Дальний безымпульсный турбулентный след в пассивно стратифицированной среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вычислительные технологии

Том 8, № 3, 2003

__ __ U __ _ __ _ U __ ____________ U

ДАЛЬНИМ БЕЗЫМПУЛЬСНЫИ ТУРБУЛЕНТНЫЙ СЛЕД В ПАССИВНО СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ СРЕДЕ*

О. Ф. ВОРОПАЕВА Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск, Россия

e-mail: vorop@lchd.ict.nsc.ru

The numerical simulation of the far momentumless turbulent wake behind a body of revolution in passively stratified medium is carried out using the application of the modern semi-empirical turbulence models of the second order. The numerical analysis of self-similarity decay of the characteristics including the second-order moments with the turbulent fluctuations of density field is fulfilled.

Безымпульсный турбулентный след в пассивно стратифицированной среде представляет собой модельный случай спутного течения в жидкости с активной стратификацией, когда не учитывается действие силы тяжести. Интерес к задаче в такой постановке связан с тем, что она имеет автомодельное решение, дающее представление о турбулентном перемешивании в следе за самодвижущимся телом в стратифицированной среде.

Гидродинамические характеристики собственно турбулентного следа, развивающегося как в однородной жидкости, достаточно хорошо изучены. В [1] содержатся подробная библиография и результаты анализа автомодельного вырождения дальнего безымпульсного турбулентного следа за удлиненным телом вращения, основанного на данных численных расчетов.

Спутное течение в пассивно стратифицированной среде исследовалось численно в работах [2-5]. В [2-4] турбулентный след представлялся как плоская локальная турбули-зованная область в жидкости с линейным распределением плотности по глубине. В [2] для расчетов использовалась простейшая е-модель, в [3] — модель с дифференциальными уравнениями для нормальных напряжений Рейнольдса; для турбулентных потоков привлекались простые градиентные гипотезы. В этих работах указывалось, что в рассмотренной постановке при линейном распределении плотности невозмущенной жидкости осредненное уравнение неразрывности имеет автомодельное решение, описывающее трансформацию профиля плотности под влиянием точечного источника турбулентности. При этом конкретный вид автомодельного решения определялся из численного решения задачи. В [4] расчеты проводились на основе иерархии полуэмпирических моделей — от (е — е)-модели с градиентными аппроксимациями турбулентных потоков до модели с дифференциальными уравнениями для всех вторых одноточечных корреляционных моментов. Было установлено, что характеристики течения слабо зависят от применяемой модели.

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 01-01-00783 и СО РАН, интеграционный проект 2000-1.

© О. Ф. Воропаева, 2003.

В [5] рассматривался турбулентный след с ненулевым избыточным импульсом. Для расчетов привлекалась модифицированная (е — е)-модель. Все алгебраические гипотезы для вторых моментов в этой модели представляют собой локально-равновесное усечение соответствующих дифференциальных уравнений. В работах [2-5] показано, что турбулентная диффузия приводит к неполному перемешиванию жидкости: в турбулизованной области среда остается неоднородной со стратификацией, отличной от стратификации окружающей среды. Этот факт имеет значение, в частности, для оценки параметров генерируемых турбулентным следом внутренних волн в стратифицированной среде.

Из анализа упомянутой литературы следует, что подробное исследование автомодельности переменных задачи, связанных с турбулентными флуктуациями поля плотности, проводилось лишь в модельном приближении плоской локальной турбулизованной области. Отсутствуют данные об особенностях и законах изменения вторых одноточечных корреляционных моментов, включающих турбулентные пульсации поля плотности, в дальнем безымпульсном турбулентным следе. Для описания турбулентных потоков и дисперсии флуктуаций плотности до сих привлекались классические уравнения и аппроксимации. Вопрос о применимости более совершенных моделей остается открытым. Данная работа посвящена исследованию этих проблем.

1. Постановка задачи

Основные уравнения. Система уравнений, описывающих турбулентное течение в следе в пассивно стратифицированной среде, включает в себя осредненные уравнения движения и неразрывности в приближении дальнего следа:

тт dUd д ! \ + д / \ m

r/“aT = sy<uv) + dZ<uw)' (1)

до д , . д .

и“ дХ = — дУ <vp) — Tz <wp)' (2)

Здесь и ниже приняты следующие обозначения: u = ui, v = v2, w = u3 — пульсаци-онные составляющие компонент скорости в направлении осей x = x1, y = x2, z = x3; U = Ui, V = U2, W = U3 — соответствующие компоненты скорости осредненного движения; о — осредненная плотность жидкости; р — пульсационная составляющая плотности, g1 = о — gs — дефект осредненной плотности, где gs = Qs(z) — плотность невозмущенной жидкости, dgs/dz = —ago, a = const > 0, g0 = gs(0). Система координат связана с движущимся телом так, что скорость его движения равна — U^, ось z направлена вертикально вверх; Ud = U^ — U — дефект продольной компоненты скорости. Скобки < ) означают осреднение. В правых частях уравнений (1), (2) слагаемые с сомножителями в виде коэффициентов ламинарной вязкости и диффузии, а также производные по маршевой переменной x опущены как малые. Плотность жидкости считается линейной функцией температуры, стратификация предполагается слабой, устойчивой. Поскольку стратификация пассивная, это означает отсутствие влияния силы тяжести на развитие турбулентного следа (д = 0) и отсутствие порождаемого следом конвективного течения (V = W = 0).

