ДЕФОРМАЦИЯ ПЛАМЕНИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.46

ДЕФОРМАЦИЯ ПЛАМЕНИ

В.В. Замащиков

В работе получено обобщенное соотношение для определения деформации пламени. Рассмотрены частные случаи, когда пламя обладает сферической, цилиндрической симметрией и является бесконечной поверхностью. Полученные соотношения совпадают с приведенными в литературе уравнениями для частных случаев.

Ключевые слова: пламя, нормальная скорость пламени, искривление фронта горения, деформация пламени.

Ландау Л.Д. и Darrieus G. [1, 2] теоретически показали, что плоское пламя гидродинамически неустойчиво, то есть любые сколь угодно малые возмущений должны приводить к тому, что фронт пламени искривится. Для объяснения экспериментов, которые противоречили этому заключению, Маркштейн Дж.Г [3] предположил, что нормальная скорость Би зависит от искривления фронта горения. Он заметил, что прогрев свежей смеси перед фронтом пламени и диффузия в эту область и из этой области частиц зависит от кривизны поверхности горения. Маркштейн Дж.Г. [3] предложил следующую зависимость нормальной скорость от радиуса кривизны:

(

Su Su

1

L

R

где L- характеристическая длина; Rf- радиус кривизны.

Карловицем (Karlovitz B.) с соавторами [4] было введено такое понятие как растяжение пламени (stretch rate) далее будем называть это явление деформацией пламени. Выражение для определения деформации было предложено Williams I.A. [5], оно имеет вид

1 dA

к =--.,

A dt

Здесь A- площадь небольшого элемента поверхности пламени; t- время; k- учитывает растяжении или сжатие плоского пламени.

Вычисление коэффициента k.

Buckmaster J.D. [6] вывел выражение для k в декартовой системе координат, а Matalon M. [7] получил инвариантную форму этого выражения. Strehlow R.A. и Savage L.D. [8] нашли вид соотношения, описывающее растяжение пламени, для четырех частных случаев. Найдем выражение для k в более общем виде, следуя выкладкам, приведенным в работе [9]. Зададим поверхность пламени, как и в работе [9], в векторной форме ПОЛЗУНОВСКИЙ ВЕСТНИК № 1 2010

г = , где р \л q параметры, г - радиус-

вектор точки M(x,y,z) на поверхности пламени. Тогда имеем

.1 ^ дг . 8г. дг

Будем следить за эволюцией во времени площади маленького элемента поверхности пламени А, имеющего параметры р и д в момент времени t. Площадь этого элемента в момент времени t можно представить, как площадь параллелограмма, образованного дг

векторами —, полученным при изменении р,

Зр

дг

когда постоянны (/ и и вектором —, когда

dq

постоянны р и t [10]:

A(p,q,t) = дх

Зг дг . .

— X —dpdq.

dp dq

(1)

- вектор, направленный по каса-

Здесь

op

г = гф,<7 = const,t = const , - вектор, направленный по касательной к

тельной к кривои

сГ dq

кривой г = гф = const, q,t = const Согласно [11], выражение для нормали n к поверхности имеет вид

dr дг

dp dq

dr dr

dp dq

(2)

Выбранный элемент поверхности пламени может перемешаться не только по нормали к поверхности, но и в других направлениях. В момент времени t+At элемент поверхности будет иметь параметры р+Ар и q+Aq, а его радиус-вектор будет равен:

n

+ Ар,д + Ад, ^ + лО=

л .> Зг ф Д, Зг с/с/ Зг . (3)

= г€>,д,? +--— А? +--— А? + —М

др <Я дд <Я Я

Производная по времени запишется как

с/г

Скорость перемещения элемента по нормали суть

V =

Зг Зг Зг

Зр Зд 3?

(4)

выбранного

с/г с#

Зг

¥

Зг

Представим вектор — как сумму векто-

дt

ра направленного по нормали и лежащего в касательной плоскости к поверхности: Зг

д(

= V,

V,

Единичные вектора, лежащие в касательной плоскости, можно определить следующим образом: Зг др

дг

др дг дд Зг

дд

С учетом этого уравнение (4) можно записать в виде с/г

с№

= ерУ(р+еч^

■ V,

V

(5)

Здесь ^ри ^десть выражения • Зг

V««, = <7

Зд

Уравнение (5) можно переписать следующим образом с/г

а

= V,

(6)

Очевидно, что вектора V, и взаимно перпендикулярны, поэтому <1 • V, 0. Из определения следует, что нормальная составляющая скорости представляет собой скорость перемещения поверхности пламени вдоль ее нормали. То есть она определяется нормальной скорость пламени и нормальной составляющей скорости движения свежего газа, входящего во фронт пламени Тангенци-

альную составляющую будет определять как проекцию скорости движения свежего газа, входящего во фронт пламени, на касательную плоскость к поверхности пламени. Уравнение (3), с учетом (6), принимает вид г<> + Ар,д + Ад,/+ А/^=г6д,0+ + Найдем производные:

Л А Л * Л *> (

— () + Ар, с? + Ас?, ^ + ^ V, Я,' др др

дг

р + Ар, Ц + Ад, f + А?

