Принцип квазиинвариантности для неавтономных функционально-дифференциальных включений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Зимовец Артем Анатольевич, Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург, Российская Федерация, аспирант, e-mail: [email protected].

УДК 517.911.5

ПРИНЦИП КВАЗИИНВАРИАНТНОСТИ ДЛЯ НЕАВТОНОМНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

© И. А. Финогенко

Ключевые слова: функционально дифференциальное включение, функционал Ляпунова, квазиинвариантное множество, принцип инвариантности.

Для неавтономных функционально-дифференциальных включений устанавливается свойство квазиинвариантности ш -предельных множеств и аналог принципа инвариантности Да-Салля с использованием функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной.

Пусть Кп — п-мерное векторное пространство с нормой || • || , т > 0 — произвольное вещественное число, Ст — пространство всех непрерывных функций ф() , определенных на отрезке [-т, 0] и то значения ми в Кп , с обычной вир-нормой ||ф(-) ||с ■ Для непрерывной функции х : [а — т,в) ^ Кп функцпя х^) € Ст определяется равенством х^0) = х(Ь + 0) ,

—т ^ 0 ^ 0. Рассматривается функционально-дифференциальное включение:

X € ¥(г,хг()), (1)

где ¥ : К1 х Ст ^ Яп — многозначное отображение, относительно которого сделаем следующие предположения.

А1. Для каждых (Ь, ф() множество ¥(Ь,ф(•)) непусто, выпукло и компактно.

А2. Многозначное отображение ¥(Ь, ф() полунепрерывно сверху по переменной ф(^) равномерно относительно Ь.

АЗ. Для любой функции ф(^) многозначное отображение ¥(•, ф(•)) имеет измеримый селектор.

А4. Для всех (Ь,ф(^)), / € ¥(Ь, ф() выполняется неравенство: ||/1| ^ Ь(1 + ||ф(0||с) с некоторой константой Ь > 0 .

Через ¥а(Ь, ф() обозначается сдвиг многозначного отображения ¥(Ь,ф() на величину а > 0 , определенный равенством ¥а(Ь, ф(^)) = ¥(Ь + а, ф(^)) • Предельное многозначное отображение относительно последовательности Ьп ^ определяется равенством

¥'(Ь, ф() = Пп>10О ик>п ¥(Ь + гк, ф(•)).

(Здесь со — знак выпуклой замкнутой оболочки множества). В дальнейшем рассматриваются также функционально-дифференциальные включения

х € ¥'(Ь,ф(^)). (2)

Будем говорить, что множество О С Ст квазиинвариантно относительно включения (1), если для любой функции ф() € О существует решение у(Ь) включения (2) с некоторорым

предельным многозначным отображением ¥'(Ь, ф() в правой части, такое, что уо(•) = ф() и уь() € О для всех Ь ^ 0 .

Л е м м а 1. При выполнении условий А1 — А4 ш -предельное множест,во Л+(х) любого ограниченного решения х(Ь) включения (1) непусто, компактно, связно, квазиинвариантно и й(хгО, Л+(х)) ^ 0 щи Ь ^ , где (I означает, расстояние от, точки до

Ст

Теорема 1. Пусть выполняются условия А1 — А4, х() — ограниченное решение включения (1) с ш -предельным множеством Л+(х) . Предположим следующее.

1. [1] V(Ь,х,ф()), ограниченный снизу и равномерно от,носит,ел,ьно переменной Ь непрерывный по переменным (х,ф()) на, каждом множестве вида К1 х К[0] х К, где К С Ст — компактное множество, К[0] = {ф(0) : ф( ) € К} .

2. Существует ограниченный и равномерно по совокупности аргументов непрерывный на, каждом множестве вида К1 х К функционал 1ш(Ь,ф() ^ 0, такой что для всех (Ь,ф(•)) € К1 х Ст выполняется неравенство:

^ + (Ь,ф() < —w(Ь,ф(•)),

где V + — верхняя правая производная функционала V в силу включения (1) в точке (Ь,ф(0),ф() .

