Числовые и аналитические методы расчета мостовых конструкций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 624.012

Й. Й. ЛУЧКО (Льв1вська фшя Д11Ту), М. I. 1ГНАТИШИН (Мукачiвський державний унiверситет)

ЧИСЛОВ1 ТА АНАЛ1ТИЧН1 МЕТОДИ РОЗРАХУНКУ МОСТОВИХ КОНСТРУКЦ1Й

У статп розглянуто числов1 та аналтгичш методи розрахунку напружено-деформованого стану мостових конструкцш. Сформульовано постановку задач1 пвдвищення надшносп та точности числового метода та спо-ci6 ii виршення шляхом проведення розрахунк1в у двох базисах. Отримано анал1тичний розв'язок диферен-щального рiвняння деформацп залiзобетонноl плити, що знаходиться пiд дieю системи локальних наван-тажень.

В статье рассмотрены числовые и аналитические методы расчета напряженно-деформированного состояния мостовых конструкций. Сформулированы постановка задачи повышения надежности и точности числового метода и способ ее решения путем проведения расчетов в двух базисах. Получено аналитическое решение дифференциального уравнения деформации железобетонной плиты, которая находится под действием системы локальных нагрузок.

In this article the numerical and analytical methods of calculation of the stressed-and-strained state of bridge constructions are considered. The task on increasing of reliability and accuracy of the numerical method and its solution by means of calculations in two bases are formulated. The analytical solution of the differential equation of deformation of a ferro-concrete plate under the action of local loads is also obtained.

Постановка проблеми

В свш час щорiчно в Радянському Союзi бу-дувалось декшька сотень моспв та багато тисяч малих штучних споруд на дорогах. Зараз в Украш налiчуeться тисячi моспв з яких значна частина потребуе ремонту та реконструкций Актуальною е проблема проведення проектних робгг по ремонту, реконструкци автомобшьних i залiзничних моспв, зокрема, проведення розрахунку та моделювання деформацш i наван-тажень, яю виникають в рiзних частинах моста. Проблема ця комплексна. Вона включае науко-ву, техшчну та фахову складову. Для проведення значно! та нестандартно! кшькосп проектних робiт необхщш науковi розробки. Науковi розробки, в свою чергу, необхщно трансформу-вати в техшчш засоби одним з яких е програм-ний продукт для проектування. Для здiйснення наукових розробок та !х трансформаци в техшчш засоби необхщно тдготувати вiдповiдних фахiвцiв.

Аналiз останнiх публшацш з розглядувано! проблеми. Не дивлячись на доволi високий роз-виток науки про розрахунок напружено-деформованого стану [1-3], [19], в минулому столгтп, навiть, в розвинутiй кра!ш США в прь рву зiрвалася сотня мостiв. Не кращай стан i в цьому столiттi. Серед катастроф моспв е такi, що зруйнувалися внаслiдок помилкових розра-хунюв.

Широкого застосування набули метод скш-чених елементiв, що виник в 60-х роках мину-лого столгття [5, 8, 16, 17], варiацiйнi методи [6, 14, 15], методи функщонального анатзу [4, 9, 10].

Постановка завдання

1з всього рiзноманiтгя згаданих вище проблем зупинимось на тш, яка е першою ланкою в ланцюз^ що приводить до утворення спору-ди, — моста. Щею першою ланкою е етап мате-матичного моделювання елеменпв мостових конструкцiй та процедура отримання розв'язку.

Виклад основного матерiалу

Розглянемо модел^ що описують деформа-щю основних елементiв мостових конструкцiй: опора, балка, плита. 1х можна записати в так званш операторнiй формк

Au = q , (1)

де A — оператор, що е математичною моделлю конструктивного елемента моста; q — функщя залежност навантаження вiд координат, u — функщя залежност деформацп вiд координат.

Функщя u на краях може дорiвнювати нулю або задовольняти крайовим умовам в опера-торнш формi:

© Лучко Й. Й., Тгнатишин М. I., 2010

К,и = I

(2)

Вигляд операторiв К, визначаеться способом закршлення вiдповiдного елемента конс-трукцп моста.

Спiввiдношення (1) та (2) утворюють крайо-ву задачу.

Методи розв'язку крайових задач можна умовно роздшити на двi групи: чисельш й ана-лiтичнi.

Далеко не вс задачi можуть бути виршеш аналiтичними методами, а чисельнi методи да-ють принципово наближений результат.