г

р, д,

„ ..... ^ „ ^ , — + Ш

дц дц \ дц дц )

Далее вычислим площадь, используя уравнение (1), запишем

+ Ар,д + Ад^ + А1

Зг ж, .> Зг ^ др дд

Зг

др

_ Зг

дд дд ) ддХ

Зр Зр

фс/д

Член пропорциональный А?2 не будем учитывать, так как при поиске предела

Ар + Ар,д + Ад^ + А^Ар,д,Г Д/

слагаемые, содержащие А/1, где п>1, стремятся к нулю. Разложим А по малому параметру. Обозначим:

Пт

ЛГ—о

Ь

Зр Х( дд

ЗУ„

дд

дд I Зр

оУ,.

др

Зг

<У1 ^ ,> ОТ * ,>

др дд

Тогда имеем

Д ^ + Ар, д + Ад, ? + А?^ |а + ЬА?\dpdg =

= СрСд^ < + ЬА О ^ + ЬА 0=

4

= СрСдл а 2+2- а -ЬД^ + |Ь|2 М2 =

, I 2- Ь2&12 = брбда| |1 + — „ ^ +-—

а

а

г

а\СрСд

1

а-ь^ t

Откуда, с учетом

Д£,д,0= афс/д,

получим приближенное соотношение

■>11 € Ь X? А%? + Ар,д + Ад,? + А? а фс/д + фс/д

фс/д

Далее, подставив выражения для а и Ь,

vn=n

п

р

2

а

V

п

а

найдем формулу для коэффициента к и произведем дальнейшие преобразования:

f dr х dr л dp dq

дг х дг dp dq

Учтём выражение для нормали (2) и получим соотношение: (7)

dp ( dq + dq ) dq ( dp + dp ) "

dr x dr dp dq

Отметим, что (7) совпадает с уравнением, полученным в работе [9]. Как и в работе [9], нормальную составляющую скорости запишем в виде: мп = ^ • п}}. Тогда получим:

dr х dvt

dp dq

dr ^ dv dq dp

dr x dr dp dq

V n

,dr dn 'dp dq

dr dn

dq dp

dr dr

dp dq

При выводе этого уравнения использовалось соотношение <1 х с п = 0 , где с - любой вектор. Таким образом, коэффициент деформации к представляет собой сумму двух слагаемых. Первое слагаемое обусловлено изменением тангенциальной составляющей скорости вдоль поверхности пламени. Второе слагаемой пропорционально нормальной составляющей скорости. Оно связано с производной от вектора п по параметрам р и q.

Если поверхность пламени не изменяется со временем, то второй член будет равен нулю, и тогда деформация пламени зависит только от первого слагаемого. Учтем выражение для нормали (2) и предположим, что - е?3=0 (касательные единичные вектора ортогональны). Тогда имеем:

dvt dr

dp dp

4 n

2/

Idp \

dr ^ dr dp dq

dn dr^j + ^ dq dq J Idq

2/

dr x dr dp dq

Так как ^

p xeq-

зать, что

dr dr

dp dq

dr

— x —

dp dq

= n, нетрудно пока-r

Тогда получим

следующее окончательное выражение для

коэффициента растяжения пламени:

(8)

dr dp dr dq ÍS-)

dr dp dr dq

v n

-чЭг

Ър

dn

dq

vn

q

n

dp

dr dr

dp dq

dr

Если положить, подобно [91, что — = 1,

dp

= 1, то найденное нами уравнение (8)

dr

dq

полностью совпадет с уравнением, полученным в работах [9, 12].

Рассмотрение частных случаев

1. Сферическая симметрия

Сферическое пламя распространяется от центра или к центру. Параметры р и q -углы (0<р<2л, 0<q<7t). х = R ■ cosр ■ sing; у = R • sinр-sing; z = R ■ cos g

dr

dp

dr

= Rsing;

dq

= R]

ep = -sin pi + cospj;

eq = cospcosgi + sinpcosgj-singk

n = -cospsingi-sinpsingj-cosgk

2

2

2

2

n

e

e

q

p

n

Получаем, что к = -

2<1-п R

2. Цилиндрическая симметрия

Рассмтрим пламя на бунзеновской горелке. В качестве параметров выберем

p = р = -\jx2 + y2 и q=(p. Тогда имеем:

г = р cos цл + psm(p\ + . Найдем единичные вектора: cos^i + sin^j + z'k

e

p

í,-2

V1 + z

eq = -sin^i + cos^j;

- z' cosipi - z'sin + k

n

\l

'1 + z

'l+C

.

dq

z =

= P

dz

dp

Пусть скорость газа имеет вид и = и^р к , т.е. скорость газа направлена по оси ъ. • п -есть скорость перемещения пламени по нормаль. Если фронт пламени не движется, то это скалярное произведение равно нулю. То есть имеем:

0= 4 пУБи-а п^ и

Su =

'1 + *■

= и cos a '

Где а- угол между нормалью и скоростью и. Касательные составляющие скорость равны:

<!-eq f0

Таким образом, скорость перемещения элемента поверхности пламени равна: иг'

