (6). При сжатии ( = 2) зарождаются трещины, поверхности которых параллельны направлению действия локальных нормальных напряжений. При этом эффективная площадь остается неизменной и, как следствие, о33 =0^3. При этом средние плотности микротрещин структурных элементов определяются соотношениями

1 2лл 1 2н

£1 = -= 1|^(033>Ю = ■= 1|^(033)т&с1&с1¥ (8)

N 00 N 00

при растягивающих напряжениях 0 ■

У

1 2л л 1 2л л

£2 = -= | | F2 (033 )П= -= | | F2 (0^3 ^П^й^ (9)

N 00 N 00

при сжимающих напряжениях о ■ ; N = 4л- нормирующий множитель, что следует из условия

У

1 2лл \

— || ^ (о33 )$1п&(!&с1у = 1.

N 00

Объемная концентрация плоских микродефектов будет определяться отношением количества разрушенных микрочастиц при растяжении либо сжатии к их общему количеству (р. = /Ы) в представительном

объеме. Используя методы петрографии для анализа тонких срезов осадков, получим, что р. = £.

Эффективные электроупругие постоянные пьезоэлектриков при прогрессирующем образовании микротрещин. Для определения электроупругих модулей повреждающегося пьезоэлектрического материала (пье-зокерамики) используется метод условных моментов, основанный на стохастических уравнениях электроупругости микронеоднородной среды. Исходные уравнения сводятся к интегральным уравнениям, которые после условного усреднения приводят к системе линейных алгебраических уравнений относительно средних параметров. Данный метод успешно применим к различным структурам, как к матричным так и поликристаллическим (нематричным). Подробно метод условных моментов изложен в работах [8,9].

Остановимся на ключевых моментах данного метода применительно к поликристаллическим пьезоактив-ным материалам.

Трещиноватый электроупругий материал в общем случае моделируется анизотропной непрерывной средой с уравнениями состояния вида

0 = 2 £ — е Е

у у ар ар пу п (10)

Рк = %кпЕп + екар£ар

В (10) средние однородные макронапряжения 0 и компоненты вектора напряженности электрического

у

поля Еп считаются заданными в лабораторной системе координат Ох1 х2 Х3, связанной с представительным объемом, а макродеформации £^ являются результатом осреднения, в результате которого находятся эффективные

модули упругости, пьезоэлектрические модули X е* , и диэлектрические проницаемости трещиноватого

уар ^ кар кп

материала.

(°у) = Хуар{£ар)- ещ{Еп) . (11)

{Рк) = %кп{Еп) + екар{£ар )

Для вычисления эффективных пьезомодулей используются уравнения равновесия = 0' Р = 0 и

V,у ' к ,к

соотношения е = —т ■ е- = и(- ■ )= 1 ( ■)+ и( ■ ■)). В методе условных моментов вводится однородное тело

п т,п? ■ (,у) 2 \ (-,у) ((,■)'

сравнения с постоянными, XVар, % с , еСпу , которое с использованием функции Грина, удовлетворяющие системе уравнений

ХС,арСап,]Р (х) + КгРш.пу (х) + З(х)5гт = 0 ;

Яуарвам(х)+ е:&С,ч (х)= 0 (12)

Х^кп (х)_ КаРаЛР (х) + З(х) = 0

е<кар(^ат,кр (х)_ Хкп^т,кп (х) = 0, С нулевыми граничными условиями на бесконечности. Выбор тела сравнения, моделирующего пьезоэлектрический материал с микроповреждениями, является важной частью решения задачи. От этого зависит как близость полученных решений к реальному состоянию материала, или результатов экспериментальных данных так и усложнению модели и вычислений, приводящих к значительному накоплению погрешностей. Для нахождения эффективных модулей повреждающейся пьезокерамики целесообразно выбрать тело сравнения в виде

Цсф = (1 _ Р^^где^ар = ХЗ^ар + 2/Зу ар

Хск„ =(1 - P)Хск„,где xi = Xcôkn.

(13)

' кп У г ' А кп"> 1 ^ А кп ~ Л 1 кп

Здесь Х,/- постоянные Ламе = 1 (х 1 + X3) Р = 5 - параметр, введенный ранее для определения плотности микротрещин, который обозначает относительную объемную долю разрушенных путем растрескивания структурных элементов. § и § - единичные тензоры.

кп у ар

Х = 15 ( +Х33 + 5Х12 + Х13 _ АХ44 ); = 30 (7Х11 + 2Х33 _ 5Х12 _ 4Х13 + 12Х44 );

Система упрощается, если положить ескар = 0 и может быть сведена к системе интегральных уравнений относительно деформаций и электрических напряженностей.