Аналiз наукових джерел свщчить, що перевага надаеться чисельним методам, причому в певнiй системi базисних функцiй. Вiдсутнi ро-боти з порiвняння чисельних розв'язкiв в рiз-них базисних функцiях з аналггичними розв'я-зками, а також порiвняння чисельних розв'язкiв в рiзних базисах. Таке порiвняння може бути використано як критерш необхщно! сте-пенi дискретизаци представлення числового розв'язку.

Числовi методи

Наближений розв'язок и як в^^зок ряду мае вигляд:

=1

и в:

(3)

де при заданому базисi в{ набiр чисел {и1} однозначно визначае и .

На рис. 1 умовно зображено точний розв'язок у нескiнченновимiрному просторi вектором и (х,у), а проекцп точного розв'язку на скiнченновимiрнi шдпростори В1 та В2 вщ-повщно и1 (х,у) та и2 (х,у) .

Рис. 1. Проекця точного розв'язку з несшнченновим1рного гшьбертового простору на ск1нченновим1рш шдпростори

Розглянемо чисельнi методи на прикладi моделювання опори та балки, оскшьки для цих конструктивних елементiв iснуе точний анал> тичний розв'язок. Розв'язки будемо шукати

окремо як проекцп на шдпроспр полiномiаль-них функцiй та тригонометричних функцш. Поставимо за мету порiвняти отримаш розв'язки.

Опора. Оператор А = Ей, що описуе де-

йх

формацiю опори [12, 18] разом з умовою закр> плення опори и (0) = 0 утворюе крайову задачу

Ей = с( х).

йх

(4)

де с(х) — напруження, що виникае в перерiзi мостово! опори з координатою х.

З метою ощнки ефективностi застосування числового проекцiйного методу розв'язку ди-ференцiального рiвняння деформаци мостово! опори (4) використаемо прямий варiацiйний метод Гальоркша на базi полiномiальних i тригонометричних функцiй. Розрахункову схему розглядувано! конструкци вiдповiдно до засто-совуваного числового методу подано на рис. 2.

Рис. 2. Мостова опора - зр1заний конус з вузлами

нх, Н2, Н3 , И4

Таким чином, трактуемо мостову опору як сюнчений елемент з чотирма вузлами Н1, Н2, Н3, Н4 . Розв'язок диференщального рiвняння (4) в змшних п = х / Н (Н — висота опори) бу-

де

и (п) = Не (п)1 + Н 2 в (п)2 +

+Нзв (п)з + Н 4в (5)

де в (п), — базиснi вектори в пiдпросторi Гшбе-рта; Hi - ваговi коефщенти, що знаходяться так:

Г Н ^ Н 2

Нз

V Н4 ]

= л-1Ь

(6)

1=1

де Л, = Е|е, (п)^^^ ;

1

Ъ =|е1 (пМп)йп •

о

Полiномiальний базис:

( \ ^ 208 2 з 128 4

е1 (п)=16п—— п + 96п —— п ;

(п) = -12п + 79п2 - 128п3 + 64п4

128

3-п--п +--п -

, V 16 112 2 224 3 ез (п)=—п——п +—'п

/ \ 22 2 1 з 32 4

е4(п) = -п+—п - 16п +—п •

3 3

32 3

п

Тригонометричний базис:

е1 (п) =-34,960 + 31,948008[ Пп

+37,9728ш п| + 3,0120008 (яп)--14,4738т (пп);

е2 (п) = -34,960 + 49,434008( Пп) -

-49,434 8т [ - п J + 3,0120оо8 (пп) --14,4738т (пп); е3 (п)=-34,960 + 37,972008 |Пп

-31,9488т [ - п J - 3,0120 008 ( пп) --14,4738т (пп);

е4 (п) = 10,743 -12,373008 п)-

-8,113881п [ - п) +1,6295 008 ( пп) -+3,74078т (пп) •

(7)

(8)

— деформащя в тригонометричному базисi, и2 (п) — деформащя в полiномiальному базисi)

мае суттеву рiзницю, яку видно з графша (рис. 3).

Рис. 3. Ввдносна ввдмшшсть результапв, отриманих в р1зних базисах

Отже, форма криво! на рис. 3 вказуе на те, що бшя основи опори мае мюце значна розбiж-нiсть результат отриманих у рiзних базисах.

Балка. Оператор А = Ы—-, що описуе де-

йх

формацiю балки.

