Деформирование и разрушение массива вокруг незакрепленной выработки в условиях ползучести Текст научной статьи по специальности «Энергетика и рациональное природопользование»

--© A.M. Коврижных, B.M. Ссряков,

С.А. Коврижных, 2013

УДК 539.376:622.831

А.М. Коврижных, В.М. Серяков, С.А. Коврижных

ДЕФОРМИРОВАНИЕ И РАЗРУШЕНИЕ МАССИВА ВОКРУГ НЕЗАКРЕПЛЕННОЙ ВЫРАБОТКИ В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ*

С применением модели, основанной на максимальном касательном напряжении и степенном законе, решена задача о деформировании и разрушении круглой цилиндрической выработки в условиях ползучести. Определены напряжения, деформации ползучести, положение фронта разрушения в любой момент времени и скорость его распространения. Получены новые решения для плоской деформации упруго-ползучего массива при неустановившейся ползучести. Ключевые слова: ползучесть, пластичность, критерий длительной прочности, разрушение, горная выработка.

Одной из наиболее актуальных задач механики деформируемого твердого тела и механики горных пород является оценка напряженно-деформированного состояния и разрушения исследуемой области под влиянием действующей нагрузки. В геомеханике к их числу относится задача надежного определения объемов зон разрушения массива горных пород в окрестности выработанного пространства. Хотя для ее решения предложено достаточно много теоретических методов и подходов, оценка параметров, времен и места возникновения зон разрушений в окрестности отработанных пространств больших объемов до сих пор в полной мере не решена [1,2]. Практический интерес к решению задач такого рода на протяжении последних лет постоянно возрастает. В первую очередь это связано с вопросом сохранения подработанной толщи, так как уже достаточное количество шахтных полей находятся непосредственно над промышленными и жилыми объектами. Неверная оценка деформационных процессов в породном массиве может привести к серьезным социальным и экономическим последствиям, длительному нарушению ритмичной работы и даже полной остановке шахт и рудников. Рост таких потенциально опасных участков отработки запасов над сохраняемыми объектами наблюдается в последнее время, что определяется завершением выемки наиболее богатых и доступных рудных тел и пластов, переходом к освоению слепых рудных тел и запасов в охранных целиках.

Практический опыт эксплуатации подземных сооружений показывает, что разрушение массива в их окрестности носит временной характер и может протекать как с постоянной скоростью, так и внезапно. Это говорит о том, что для достоверного описания напряженно-деформированного состояния

• Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 11 — 08 -00320).

ТЫ, t = 0 >----,

II I

к (К)

к а,

у*

Ус

у*

Ус

Рис. 1. Диаграммы идеальной ползучести 1 и 2 с ограниченнной предельной деформацией при разрушении

Рис. 2. Кривые ползучести идеального — ¡!, 12 и действительного — 1, 2 материалов

сплошной среды вокруг отработанных пространств необходим учет реологических свойств горных пород. После проведения в массиве выработки, происходит перераспределение напряжений, приводящее к необратимому деформированию и разрушению горных пород вокруг выработки. На больших глубинах необратимые деформации и разрушение вызваны большими напряжениями в результате действия, которых мгновенно образуется пластическая зона необратимых деформаций. Размеры и формы этой зоны будут зависеть от геометрической формы выработки, от упругопластических свойств горной породы и от напряженного состояния в нетронутом массиве. Традиционно считается, что в пластическом состоянии при кратковременном нагружении процессы деформирования и разрушения материала вызваны высоким уровнем действующих напряжений и не зависят от времени. Деформирование и разрушение в условиях ползучести может происходить при любых напряжениях, и вызвано длительным временем действия нагрузки на материал. Для определения времени начала разрушения породы вокруг выработки при сложном напряженном состоянии в условиях ползучести, необходимо иметь уравнения теории ползучести и критерий длительной прочности. Если они известны, то для различных видов напряженного состояния можно установить параметры ползучести и разрушения по результатам опытов на одноосное растяжение, сжатие или кручение. Как правило, уравнения теорий ползучести основаны на определенном варианте теории пластичности, а критерии длительной прочности на критериях текучести или разрушения. Если в горном массиве действуют только сжимающие напряжения, то в этом случае можно применять критерий длительной прочности, основанный на максимальном касательном напряжении [3]:

т„.„ = -

= Ш,),

(1)

t

t

2

0

0

где <1, <72, сг3 — главные нормальные напряжения, при этом <1 ><2 ><3. Для различных зависимостей сцепления k от времени разрушения t* получим различные варианты критерия длительной прочности. На рис. 1. кривая упрочнения т = т (ус) при t = 0 изображена пунктирной линией, где у — необратимый сдвиг, происходящий в направлении действия ттах. Здесь же представлены диаграммы деформирования и разрушения идеально ползучего материала — 1 при t = 0, 2 — при t = t,. Линия 1 для t = 0 соответствует идеально-пластическому материалу. Линия 3 отвечает деформированию разрушенного материала, в котором отсутствует сдвиговая прочность. На рис. 2 приводятся кривые ползучести идеального — 11, 12 и реального — 1, 2 материалов, соответствующие разным значениям максимального касательного напряжения т1 > т2.

Применение модели идеальной ползучести к простейшим прикладным задачам подробно рассматривается в [3,4]. Эта модель впервые опубликована в [5] и как видно на рис.2 может быть сформулирована в следующем виде: прогрессирующая ползучесть при постоянном максимальном касательном напряжении и температуре начинается тогда, когда время действия нагрузки достигает критической величины, характерной для данного материала. Такой идеализированный подход, хотя и является приближенным, но позволяет решить аналитически ряд задач теории ползучести, которые не могут быть решены в традиционной постановке [3].

Предположим, что на некоторой глубине в горном массиве, находящемся в состоянии гидростатического сжатия, в направлении оси у проводится круглая цилиндрическая выработка радиуса а. Радиальное и тангенциальное направления г и в находятся в плоскости кругового сечения. В нетронутом массиве < = <в= = - Я, а все остальные компоненты тензора напряжений равны нулю. На контуре выработки <7г = — р при г = а. Для протяженной цилиндрической выработки возмущенное ее проведением деформированное состояние будем считать плоским, т.е. Леу = 0. В дальнейшем Л означает приращение соответствующей величины после проведения выработки. Процесс проведения выработки можно смоделировать уменьшением давления р на ее поверхности от значения я до 0,. После проведения выработки при небольших значениях я < т0 (т0 — предел ползучести) необратимых деформаций ползучести не возникает, и в этом случае при любой длительности эксплуатации выработки справедливо упругое решение:

а2

<г =-Я + Я— 7у =-Я, .

г2

2 2

а я а /0.

7в=-Я - Я -т, и = - 2----(2)

г2 2ц г

Рассмотрим теперь деформирование и разрушение горных пород в условиях ползучести. Предположим, что для незакрепленной выработки т0 < я < Т, тогда в соответствии с критерием длительной прочности (1) из соотношений (2) определим время начала разрушения контура выработки t* = к -1(я) по схеме идеального упруго-ползучего тела [3]. Далее рассмотрим общий случай,

когда зависимость ^ус) на рис. 2. включает стадии установившейся, неустановившейся ползучести и разрушение материала (линии 1 и 2). В упругой задаче (2) имеет место неравенство <г ><у ><е и поэтому, деформация ползучести будет представлять собой сдвиг ус в направлении действия максимального касательного напряжения < - <е )/2 . Будем считать, что этот сдвиг и скорость его изменения связаны с максимальным касательным напряжением степенным законом:

у е = а а) ", у е = ". (3)

Функция = 0 при t = 0 и ^ ж при t ^ ж. Степенной закон (3) традиционно применяется в ползучести металлов [6, 7]. В [8] экспериментально была доказана применимость линейной наследственной модели Больцмана с ядром Абеля для описания ползучести различных горных пород. В соответствии с этой моделью для одноосного сжатии материала постоянным напряжением 7 имеем:

в = <(1 + , (4)

Е^ 1 - — )

где - и 3 — реологические параметры, значения которых определяются в лабораторных испытаниях образцов на одноосное сжатие или изгиб при фиксированной нагрузке. С другой стороны на основе сдвиговой модели деформирования при п = 1 [3—5] и с учетом (3) получим:

в = < + ус =Е + а(0 2. (5)

Сравнивая (4) и (5)определим:

а^) = t1--. (6)

Е (1 - —

Представленные в [9] результаты теоретических и экспериментальных исследований показывают, что степенной закон (3) с показателем п > 1 может применяться и для соляных пород.