еЦ = Ы + KaPj(х - УS >) - ^) E„y)^ (14)

E„x) = (E„) + N„k (х - y)*(x' (m) Е<У) + ekyp >))

Здесь j = j - j ; Xk„ = Xn - Xb ■ Kap,j (x - У)' N„k (x - У) - интегральные °перат°ры, определяемые через функцию Грина. Для многокомпонентного материала справедливы соотношения

D = Ы( {ev) + Xv( E»

V=1

Cv - концентрация v -го компонента. Под компонентом могут быть приняты структурные элементы, имеющие определенную ориентацию. Для вычисления и (Ev), усредняем (10) по условной плотности распределения

f (е (1),S (2), E (1), E (2),Л.(2),X (2),е(2) /1 ), (плотность распределения соответствующих тензоров в точках х(1)

и х (2) при условии, что в точке х (1) находится v - компонент) и ограничиваясь двухточечным приближением, получим систему алгебраических уравнений относительно средних по компонентам деформаций и напряженностей электрического поля.

»=<>>+±Кк (K(Sk) - ekE)); (16)

(Ey) = (E +iNk (Ek) + ek>).

k=1

где Kk = K (х )* Pk (х); Nк = N^)* pk (х); pk (х(1) - х(2)) = f(k2)/(1)), p^ (х(1) - х(2)) - вероятность перехода, представимая в виде

Pk(х) = Ck + fo -Ck)Фvk(х), v,k = 1,2,...,„.

(t>k(х)- корреляционная функция, описывающая геометрическую структуру элементов. Элементы матрицы Ф^ (х)в общем случае различны и их построение представляет собой самостоятельную задачу. Задачу можно упростить, предположив, что

(yk ^yk =Ф kk .

Тогда интегральные операторы Kk и Nk будут иметь вид

КРР = 2 |к,л(х) + а^.(х)Ку(х)/3 х; кк = J G,„k (х)фу(х)Л3 х. (17)

Для трансверсально-изотропного пьезоэлектрического материала видKv и Nv, представлен в [9].

„k

Уравнения (16) примут вид

{<ß) = {a) + KßjA -Aß ^ F) = (Еп) + NlkB -Bn.

где

Aß = icv(KßA); Bn = ^tcv{NVkBl);

(19)

Здесь

А=2ар£ар1-е:У{Е:); в— =Х'п(к)+еаер ■ (18)

Далее выражая средние по компонентам деформации и электрические напряженности через средние мак-рообъемные деформации и электрические напряженности, получим.

{£Гр) = АГрир ^сф) - Аар ) - ~ГруещВп— ((Ек ) - Вк );

(К) = В^ (( ) - Вк ) + ЗУ^р ((ар) - Аар ).

Vу _ гАу-1 ¡^у __АТУ • Ту _ Ау-1 Т<ГУ Яу _ Лу-1 ЛТУ •

1 УРЯ ~ АУрарК ару ; °п&~ Впк N Ь ; 1 уру ~ АурарК ару ; °п. ~ Впк ^Ь ;

Аау = Зарур - К ар уХуур ; Вкп = Зкп - NksXsn ;

Аау = Зарур - Кар уХуур ; Вкп = Зкп - NksXsn ; (20)

XV =ХУ -еУ ЗУеУ • ~'у =у* -еу 1у еу:

Уур Уур ту т .чур ' Л ччп Л чп .чур ургу пгу

Используя уравнения (11),(15),(19) и представляя средние по компонентам деформации и электрические напряжённости в виде линейной комбинации средних деформаций и электрических напряжённостей, можно найти эффективные электроупругие константы

^iyaß (Piy-jC-laß + (ßmiy^DmkLkaß ; Xnk (Rnm)Dmk + (S n-j)C -VaßM kaß ; ekaß = (Sn-V)C-jaß — ^mDmnLkaß = (Qmaß)Dmn — (Paß-j)C'-VaßMkaß ,

P"" =XV. Ap1 — ey .öyey Ap ; Rv = r" Byl — ey Iy .eyBy-\

J-V УУР YP-V niy ns syp yp-V ' nm /Ins sm nyp ypij siy sm '

Sv- = ev AP + Xv AP ; Qv.. = e^i"1 — Л". Iv ßev ßB?X-

n-jj nyp yp-jj Л ns sk kyp yp-jj' л-^miy niy nm iyyp ypaß naß nm

C aß-j = 5aß-Tj + Vaß-v ; Dkn = 5kn + Ukn ; Vaß-j = (Kaß-j^ + Mkaß (N k-j);

Ukn = (N kn ) + Lkaß{Knaß); Mkaß = (K naß) Tnk ; Lkaß ^N n-j W-jjaß ; ^^aß-jj = 5aß-jj +(Kaß-r)) ; Tkn = 5kn +(Nkn).