Диференщальне рiвняння деформаци балки [13] мае вигляд

= *(х

(9)

де Е — модуль Юнга; и (х) — поперечне зм> щення осьово! тип балки; х — поздовжня координата; * (х) - поперечне рiвномiрно розпо-

дiлене навантаження на балку.

Розв'язок диференщального рiвняння (9) в змшних п = х / Ь (Ь — довжина балки) буде

'(п) = Хне(п).

(10)

Порiвняння розв'язкiв, отриманих в рiзних базисах в точщ найбiльшого перемiщення по-казуе, що вщхилення вiд аналiтичного розв'язку становить 0,4...0,03 %. Однак, слщ зауважити, що вздовж опори вiдносна вщмш-

, . и1 (п)- и2 (п) нiсть результатiв е(п) = —7—г-7-7-100,

и1 (п) + и2 (п)

2

отриманих в рiзних базисних функцiях (и1 (п)

Розглянемо випадок, коли балка консольно защемлена злiва та вшьно оперта справа вщпо-вiдно до крайових умов

, . , . йи(0) й2и(1) и (0) = и (1) = 0; —и. = 0; —у. = 0. (11)

й п й п2

Розрахункову схему розглядувано! констру-кцл подано на рис. 4.

Рис. 4. Балка балка консольно закршлена зл1ва 1 вшьнооперта справа:

Ь - довжина балки; * - поперечне ршном1рно розподшене навантаження на балку; Н1 та Н2 - вузли всередиш балки

е

2

1=1

Полiномiальний базис, n = 2 :

( \ (Л \ I 486 1134 2

e1 (n) = n( -П)х| — n—13" n

729 1377

n

e2(n)=n( -n)x|

26 1701

n

(13)

26 52 Тригонометричний базис, n = 3 :

e (n) = 0,538cos(nn) - 1,484sin(nn) + +1,077 (1 - cos(2nn)) - 0,261sin (2nn) --0,538 cos (3nn) + 0,669 sin (3 nn); e2 (n) = -0,223 cos (nn) +1,261 sin (nn) --0,446(1 - cos(2nn)) + 0,315sin (2nn) + +0,223 cos (3nn) - 0,631sin (3nn); e3 (n) = 0,092cos (nn) + 0,038sin (nn) + +0,185 (1 - cos (2nn)) - 0,631 sin (2nn) --0,092 cos (3nn) + 0,408 sin (3nn).

Розбiжнiсть результатiв, отриманих число-вим методом в pi3H^ базисах для консольно закршлено! з обох боюв балки зменшуеться з 50 % (чотири вузли зi значеннями п = 0, 1/3, 2/3, 1) до 12 % (п'ять вузлiв з значеннями п = 0, 1/4, 1/2, 3/4, 1), якщо збiльшити кiлькiсть вуз-лiв. Нами виявлено зростання вщносно! роз-бiжностi результатiв, отриманих в рiзних базисах при стрибкоподiбнiй змiнi навантаження вздовж балки.

З проведених нами дослщжень випливають наступнi положення:

- максимальна вщносна розбiжнiсть результата, отриманих в рiзних базисах для вшь-но-оперто! на обох краях балки становить «2 %,

- для консольно закршлено! «50 %. З рис. 5, c бачимо, що на консольно закрiпленому кра! е % мае бiльше значення, шж на вiльно опертому, вщповщно «50 % та « 2 %.

На даний час задачi обчислювального характеру з використанням персональних комп' ю-терiв (ПК) можна виршувати на трьох основ-них рiвнях:

1. В середовищi вибрано! системи програ-мування;

2. На основi спецiальних обчислювальних процедур i програм;

3. При допомозi спецiальних пакета програм.

Серед засобiв третього рiвня особливо слiд видiлити штегрований багатофункцiональний пакет MathCAD [7] фiрми MathSoft Inc. Цей

пакет дае можливють виконувати символьнi операци. Застосуемо його для отримання на-ступного анаттичного розв'язку.

(12)

ev;

Рис. 5. Ввдносна ввдмшшсть результата, отриманих в р1зних базисах:

а - балка вшьно оперта з двох боюв, Ь - балка консольно закршлена з двох боюв, с - балка консольно закршлена зл1ва та вшьно оперта справа, << - балка консольно закршлена з двох боюв, але дискретизащя бшьша

Аналiтичний метод

Розглянемо деформащю тонко! затзобетон-но! мостово! плити [11]. Оператор, що описуе деформащю iзотропно! плити

(

A = D

>4 Л

дх4

дх ду ду

де D — цилшдрична жорсткiсть.