Условие плоской деформации для возмущенного состояния Аеу = 0 позволяет определить Асту= V (А<г + Асте). Проектируя сдвиговую деформацию ползучести ус на главные оси напряжений и учитывая упругие деформации, получим:

. ¿и у с 1 - V . V и у с 1 - V . V п]

Ае = — = — +-А<--Аст„, Аее= — = —- +-Аст„--А< . (/)

г ¿г 2 2ц г 2ц 0 0 г 2 2ц 0 2ц г

В этих соотношениях Астг = стг + д, Асте = сте + д, Аст = ст + д , поэтому для

полных напряжений имеем < =(2v -1) д + v(стг + <е). Пренебрегая упругими

деформациями в (7), учитывая (3), граничные условия для напряжения <г, уравнения равновесия и совместности деформаций

<3ев

бо - е.

= 0,

<7г

7 - 7а

= 0

<г г <г г

определим напряжения и сдвиговую деформацию ползучести у с :

2/п

2/п

7г=-я+я1г) , 7в=-я+Я(1 -пк^г",уе=™

(8)

(9)

Далее решим задачу неустановившейся ползучести горных пород вокруг выработки с учетом упругих деформаций в соотношениях (7). Выражая из (3) (аг -7в )/ 2 через у с , учитывая (7), уравнения равновесия и совместности

деформаций (8), получим следующее дифференциальное уравнение для определения у с :

дус + 2(1 - у) ( у д г ц п у

1/п

дТ с д г

2ус , 4(1 - у) Г у

□ ) д г г ц г ^ □ Перейдем к безразмерным величинам:

1/п

= 0 .

ц

у = — у с

Я

7в=—, 7г , t = цяп-1 □ (t), г = г / а Я Я

7

2 Я

тогда (10) можно записать в безразмерном виде:

ду 2(1 - у) Г у п ду 2у 4(1 - у) Г у Л 1/"

= 0 .

(10)

(11)

(12)

дг пу \ t ) дг г г ^ t

При п^да из (10) как частный случай следует уравнение, полученное в [3] для идеального упруго-ползучего тела. Найдем решение (12) для у и т = (у/!)1/п, которое совпадает с упругим при I = 0 и с решением (9) при

I ^ да:

у + 2(1 - у)

1/п

2(1 - у) +

-, !тп + 2(1 - у)Т

2(1 -у) + —

4г. (13)

Степенной закон ползучести в безразмерных переменных принимает вид у = Iт п. При заданных значениях независимых переменных ~ , 7 и величинах у , п из (13) применяя численные методы решения алгебраических уравнений, можно определить т и у . Из уравнения равновесия (8), учитывая граничное условие 7 г = 0 при ~ = 1, путем численного интегрирования по ~ можно определить 7 г и 7в :

7 г (гЛ) = -2 }

т( ^)

<% , 7в = 7г - 2т

(14)

5

На рис. 3 и 4 приводятся графики зависимостей -сте(г) и -стг (г), полученные по схеме упруго-ползучего тела, для различных значений безразмерного времени I : 1 - £ = 3, 2 - И = 30, 3 - И = 60 . Пунктирной линией — 4 обозначены эти же зависимости, полученные без учета упругих деформаций, по схеме жестко-ползучего тела. Расчеты выполнялись при п = 4, V = 0.5. Аналитически уравнения (10) могут быть решены для п = 1, 2, 3. Наиболее просто решение записывается для п = 1:

а2 а2 а2 стг =-q + д —, Сте =-q - д—, ус = qQ(£) —.

