Дефект инвариантности множеств относительно дифференциального включения Текст научной статьи по специальности «Математика»

С помощью этой СМО исследуется процесс изменения численности женского населения. При этом подразумевается следующее: обслуживаемая заявка — женщина, время обслуживания заявки — продолжительность жизни этой женщины, фаза — стохастический эквивалент возраста женщины, функция bi(t) — интенсивность рождения девочек у женщины i -й фазы жизни в году t. Входящим потоком заявок является процесс рождаемости девочек, т. е. последовательность моментов рождения девочек от всей совокупности женщин.

ЛИТЕРАТУРА

1. Староверов О.В. Азы математической демографиию. М.: Наука, 1967.

2. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. М.: Эдитория УРСС, 2001.

3. Белавин В.А., Капица С.П., Курдюмов С.П. Математическая модель демографических процессов с учетом пространственного распределения // Вычислительная математика и математическая физика. 1988. Т. 38. № 6. С. 885-902.

4. Белавин В.А., Курдюмов С.П. Режимы с обострением в демографической системе. Сценарий усиления нелинейности // Вычислительная математика и математическая физика. 2000. Т. 40. № 2. С. 238-251.

5. Назаров А.А., Носова М.Г. Математическая модель процесса изменения демографической ситуации и ее исследование // Доклады ТУСУРа. 2009. № 2 (20).

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Tyrygina G.A. About approaches to mathematical description of demographic processes. It is known that socio-economic planning requires well-grounded demographic prognostication. The latter may be effected through the use of mathematical modeling method. The present paper gives a brief overview of some mathematical model employed in demographic prognostication.

Key words: demographic situation; prognostication, model.

Тырыгина Галина Алексеевна, Тольяттинский государственный университет, Тольятти, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, заведующий секцией, e-mail: tygalex@yandex.ru.

УДК 517.977

ДЕФЕКТ ИНВАРИАНТНОСТИ МНОЖЕСТВ ОТНОСИТЕЛЬНО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ

© В.Н. Ушаков, А.А. Зимовец

Ключевые слова: управляемая система; дифференциальное включение; инвариантность; дефект инвариантности.

Рассматривается дифференциальное включение, порожденное управляемой системой на конечном промежутке времени. Используется свойство инвариантности множеств, содержащихся в пространстве позиций системы, относительно дифференциального включения. Введено понятие дефекта инвариантности относительно дифференциального включения для множества, не обладающего свойством инвариантности.

Статья посвящена исследованию свойства инвариантности множеств относительно дифференциального включения. Исследование свойства инвариантности в различных его вариантах - одна из ключевых тем теории управления. Свойство инвариантности тесно связано с понятиями множеств достижимости и интегральных воронок управляемых систем и дифференциальных включений. Свойство инвариантности находится в тесной связи со свойством слабой инвариантности и, следовательно, с весьма распространенными задачами о наведении управляемой системы на целевое множество.

Считаем возможным несколько расширить понятие инвариантности в связи с рассмотрением в пространстве позиций динамической системы не только инвариантных множеств, но и множеств, не обладающих свойством инвариантности. Для осуществления такого расширения оказалось удобным применение инфинитезимальных представлений свойства инвариантности; эти представления выражены в виде производных множеств многозначных отображений. Суть расширения заключается в том, что для заданного замкнутого множества в пространстве позиций динамической системы вводится некоторая числовая характеристика — неотрицательная функция, заданная на границе этого множества. Эта функция оценивает степень несогласованности множества и динамики системы с точки зрения понятия инвариантности.

Данная тема статьи примыкает к исследованиям М].

ЛИТЕРАТУРА

1. Куржанекий А.Б. Принцип сравнения для уравнений типа Гамильтона-Якоби в теории управления // Тр. ИММ УрО РАН. 2006. Т. 12. № 1. С. 173-183.

2. Ушаков В.Н., Малев А.Г. К вопросу о дефекте стабильности множеств в игровой задаче о сближении // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 1. С. 199-222.

3. Guseinov H.G., Subbotin A.I., Ushakov V.N. Derivatives for Multivalued Mappings with Applications to Game-Theoretical Problems of Control // Problems Control Inform. Theory. 1985. V. 14. № 6. P. 405-419.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований № 11 01 00427 а, Программы Президиума РАН «Фундаментальные проблемы нелинейной динамики» (проект 09—П—1—1007), регионального гранта РФФИ/ПСО № 10-01-96006-р_урал_а.

Ushakov V.N., Zimovets A.A. Invariance defect of sets with respect to differential inclusion. Differential inclusion generated by the controled system on a finite time interval is considered. Invariance of sets with respect to differential inclusion is used. Invariance defect of the noninvariant set with respect to differential inclusion is introduced.

Key words: controlled system; differential inclusion; invariance; invariance defect.

Ушаков Владимир Николаевич, Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом, e-mail: ushak@imm.uran.ru.

Зимовец Артем Анатольевич, Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург, Российская Федерация, аспирант, e-mail: aazimovets@gmail.com.