Модели турбулентного течения. Для замыкания системы уравнений (1), (2) воспользуемся следующими полуэмпирическими моделями турбулентности.

Модель 1. Модель 1 базируется на дифференциальных уравнениях переноса рейнольд-совых напряжений {ищз) (і = і = 1, 2, 3; і = 2, і = 3) [6]:

ите { и) = РЗ + ^із + Фіз — £З ■ (3)

Диффузионные и диссипативные слагаемые аппроксимируются следующим образом (здесь и ниже по повторяющимся индексам производится суммирование):

і \ / \ {^ і и ) I /с

<Чз = т— Л с*~ {ики)^-------\ , Єіз = 2/3дц£

д ( е. . д {щщ)

— о8- {икщ)—— дхк у £ дхг

где е = {щщ)/2 — энергия турбулентности, £ — скорость диссипации энергии турбулентности в тепло, 8; — символ Кронекера, с8 = 0.22 — эмпирическая постоянная. Представление РгЗ имеет стандартный вид:

ди; , , ди

р; = — {{иик) дхк +{и;ик) дхк

Учитывая особенности рассматриваемого спутного течения, выражения й; и Р; можно упростить:

■ :^{с8 £ {^) тт}+ЙЬ £ {'-) ¥}+

д [ е/ хд{щщ)! д ( е 2 д{ищ;)

+ £{уш)~дГ1 + I{т ) дг

Рц = 2<|{иу)+ {ит)-7^^ , Р22 = 0, Р33 = 0,

р / 2\ Ж* \ди^/ Лди* р п

Р12 = {у ) — + {ут)—~, Р13 = {ут)—~ + {т )—-, Р23 = 0;

ду дг ду дг

Р = Ри/2 = {иу) + {ит) ■

ду дг

Обменные члены в (3) аппроксимируются следующим образом [6]:

фіЗ = фіз1 + фіЗ 2, фі]1 с1£(аіЗ + сі(аік аЦк 1/3А 2&і] )),

фіЗ2 = -0.6(Різ — 2/38із Р) + О.баіз Р — 0.2ВіЗ1 — с2[А2(Різ — Оц) + 3атіапз (Ртп, — Отп)\,

{щщ){щщ) (д\]к , диЛ {щщ) {, ,диз ди

Ві з1 =-- ------ + -гг--{иЩк )^ + {из ик)-т—

е V дхі дхк 1 е V дхі дхі

ОіЗ — ( {иіик) ^ + {из ик)

дхц дхі

Для касательных рейнольдсовых напряжений {иу) и {ит) используются алгебраические представления [1], являющиеся локально-равновесным усечением [7] уравнений (3) (г = 1, з = 2; г = 1, 3 = 3):

^ = 26ц(1 + Фе) — Фе^ + 0.6Фе(^ — 3ІЦР), Фе = — -1.

Є 3 £ £ 3 £ с1

Отсюда следует

e<v2) OUd ^ д^ . . n^e<w2) дUd ^ дЩ

{иу) = — 0.4Фе^^ = Ку.'д! {ит) = —0.4Фе дг = Кя1 ^ ■ (4)

£ду ду £ дг дг

При этом уравнение (1) преобразуется к диффузионному виду

и дии± = ±к ди. + икди± (5)

иСЮ^ ГУ Ку ГУ + П К^0 (5)

дх ду ду дг дг

с коэффициентами турбулентной вязкости Ку = Ку1, К = Кх\. Эмпирические постоянные и функции определяются следующим образом [6]

с1 = (3.75А2/2 + 1)А, с1 = 0.7, с2 = 0.55, с'2 = 0.6,

A2 aij aji, A3 aij ajk akij A 1 (A2 A3)} aij (<uiuj) Jije)/e-

9 2

8(А2 — А3^ а; = ({иги;) — 3

Для вычисления скорости диссипации £ привлекается дифференциальное уравнение переноса:

д£ де д£ £ £2

и оо Т! Т! се~ {ик и1)+ се1~Р се2 ,

дх дхк £ дх1 е е

где се = 0.18, се1 = 1.0, се2 = 1.92/(1 + 0.7 А12 А25), А25 = тах(А, 0.25), к,1 = 2, 3.

Обратимся теперь к замыканию уравнения (2). Компоненты вектора турбулентных потоков {игр) (г = 1, 2, 3) вычисляются из уравнений [6]:

тт д<^р) _ г» , Л , Л _

U °° Qx + + *iP pj (

где используются следующие представления:

л _ д f е I \ д<uiP) I

dip = QxA cp£ <ukui) Qx, f’ £ip = 0,

дд , Кди

+ {икР) дЦ

-'к и^к

По аналогии с уравнением (3) выражения для (1гр и Ргр в окончательном виде упрощаются:

Pip = — <) <uiuk) — + <ukр)~x \ , k, l = 2, 3, cp = 0.11.

