Оценка дефекта стабильности деформации множества позиционного поглощения в дифференциальной игре сближения-уклонения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977

ОЦЕНКА ДЕФЕКТА СТАБИЛЬНОСТИ ДЕФОРМАЦИИ МНОЖЕСТВА ПОЗИЦИОННОГО ПОГЛОЩЕНИЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЕ

СБЛИЖЕНИЯ-УКЛОНЕНИЯ

© В.Н. Ушаков, А.А. Успенский, А.А Зимовец

Ключевые слова: дифференциальная игра; уравнение типа Гамильтона-Якоби; свойство стабильности; дискриминант.

Изучаются деформации множества позиционного поглощения в дифференциальной игре сближения-уклонения с замкнутой целью на конечном промежутке времени. Приводится оценка сверху дефекта стабильности деформации, полученной в результате дискриминантных преобразований границы множества позиционного поглощения.

Рассматривается дифференциальная игра сближения-уклонения с замкнутой целью на конечном промежутке времени. Основным элементом конструкции, доставляющей решение игры, выступает множество позиционного поглощения [1]. Известно, что в общем случае оно имеет негладкую границу. С целью улучшения дифференциальных свойств границы указанное множество деформируется (и тем самым регуляризуется) с помощью дискриминантных преобразований с коэффициентом р > 0. Изучается вопрос о дефекте стабильности вновь построенного множества, мотивированный намерением использовать эту деформацию для решения игры в «мягкой» постановке. Под «мягкой» постановкой понимается такая постановка задачи о сближении (в рамках игры), которая предполагает не точное попадание движения конфликтно-управляемой системы на целевое множество, а приведение движения в некоторую его окрестность.

Изучаемая проблема тесно связана со свойствами сопутствующего дифференциальной игре минимаксного решения для уравнения типа Гамильтона-Якоби

д + н (г,х, У р) = 0.

Здесь £ € С М, фазовый вектор х € К2, функция р: [£о, $] х М2 — М,

У р = ^дх , дх ) градиент, Н(£, х, У р): [£о, ^] х М2 х М2 I—— М гамильтониан динами-

ческой системы. На гамильтониан накладываются условия, обеспечивающие существование минимаксного решения задачи Коши при заданной краевой функции на правом конце отрезка [Ь0,$] [2].

Пусть (£, у) € [£о, $] х М2 — точка, в которой локально определенное решение уравнения р{0)(г,у) = 0 с кусочно-гладкой правой частью дифференцируемо. Величину

к(г,у)= Ур[0)(г,у) ^(г,у) + н (г,х,ур(0)(г,у)"^

будем называть [3, 4] индексом стабильности решения уравнения в указанной точке. Содержательно индекс стабильности — это числовая величина, характеризующая в зависимости от своего знака и модуля локальную меру стабильности или же нестабильности решения Л уравнения р(0)(г,у) = 0 в точке рассмотрения.

В дальнейшем полагаем, что решение Л уравнения р((0'){Ь,у) = 0 допускает кусочногладкую параметризацию вида (£,х) = (т, а(т,1),Ь(т,1)), т € [т\,т2] С М, £ € ^о,^] С М.

С точки зрения геометрии Л является кусочно-гладкой поверхностью, склеенной непрерывно по времени t G [to,^] из замкнутых кривых Г* = {x = (a(r,i),b(r,t)): т G ,

параметризованных посредством т G [т\,т2]-

Л

нения Гамильтона-Якоби, параметр р гладкой регуляризации этой поверхности подчинен неравенству

inf {1 + рх(т, t): (т, t) G [т1,т2] х [to, Щ} > 0,

где х = х(т,t) — кривизна кривой Г* в точке x = (а(т,^),Ь(т,^)) , то индекс стабильности k(t, у) деформации множество позиционного поглощения, вычисленный в точке (t,y) = (t,x + р ||V p(0\t,y)\\-1 p(0\t,y)^) , где (t, x) = (t, a (т, t),Ь(т, t)) — точка гладкости Л,

k(t,y) < (1 + РХ)Р^и.

Здесь \h — константа Липшица гамильтониана по фазовой переменной.

Полученная оценка означает, что дискриминантные преобразования при малом пара-р

сближения в «мягкой» постановке.

