CC BY
29
© Р.И. Пашкевич, К.А. Павлов, 2015
УДК 536.24.01
Р.И. Пашкевич, К.А. Павлов
ЧИСЛО НУССЕЛЬТА ПРИ КОНДЕНСАЦИИ ПОКОЯЩЕГОСЯ ПАРА В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ТРУБЕ
Рассмотрен процесс теплоотдачи при конденсации покоящегося пара в вертикальной трубе применительно к геотермальной скважине. Представлено сравнение полученной формулы для модифицированного числа Нуссельта как функции числа Рейнольдса пленки конденсата с классической формулой Нуссельта.
Ключевые слова: теплоотдача при конденсации, вертикальная труба, число Нуссельта.
1
Введение
Характеристики теплоотдачи при конденсации водяного пара в вертикальной трубе важно знать при разработке систем разработки геотермальных месторождений и технологии производства тепловой и электрической энергии на геотермальных тепловых и электрических станциях [1].
При исследовании теплоотдачи при конденсации движущегося пара в вертикальных цилиндрических трубах полученные теоретические и экспериментальные данные часто сравниваются с классической формулой Нуссельта для конденсации покоящегося пара на плоской изотермической вертикальной стенке [11,16,17,26]:
Ми' = (3Яе{ р. (1)
В этом случае пренебрегается кривизной стенки трубы, что обычно обосновывается малой величиной толщины пленки конденсата по сравнению с диаметром трубы. Это же приближение используется при построении теоретических и эмпирических зависимостей для коэффициента теплоотдачи и числа Нуссельта [3-24]. Ранее было установлено, что экспериментальные значения чисел Нуссельта при конденсации в закрытых термосифонах и при конденсации восходящего потока пара в вертикальных трубах ниже значений, полученных по клас-
сической модели Нуссельта [6-8,10-12,15-17,21,22]. Тем не менее, строгого анализа условий правомерности использования классической формулы Нуссельта для случая вертикальной цилиндрической трубы в литературе не встречается, в том числе и для случая конденсации пара в геотермальной скважине.
Целью настоящей работы являются получение в рамках классической модели Нуссельта зависимости модифицированного числа Нуссельта от числа Рейнольдса пленки конденсата при конденсации покоящегося пара в вертикальной цилиндрической трубе, сравнение ее с классической формулой Нуссель-та для плоской стенки, а также установления условий правомерности использования формулы Нуссельта для вертикальных цилиндрических труб.
2. Вывод зависимости для вертикальной цилиндрической трубы
Будем следовать классической модели Нуссельта и считать, что термическое сопротивление теплоотдачи от пара к стенке трубы диаметром D определяется теплопроводностью через пленку конденсата толщиной S. Тогда можно записать [2,3]: Nu = D/5. (2)
Массовый расход конденсата, в заданном сечении вертикальной цилиндрической трубы при постоянной температуре стенки в соответствии с выражением Мартинелли равен [20,23,25]:
G = pgB [4 - у2 + 3 у4 - У> У ], (3)
где р - плотность конденсата, д - ускорение свободного падения,
B = (4)
2ц,
где R - радиус трубы, ц - динамическая вязкость конденсата,
r
у,- r , га
где r - текущая радиальная координата поверхности пленки конденсата, отсчитываемая от оси трубы,
r - R-5,, (6)
где 5, - текущая толщина пленки конденсата.
Подставляя (6) в (5) и в результирующее (2), получим:
у, = ^ = 1 - 21 = 1 -А. (7)
' Я й Ии
Число Рейнольдса пленки конденсата определим как [2,16,17]:
Ке{ = . (8)
Характеристическая длина, или масштаб вязкостно-гравитационного взаимодействия определяется как [11,16,17]:
L =
f v2 \ 3
(9)
где V - кинематическая вязкость конденсата.