д \ e 2\д<^Р)] , д \ e, \д<uip) \ , д \ ei \д<uiP)] , д \ e, 2^д<uiP)

dip = ay, yp£<v гдУ/Г£<'vw)—г5Z \CP£<л,,)—Г3Z\cp£<w )~aT

дд . .дд . , QU . . QU

Pip = -\<uv) sy +{uw) rn +ы ду + <wp} 3z

p // 2\до , i \д^1 p Г/ \д^ / до

p2P = l<v )дУ + <vw)М • P3P = l<vw)ду + <w )Tz

Слагаемые <fiip в правой части уравнения (6) аппроксимируются, согласно [6], следующим образом:

Фip = Фip1 + Фip2 ^

<^ipi = —1.7 I1 + 1.2(A2А) 1/2} Ri/2- X

д д х{{щр) (1 + 0.6А2) — 0.8агк {ик р) + 1.1а-к ак, {и, р)} — 0.2А1/2Ра; е—.

ди- ди 1 £

фгр2 = 0.8{икр) дх^ — 0.2{ик р) дхк + 6 е {и-р)(Ркк /£) —

(д^/" ди\ (ди^ ди

—м{ик р>а4 тх + ах: +0■1<Uk р}а'кат‘{ 1хт + ах: — 0Л(ик р)( агтРтк + 2атк Ргт ) /е+

. . . .. (дик ди

+0.15ат! (атк {игр) атг{икр)) ( ^

\ дх1 дхк

Л- лдик , Л. лдиЛ и. л Л ди- , „ ди

0.05ат^ 7атк I {игр) г\ + {икр^ ^ ) {икр) I ат1 п + атк

дхг дх1) \ дхк дх^

р = 3(1 I А ) а = {и-р){игр)

Р =5(1 + АД А2р = ф2} ■

Для вычисления дисперсии турбулентных флуктуаций поля плотности {р2) привлекается дифференциальное уравнение переноса [6]:

д р2

иоо дх = РРР + ^Р — 2£P, (7)

Р =2/ \дд А = д [ е, хд {р2П = р {р2)£

Ррр {ир) дх / йр дхк\ср£{икщ) дх1 \, £р =2 е .

Таким образом, модель 1 является упрощением известной модели работы [6], базирующейся на усовершенствованных аппроксимациях обменных слагаемых. Различие этих моделей состоит в привлечении в модели 1 алгебраических аппроксимаций (4) для касательных напряжений {иу) и {ит) и, следовательно, замене уравнения движения (1) его диффузионным аналогом (5). Введение данного упрощения связано с тем обстоятельством, что исходная модель работы [6], как показали расчеты, неудовлетворительно описывает вырождение дефекта продольной компоненты скорости в дальнем безымпульсном турбулентном следе в однородной жидкости. Подробно результаты этих расчетов и тестирования моделей представлены в [1].

Модель 2. Модель 2 отличается от модели 1 упрощенными представлениями (по аналогии с [7]) величин {игр) и {р2). Эти алгебраические аппроксимации являются следствием применения локально-равновесного приближения к уравнениям (6) и (7):

/ \ е , , дд п п. ,, ди- ди . 2. 2 е , , дд

—м = £ фр {<щ+02<щр>( щ + эх- >} ■{р ] =— я: {и>р) тг, '

Ф-1 = 1.7Р1/2.

С учетом особенностей рассматриваемого спутного течения — малости производных по маршевой переменной, быстрого вырождения дефекта продольной компоненты скорости [8, 9] и выделенности вертикального направления — получаем простые градиентные представления:

-<vp'l=фр ^ |=Кру дд, —^=фр ^ Ц=^ * (8)

-{ир)

е{ит) -д 2 2 е , ,-д

фр-------—, {р ) = - — -{ир)-;г

дг

Кє

д г

При этом уравнение (2), как и (1), преобразуется к диффузионному виду:

и = д_ К + д_ К

иОО л о К ру о + О К р, о ,

дх ду ду дх дх

(9)

где Кру = Кру\, Крх = Крх\. В остальном модель 2 повторяет модель 1.

Модель 3. Модель 3 [8] также основана на уравнении (3) для определения нормальных компонент тензора рейнольдсовых напряжений {щщ), і = 1, 2, 3. Однако в этих уравнениях использовалось упрощенное представление диффузионных и стандартное [10] — обменных слагаемых:

д Г е д {щщ)

- с. є ^ )-д —

-'к I ° ^^к

я..

йгз дХк

к = 2, 3,

фг, — —с1£аг, — с2(Р; — 2/38г;Р), % — ] — 1, 2, 3

где с3 = 0.25, с1 = 2.2, с2 = 0.55.

