Точные решения задач о стационарном движении пламени с кромками в гидродинамическом приближении Текст научной статьи по специальности «Математика»

Процессы горения

УДК 614.84:664

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О СТАЦИОНАРНОМ ДВИЖЕНИИ ПЛАМЕНИ С КРОМКАМИ В ГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

А. Н. Полетаев

научный сотрудник Всероссийского научно-исследо-вателъского института противопожарной обороны МЧС РФ, ст. лейтенант внутренней службы

Н. Л. Полетаев

доктор технических наук, главный научный сотрудник Всероссийского научно-исследователъского института противопожарной обороны МЧС РФ, полковник внутренней службы

Полетаев Александр Николаевич

Полетаев Николай Львович

Рассмотрены двухмерные задачи о стационарном распространении гладкого пламени по однородным газообразным горючим смесям, помещенным в изотропное пространство с инертным газом той же плотности, имевшим до зажигания форму соответственно плоского слоя и цилиндра. Показано, что с точностью до первого порядка разложения величин по малому параметру относительного различия плотностей горючей смеси и продуктов горения решению задач в гидродинамическом приближении (с постоянной нормальной скоростью горения) отвечает плоское пламя. По отношению к длинноволновому возмущению плоское пламя устойчиво в слое и неустойчиво в смеси цилиндрической формы, где амплитуда устойчивого искривления оказывается в 4п раза меньше той, которая предсказывается феноменологической теорией Я. Б. Зельдовича [3].

Введение

Неустойчивость бесконечного плоского пламени в линейном приближении обоснована в работе [1] и получила название гидродинамической от одноименного подхода к описанию условий задачи: пламя — поверхность разрыва, горючая смесь и продукты горения — однородные несжимаемые невязкие среды, нормальная скорость горения ип постоянна. Поскольку на практике фронт пламени нередко оказывается устойчивым, вызывает интерес задача о стационарных режимах горения, возникающих на нелинейной стадии развития периодического возмущения поверхности плоского пламени. В ряде работ стабилизация возмущенного пламени объясняется влиянием процессов переноса и моделируется на основе зависимости ип от кривизны фронта горения [2]. В то же время имеются попытки [3, 4] аналитического описания стационарной ячеистой структуры поверхности фронта горения в чисто гидродинамической постановке задачи, когда ип постоянна. Последнее направление исследований поддерживается настоящей работой и, как бу-

дет показано ниже, позволяет обнаружить особенности проявления гидродинамической неустойчивости пламени.

В работе [3] для двухмерной задачи феноменологическим путем получено уравнение, описывающее изменение амплитуды периодического (на линейной стадии — синусоидального) искривления плоского фронта горения после естественного образования изломов пламени в отстающих точках фронта:

М = ш - ^ А

& П2

(1)

где А — амплитуда искривления пламени, состоящего (в плоскости задачи) из кусков парабол; (— время; О — инкремент роста возмущения в линейной теории [1];

к = 2п/Х; X — волновое число и пространственный период искривления соответственно. Уравнение (1) получено в слабонелинейном приближении А/Х << 1. Из выполнения этого неравенства для стационарного решения (1) следует, что

область применения уравнения ограничена также условием

Е -1 = у <<1. (2)

где Е = р1/р2 > 1 — коэффициент расширения продуктов горения; р15 р2 — плотность горючей

смеси и продуктов горения соответственно.

Последнее позволяет в уравнении (1) использовать аппроксимацию О = уыпк/2.

Несмотря на безусловную пользу [3] для формирования представлений о деформации пламени на нелинейной стадии развития искривления плоского фронта горения, из-за сложности данного процесса даже его качественную теорию целесообразно основывать на точном решении соответствующих задач. В работе [5] показано, что важным условием развития возмущения плоского фронта горения в монографии [1] является гладкость искривления пламени вблизи ведущей и отстающей точек, которая нарушается в работе [3] и, следовательно, имеется необходимость уточнения линейного члена в правой части выражения (1).