Подставляя (3), (7) и (9) в (2), получим выражение связывающее число Нуссельта, число Рейнольдса пленки, характеристическую длину и диаметр трубы:
( / г>\2/ / г.\ 3\У
321 d Re' =
4 l1 Nu
1 + |1 - — Nu
ln| 1 - — I-' Nu j 4
. (10)
Модифицированное число Нуссельта можно представить как [2]:
Nu' = Nui:, (11)
где L* = L/D. (12)
Подставляя (11) и (12) в (10), получим выражение для числа Рейнольдса пленки как функцию модифицированного числа Нуссельта и отношения характеристической длины к диаметру трубы:
Re =-
32L
1 4
f 2l \2 f 2l \4 f 3 f 2l \\
1-
Nu
1-
2L Nu'
- ln
1-
2L Nu'
J j
(13)
3. Сравнение результатов с формулой Нуссельта
По классической формуле Нуссельта (1), модифицированное число Нуссельта для плоской стенки зависит только от числа Рейнольдса пленки конденсата. В соответствии с уравнени-
1
ем (13) для цилиндрической трубы, число Нуссельта зависит не только от числа Рейнольдса пленки, но также от характеристической длины и диаметра трубы. Характеристическая длина по формуле (9) определяется температурой поверхности трубы, уменьшаясь с ростом температуры в случае, когда теплоносителем является вода.
Необходимо обратить внимание на то, что, в соответствии с (13), минимальное достижимое значение модифицированного числа Нуссельта равно:
= (14)
поскольку при меньших Ми* логарифм в правой части (13) неограниченно убывает и решение не имеет физического смысла.
Уравнение (13) является трансцендентным относительно модифицированного числа Нуссельта. Зависимость числа Нус-сельта от числа Рейнольдса пленки можно получить графически. На рисунке представлено сравнение значений числа Нус-сельта, рассчитанных по формуле Нуссельта (1) со значениями, найденными из уравнения (13) для различных Ь*.
Уравнение (13) дает значения числа Нуссельта, заниженные по сравнению с формулой Нуссельта. В разделе Введение было отмечено, что экспериментальные значения числа Нуссельта при конденсации водяного пара в термосифонах и вертикальных цилиндрических трубах при восходящем движении пара оказывались ниже значений, даваемых классической моделью Нуссельта.
N.и*
0,6
0,2
- УР- (!) УР■ т --1-=0,02
\ \\ ■Ь'=0,05 ■ £*=0,1
- -— -1
Ке/
Рисунок. Зависимость модифицированного числа Нуссельта от числа Рейнольдса пленки
Из рисунка видно, что при V', меньших 0,02, значения числа Нуссельта, соответствующие уравнению (13), практически совпадают со значениями, определенными по формуле Нуссельта (1). Значение L*=0,02 соответствует случаю конденсации водяного пара при атмосферном давлении в трубе диаметром 1 мм с температурой стенки 90°С. При уменьшении температуры стенки в 2 раза до (45°С), L* увеличивается в 1,5 раза до (0,03). При увеличении диаметра, как следует из (12), L* уменьшается. Диаметры обсадных и эксплуатационных колонн геотермальных скважин составляют десятки и сотни миллиметров.
4. Выводы
1. Учет кривизны стенки цилиндрической трубы в модели Нуссельта приводит к снижению числа Нуссельта по сравнению с формулой Нуссельта для вертикальной стенки.
2. Для случая конденсации покоящегося водяного пара в геотермальных скважинах допустимо, в качестве сравнения, пользоваться классической формулой Нуссельта (1).
3. Уравнение (13) целесообразно использовать в случаях теплоотдачи при конденсации в трубах диаметром в микрометры и менее. Например, при L*=0,1, что соответствует случаю средней температуры конденсата 90°С и диаметру трубы 0,2 мм, минимальное значение числа Нуссельта по уравнениям (13) и (14) составляет 0,2, что на более 40 % меньше, чем по классической формуле Нуссельта (1).
- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пашкевич Р.И., Муратов П.В. Исследования пленочной конденсации в вертикальных трубах при восходящем потоке пара // ГИАБ. ОВ 2 «Камчатка» (специальный выпуск). - 2014. - С. 68—77.