Результаты исследования иллюстрируются на примере известной дифференциальной игры.

ЛИТЕРАТУРА

1. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

2. Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. Москва; Ижевск: Институт компьютерных технологий, 2003. 336 с.

3. Ушаков В.Н., Малёв А.Г. К вопросу о дефекте стабильности в игровой задаче о сближении // Труды Института математики и механики. 2010. Т. 16. № 1. С. 199-222.

4. Ушаков В.Н., Успенский А.А. Об одном дополнении к свойству стабильности в дифференциальных играх // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. 2010. Т. 271. С. 299-318.

5. Ушаков В.Н., Успенский А.А., Малёв А.Г. Оценка дефекта стабильности множества позиционного поглощения, подвергнутого дискриминантным преобразованиям // Труды ИММ УрО РАН. 2011 (принята к печати).

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований № 11-01-00427-а, гранта Президента РФ по поддержке ведущих научных школ № НШ-64508.2010.1 и регионального гранта РФФИ/ПСО № 10-01-96006-р_урал_а.

Ushakov V.N., Uspenskiy A.A., Zimovets A.A. Estimate of the stability defect for a set subjected to discriminant transformations in differential game of approaching and deviation. Deformation of positional absorption set in differential game of approaching and deviation with closed target set on the finite interval is studied. Upper approximation of the stability defect for the positional absorption set subjected to discriminant transformations.

Key words: differential game; Hamilton-Jacobi type equation; stability property; Hamiltonian.

Ушаков Владимир Николаевич, Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом, e-mail: ushak@imm.uran.ru.

Успенский Александр Александрович, Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: uspen@imm.uran.ru.

Зимовец Артем Анатольевич, Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург, Российская Федерация, аспирант, e-mail: aazimovets@gmail.com.

УДК 517.911.5

ПРИНЦИП КВАЗИИНВАРИАНТНОСТИ ДЛЯ НЕАВТОНОМНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

© И. А. Финогенко

Ключевые слова: функционально дифференциальное включение, функционал Ляпунова, квазиинвариантное множество, принцип инвариантности.

Для неавтономных функционально-дифференциальных включений устанавливается свойство квазиинвариантности ш -предельных множеств и аналог принципа инвариантности Ла-Салля с использованием функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной.

Пусть Кп — п-мерное векторное пространство с нормой || • || , т > 0 — произвольное вещественное число, Ст — пространство всех непрерывных функций ф() , определенных на отрезке [—т, 0] и то значения ми в Кп , с обычной вир-нормой ||ф(-) ||с ■ Для непрерывной функции х : [а — т, в) — Кп функция х^) € Ст определяется равенством х^в) = х(Ь + в) , —т ^ в ^ 0. Рассматривается функционально-дифференциальное включение:

х € ¥(Ь,хг(-)), (1)

где ¥ : К1 х Ст — Яп — многозначное отображение, относительно которого сделаем следующие предположения.

А1. Для каждых (Ь, ф() множество ¥(Ь,ф() непусто, выпукло и компактно.

А2. Многозначное отображение ¥(Ь, ф() полунепрерывно сверху по переменной ф(^) равномерно относительно Ь.

АЗ. Для любой функции ф(^) многозначное отображение ¥(•, ф(•)) имеет измеримый селектор.

А4. Для всех (Ь,ф(^)), / € ¥(Ь, ф() выполняется неравенство: ||/1| ^ Ь(1 + ||ф(0||с) с некоторой константой Ь > 0 .

Через ¥а(Ь, ф() обозначается сдвиг многозначного отображения ¥(Ь,ф() на величину а > 0 , определенный равенством ¥а(Ь, ф(^)) = ¥(Ь + а, ф(^)) • Предельное многозначное отображение относительно последовательности Ьп — определяется равенством

¥'(Ь, ф() = Пп>1ёо ик>п ¥(Ь + гк, ф(•)).

(Здесь со — знак выпуклой замкнутой оболочки множества). В дальнейшем рассматриваются также функционально-дифференциальные включения

х € ¥'(Ь,ф(^)). (2)

Будем говорить, что множество О С Ст квазиинвариантно относительно включения (1), если для любой функции ф() € О существует решение у(Ь) включения (2) с некоторорым