В работе [4] приводится приближенное решение точного нелинейного уравнения эволюции регулярного возмущения плоского пламени для трехмерной задачи, воспроизводящее формулу (1). Заметим, что в решении [4] ячеистое пламя не имеет изломов поверхности, и согласно работе [5] совпадение с результатом монографии [3] можно объяснить только приближенным характером решения. Предложенный в работе [6] метод построения точных стационарных решений уравнения из статьи [4] не вносит ясности. Во-первых, данный метод нарушает условие постоянства ип. Во-вторых, этот метод является внутренне противоречивым из-за распространения результатов исследования в слабонелинейном приближении на случай произвольного Е > 1. Последнее утверждение иллюстрировалось выше на примере стационарного решения уравнения (1), для которого справедливо у~ Л/Х.

Целью настоящей работы является получение для случая (2) точного стационарного решения двухмерной задачи о распространении пламени, представляющего одиночную "ячейку", и исследование его длинноволновой устойчивости в сопоставлении с феноменологическим описанием (1). В качестве горючей среды выбирается однородная газовая смесь (далее — смесь), имеющая до зажигания форму бесконечного плоского слоя или цилиндра и помещенная в изотропное пространство, заполненное невязким несжимаемым инертным газом той же плотности; тепломассообмен инертного газа со смесью и продуктами горения отсутствует. Выбранная геометрия задачи отличается от принятой в работе [3], но допускает согласно работе [7] (см. также [8]) распространение выводов этой работы.

Ранее авторами рассматривалось приближенное аналитическое решение упомянутых задач для произвольного значения у [9]. Точное решение возможно лишь в случае (2). Ограничим представление нашего решения первым порядком разложения величин по малому параметру задачи у.

Математическая постановка задачи о горящем слое

Рассмотрим двухмерную задачу о стационарном движении гладкого зеркальносимметричного пламени по смеси, занимавшей (до появления пламени) плоский слой пространства с толщиной, равной 2Н. Выберем движущуюся с пламенем систему координат, в которой параметры задачи не зависят от координаты 2, направление движения невозмущенной пламенем среды совпадает с направлением оси у, а плоскость (у, 2) является плоскостью симметрии задачи. В дальнейшем все величины будут относиться к координатной плоскости (х, у), а под пламенем будет пониматься его сечение данной плоскостью.

Очевидно, что в отсутствие расширения продуктов горения (у = 0) стационарное пламя является плоским и занимает интервал (-Н, Н )оси х, делящий слой |х | < Н на две области: смеси (у < 0) и продуктов горения (у > 0); инертный газ занимает область |х | > Н; движение среды во всем пространстве является однородным со скоростью ип в направлении оси у; пограничные линии тока, отделяющие области инертного газа от смежных областей смеси и продуктов горения, совпадают с прямыми х = ± Н.

Покажем, что с появлением расширения продуктов горения (у > 0) решению задачи с точностью до у1 будет также отвечать плоское пламя, занимающее интервал

| хг| < Н; у/ =0, (3)

где Н^ = (1 + у/2)Н; движение среды вдали от пламени будет однородным со скоростью

и = (1+ у/2) ип (4)

в направлении оси у; пограничные линии тока касаются пламени в его кромках, асимптотически приближаясь к прямым х = ± Н или х = ± (1 + у)Н при удалении от пламени вдоль соответственно смеси или продуктов горения.

Здесь и далее величины, связанные со смесью (областью 1), продуктами горения (областью 2), инертным газом (областью 3), поверхностью пламени, пограничной линией тока g, компонентами векторных величин по осям х и у, предельными значениями параметров задачи при у ^ отмечены соответственно индексами 1, 2, 3,/ g, х, у, Символами V и Р обозначены соответственно ско-

рость и давление среды. Жирным шрифтом отмечены векторные величины.

Сформулируем математическую постановку задачи. Прежде заметим, что с рассматриваемой точностью движение не только смеси и инертного газа, но и продуктов горения будет потенциальным, поскольку вихревые слагаемые скорости продуктов горения имеют порядок не менее у2 [1, 8]. Пусть фi — потенциал скорости среды в г-ой области (г = 1,2, 3): Уг = Уфг. Из уравнения непрерывности следует, что

32Фг , 32Фг

дх 2 ду 2

= 0 (г = 1,2,3).