2. Пашкевич Р.И., Павлов К.А. Модель конденсации водяного пара в стволе эксплуатационной геотермальной скважины // ГИАБ № 11, Специальный выпуск № 63 «Камчатка-2», 2015, С. 181-191.
3. Roetzel W. Laminar film condensation in tubes; calculation of local film resistance and local adiabatic mixing temperature // Int. J. Heat Mass Transfer 16 (1973) 2297-2304, http://dx.doi.org/10.1016/0017—9310(73)90015-X.
4. Chen S.L., Gerner F.M., Tien C.L. General film condensation correlations // Exp. Heat Transfer 1 (1987) 93-107, http://dx.doi.org/ 10.1080/ 08916158708946334.
5. Chou G.-H., Chen J.-C. A general modeling for heat transfer during reflux condensation inside vertical tubes surrounded by isothermal fluid // Int. J. Heat Mass Transfer 42 (1999) 2299-2311, http://dx.doi.org/10.1016/S0017-9310 (98)00316-0.
6. Chen S.J., Reed J.G., Tien C.L. Reflux condensation in a two-phase closed thermosyphon // Int. J. Heat Mass Transfer 27 (1984) 1587-1594, http://dx.doi.org/10.1016/0017-9310(84)90271-0.
7. Thumm S., Philipp Ch., Gross U. Film condensation of water in a vertical tube with countercurrent vapour flow // Int. J. Heat Mass Transfer 44 (2001) 4245-4256, http://dx.doi.org/10.1016/S0017-9310(01)00067-9.
8. Gross U., Philipp Ch. Conjugated shear stress and Prandtl number effects on reflux condensation heat transfer inside a vertical tube // Int. J. Heat Mass Transfer 49 (2006) 144-153, http://dx.doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2005.07.030.
9. Lee K.-W., NO H.C., Chu I.-C., Moon Y.M., Chun M.-H. Local heat transfer during reflux condensation mode in a U-tube with and without noncon-densible gases // Int. J. Heat Mass Transfer 49 (2006) 1813-1819, http://dx.doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2005.11.011.
10. Gross U., Storch Th., Philipp Ch., Doeg A. Wave frequency of falling liquid films and the effect on reflux condensation in vertical tubes // Int. J. Multiphase Flow 35 (2009) 398-409, http://dx.doi.org/10.1016/ j.ijmultiphaseflow. 2009.01.001.
11. Gross U. Reflux condensation heat transfer inside a closed thermosy-phon // Int. J. Heat Mass Transfer 35 (1992) 279-294, http://dx.doi.org/ 10.1016/0017-9310(92)90267-V.
12. Hashimoto H., Kaminaga F. Heat transfer characteristics in a condenser of closed two-phase thermosyphon: effect of entrainment on heat transfer deterioration // Heat Transfer-Asian Res. 31 (2002) 212-225, http://dx.doi.org/ 10.1002/htj.10030.
13. Shiraishi M., Kikuchi K., Yamanishi T. Investigation of heat transfer characteristics of a two-phase closed thermosyphon // J. Heat Recovery Syst. 1 (1981) 287-297, http://dx.doi.org/10.1016/0198-7593(81)90039-4.
14. Bezrodnyi M.K., Moklyak V.F. Heat transfer during condensation in vertical closed thermosyphons // J. Eng. Phys. Thermophys. 51 (1986) 753-758, http://dx.doi.org/10.1007/BF00871352.
15. Jouhara H., Robinson A.J. Experimental investigation of small diameter two-phase closed thermosyphons charged with water, FC-84, FC-77 and FC-3283 // Appl. Therm. Eng. 30 (2010) 201-211, http://dx.doi.org/ 10.1016/j.applthermaleng.2009.08.007.
16. Pashkevich R.I., Muratov P.V. Film condensation in a large diameter tube with upward steam flow // Int. J. Heat Mass Transfer 81 (2015) 804-810, http://dx.doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2014.11.001.