Для аппроксимации касательных рейнольдсовых напряжений {иги,) (г = ]) привлекаются алгебраические соотношения [11]

= 26гз + (Еи — 25..Р

е

3

сі

є

Тогда уравнение (1) преобразуется к диффузионному виду (5) с коэффициентами турбу-

лентной вязкости

Ку = Ку2 = 1-С2 ^, К

К7

1 - С2 е{и2)

сі є сі є

Скорость диссипации в этой модели вычисляется из уравнения

д г е - дє є є2

дх дхк

сє {ик ик )

дє є є‘

7; + сєі_ Р — сє2 —

дхк е е

к = 2, 3,

со значениями эмпирических констант: с£ = с3/а, а = 1.3, се1 = 1.44, се2 = 1.92.

Для аппроксимации величин {игр) привлекаются следующие алгебраические соотношения [11]:

е

-{щр) =

сіт є

{ищ) ^ + (1 - С2Т){икр)ди

(10)

дхк дхк_

Как отмечалось выше, для данного течения можно пренебречь производными по переменной х в правых частях выражений и уравнений и, кроме того, V = Ш = 0. Тогда из соотношений (10) следует

-{ур) =

дд

дд

сіт є

V = Кру2Т-, -{ир) =

2\дд дд

дУ

дУ

------{и,2) ді = КрХ2 -

сіТє дг дг

(11)

При этом уравнение (2) преобразуется к диффузионному виду (9) с коэффициентами турбулентной диффузии Кру = Кру2 и Кр, = Кр,2. Принимаются также следующие выражения для величин {ир) и {р2):

-{ир)

сіт є

/ \ дд ,, ч/ хди

{ии) -і + (1 - с2т ){ир) -і

2ч 2е 7 \-д

-{р > = с;єТг-

(12)

е

е

Значения эмпирических констант полагаются равными с1т = 3.2, с2т = 0.5, ст = 1.25.

Модель 3 является примером классической модели второго порядка, которая достаточно хорошо зарекомендовала себя при расчетах турбулентных следов в стратифицированной среде [8]. Модели 1 и 2, напротив, впервые используются для исследования спутных турбулентных течений. Из-за привлечения усовершенствованных нелинейных аппроксимаций обменных слагаемых модели 1 и 2 можно отнести к числу наиболее полных моделей второго порядка. При этом ответ на принципиальный вопрос о степени перемешивания жидкости в турбулентном следе в расчетах с применением таких моделей не является очевидным.

Начальные и граничные условия. В качестве начальных распределений искомых величин ил, е, £, {и2), {у2), {ш2) на расстоянии х = хо от тела используются данные, согласующиеся с данными лабораторных экспериментов; кроме того, полагаем

{ут) = 0, {иу) = Ку, {ит) = К,, д1 = {и-р) = {р2) = 0.

На бесконечности задаются условия невозмущенного потока, которые при численной реализации из бесконечности переносятся на границы достаточно большой прямоугольной области —У < у < У, —Z < х < Z■

С учетом свойств симметрии переменных задачи относительно начала координат численные расчеты выполнялись лишь в первом квадранте плоскости (у, х) с постановкой на осях соответствующих условий симметрии (антисимметрии). Исключение составляет величина и а, для которой решение уравнения проводилось также на осях у = 0 и х = 0 с учетом соображений симметрии [8]. Это связано с тем, что в данной задаче особое значение имеет выполнение закона сохранения импульса.

Обезразмеривание. Переменные задачи обезразмериваются с применением в качестве масштабов длины и скорости диаметра тела Б и скорости набегающего потока ио. Обезразмеренные переменные представляются в следующем виде: х* = х-/Б, и* = иг/ио, {и-и,)* = {и-и,)/и^, е* = е/и2, £* = еО/и^, д* = д/(аОдо), {и-р)* = {и-р)/(аБдои о), {р2)* = {р2)/(аБдо)2, г,3 = 1, 2, 3.

Алгоритм решения задачи. Конечно-разностный алгоритм основан на применении методов расщепления по пространственным переменным [12]. Решение уравнений (1), (2),

(5), (9) во всех описанных моделях проводится по схеме расщепления с использованием центрально-разностных аппроксимаций. Для численного интегрирования других уравнений, входящих в модели 1 и 2, привлекается схема стабилизирующей поправки. Уравнения модели 3, в которых из-за упрощения диффузионных слагаемых отсутствуют смешанные производные, решаются по схеме расщепления.

Вводится преобразование координат, при котором осуществляется переход от неравномерной ортогональной расчетной сетки со сгущающимися в окрестности турбулентного следа узлами к равномерной.

Численный алгоритм и результаты его тестирования подробно описаны в [8].

2. Тестирование

Результаты численных экспериментов сопоставлялись с экспериментальными данными Линя и Пао о вырождении безымпульсного турбулентного следа в однородной жидкости (см. [13, 14]). Поскольку стратификация отсутствует, модели 1 и 2 становятся идентичными и задача сводится к решению уравнения (1) с его замыканием на основе моделей 1 и

Рис. 1. Энергия турбулентности ео и дефект продольной компоненты осредненной скорости на оси следа Ц^о.

3. Начальные условия при х = х0 = 6 В задавались в виде функций [13], согласованных с данными лабораторных экспериментов:

е(х0, у, г) = Е0 ■ ехр(—4г2/В2), є(х0, у, г) = л/Ї^Е^2 ■ ехр(—6г2/В2),

и^(х0,у,г) = ив(1 — 8г2/В2) ехр(-8г2/В2), г2 = у2 + г2.