(5)

Граничные условия на пламени, отвечающие сохранению тангенциальных компонентов скорости среды по обе стороны фронта, постоянству нормальной скорости горения и сохранению потока вещества через пламя имеют вид:

Ф1/ = Ф2/;

Уп =

дф

1 /

дп

+ и„

(6) (7)

уп -

дф

1/

дп

Р1 =

уп -

дф

2 /

дп

Р г,

где индекс г/ относится к величинам г-ой области среды (г = 1, 2) вблизи пламени; п — нормаль к пламени, направленная в сторону смеси;

/ — видимая скорость движения поверхности пламени в направлении п (для стационарного решения задачи в выбранной системе координат / = 0). В дальнейшем вместо последнего соотношения будем пользоваться его линейной комбинацией с соотношением (7), позволяющей исключить величину /

дФ1 / дФ2 /

дп дп

■ = У ип

(8)

Кроме того, на фронте пламени имеется скачок давления [6]

р1 / -р2/ =УР1 и2

(9)

Здесь и в дальнейшем давление среды в каждой из трех областей определяется полем скоростей среды и рассчитывается с помощью интеграла Бер-нулли и заданного значения параметра Р- х для невозмущенного пламенем течения.

Условия на пограничной линии тока g сводятся к отсутствию нормальной (к g) компоненты вектора скорости среды У

ng) = 0 (г = 1,2,3), (10)

скорость газа в г-ой области среды у произвольно выбранной точки на пограничной линии g;

где У

щ

ng — нормаль к g в данной точке. Кроме того, отсутствует скачок давления при пересечении этой линии

= ^ (11) вдоль контакта областей 1 и 3 среды;

P2g P3g

(12)

вдоль контакта областей 2 и 3 среды, где Р1& — давление г-ой области среды у выбранной для сравнения давлений точки пограничной линии.

Условия в области невозмущенного пламенем и продуктами горения однородного движения среды сводятся к следующему:

У1 — = Уз- = меу

(13)

где е

у

единичный вектор в направлении оси у; и — скорость движения среды, численно равная скорости распространения пламени по горючему слою.

Уравнение (5) с граничными условиями (6) - (12) и условием (13) на бесконечности представляет математическую формулировку поставленной задачи.

Решение задачи для горящего слоя

Решением уравнения (5) для областей 1 и 2 пространства с граничными условиями (6) и (8) является Ньютонов потенциал простого слоя [10]. При этом поле скоростей в данных областях среды моделируется полем скоростей газа из изотропных источников, равномерно покрывающих занятую пламенем поверхность. Объемная производительность источников на единице площади такой поверхности равна уип. Отметим, что аналогичный подход для моделирования движения замкнутых (не имеющих кромок) пламен по неограниченной смеси предлагался в работе [11].

Распространим выражение для поля скорости в областях 1 и 2 пространства на область 3. Тогда с учетом условия (13) поле скорости примет вид

У(г) = иеу + У (г),

(14)

где для плоского течения

У '(г) =

У ип 2п

г - г ,

г - г

/I

/\

г — радиус-вектор точки пространства вне пламени; интегрирование осуществляется по всей длине

линии, занятой пламенем; г

соответствен-

но радиус-вектор точки этой линии и элемент ее длины.

Вычисление параметров течения среды для пламени, занимающего на оси х интервал (3) при скорости набегающего потока среды (4), согласно условию (14) дает

И = Х 1п(Х +1)2 + у'2

ип 4п (X -1)2 + у2

^=1+1+^ ип 2 2п

^ х +1 ^ х -1 агС£ —— - агС£ ——

у

у

(15)

где х = х/И^; у = у/И/-; х, у — координаты точки пространства вне пламени. Функция тока у для поля течения (15) определяется выражением

¥

1+ У/ 2

■ = их +

У ип 2п

| агС^

-1

Х-х у

где Х — переменная интегрирования.

