Сдвиговая модель деформирования и разрушения материалов при ползучести Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 539.374

СДВИГОВАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ

Александр Михайлович Коврижных

Новосибирское высшее военное командное училище МО РФ, 630117, Россия, г. Новосибирск, ул. Иванова, 49, доктор физико-математических наук, зав. кафедрой общепрофессиональных дисциплин, тел. (383)332-90-00, e-mail: amkovr@mail.ru

Сергей Александрович Коврижныш

Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, инженер

Принимается, что необратимая деформация является результатом сдвигов в определенных плоскостях. В перпендикулярных к этим плоскостям направлениях происходит изменение нормальной деформации пропорционально соответствующему сдвигу. Такой подход позволяет учитывать развитие трещин и пор на фоне растущих деформаций ползучести без применения кинетического уравнения поврежденности Качанова-Работнова. Разрушение материала начинается при достижении максимальным сдвигом критической величины, что приводит к потере сдвиговой прочности. С применением модели, основанной на максимальном касательном напряжении и степенном законе, решены задачи о деформировании и разрушении упруго-ползучего тела в стадиях неустановившейся и установившейся ползучести.

Ключевые слова: сдвиговая модель, ползучесть, разрушение, кинетическое уравнение поврежденности.

SHEAR DEFORMATION AND FAILURE MODEL FOR MATERIALS UNDER CREEP

Alexander M. Kovrizhnykh

Novosibirsk Military Command Academy, Ministry of Defence of the Russian Federation, 630117, Russia, Novosibirsk, 49 Ivanova Str., Doctor of Physico-Mathematical Sciences, Head of Department of General Professional Disciplines, tel. (383)332-90-00, e-mail: amkovr@mail.ru

Sergei A. Kovrizhnykh

Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Engineer

It is assumed that irreversible deformation is a result of shearing in certain planes. In perpendicular directions to these planes, normal strain undergoes change that is proportional to the associated shear. This approach allows accounting for growth of fractures and pores in the background of increasing creep strains without using Kachanov-Rabotnov's kinetic equation for development of damage. Material begins failing when maximum shear reaches critical value, which initiates drop in shearing strength. Using the model based on the maximum shear stress and the exponential law, the authors solve problems on deformation and failure of an elastic-creeping body at the stages of unstable and stable creep.

Key words: shear model, creep, failure, kinetic equation for development of damage.

Рассмотрим сначала плоскую деформацию материала вокруг цилиндрической полости радиуса г = а в неограниченном теле. Обозначим «г, «в, < -радиальное, тангенциальное и осевое напряжение соответственно. На поверхности г = а действует постоянное давление «г = -р, а при г ^ да материал не нагружен «г=«в = 0. В упругой задаче имеет место неравенство «в > « > «г, и поэтому, необратимая деформация ползучести будет представлять собой сдвиг в направлении действия ттах = («-«)/2[1]. Будем считать, что этот сдвиг и скорость его изменения в условиях ползучести связаны с максимальным касательным напряжением степенным законом:

Ус = П(*)

с^ ^ «в

2

У с =

<Ю(г)

сИ

«в -«г 2

ЛИ

(1)

Проектируя сдвиг ус на главные оси напряжений и учитывая упругие деформации, получим:

£в= — + в 2

1 -у 2М

у

2ц

«г , £г =

У,

1 -у

+ ■ 2 2ц

у

2Ц

«

в •

(2)

Если в (2) не учитывать упругие деформации то, применяя (1), граничные условия для напряжения «г, уравнение равновесия и условие совместности деформаций, определим:

\2/п^

' а Л '

«в =-Р

V г У

2

п

{ \2/п

а

«г =-Р

, Ус = Щ)

V г У

рпа 2 ппг 2

(3)

Для учета упругих деформаций перейдем к безразмерным величинам:

Ц

У = —Ус' т = Р

« - «

« =-в, «г =« , ~ = црп~х&.(1), г = г / а • (4) Р Р

2 Р

Выражая из (1) («в - «г)/2 через ус , учитывая определяющие соотношения (2), уравнения равновесия и совместности деформаций, получим дифференциальное уравнение:

ду 2(1 -у) У1/п

дг пу У

ду +2у+у) У

дг Г г

1/п

= 0 •

(5)

V1 У

При п ^ да из (5) как частный случай следует уравнение, полученное в [5] для идеального упруго-ползучего тела. Найдем решение (5) для у и т = (у/7)11п, которое совпадает с упругим при t = 0 и с решением (3) при t ^ да :

у + 2(1 - V)

х х 1/и у

V! У

2(1 - V) +

п

(6)

Степенной закон для безразмерных переменных имеет вид у = ~ тп. При заданных значениях независимых переменных ~, 7 и величинах V , « из (6) можно определить у и т. Далее из уравнения равновесия, учитывая граничное условие стг =-1 при Г = 1, путем численного интегрирования по ~ можно определить с~г и ав.