Величины Е0 и и в выбирались из экспериментальных данных Линя и Пао при х = х0 = 6В. Расчеты проводились в прямоугольнике 6В х 6В на сетке с числом узлов 51 х 51. Первые 30 узлов сетки в каждом направлении располагались равномерно с шагом к = ку =

= 0.1В, а далее шаг к увеличивался в геометрической прогрессии. Шаг по маршевой переменной х изменялся от 0.005В до 0.5В по формуле кх = кх + 0.005В.

На рис. 1 приведено изменение в зависимости от расстояния от тела обезразмеренных осевых значений энергии турбулентности е0 = е(х, 0,0) и дефекта продольной компоненты скорости и^0 = и^(х, 0, 0). Видно, что результаты расчетов согласуются с экспериментальными данными.

Более подробное тестирование моделей проведено в [1]. В этой работе, в частности, результаты расчетов по моделям 1 и 3 сопоставляются по осевым значениям энергии турбулентности, диссипации, дефекта скорости, нормальных напряжений Рейнольдса и полуширине следа с экспериментальными данными [9] об эволюции безымпульсного турбулентного следа за сферой в однородной жидкости. Вычисленные с использованием модели 1 данные наиболее близки к измеренным. Кроме того, расчеты безымпульсного турбулентного следа за удлиненным телом вращения показали, что законы вырождения основных характеристик течения в однородной жидкости согласуются с известными данными экспериментальных, теоретических и численных исследований.

Тестирование моделей 1-3 в части описания характеристик, связанных со стратификацией, проводилось в ходе численных экспериментов на последовательности конечноразностных сеток.

3. Результаты расчетов

Задача о динамике дальнего безымпульсного турбулентного следа в пассивно стратифицированной среде (при линейном распределении плотности невозмущенной жидкости) имеет автомодельное решение [2, 3]. При этом наблюдается подобие распределений переменных

задачи в поперечном сечении следа, нормированных на соответствующие значения масштабных функций. Сами масштабные функции изменяются как степенные функции маршевой переменной х. Ниже будет представлен анализ автомодельного решения задачи, основанный на обработке результатов численных экспериментов.

В качестве начальных данных для в,£,Ц^, (и2) (г = 1, 2, 3) на расстоянии х = от тела задавались распределения, согласованные с данными лабораторных экспериментов Линя и Пао [13, 14] об эволюции турбулентного следа в однородной жидкости.

Конечно-разностные сетки в плоскости (у, г) содержали 51 х 51 (сетка 1) и 101 х 101 (сетка 2) ячеек. Расчетная область представляла собой квадрат размером х 6Д. Узлы сетки 1 распределялись равномерно с шагами к1у = к1-г = 0.Ю в квадрате 4Д х 4Д, далее в обоих направлениях — в геометрической прогрессии. Значения шага сетки в маршевом направлении кх полагались постоянными для х < 19Д, при больших значениях х изменялись от 0.015Д до 0.75Д по формуле суммы членов арифметической прогрессии с разностью 0.015Д. Сетка 2 была вдвое подробнее в квадрате 4Д х 4Д: к2у = к2* = 0.05Д, в маршевом направлении — как сетка 1. Основные расчеты проводились на сетке 1.

Анализ автомодельного вырождения гидродинамических характеристик дальнего безым-пульсного турбулентного следа, рассчитанных с использованием моделей 1-3, выполнен в [1] (как уже отмечалось, в этой части описания течения модели 1 и 2 идентичны). Было показано, в частности, что энергия турбулентности на больших расстояниях от тела вырождается по степенному закону в0 ~ х-1'5, дефект продольной компоненты скорости — по закону Ц^0 ~ х-1'65 . Характерный размер турбулентного следа Ь изменяется на больших удалениях от тела вниз по потоку как х0'25. Рассчитанные степенные зависимости согласуются с существующими представлениями о поведении основных характерных масштабов безымпульсного турбулентного следа за телами вращения, полученными как из экспериментальных исследований, так и из теоретического и численного анализа.

Более быстрое убывание дефекта продольной компоненты осредненной скорости в сравнении с турбулентными флуктуациями указывает на существование в данной задаче двух масштабов скорости. При введении автомодельных переменных в качестве основных масштабов выбираются полуширина следа Ь: в(х, Ь, 0) ~ в(х, 0, Ь) = 0.5в(х, 0, 0), осевое значение энергии турбулентности в0, а также осевое значение дефекта продольной компоненты осредненной скорости Ц^0.

Обратимся к данным о поведении характеристик, связанных со стратификацией: дефекту осредненной плотности £1, компонент вектора турбулентных потоков (щр) (г =

1, 2, 3) и дисперсии турбулентных флуктуаций поля плотности (р2).

На рис. 2 представлено поведение в зависимости от расстояния от тела обезразмерен-ных полуширины следа Ь и максимума дефекта осредненной плотности £1т = тах £1.