Положение пограничных линий определяется условиями:

, , ) = Г±и, если у'; < 0;

¥ х, у; ) = |± и(1 + у/2), если у; > 0,

где 4 = х;1И/; у; = у;/И1 •

Отсюда после несложных вычислений получаем выражение для расчета координат точек пограничных линий:

Г уЛ 1 + 1 2

х -1)+1

, х +1

(х; +1) агС^ —^—

х; -1 ; - (х; - 1)агС£-Ц--1п

у;

у;

(х; +1)2 + у;2

у; 2 (х; -1)2 + у2

; J

= ^ «ПЕ( У; X 2;

(16)

из которого следует касание этими линиями пламени в кромках и наличие указанных выше асимптотик этих линий при у; ^ ±—.

Решение уравнения (13) для поля течения среды, очевидно, удовлетворяет уравнению (5) и условиям (6) - (8), (10), (11) и (13). Проверим выполнение условия (9). Из интегралаБернулли, записанного для предельных точек линии тока, расположенной в инертном газе, следует, что

Р-» = Р+-. (17)

Запишем интеграл Бернулли для расположенных в областях 1 и 2 участков линии тока, пересекающей фронт пламени, используя точки у фронта пламени и на большом удалении от него:

1 / +Р1

ип2 + ГХ/ п и2

-= Р-- +Р1 —

Р2

Е2и2 +V

х/

= Р- +Р 2

IV,

2 / +Р 2"

где ¥х/ — тангенциальная компонента скорости газа у фронта пламени.

Здесь учтено, что нормальные к фронту компоненты скорости пламени в областях 1 и 2 составляют ип и Еип соответственно. Отсюда с учетом выражений (4), (14), (15) и (17) следует

Р / - Р2/ = УР1 ип2 + У3 (1 - В2 ) р 2ип2, (18)

где

вг=±1п/1: / 4я (х/ -1)2

Из соотношения (18) следует выполнение условия (9) с рассматриваемой здесь точностью (до у1) на всем пламени за исключением малой окрестности его кромки. Размер окрестности 8 получим из решения уравнения уВ/(х/) ~ 1 относительно х/ > 0 и оценки

8= И7 (1- х}) ~ 2И/ ехр(-2^у). (19)

Проверим выполнение условия (12). Выберем произвольную точку на пограничной линии ;, разделяющей области 2 и 3. Рассмотрим в области 2 на линии тока, прилегающей к ;, такой непрерывный участок, что одна из его крайних точек находится вблизи выбранной точки ;, а другая — на большом удалении от пламени. Запишем интеграл Бернулли для крайних точек этого участка:

Р2; + р2^;|2/2= + Р2|У2,-|2/2,

где Р2; и У;—соответственно давление в области 2 вблизи выбранной точки ; и скорость среды в данной точке на линии ; (в силу единообразия расчета поля скорости). Здесь учтено, что У2 - = иеу. Запись интеграла Бернулли для крайних точек подобного участка линии тока, прилегающей к той же пограничной линии со стороны области 3, имеет вид:

Р3; + Р3 IУ; 12/2 = Р-- + Рз IУз,-1 2/2,

где Р3; — давление в области 3 вблизи выбранной точки ;. Отсюда с учетом равенства Р3 = Р1 и соотношения (15) получим

Р2; - Р3; =УР 2

I У; I2 -и 2

2 2 О (1) + УВ2

= У 2Р 2 ип2--

2

2

где В; = — 1п(х; +1) + у; ;

; 4п (х; -1)2 + у;2'

0(1) — безразмерная величина порядка 1.

Отсюда следует выполнение условия (12) с рассматриваемой здесь точностью (до у1) вдоль всей границы областей 2 и 3 за исключением малой окрестности кромки пламени с размером порядка 8.

Нарушения условий (9) и (12) связаны с логарифмической расходимостью выражения (15) для

2

2

касательной к пламени скорости среды по мере приближения к кромке. Расходимость обусловлена расширением продуктов горения в пламени и, строго говоря, исключает стационарное решение задачи о распространении пламени с кромками в гидродинамическом приближении [12]. Здесь и в дальнейшем воспользуемся допущением в области кромок весьма малой толщины пламени, превышающей 8. Это допущение устраняет указанные нарушения условий (9) и (12) и позволяет отнести к стационарному решению рассмотренной двухмерной задачи о горении открытого слоя плоское пламя, форма которого, поле течения среды и положение границ течения инертного газа описываются соотношениями (3), (15) и (16) соответственно.