/?v = Kv Fv ; Nvv = NvGv • Nv = Nv Hv ; Kv = Kv Fv •

aß-j aß-jj iy-j ■> 1 y kn ks^ sn ' k-j 1 y b11 s-j ' naß ^aßy^my'

fvv =Xv Ap — evJvev Avp- ; G,v = r^B"4 — ev Iv ^..B?-1 ;

iy-jj i)7p yp-V nij ns syp yp-j kn /lks sn kyp ypij sij sn '

Hy = ey Iy—1 + r'^iIyey Ay—1 ; Fy = ey Iy—1 + Iy ey By—1

11k-V kyp yp-V Akn nk kyp yp-V ? niy ^kiy^kn ^ iyyp ypaß kaß"kn ■

Операция осреднения определяется формулой

A = Z J с? (co)Ay (co)da> ; % J c? (co)da = 1, (22)

v=1 v=1

где Cy(c)- текстурная функция y-го компонента. Для рассматриваемого случая поляризованной вдоль оси 0Хъ трансверсально-изотропной пьезокерамики (22) имеет вид

1 2л 2^

A = Л i j[A(wfi,q)iwdq>. (23)

4л о о

При образовании микротрещин и частичном микроразрушении происходит перераспределение напряжений, а также переориентация части разрушенных структурных элементов. В общем случае можно принять равномерную разориентацию по объему части разрушенных структурных элементов, т. е. используя соотношение

1 2 л л 2 л

A = —у J J J cv(Wv,&v,q>v)Ay(Wv,&v,q>v)sm&dWd&dq>. (24)

8л ооо

&v, (pv)- угл^1 Эйлера y-й локальной системы координат. cy - концентрация v- го компонента, разрушенных структурных элементов в рассматриваемом случае.

Числовой пример. В качестве примера, иллюстрирующего представленный подход, рассмотривается трансверсально-изотропная пьезокерамика ЦТБС-3 при одноосном растяжении в направлении поляризации и с заданной составляющей электрического поля F^. Одноосное растяжение является переменным условным напряжением СТ33. Предполагается, что плотность микротрещин описывается двухпараметрической функцией распределения предела прочности структурных элементов материала

(21)

где

Р = ^^ =

Г

33

\Гт\ У

Г

33

'33

1 _ ^ (гзз )

(25)

где плотность микротрещин р при текущем значении растягивающего условного напряжения Г33 определяется действительным значением корня уравнения

г Г а

\1_а1 _

(Р _ Р0 X1 _ Р)

Г

_33

|Гт1 У

(26)

Суммарное истинное текущее напряжение 033, вызываемое электромеханическим воздействием, определяется выражением

Г = — \г _ е Е] (27)

1 _ Р

Исходные электроупругие параметры пьезокерамики ЦТБС-3 следующие [10,11]

Лп = 15,1; Х12 = 7,9; Х = 8,0; Х = 13,6; Х = 2,9; Х1/Х0 = 1610; Хз/Х0 = 1280; ез1 =_7,9; езз = 17,7; е15 = 15,4,

где упругие и пьезоэлектрические постоянные имеют размерности 1010 Па и Кл/м2 соответственно. Х0- диэлектрическая постоянная вакуума. Временное сопротивление на растяжение и соответствующее стандартное отклонение для выборки образцов ЦТБС-3 имеют следующие значения [6]

Г(Ы1)0 = 0,345 х 108Па; £>(Ы1)0 = 0,0484 х 108Па.

Параметры уравнения (26), определяющего концентрацию микротрещин при продолжающемся нагруже-нии, определена: исходя из формул: а =_1 + — /1 + к 2 к " ^(Ы1)3 - ---' ( + а1)

1 кг 1,1

Гт1 = Г(Ы1)3 '

а1 согласно [6],

а

Ч и(Ы1)э "-1

имеют значения

а1 = 6,198, Гт1 = 0,551 х 108Па.

Корреляционная функция из (17) для структурных элементов в случае трансверсально-изотропной симметрии имеет вид

Ф(х) = ехр(_ д/п2 (х2 + х22)+ п2хз2)

где п1 / пз = кз / к1, а к1, кз, — длины полуосей эллипсоида, моделирующего структурные элементы, в продольном и поперечном направлениях.

Таким образом, используя уравнения (26),(27), (10-25) определяется напряженно-деформированное состояние пьезокерамики с учетом образования микротрещин.