Определим время начала разрушения цилиндрической полости, положение фронта разрушения г = с и скорость его распространения без учета упругих деформаций. При нагружении полости постоянным внутренним давлением происходит рост деформаций ползучести и при t = 0 когда ус = у ее контур г=а разрушается. Время начала разрушения t0 определим из (3)

пп 1 О(!о) = О, = Г* —, Ч = О-1(О,) • Рп

Из (3) и (2) определим скорость радиального перемещения произвольной точки в зоне ползучести г > с > а при t > t0

. _ со(!) рпс2 _ й _ со(!) рпс2

Ус = " ппг2 = г' " = С 2ппг

Сг

(7)

Решение для напряжений получается из (3) заменой а на с. При t > t0 имеются две зоны: г > с - зона ползучести и а <г < с - зона разрушения. Учитывая (2) на фронте разрушения при г = с, получим и = у*с /2, с другой стороны имеем (7). Потребовав непрерывность радиальной скорости и на фронте разрушения в произвольный момент времени, получим уравнение:

СО(!) =

у* пп Сс

рп с

Интегрируя (8), и учитывая, что при t = t0, с = а, получим:

(8)

О(!) = О,

г СЛ 1 + 1п С

V

а

с

— = ехр а

О(!)

V О о

-1

Сс а — =-ехр

сИ О

о

О(!)

vО о

-1

СО(! )

с

(9)

Рассмотрим деформирование и разрушение круглого стержня при кручении в условиях ползучести. Обозначим в - осевое и тангенциальное направления соответственно. При закручивании стержня моментом М2 имеем:

у, = — + У с =— + О(! )— = Г (юе +Юс ),

И

И

(10)

1

2

где xz =Tze, jz =7ze - сдвиговая деформация, yc = yczg - сдвиговая деформация,

вызванная ползучестью, œ e и œ с - две составляющие угла закручивания, обусловленные соответственно упругостью и ползучестью стержня при кручении. Учитывая, что при t = 0, Q(t) = 0, rz = л rœe, а при n(t) ^ œ упругой деформацией можно пренебречь, определим œ e и œ с:

=

Ma

fir

, (t) = Q(t)

V Inr J

= жа^ 2ла3+1/n r " 2 ' nr " 3 +1/n

(11)

где ^ - упругий модуль сдвига, 1Г, 1пг - полярный момент и обобщенный полярный момент инерции. Введем безразмерные величины:

г

т

Mz/Wr

у,

МУс

Mz / Wr

, t = juQ(t)

/ \n-1

w

V Wr J

У

y h '

где = /г / а - полярный момент сопротивления. Учитывая вышеизложенное, получим уравнение для определения безразмерного касательного напряжения

т +1 т

1 +1

3n +1 4n

\n

(12)

Задавая t, ~ и n, можно из (12) определить тt), а затем у = t т".

Рассмотрим теперь разрушение круглого стержня при кручении в условиях ползучести без учета упругих деформаций. Определим времена начала и полного разрушения стержня. Пусть a0, a - начальный и текущий радиусы стержня. При разрушении текущий радиус r = a(t) совпадает с фронтом разрушения, движущимся к центру стержня. Так как угол закручивания coc(t) на единицу длины стержня от r не зависит, а зависит только от t, то имеем:

Ус

™c (t X ус = rà>c > ^с (t ) = Q(t )

f Л * \n

Mz V 1 nr J

(13)

Деформация ползучести ус наибольшее значение принимает при г = а, поэтому разрушение начинается с поверхности стержня г = а0 при ? = 10, где 10 -время начала разрушения. Таким образом, из (13) получим:

— = ^(to)

a

f Л *

Mz.

V 1 nr J

, Q(to) = QC

У* «0n

Mn

2n

n

3 +1/n

to =Q-1(Qo ) •

При t > t0 поверхность стержня r = a(t) разрушается и с увеличением времени увеличивается угол закручивания. Из (13) следует:

dac = dO(t)

3 +1/n 2л

МП

a

3n+1

(14)

С другой стороны, из первой формулы (13) определим изменение угла закручивания на фронте разрушения dюc = -у^а / а . Из (14) и условия непрерывности скорости изменения угла закручивания на фронте разрушения и в зоне ползучести получим дифференциальное уравнение для определения 0(1:):

dQ(t) = -

7*

МП

2л

3 +1/n

a3n-1da.

Интегрируя это уравнение с учетом того, что при t = О а = а0 получим

Q(t) =

1 +

3n

с 3n Л

1 - a

3n , a = a0

V a0 J _

1 + 3n

O0 - Q(t)

3n

(15)

Время полного разрушения стержня при кручении определим из (15) при a=0. Скорость распространения фронта разрушения находится дифференцированием по времени второго равенства (15).

В задаче о деформировании и разрушении цилиндрической полости под действием внутреннего давления при установившейся и неустановившейся ползучести получены новые решения для определения деформаций ползучести, положения фронта разрушения и скорости его распространения. В задаче о кручении круглого стержня определены напряжения, деформации ползучести, времена начала и полного разрушения. Для установившейся ползучести отношение времени полного разрушения к времени начала разрушения стержня при кручении совпадает с результатом, полученным в [3].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Коврижных А.М. Пластическое деформирование упрочняющихся материалов при сложном нагружении// Известия АН СССР. МТТ. - 1986. №4 С.140-146.

2. Коврижных А.М. К теории пластичности учитывающей вид напряженного состояния при сложном нагружении// Известия АН СССР. МТТ. - 1987. № 6. С.98-106.

3. Качанов Л.М. Теория ползучести. - М.: Гос. Изд-во физ.-мат. литературы, 1960,

455 с.

4. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. - М.: Наука, 1966, 752 с.

5. Коврижных А.М. Деформирование и разрушение бортов карьеров и подземных сооружений в условиях ползучести// Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2009. № 6. С. 29-39.

© А. М. Коврижных, С.А. Коврижных, 2016

n

n

1