V,*

Здесь и ниже на рисунках линии со значком * соответствуют модели 1, линии со значком □ — модели 2, линии со значком О — модели 3; штриховая линия иллюстрирует асимптотические законы вырождения. Изменение с ростом расстояния от тела максимального значения дефекта осредненной плотности £1т происходит по тому же закону, что и расширение турбулентного следа, т.е. пропорционально х0'25. Этот факт согласуется с соображениями о размерности данной величины.

Представляет интерес вопрос о степени перемешивания стратифицированной жидкости в турбулентном следе, поскольку при решении задачи с учетом активной роли стратификации это определяет характеристики генерируемых следом внутренних волн. Как показывают результаты исследований [2-5, 15-17], жидкость в следе перемешана слабо.

100 x/D 1000

Рис. 2. Изменение с расстоянием от тела полуширины турбулентного следа Ь в его поперечном сечении и максимального значения дефекта осредненной плотности ріт.

Рис. 3. Изменение с расстоянием от тела характерного значения дефекта плотности (а); автомодельное распределение дефекта осредненной плотности вдоль вертикальной оси (б).

Степень перемешивания может быть определена [2, 3] соотношением g\m/L* = д0, которое на больших удалениях от тела вниз по потоку принимает практически постоянное значение. Величина д1 = consti в разных работах в зависимости от применяемой математической модели оценивается примерно одинаково — от 0.22 до 0.282 (consti = 1 соответствует полному перемешиванию). На рис. 3, а представлены как функции расстояния от тела значения д0, определенные с использованием моделей 1-3. Видно, что рассчитанные по моделям 2 и 3 данные достаточно близки к полученным в упомянутых работах, а модель 1 дает несколько завышенное значение д0. Эти данные подтверждаются также рис. 3, б, где приведены автомодельные распределения вдоль вертикальной оси функции H: д1 = g0aL(x/D)H(С,п), С = y/L, n = z/L. Распределение дефекта плотности Ha = H(0,n) при x/D = 2400 (линия со значком • — модель 3) практически совпадает с решением при x/D = 1200 (линия со значком О)- Линия с маркером х соответствует расчету по модели 1, в которой для величин (Uip) и (р2) используются те же аппроксимации, что и в модели 3. Как и следовало ожидать, в этом случае значения функции H близки к рассчитанным по модели 3. Линия с маркером ф получена по модели, аналогичной модели 3, за исключением турбулентных потоков, для которых привлекались неравновесные

100 x/D Ю00 100 x/D Ю00

Рис. 4. Изменение в зависимости от расстояния от тела максимальных значений: дисперсии турбулентных флуктуаций поля плотности (а), компонент вектора турбулентных потоков (б).

аппроксимации [18] (ниже, в табл. 1, она будет упоминаться как модель 4):

(uip) = Ф* ^ (uiuk) дХ- - Ф* ^рй,

8U- ( 1 P \-1

Pit = (UkP) dX-i, Ф* = (cU + 2(7 - 1)J , Ф* = (1 - С2*)Ф*.

Расчеты показали, что введение данных гипотез дает лишь незначительные отклонения от решения, полученного по модели 3 с применением простейших градиентных аппроксимаций для компонент вектора турбулентных потоков.

На рис. 4, а представлены в зависимости от расстояния от тела x/D величины максимума дисперсии турбулентных флуктуаций поля плотности (p2)m = max(p2) (штриховые

y,z

линии иллюстрируют асимптотические законы вырождения). Для всех использованных моделей (p2)m изменяется пропорционально x0'5, т.е. как L2, что также соответствует представлениям о размерности этой величины. При этом для достаточно больших удалений от тела имеем (р2)0 = (p2)m/(L*)2 const2. Для иллюстрации роли начальных данных для величины (р2) при использовании модели 1 на рис. 4, а маркером Д помечена линия, соответствующая расчету с ненулевыми начальными данными (они задавались в виде алгебраических аппроксимаций, аналогичных использованным в модели 2). Видно, что уже при x > 150D начальное распределение (р2) оказывается несущественным.

Данные о поведении компонент вектора турбулентных потоков (^р)т = тах(^р), i =

y,z

1, 2, 3 на рис. 4, б свидетельствуют о том, что на больших расстояниях от тела (ир)т изменяется как x-1'4, а (ур)т и (и>р)т — как x-0'5. То есть (ир) вырождается быстрее, чем (ур) и (и>р). При этом величина (и>р)т почти на порядок превосходит (ур)т, что подтверждает особую роль вертикального направления. Из классических градиентных гипотез (11) и соображений размерности следует, что (ур) ~ е°' 5L ~ x °'5, (адр) ~ e°'5L x-0'5. Аналогично следствием аппроксимации (12) является соотношение (ир) Ud°L x-1'4. В результате для больших удалений от тела вниз по потоку получим

(ир)0 = (ир)т/(U*0L*) ~ const3,

Т аблица1

Модель 0? о О О (Р2)°

1 .370 .280 .0420 .159 .120

2 .310 .082 .0220 .157 .210

3 .262 .115 .0163 .132 .250

4 .262 .150 .0196 .158 .290

(ур)° = Мт/((е0ГЬ*) ~ СОП814, (шр)° = (^р)т/((е0)°'5Ь*) ~ Ю^5.