г2 г2 г2

Далее определим время начала разрушения круглой цилиндрической выработки радиуса а, положение фронта разрушения г = с и скорость его распространения без учета упругих деформаций. При нагружении выработки постоянным внешним давлением на бесконечности происходит рост деформаций ползучести и при £ = £0, когда ус = у, ее контур г = а разрушается. Время начала

разрушения £0 определим из (9) пп

О(to) = О0 =у, —, £0 = О-1(О0). (15)

При £ > £о контур выработки разрушается, и фронт разрушения г = с становится новой свободной поверхностью выработки. В итоге на фронте разрушения имеем те же граничные условия, что и на первоначальном контуре и поэтому решение для жестко-ползучего материала перед фронтом разрушения г > с имеет вид:

ст. =-д + д (с)2' п.сте = -д +, (1 - 2)(с )" п,у с =°(£)^ • (16)

Как следует из (9) на фронте разрушения г = с в текущий момент времени имеем и = у,С'2 , с другой стороны из (3), (7) и (16) получим:

. ¿О{£) дпс2 2 и . сЩ£) дпс2 (17)

ус = 27,и = ^Г• (17)

Потребовав непрерывность радиальной скорости и на фронте разрушения в произвольный момент времени, получим уравнение:

d О (£) = 14^ . (18)

цп с

Интегрируя (18), и учитывая, что при £ = £0, с = а, получим:

о (0 = о 0 (1 + 1п £1, с = еХр (ОЁ -11, = еХр ГО£) -11 «.

01 а ) а 1 ( О0 )' б£ О0 1 I О0 ) б£

1,2

0,8

0,4

0

13 5 7

Рис. 3. График зависимости — 7^ ) для различных значений безразмерного времени

1,2 -1---

0,8

0,4

0

13 5 7

Рис. 4. График зависимости — 7 г (г ) для различных значений безразмерного времени 1".

1 / 1 , —

/ /у ^ 1 // ^ г

Заключение

Решена задача о деформировании и разрушении массива в условиях ползучести после проведения круглой цилиндрической выработки. Для горных пород применялась модель упруго-ползу-чего тела при неустановившейся ползучести. Построены графики распределения тангенциального и радиального напряжений в горном массиве для различных текущих времен, отсчитываемых от момента проведения выработки. Получены новые решения для напряжений, деформаций ползучести, положения фронта разрушения и скорости его распространения.

1. Викторов С.Д., Иофис М.А., Гончаров С.А. Сдвижение и разрушение горных пород. М.: Наука, 2005.

2. Курленя М. В., Серяков В. М., Еременко А. А. Техногенные геомеханические поля напряжений. — Новосибирск: Наука, 2005.

3. Коврижных А.М. Деформирование и разрушение бортов карьеров и подземных сооружений в условиях ползучести // Физ.-техн. пробл. разраб. полезных ископаемых. — 2009. № 6.

4. Коврижных А.М. Сдвиговая модель деформирования и разрушения материала при ползучести // Сборник научных трудов международной конференции «Актуальные проблемы механики сплошной среды». 4—

- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

8 октября, Дилижан, Армения, 2010 Т. 1. С. 312—316.

5. Коврижных А.М. Длительная прочность металлов и предельное состояние в условиях ползучести//Известия АН. Механика твердого тела. М.: Наука. 2009. № 2. С. 121—129.

6. Качанов Л.М. Теория ползучести. — М.: Гос. Изд-во физ-мат. лит-ры, 1960.

7. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. — М.: Наука, 1966.

8. Ержанов Ж. С. Теория ползучести горных пород и ее приложения. Алма-Ата: Наука. 1964.

9. Ержанов Ж.С., Бергман Э.И. Ползучесть соляных пород. Алма-Ата: «Наука» Казахской ССР, 1977. ЕЕ

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -

Коврижных Александр Михайлович — доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, [email protected],

Серяков Виктор Михайлович — доктор технических наук, профессор, зав. лабораторией [email protected],

Коврижных Сергей Александрович — аспирант, Институт горного дела СО РАН.

ГОРНАЯ КНИГА

Обогащение углей. Том 1. Процессы и машины

В.М. Авдохин 2012 год 424 с.

ISBN: 978-5-98672-308-2, 978-5-98672-309-9 UDK: 622.7:622.33 (075.3)

Даны основные сведения о составе и свойствах ископаемых углей. Изложены теоретические основы процессов дробления, грохочения, обогащения и обезвоживания углей. Описаны конструкции, принцип действия, технические параметры и предпочтительные области использования применяемого современного оборудования. Приведены технологические схемы компоновки и методы оценки эффективности разделительных процессов.