Диференцiальне рiвняння, що описуе дефо-рмацiю тонко! пластини (плити), можна записа-ти так:

DV2V2 w =,

(14)

де D — цилшдрична жорстюсть плити; V2 — оператор Лапласа; w — поперечна деформащя плити; q — питоме навантаження.

Запишемо диференцiальне рiвняння (14) у змiнних (n, :

х е У

n=-; £,=-г,

a b

(15)

де a — довжина плити; b — ширина плити, що дозволяють компактно представити результати. Диференцiальне рiвняння деформацi! плити:

1 д4 w

1

д 4 w

1 д4 w 1

4 ^ 2,2.2 Я2С ■ .4 Яе' = 7Т q (n,^),(16) a дn a b д^д2^, b д£, D

Розв'язок:

w

(п£) = 1 % ^

(17)

де = А (а^) + Б; сЬ (а^) + Слу • (а£) +

+ Вгу • сЬ (а^ + ф ф, (18)

та

Ь

а = — Ы. а

(19)

(20)

аЬ'

де ¥к — сила тиску колеса на мостову плиту;

Рис. 6. Локальне навантаження 12 колiс

* к (п) =

^ к 00 =

(22)

4 Ь2 К N

ж (п; 0=4 ВI ъ X /

П В к=1 ;=1

^ ;;V;п; ^

Пк; £ к; АПк; А^к; а; Ь

Крайов1 умови для вшьнооперто! з проти-лежних сторш балки 1 вшьно! з двох шших:

Використовуючи сшввщношення (23), за-пишемо формулу для визначення цил1ндрично! жорсткосп плити, що пов'язана з експеримен-тально визначеною деформащею плити

Ж (0, £) = Ж (1, £) = 0; И, (0, £) = Ы (1, £) = 0; 'м 2 (п,0)= Ы 2 (п,1) = 0; V (п,0) = V (п,1) = 0. Локальне навантаження представимо як суму добутюв двох к стушнчатих функцш, рис. 6.

* (п. « = 41 ^^аЩ @ , (21)

4 Ь2 К N

о = 4 -¡тп I Ъ I /

П w (п; 0к=1 1 =1

( 1;V;п; ^

пк; ^; Апк; А^к;

а; Ь

(24)

де пР; ^ Р — координати точки вим1рювання

прогину моста.

За результатами статичного випробовування моста через р. Стара на автодороз1 Мукачево -Раив — 1вано-Франювськ — Рогатин, км 92+700 в Закарпатськш област розраховано штеграль-ну цилшдричну жорстюсть проЛзно! частини моста В = 3,777-10 Н •м та ефективну товщину И = 1,239 м.

Под1явши вщповщним оператором на функ-щю w (п; , отримаемо згинальний момент Ы2 (рис. 7). Форма поверхш вказуе на мюце розмщення навантаження.

С1 якщ° пк -п +Апк,

0 шакше;

(1 якщо ^-^-^к +А^к; 0 шакше.

пк, , Апк, А^к, — положення та розм1ри площадок колю.

Функщю ц(;) розкладемо в ряд Фур'е. З крайових умов (20) знаходимо константи А1, Б;, С;, В; , а з вщповщного однорщного рь

вняння знаходимо функщю ф; 1 одержуемо розв'язок диференщального р1вняння (15):

Рис. 7. Поверхневий графж згинального моменту Ы2 в площиш = сош1

Ощнимо штегральну точшсть отриманого розв'язку (23), поставивши його в вихщне ди-ференщальне р1вняння (4.61) та проштегрува-вши по всш поверхш. Значення отриманого штегралу мае наближатись до сумарного навантаження (в розглянутому випадку 46 т) тим ближче, чим бшьшу кшьюсть гармошк матиме розв'язок (4.90). Отже, вщносна похибка розв' язку обчислюеться за формулою:

1=1

к

8 =

В11V2 V2м>с1хс1у - И qdxdy

0 0

0 0

100.

^qdxdy

0 0

Диференщальна похибка буде, вщповщно:

|ВV2V2^ - q\ 8(х, у ) = ^-!■ 100.