17. Muratov P.V., Pashkevich R.I. Reflux condensation of steam inside a short vertical large diameter tube // Int. J. Heat Mass Transfer 91 (2015) 494501, http://dx.doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2015.07.075.
18. Moon Y. M., NO H. C. Local heat transfer coefficients for reflux condensation experiment in a vertical tube in the presence of noncondensible gas // J. Korean Nucl. Soc. 31 (1999) 486-497.
19. Chun M.-H., Jun H.-G. Filmwise reflux condensation length and transition point to the complete reflux condensation in vertical U-tubes // Int. Commun. Heat Mass Transfer 16 (1989) 611-619, http://dx.doi.org/ 10.1016/0735-1933(89)90067-5.
21. Woods B.G., Groom J., Collins B. An assessment of PWR steam generator condensation at the Oregon State University APEX facility // Nucl. Eng. Des. 239 (2009) 96-105, http://dx.doi.org/10.1016/j.nucengdes.2008.08.004.
22. Woods B.G., Collins B. RELAP5-3D of PWR steam generator condensation experiments at the Oregon State University APEX facility // Nucl. Eng. Des. 239 (2009) 1925-1932, http://dx.doi.org/10.1016Anucengdes.2009.04.007.
23. Lee Y., Bedrossian A. The characteristics of heat exchangers using heat pipes or thermosyphon // Int. J. Heat Mass Transfer 21 (1977) 221-229, doi:10.1016/0017-9310(78)90226-0.
24. Monazami M., Haj-Hariri H. A momentum integral model for prediction of steady operation and flooding in thermosyphon // Int. J. Heat Mass Transfer 55 (2012) 5102-5110, http://dx.doi.org/10.1016/i.ijheatmasstransfer.2012.05.010.
25. Boelter L.M.K., Cherry V.H., Johnson H.A., Martinelli P.C. Heat Transfer Notes, pp. 561-562. McGraw-Hill, New York 1965.
26. Кутателадзе C.C. Основы теории теплообмена. - М.:Атомиздат, 1979. -416 с. ЕШ
КОРОТКО ОБ АВТОРЕ -
Пашкевич Роман Игнатьевич - доктор технических наук, директор, pashkevich@kscnet.ru,
Павлов Кирилл Алексеевич - научный сотрудник, nigtc@kscnet.ru, Научно-исследовательский геотехнологический центр Дальневосточного отделения Российской академии наук.
UDC 536.24.01
THE NUSSELT NUMBER AT CONDENSATION OF STATIONARY STEAM IN A VERTICAL TUBE
Pashkevich R.I., Doctor of Technical Sciences, Director, pashkevich@kscnet.ru, Research Geotechnological Center, Far Eastern Branch of Russian Academy of Sciences, Russia, Pavlov K.A., Research scientist, nigtc@kscnet.ru, Research Geotechnological Center, Far Eastern Branch of Russian Academy of Sciences, Russia.
Heat transfer process of resting vapor condensation in a vertical tube is reviewed in the context of geothermal well. The comparison of obtained formula for modified Nusselt number as a function of condensate film Reynolds number with Nusselt formula is presented.
Key words: heat transfer during condensation, vertical tube, Nusselt number.
REFERENCES
1. Pashkevich R.I., Muratov P.V. Issledovaniya plenochnoy kondensacii v vertakalnykh trubah pri voshodyashem potoke para (Studies film condensation in vertical tubes with upward flow of steam), GIAB, OV 2, «Kamchatka» (special issue), 2014, pp. 68-77.
2. Pashkevich R.I., Pavlov K.A. Model condensacii para v stvole ekspluatacionnoy geo-termalnoy skvaziny (Model of condensation of water vapor in the barrel operating geothermal wells), GIAB No 11, special issue No 63 «Kamchatka-2», 2015. pp. 181-191.
26. Kutateladze S.S. Osnovy teorii teploobmena (Fundamentals of the theory of heat transfer), Moscow: Atomizdat, 1979, 416 p.