---

Ез=1 .2Ж105У т г —

✓ ' У*

........... / у / // А. // Ез=0

/1 / /

а/ !/

0,15 0,20 0,25 0,30 0,35

* *

Зависимости безразмерного параметра условных напряжений Г33 от деформаций £33,

33'

* Г 3

На рисунке представлены зависимости безразмерного параметра условных напряжений ( = ^ зз х 10з

33 т-г* Е1

Д п* Г

от деформаций £* = £зз х 103, где е* = 66/ ^ = (Х +Х)Х _ 2Х*2- эффективная техническая

2Х66Х33 + ^

постоянная. Зависимости представлены для чистого статического растяжения и при совместном воздействии стати-

Г

33

0,00

0,10

33

ческого растяжения и постоянного электрического воздействия, определяемого напряженностью электрического поля в направлении предварительной поляризации E3 . Штрихом представлены кривые зависимости механическое

напряжение - механическая деформация для структурных элементов пьезокерамики с параметром формы к = 10 (вытянутая эллипсоидальная форма). Сплошной линией - для сфероидальной к = 1 формы структурных элементов.

Заключение. На примере предварительно поляризованной керамики, ослабленной системой микротрещин, показано, что нарушение сплошности такого вида приводит к понижению значений модулей упругости, пьезо-модулей и диэлектрической проницаемости. Снижения этих физических величин по абсолютным заченииям прямо пропорциональны объемной концентрации микродефектов. Понижение значений упругих параметров в зависимости от увеличения концентрации микродефектов носит нелинейный характер.

Список литературы

1. Informatin on [Электронный ресурс] URL: http://www.intechopen.com/books/piezoelectric-ceramics/analysis-of-mechanical-andelectrical-damages-in-piezoelectric-ceramics (дата обращения: 10.05.2023).

2. Yanfang Meng, Gehqiang Chen, Maoyong Huang. Piezoelectric Materials: Properties, Advancements and Design Strategies for High-Temperature Applicationssion (Nanomaterials, Basel) / 2022. Apr. 12 (7). DOI: 10.3390/nano12071171.

3. Hilal Reda,Nikos Karathanasopoulos, Gerard Maurice, Jean Francois Ganghoffer, Hassan Lakiss. Computation of effective piezoelectric properties of stratified composites and application to wave propogation analysis (January 2020). DOI: 0.1002/zamm.201900251.

4. Suo Z., Kuo C.-M., Barnett D.M., Willis J.R. Fracture mechanics for piezoelectric ceramics // J. Mech. Phys. Solids, 1992. 40 (4). P. 739-765.

5. Бабич Д.В. Статистический критерий прочности для хрупких материалов// Проблемы прочности / 2011, (5). P. 123-137.

6. Babich D.V., Bastun V.N. On dispersed microdamageability of elastic-brittle materials under deformation // J. Strain Analysis, 2010. 45 (1). P. 57-66.

7. Babich D.V., Dorodnyky T.I. Statistical Model of the Mechanism of Fatigue Failure of Materials // Mechanics of Solids/ 2018, 53 (5). P. 591-600.

8. Khoroshun L.P., Dorodnykh T.I. Piezoelectrics of Polycrystalline Structure // International Appl. Mech., 1991. 27 (7). P. 660-664.

9. Khoroshun L.P., Leshchenko P.V., Dorodnykh T.I. Effective electroelastic properties of polycrystals // International Appl. Mech., 1994. 30 (4). P. 311-319.

10. Писаренко Г.Г. Прочность пьезокерамики. К.: Наук. думка, 1987. 252 c.

11. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 470 c.

Дородных Татьяна Ивановна, канд. физ.-мат. наук, старший инженер, [email protected], Россия, Тула, Тульский Государственный Педагогический Университет им. Л.Н. Толстого,

Парамонов Андрей Викторович, канд. физ.-мат. наук, доцент, ya,[email protected] Россия, Тула, Тульский Государственный Педагогический Университет им. Л.Н. Толстого

DEFORMATION OF PIEZOELECTRIC MATERIALS WITH MICRODAMAGES

T.I. Dorodnykh, A.V. Paramonov

In this paper, a model that describes the deformation of piezoelectric polycrystalline materials with using stochastic equations of electroelasticity of a microinhomogeneous medium (method of conditional moments) is considered. The Daniell structural model of microcrack accumulation for progressive microdamage was used. It is assumed that cracks do not grow and do not interact during deformation. With regard to the transversally isotropic material, which is considered in this article, the Mises-Hill strength criterion can be used. As an example illustrating the presented approach, we consider a transversely isotropic piezoceramic with uniaxial tension of the material in the direction of polarization and with a given component of the electric field.

Key words: microdamagebility, piezoelectric materials, piezoceramics, statistical strength criterion, material effective properties.

Dorodnykh Tatiana Ivanovna, candidate of physical-mathematical sciences, senior engineer, [email protected], Russia, Tula, L.N. Tolstoy Tula's State Pedagogical University,

Paramonov Andrey Victorovich, candidate of physical-mathematical sciences, docent, ya,[email protected], Russia, Tula, L.N. Tolstoy Tula's State Pedagogical University