хностях, занимаемых пламенем с задержкой Аг по времени.

Условие (7) можно представить в виде ПуАгу= = (У уПу + ип )Аг, откуда, с учетом соотношения (20), приходим к записи искомого уравнения

дО/дг + (У1уУу)О + ип у | = 0. (21)

Начальным условием для решения уравнения (21) является возмущенная форма пламени в начальный момент времени. В нашем случае из явного описания пламени в виде уу=уу (ху, г) следует представление О = уу(ху, г) - уу и следующая запись уравнения (21)

дуу/дг = Уупу - ип, (22)

Исследование устойчивости плоского пламени к длинноволновому возмущению

Рассмотрим малое однородное искривление пламени (с постоянным радиусом кривизны Я >> Ну), при котором пламя становится выпуклым в смесь без изменения размера по оси х и без нарушения зеркальной симметрии двухмерной задачи при отражении в плоскости у = 0. Оценим изменение Я со временем.

Будем считать отклонения параметров задачи от стационарных значений достаточно малыми, чтобы последующее изменение параметров было медленным и стало возможным пренебречь затухающими со временем компонентами точного решения. С принятой здесь точностью (до у1) не меняются размер пламени (3) по оси х и скорость движения среды (4) на бесконечности. Возмущенное поле скоростей среды в каждый момент времени описывается выражением (14). Положение пограничных линий тока g определяется решением уравнения dyg/dxg = Уу/V для каждого момента времени с граничным условием касания данными линиями поверхности пламени в кромках. Проверка выполнения соотношений (5)-(13) аналогична приведенной выше за тем исключением, что скорость пламени Ууп в формуле (7) будет отлична от нуля и определит эволюцию пламени со временем. Запишем уравнение эволюции пламени.

Пусть положение пламени в текущий момент времени г совпадает с поверхностью, описываемой соотношением О (ху, уу, г) = 0, где О—дифференцируе-мая функция, знак которой выбран так, чтобы вектор единичной нормали к пламени Пу = \уО/\\уО | был направлен в смесь. Здесь \у = (д/дху, д/дуу). Дифференцирование О дает

Агу \уО + Аг (дО/дг) = 0,

(20)

где ёгу — вектор, связывающий две близкие точки пространства, расположенные на разных повер-

где У1у = У(ху, уу - 0, г); величина У рассчитывается по выражению (14).

Соотношение (22) учитывает малость кривизны пламени, позволяющей также записать:

Я =

'д2- 4-1

уу

дх 1

дЯ =_Я2 Э_ дг дх 2

2 'ду

дг

Уупу = и

2

1 -

2Я'

+ У1 упу,

откуда с учетом уравнения (22) следует

д2(У1 уП у)

дЯ р 2

— = и _ Я дг

'1 у п у-дх 2

(23)

где У1 у п у совпадает с проекцией вектора У вблизи пламени на нормаль к пламени. В нашем случае искривленное длинноволновым возмущением пламя представляет сегмент бесконечной (вдоль оси 2) цилиндрической поверхности. Можно показать, что для такого пламени величина У1 у п у не зави-

сит от ху:

У1 у п у =_

2

1 +

пЯ

и второе слагаемое в правой части уравнения (23) обращается в 0. Таким образом, с учетом выражения (4) имеет место соотношение

АЯ Аг

г УЛ 1 + 1

(24)

Запишем это уравнение, используя переменные работы [3]: аналог волнового числа периодического возмущения к = 2п/(2Ну) и амплитуду возмущения пламени А = (п/к)2/Я. В новых переменных уравнение (24) примет вид:

АА

Аг

^ + 2ипк <

А2

(25)

и

п '

2

п

Из сопоставления с уравнением (1) видно, что в выражении (25) отсутствует слагаемое, отвечающее за проявление эффекта гидродинамической неустойчивости пламени. Нелинейные слагаемые с учетом формулы (2) совпадают и в соответствии с соотношением (24) описывают стабилизирующий эффект, аналогичный выпрямлению ограниченных условием | х^| < Х/2 сегментов цилиндрического пламени при распространении последнего от оси г в неограниченной смеси.