Тогда для каждой функции ф() € Л+(х) существуют предельные отображения V', ,ш', ¥' (соответствующие одной и той же последовательности Ьп ^ +го) и решение у(•) включения (1) с начальной функцией у0 = ф() такое, что выполняются соотношения:

уг() € Л+ (х), V'(Ь,y(Ь),yt(•)) = с, ■ш/(Ь,уг() = 0

для всех Ь ^ 0, где с — некоторая константа, одна и та же для всех функций ф(^) € Л+(х) .

Следствие1 .В условиях теоремы 1 для любого ограниченного решения х() включения (1) множество Л+ (х) принадлежит наибольшему квазиинвариантному множеству из пересечения множеств

Еу = {ф(^) : V*(0,ф(0),ф(•)) = с}, Ет = ф) : -ш*(0,ф(^)) = 0},

где V*(Ь,х,ф(•)) = Нша^+те V(Ь + а,х,ф() , 1ш*(Ь,ф(^)) = Иша^+те w(Ь + а,ф(•)) . При этом все предельные многозначные отображения ¥’(Ь,ф()) в правой части включения (2) могут быть заменены на наибольшее по включению предельное многозначное отображение ¥*(Ь, ф(•)) = Пь>осо иа>ь ¥(Ь + а, ф(•)) .

В заключение укажем на обзорную статью [2], где изложены результаты и методы исследования проблемы инвариантности для неавтономных функционально-дифференциальных уравнений х = /(Ь,х^)) ■

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ким А.В. ¡-гладкий анализ и функционально-дифференциальные уравнения. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1996. 233 с.

2. Андреев А.С. Метод функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. // Автоматика и телемеханика. 2009. № 9. С.4-55.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана СО РАН, междисциплинарный проект № 107 и Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 10-01-00132).

Finogenko I.A. Principle of quasiinvariance for nonautonomous functional-differential inclusions. For nonautonomous functional-differential inclusions property of quasiinvariance for и -limiting sets and analogue of a principle of invariancy La-Salle by use of Lyapunov functional with constant sign derivative is established.

Key words: functional differential inclusion; Lyapunov functional; quasiinvariant set; a principle of invariancy; asymptotic stability.

Финогенко Иван Анатольевич, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, г. Иркутск, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией, e-mail: [email protected].

УДК 519.853

МЕТОДЫ НЕВЫПУКЛОЙ ОПТИМИЗАЦИИ С НЕЛИНЕЙНЫМИ

ОПОРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

© О.В. Хамисов

Ключевые слова: опорная функция; касательная опорная функция; недифференцируемая оптимизация.

Для минимизации невыпуклой недифференцируемой функции на выпуклом компактном множестве предлагается и обосновывается итерационная процедура, на каждой шаге которой решается вспомогательная задача выпуклого программирования.

Пусть даны множество X С Мп и функция / : X ^ М.

/

функцию-миноранту и выпуклую опорную функцию-мажоранту на множестве X, если существуют функции ф : Мп х X ^ М и ф : Мп х X ^ М такие, что

1) ф(^,у) непрерывна и вогнута;

2) ф(^,у) непрерывна и выпукла;

3) ф(х,у) < /(х) < ф(х,у) У(х, у) € X х X;

4) ф(у,у) = /(у) = ф(у,у) уу € х:.

Функцию ф будем называть опорной функцией-минорантой, а функцию <р — опорной функцией-мажорантой.

Теорема 1. Пусть / и /^, г = 1,... ,т, т > 1 удовлетворяют определению 1, X -

т

- компактное множество и /(х) > 0 Ух € X. Тогда функции в(х) = ^ Х^/Жх), Х € М),

г=1

Р(х) = /1(х) • /2(х) • ... • /т(х) и г(х) = у-Х) также удовлетворяют определению 1. Доказательство теоремы 1 приведено в [1].

/ 1. функцию-мажоранту <р будем называть выпуклой касательной функцией-мажорантой, есЛИ

ф(х,у) — / (х) = М\\х — y||),