В табл. 1 приведены характерные значения £°, (м^р)0, (р2)°, полученные с использованием моделей 1-4. Расчеты показывают, что степень перемешивания £° слабо зависит от используемой модели турбулентности, что согласуется с данными работы [4], где рассматривалась модельная задача об эволюции плоского турбулентного пятна. Вместе с тем обращает на себя внимание следующее обстоятельство. При использовании модели 1 значение степени перемешивания жидкости в следе оказывается несколько завышенным по сравнению с другими моделями (этот факт иллюстрирует также рис. 3). С введением упрощенных градиентных аппроксимаций для потоков в модели 2 величина £° уменьшается от значения 0.37 до значения 0.31. Подобный факт имел место в расчетах работы [4], в которой для “классической"модели [10] с дифференциальными уравнениями для всех моментов второго порядка было получено перемешивание 0.282, а для простейшей "гра-диентной"модели — 0.26.

Из табл. 1 видно, что все модели дают близкие значения (и>р)°. Эти данные достаточно хорошо согласуются с расчетами работы [4], в которой независимо от используемой модели (и>р)° = 0.122. На основе моделей 2-4 получены также близкие значения величин (ур)° и (р2)° (в [4] (ур)° = 0.0140... 0.0141). В то же время модель 1 дает сильно заниженное (в сравнении с другими моделями) значение (р2)° и завышенное — (^р)°. Последнее относится также и к (мр)°. Однако разброс в значениях этой величины, полученных с использованием разных моделей, достаточно велик, что указывает на необходимость более детального исследования этого вопроса. Решающую роль здесь могли бы сыграть лабораторные измерения. Насколько известно автору, такие данные для случая активной линейной стратификации имеются лишь для (р2(х, 0,0)) [14]. В работе [8] расчеты по моделям 3 и 4 (активная стратификация) сравниваются с экспериментальными данными [14]. Получено достаточно хорошее согласие в значениях (р2(х, 0,0)).

На рис. 5 приведены данные об изменении величин (мр)°, (ур)°, (^р)°, (р2)°, £°. Согласно расчетам, выполненным на основе модели 3 (сплошные линии), первой из указанных величин на постоянное значение выходит £°; при этом на удалении от тела вниз по потоку от 50Д до 3600Д изменение составило лишь 5%. Аналогично значение (и>р)° близко к постоянной величине при х > 240Д, (г>р)° — при х > 500Д. Что касается (мр)° и (р2)°, то их выход на постоянное значение отмечается при х > 50Д и х > 120Д соответственно. Примером моделей, базирующихся на неклассических аппроксимациях, являются модели 1, 2. Для этих моделей выход на константу величины замедляется и наблюдается лишь при х > 180Д. То же самое можно сказать и о величине (р2)°, которая близка к постоянной при х > 280Д — для модели 1 и при х > 700Д — для модели 2. Характерное значение (мр)°, близкое к константе, достигается в расчетах по моделям 1 и 2 также лишь при х > 700Д. Напротив, быстрее, чем в случае использования модели 3, на режим автомодельности выходят (и>р)° — при х > 60Д и (ир)° — при х > 100Д.

Представляет также интерес влияние начального перемешивания жидкости в области следа на автомодельное развитие характеристик течения, обусловленных пассивной стра-

Рис. 5. Изменение в зависимости от расстояния от тела характерных значений дефекта плотности, компонент вектора турбулентных потоков и дисперсии флуктуаций плотности.

тификацией. На рис. 5 штриховые линии соответствуют расчету по модели 3 с ненулевыми начальными данными для дефицита плотности [13]: 01(#о,У,г) = ехр(—4г2/Д2). При

этом начальное перемешивание более чем вдвое превышает возможное турбулентное перемешивание жидкости собственно следом в автомодельном режиме. Видно, что существенная роль перемешивания проявляется на начальном этапе, а на больших расстояниях от тела переменные задачи выходят на асимптотики и значения, соответствующие нулевому начальному перемешиванию. Расчеты показывают, что и автомодельные распределения переменных задачи в плоскости (£,п), соответствующие ненулевому начальному перемешиванию жидкости в области следа, при х/Д > 700 практически совпадают с решением задачи с нулевыми начальными данными для дефекта плотности.

Для иллюстрации точности проведенных расчетов в табл. 2 представлен ряд характерных значений, полученных с использованием моделей 1-3 на сетке 1 (с1) и сетке 2 (с2) (здесь (р2)* = (р2(х, 0, 0))*). Согласно этим данным, при использовании сеток 1 и 2 для одной и той же модели разница в значениях не превышает 10%.