Таким образом, решение задачи, отвечающее плоскому пламени (А = 0), устойчиво к рассмотренному длинноволновому возмущению. Заметим, что отсутствие линейного слагаемого в уравнении (25) обусловлено типом искривления пламени (куском параболы). Можно показать, что при искривлении плоской полоски пламени (3) более коротковолновым возмущением вида

/ \

У/

пх

соэ-

/

Н

+ 1

/

(26)

где 0 < А << Н/, коэффициент при А1 в феноменологическом уравнении, определяющем изменение амплитуды возмущения во времени, составит ~ 0,6^. Однако этот коэффициент не будет постоянным. По окончании линейной стадии развития возмущения данный коэффициент устремится к нулю, а пламя трансформируется к "кусочку параболы" и в дальнейшем выпрямится.

Решение задачи для горящей смеси цилиндрической формы

Применим использованный выше метод для решения задачи о движении стационарного гладкого осесимметричного пламени по открытой однородной смеси, имевшей до зажигания форму бесконечного цилиндра диаметром 2Н. Выберем движущуюся с пламенем прямоугольную систему координат, в которой начало координат принадлежит фронту пламени, параметры задачи не зависят от угла вращения вокруг оси У, направление движения невозмущенной пламенем среды совпадает с направлением оси у. Сохраним ранее введенные обозначения и выбор координатной плоскости (х, У ), в которой производится анализ параметров задачи.

Можно отметить справедливость описания (14) для поля скорости среды после перехода к представлению V' в следующей форме:

V '(г) = ^ | 2п 1

г - г /

г - г

/\

где интегрирование осуществляется по всей площади 3 поверхности, занятой пламенем. Плоское пламя, очевидно, является стационарным решением задачи. Его скорость определяется выражени-

ем (4). Диаметр занимаемого пламенем 2Н/ круга, как и установившийся диаметр области продуктов горения 2Н2 ^ можно найти из условий сохранения объемных потоков газа в характерных сечениях (вблизи пламени по обе его стороны и на большом удалении от него) трубки тока, охватывающей смесь и продукты горения:

к2и = к/ип;

к 2 и + ук/ип = и,

откуда с рассматриваемой здесь точностью (до у1) следует

кг = (1 + у/4) к; к2, = (1 + у/ 2) к.

Рассмотрим малое однородное искривление пламени (с постоянным радиусом кривизны Я >> к), при котором пламя становится выпуклым в смесь без изменения размера по оси х и без нарушения симметрии вращения вокруг оси у = 0. Оценим изменение Я со временем. Пламя представляет ограниченный сегмент сферической поверхности. Для пламени такой формы V'/ п / зависит от расстояния до оси у:

Vп / =-

+ о

1 п I-

1 +-^к/ - х/ эт(а) Аа +

тип 1 + 1

2 2пЯ

V

к/ 1 ~1ип

Я 2

к/

1 + -/- -

2 х 2

2Я 8Як

/

(27)

(о — бесконечно малая величина по сравнению с отношением к//Я).

Разложение V'/п / в ряд ограничено членом х 2/ , достаточным для аппроксимации формы пламени сегментом сферической поверхности и сопоставления с результатом работы [3]. Из выражений (4), (23) и (27) следует

АЯ

(28)

В переменных работы [3] данное уравнение примет вид:

2

АА=_1 ш -

Аг 4п

^ + у^ 2иД2

2

п

2

А

2

(29)

Из сопоставления данного уравнения с выражением (1) видно совпадение с учетом соотношения (2) нелинейных слагаемых, что вполне понятно из описываемого ими стабилизирующего эффекта, аналогичного выпрямлению ограниченных условием х/ + У/ < 2)2 сегментов сферического пламени при распространении последнего от начала координат в неограниченной смеси. В то же время линейное слагаемое в правой части равенства (29), отвечающее за проявление эффекта гидродинами-

ип.