V =

e

л/1 + Z

uZ

,~2

Р

Vz

HÍOS (fA + sin qj

z k j= vt

При этом, как упоминалось выше, проекция этой скорости на нормаль равна нулю. Найдем выражение для растяжения пламени, используя уравнение (8). Для этого нужно найти производные от скорости:

5vt uz' ¿ . . dq 1 + ^

3vt _ 8 dp dp

( , \ uz

(¿os (ft + sin (pi + z'V.y

UZZ"

-\ + 4r

dv

dp Vi+e3

, , uz-y-t'2

U'z'+-/ —^V'

<« (i

ep +

k;

k;

Подставим, полученные выражения для производных, в уравнение (8) и получим:

Su . , . Su

k = —sin a + иsin a cos a + —;

R

P

1

R

z

I « }

1 _ sin a

r7

p

sin a =

л/1 +

Здесь R, R1- радиусы кривизны. Сравним, полученное выражение, с выражением, приведенным в работе [8]. Для этого, как и в работе [8], будем считать, что нормальная скорость ¿и постоянная вдоль фронта пламени. Это позволяет найти производную и'. Конечное выражение имеет вид

к = Su

( sec2 a sin а

--1--

R

Р

\

;sec а =

1

cosa

совпадающий с выражением, полученным в работе [8]. 3. Плоское пламя

Фронт пламени представляет собой бесконечную поверхность. Скорость газа направлена по оси у и зависит только от координаты х. Этот случай рассматривается в работе [8]. Зададим поверхность и скорость пламени следующим образом: г = х'1 + гк.

и = и(х)у

Для нахождения деформации пламени воспользуемся уравнением (8). Пусть параметры р=х и q=z. Тогда имеем: дг . ,. др

дг

= л/1+У '2;

др

1 + У J

1

uz'z"

z

e

p

dr

dq e

q

n

У =

= к; к;

y'i-j

1 + у'

dy

dx

2

Найдем скорость перемещения фронта пламени:

. > .. s.

i u>Su = vn = il ■ nJ= 0; ^ > / >

vt = Цер;ер

uy

V1 + y '

Далее найдем производные от скорости:

2

Svt dp

dvt dq

y" =

и У 1 + y"

uy" (- y

>

<+ y''¡y

uy У 1 + y'2

= 0.

d2y.

dx'

=

du

dx

Найдем выражение для коэффициента деформации пламени:

и'у' иу"

к =

1 + у'2 + (_,

(9)

y¿:

Если воспользоваться связью между скоростью газа и нормальной скоростью, то можно получить

Su и'-sin a Su

К~ и ~R~-

Здесь а- угол между нормалью к плоскости и вектором скорости. Видно, что, если кривизна равна нулю (Rо°), т.е. пламя плоское, растяжение может быть отличным от нуля.

Пока мы не накладывали каких-либо условий на нормальную скорость. Чтобы полученное выражение (9) можно было сравнить с результатом, приведенным в работе [8], примем, что

и

Su = if и

= и COS а = const.

^ + У '2

Для этого случая нетрудно получить:

■У*?'

Su О

К = --^—,R =

R cos а

У

<

ВЫВОДЫ

Это выражение совпадает с выражением, полученным в [8], что подтверждает справедливость предложенного в настоящей работе подхода для определения деформации пламени в различных конкретных условиях, например, закрытых сосудах сложной геометрии, вентилируемых системах и двигателях внутреннего сгорания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ландау Л. Д. К теории медленного горения // ЖЭТФ, 1944.- Т. 14, N 6.- С. 240-244.

2. Darrieus, G. Unpublished work presented at La Technique Moderne, and at Le Congrès de Mécanique Appliquée (1945) and (1938).

3. Нестационарное распространение пламени / Под редакцией Дж. Г. Маркштейна.- М.: Изд-во «Мир», 1968.- С. 36.

4. Karlovitz, B., Denniston, D.W., Knapschaefer, D.H., and Well, F.E. // Fourth Symposium (International) on Combustion, The Combustion Institute, 1953.- Р. 613.

5. Williams, I.A. // AGARD Conference Proceedings.- No. 164, AGARD, Paris, 1975.

6. Buckmaster, J.D. // Acta Astonautica 6:741769 (1979).

7. Matalon, M. // Combust. Sci. Tech. 31:168181 (1983).

8. Strehlow, R.A., and Savage, L.D. // Combust. Flame 31:209-211 (1978).

9. Chung, S.H., and Law C.K. // Combust. Flame 55:123-125 (1984).

10. Лаптев, Г.Ф. Элементы векторного исчисления.- М.: Изд-во «Наука», 1975.- 180 с.

11. Бронштейн, И.Н., Семендяев К. А. Справочник по математике.- М.: Изд-во «Наука», 198о.-734 с.

12. Chung, K.Law // Combustion physics, Princeton University, Cambridge University press.- 2006.-Р. 722.

Замащиков В. В., к.ф.-м.н.,

Институт химической кинетики и горения

СО РАН, Новосибирск,

тел. (383)3332296, e-mail: albor@kinetics.nsc.ru

e

p

2

2