Таблица2

Модель (е*)0'6 01т (мт (р2)0

ж/Д = 120

Модель1 с1 .0058 .219 .152 ■ 10-3 .594 ■ 10-3 .031

Модель1 с2 .0061 .227 .146■10-3 .653■10-3 .033

Модель2 с1 .0058 .186 1 О т-Н Ь- 00 ь- .562 ■ 10-3 .035

Модель2 с2 .0061 .195 1 о т-Н ь- .611■10-3 .037

МодельЗ с1 .0072 .192 .101■10-3 .758 ■ 10-3 .086

МодельЗ с2 .0075 .203 .104 ■ 10-3 .812■10-3 .090

ж/Д = 960

Модель1 с1 .0011 .365 1 О т-Н Ю Ю .179 ■ 10-3 .071

Модель1 с2 .0012 .359 .454 ■ 10-4 .196 ■ 10-3 .077

Модель2 с1 .0011 .306 1 О т-Н О .175 ■ 10-3 .090

Модель2 с2 .0012 .321 .252 ■ 10-4 .193 ■ 10-3 .098

МодельЗ с1 .0014 .319 1 О т-Н СО 00 .230■10-3 .203

МодельЗ с2 .0015 .334 1 о т-Н 00 о со .249 ■ 10-3 .217

Таким образом, в данной работе выполнено численное моделирование дальнего безым-пульсного турбулентного следа за телом вращения в пассивно стратифицированной среде. Для расчетов привлечены полуэмпирические модели турбулентности второго порядка, в том числе основанные на использовании нелинейных аппроксимаций обменных слагаемых в уравнениях переноса вторых одноточечных корреляционных моментов. Проведен численный анализ автомодельного вырождения характеристик течения, среди которых вторые корреляционные моменты имеют турбулентные пульсации поля плотности. Результаты расчетов согласуются с известными представлениями о неполном перемешивании жидкости в турбулентном следе. Рассчитанная величина степени перемешивания слабо зависит от используемой модели турбулентности.

Автор благодарит Г.Г. Черных за внимание к работе и обсуждения.

Список литературы

[1] Воропаева О.Ф. Численное моделирование дальнего безымпульсного осесимметричного турбулентного следа // Вычисл. технологии. 2003. Т. 8, № 2. С. 36-52.

[2] Васильев О.Ф., Кузнецов Б.Г., Лыткин Ю.М., Черных Г.Г. Развитие области турбулизованной жидкости в стратифицированной среде // Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. № 3. C. 45-52.

[3] Лыткин Ю.М., Черных Г.Г. Подобие течения по плотностному числу Фруда и баланс энергии при эволюции зоны турбулентного смешения в стратифицированной среде // Математические проблемы механики сплошных сред: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1980. Вып. 47. С. 70-89.

[4] Воропаева О.Ф., Черных Г.Г. О численном моделировании динамики областей турбулизованной жидкости в стратифицированной среде // Вычисл. технологии: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т вычисл. технологий. 1992. Т. 1, № 1. С. 93-104.

[5] Мошкин Н.П., Федорова Н.Н., Черных Г.Г. О численном моделировании турбулентных следов // Вычисл. технологии: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т вычисл. технологий. 1992. Т. 1, № 1. С. 70-92.

[6] Craft T.J., Ince N.Z., Launder B.E. Recent developments in second-moment closure for buoyancy-affected flows // Preprints of the Fourth Intern. Symp. on Stratified Flows. Grenoble Inst. of Mech. Grenoble. General Session. 1994. Vol. 2. P. 16.

[7] Левеллен В. Метод инвариантного моделирования // Турбулентность. Принципы и применения. М.: Мир. 1980. С. 262-310.

[8] Chernykh G.G., Voropayeva O.F. Numerical modeling of momentumless turbulent wake dynamics in a linearly stratified medium // Computers and Fluids. 1999. Vol. 28. P. 281-306.

[9] Алексенко Н.В., Костомаха В.А. Экспериментальное исследование осесимметричного безымпульсного турбулентного струйного течения / / ПМТФ. 1987. № 1. С. 65-69.

[10] Launder B.E. On the effects of a gravitational field on the turbulent transport of heat and momentum // J. Fluid Mech. 1975. Vol. 67. Pt. 3. P. 659-581.

[11] Rodi W. Examples of calculation methods for flow and mixing in stratified fluids // J. Geophys. Res. 1987. Vol. 92. P. 5305.

[12] ЯнЕнко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1967. 195 с.

[13] Hassid S. Collapse of turbulent wakes in stable stratified media // J. Hydronautics. 1980. Vol. 14, No. 1. P. 25-32.

[14] Lin J.T., Pao Y.H. Wakes in stratified fluids // Ann. Rev. Fluid Mech. 1979. Vol. 11. P. 317-336.

[15] Меррит. Развитие и коллапс следа в стратифицированном потоке // РТК. 1974. № 7. С. 73-85.

[16] БЕлоцЕрковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984. 520 с.

[17] McEwAN A.D. Internal mixing in stratified fluids // J. Fluid Mech. 1983. Vol. 128. P. 59-80.

[18] Gibson M.M., Launder B.E. On the calculation of horizontal, turbulent, free shear flows under gravitational influence // J. Heat Transfer. Trans. ASME. 1976. № 98C. P. 81-87.

[19] Hassid S. Similarity and decay laws of momentumless wakes // Phys. Fluids. 1980. Vol. 23, No. 2. P. 404, 405.

Поступила в редакцию 12 ноября 2002 г., в переработанном виде — 14 января 2003 г.