ческой неустойчивости пламени и амплитуду стационарного искривления пламени, меньше приведенного автором работы [3] в 4п (~ 12,5) раза. Заметим, что малая величина линейного слагаемого в выражении (29) обусловлена типом искривления пламени. Можно показать, что при искривлении плоского пламени (с формой круга) более коротковолновым возмущением вида (26) коэффициент при А1 в феноменологическом уравнении, определяющем изменение амплитуды возмущения во времени, возрастет до ~ 0,750, однако будет зависеть от времени, снижаясь до (4п)-1 по аналогии с рассмотренным выше случаем искривления плоского пламени в слое.

Уравнение (29) имеет два стационарных решения, при которых его правая часть обращается в 0. Первое решение А = 0 отвечает плоскому пламени (в форме круга), которое неустойчиво к рассмотренному здесь длинноволновому искривлению. Устойчивое решение отвечает выпуклому в смесь пламени с амплитудой по оси у, равной А = пу/ 16к.

Выводы

В гидродинамическом приближении получено решение двухмерной задачи о стационарном движении гладкого пламени в открытой однородной горючей смеси, имеющей до зажигания форму слоя или цилиндра и помещенной в пространство с

инертным газом той же плотности. Решение получено с точностью до первого порядка разложения величин по малому параметру задачи (относительному превышению плотности смеси над плотностью продуктов горения). Показано, что решению задачи с горящим слоем отвечает плоское пламя, устойчивое к искривлению, делающему его выпуклым в смесь (участком параболы). Последнее обстоятельство исключает возможность описания возмущения такого фронта в рамках феноменологической теории Я. Б. Зельдовича [3]. Решениям подобной задачи для смеси цилиндрической формы отвечают неустойчивый к длинноволновому искривлению плоский фронт пламени (в форме круга) и выпуклый в смесь устойчивый фронт в виде сегмента сферической поверхности. Описания возмущения такого фронта в рамках упомянутой теории возможно при существенном ослаблении в 4п (~ 12,5) раза линейного слагаемого, отвечающего за проявление эффекта гидродинамической неустойчивости пламени.

Несмотря на безусловную пользу феноменологических теорий для формирования представлений о деформации пламени на нелинейной стадии развития искривления плоского фронта горения, из-за сложности данного процесса даже его качественную теорию целесообразно основывать на точном решении соответствующих задач.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ландау Л. Д. Ктеории медленного горения // ЖЭТФ. 1944. Т. 14. № 6. С. 240-244.

2. Нестационарное распространение пламени // Под ред. Дж. Г. Маркштейна. — М.: Мир, 1968.

3. Зельдович Я. Б. Об одном эффекте, стабилизирующем искривленный фронт ламинарного пламени // ПМТФ. 1966. № 1.С. 102-104.

4. Жданов С. К., Трубников Б. А. Нелинейная теория неустойчивости фронта пламени //ЖЭТФ. 1989. Т.95. С. 114-121.

5. Полетаев А. Н., Полетаев Н. Л. К объяснению гидродинамической неустойчивости неограниченного плоского пламени // Материалы XIII Симпозиума по горению и взрыву. — Черноголовка, 2005. С.18.

6. Joulin G. On the Zhdanov-Trubnikov equation for premixed flame instability // ЖЭТФ. 1991. Т. 100. Вып. 2(8). С. 428-432.

7. Zel'dovich Ya. В., Istratov A. G., Kidin N. I., Librovich V. В. Flame propagation in tubes: hydrodynamics and stability // Comb. Sci. Tech. 1980. V. 24. P. 1-13.

8. Зельдович Я. Б., Баренблатт Г. И., Либрович В. Б., Махвиладзе Г. М. Математическая теория горения и взрыва. — М.: Наука, 1980. — 478 с.

9. Полетаев А. Н., Полетаев Н. Л. Моделирование распространения гладкого пламени в открытой однородной газообразной горючей смеси // Пожаровзрывобезопасность. 2004. Т. 13. № 5. С. 9-14.

10. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971.

11. Frankel М. L. An equation of surface dynamics modeling flame fronts as density discontinuities in potentialflows // Phys. FluidsA. 1990.V. 2. № 10. P. 1879-1883.

12. Полетаев А. Н. О нестационарности пламени с изломом поверхности // Материалы XIII Симпозиума по горению и взрыву. — Черноголовка, 2005. С. 20.

Поступила в редакцию 16.02.05.