При 20 гармонiках ми отримали iнтегральну похибку розв'язку диференщального рiвняння деформацп мостово! плити прямокутно! форми з точнiстю 8 = 3 %.

Висновки

З проведених дослiджень випливае, що дуб-лювання розв'язкiв в двох рiзних базисах тд-вищуе надiйнiсть результатiв i дозволяе визна-чити необхiдну степiнь дискретизаци моделi конструктивного елемента моста та обгрунто-вано вибирати розмiщення вузлiв на поверхш або в об'емi конструктивного елемента моста. В мюцях консольного защемлення та стрибко-подiбно! змши навантаження вузли повиннi розмiщуватися гуспше.

Представлення деформацп мостово! плити у виглядi збiжного функцiонального ряду гшер-болiчних та тригонометричних функцiй мае перевагу над числовими методами розрахунку, тому що е найбшьш адекватним та шформацш-но мiстким. Завдяки такому представленню ми можемо отримати теоретично обгрунтоваш спiввiдношення, що пов'язують результати ста-тичних та динамiчних випробувань iз мехашч-ними параметрами плити, призначеш для обро-бки результата натурного експерименту.

Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК

1. Аргирис, Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц [Текст] / Дж. Аргирис; под ред. А. Ф. Смирнова : [пер. с англ.]. - М.: Изд-во иностр. лит. 1968. -240 с.

2. Метод конечных элементов [Текст] / П. М. Вар-вак и др. - К.: Вища шк., 1981.

3. Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичносп [Текст] / К. Васидзу. -М.: Мир, 1987. - 542 с.

4. Гавурин, М. К. Лекции по методам вичислений [Текст] / М. К. Гавурин. - М.: Наука, 1971. -248 с.

5. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы [Текст] / Р. Галлагер. - М.: Мир, 1984. -428 с.

6. Демидович, В. Н., Основы вычислительной математики [Текст] / В. Н. Демидович, И. А. Марон. - М.: Наука, 1966. - 664 с.

7. Дьяконов, В. Маthcad 2000 [Текст] : учебный курс / В. Дьяков. - СПб.: Питер, 2000. - 592 с.

8. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация [Текст] / О. Зенкевич, К. Морган. - М.: Мир, 1986. - 318 с.

9. Коллатц, Ф. Функциональный анализ и вычислительная математика [Текст] / Ф. Коллатц. -М.: Мир, 1969. - 444 с.

10. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст] / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. - М.: Наука, 1968. -544 с.

11. Лучко, Й. Диференщальне р1вняння деформацп плити та його застосування [Текст] / Й. Лучко, М. 1гнатишин // Вюник Тернопшьського держ. техн. ун-ту. - 2009. - № 2.

12. Лучко, Й. Й. Визначення напружено-деформо-ваного стану мостово! опори аналтгичними та числовими методами [Текст] / Й. Й. Лучко, £. Г. 1ваник, М. I. 1гнатишин // Д1агностика, довгов1чшсть та реконструкщя моспв 1 буд1ве-льних конструкцш (зб. наук. пр.). - 2007. -Вип. 9. - Льв1в: Каменяр, 2007.

13. Лучко, Й. Й. Визначення деформацп балкових елеменпв аналггачними та числовими методами [Текст] / Й. Й. Лучко, М. I. 1гнатишин // Ддагно-стика, довгов1чшсть та реконструкщя моспв 1 буд1вельних конструкцш (зб. наук. пр.). -2006. - Вип. 8. - Льв1в: Каменяр, 2006.

14. Мышкис, А. Д. Математика для втузов [Текст] : спец. курсы / А. Д. Мышкис. - М.: Наука, 1971. - 632 с.

15. Образцов, И. Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных пространственных конструкцш [Текст] / И. Ф. Образцов. - М.: Машиностроение, 1966. - 392 с.

16. Оден, Д. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред [Текст] / Д. Оден. - М.: Мир, 1976. - 464 с.

17. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов [Текст] / Л. Сегерлинд. - М.: Мир, 1979. - 392 с.

18. Справочник по сопротивлению материалов [Текст]. - 2-е изд., перераб. и доп. / под ред. Г. С. Писаренко. - К.: Наук. думка, 1988. -736 с.

19. Тимошенко, С. П. Теория упругости [Текст] / С. П. Тимошенко, Д. Гудьер. - М.: Наука, 1975. - 575 с.

Надшшла до редколегп 15.03.2010. Прийнята до друку 23.03.2010.