Число неупорядоченных покрытий конечного множества подмножествами фиксированного размера Текст научной статьи по специальности «Математика»

2010

Теоретические основы прикладной дискретной математики

№4(10)

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

УДК 519.1

ЧИСЛО НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ ПОКРЫТИЙ КОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА ПОДМНОЖЕСТВАМИ ФИКСИРОВАННОГО РАЗМЕРА

Р. М. Ганопольский

Тюменский государственный университет, г. Тюмень, Россия E-mail: [email protected]

Рассматривается новый вид комбинаторных чисел, исчисляющих количество покрытий конечного множества подмножествами с заданными мощностями. Доказывается ряд соотношений и тождеств. Вычисляются некоторые суммы этих чисел. Приводятся частные случаи новых комбинаторных чисел при определенных значениях коэффициентов и интерпретация этих чисел.

Ключевые слова: покрытие, конечное множество, комбинаторные числа.

1. Основные понятия

Пусть дано конечное множество X мощности п и семейство 8 его непустых несовпадающих подмножеств, являющееся покрытием изначального множества:

где р (X) — семейство всех непустых подмножеств множества X [1]. Множество всех покрытий 8, удовлетворяющих условию (1), обозначим С (X):

а множество покрытий, содержащих только собственные подмножества X, обозна-

Для множества покрытий, содержащих ровно к подмножеств, где 1 ^ к ^ 2П — 1, используем обозначение С к (X):

|X| = n,

S с P (X) , U Ua = X,

(І)

Uae S

чим C / (X) :

C' (X) = {S Є C (X) : X Є S} .

(3)

Cfc (X) = {S Є C (X): |S| = k} .

В качестве примера конечного множества X можно взять множество целых чисел от 1 до п:

Xra = {1, 2,..., п} . (5)

Согласно работам [1, 2], мощность множества С (X), равную количеству всех покрытий конечного множества, можно вычислить по формуле (для пустого множества по определению мощность множества покрытий равна 1):

1 П

|С (Х)| = - £ (-1)*с; 22-, (6)

2 i=0

мощность множества С' (X) — по формуле

1 п 22"

|С' (Х)| = - £(—1Гс;22- - —, (7)

2 i=0 4

а мощность множества Ск (X) — по формуле

i=0

где — биномиальный коэффициент:

|Ск (Х)| = £(—1)с;Ск__!,

П!

сп = ^ = ст. (9)

г!(п — г)!

Зафиксируем мощности подмножеств, составляющих семейство 8 (1), и введем обозначение

8 (кх, &2,... , кп) (10)

для покрытия, содержащего ^ подмножеств мощности г (для всех г). Мощность такого покрытия равна

п

|8 (кх, к2,..., кп)| = £ ki.

п

i=1

Аналогично обозначениям (2)-(4) введем обозначение для множества семейств (10): С (кх, к2,..., кп) (X) = {8 (кх,к2, ...,кп)} . (11)

Мощность введенного множества обозначим следующим образом:

|С (кх,к2,... ,кп) (X)| = nN (кх,к2, ...,кп). (12)

В случае, когда не равны нулю только несколько к, будем пользоваться другим обозначением:

п <£.£”. (13)

где ki — это количество подмножеств мощности ^ в покрытии. Например:

— 4Ж| = 4Ж(0, 3, 0, 0) —количество покрытий множества мощности 4, состоящих из трех подмножеств мощности 2;

— 5N"23 = 5^(0, 3,1, 0, 0) —количество покрытий множества мощности 5, состоящих из трех подмножеств мощности 2 и одного подмножества мощности 3.

Подобное обозначение введем и для множества семейств (11):

пС{;£ • • £ (X). (14)

Для фиксирующих коэффициентов в (12) существуют следующие ограничения:

0 ^ к ^ с;,

а для коэффициентов в (13), (14) —следующие:

1 ^ т ^ п,

1 ^ /і < /2 < ■ ■ ■ < 1т ^ п,

1 ^ к ^ с1;.

Рассмотрим множество X мощности 3 в виде набора чисел Хз = {1, 2, 3}, а также все различные покрытия Х3, состоящие только из подмножеств мощности 2:

{1, 2} и {2, 3} = Хз,

{1, 3} и {2, 3} = Хз,

{1, 2} и {1, 3} = Хз,

{1, 2} и {2, 3} и {1, 3} = Х3.

Таким образом, комбинаторные числа вида 3^2 = 3^(0, к, 0) равны

3Ж(0,1,0) = 0; 3Ж(0, 2, 0) = 3; 3N(0, 3, 0) = 1.

Рассмотрим теперь все покрытия Х3, состоящие из подмножеств мощности 2 и 3:

{1, 2} и {1, 2, 3} = Хз,

{1, 3} и {1, 2, 3} = Хз,

{2, 3} и {1, 2, 3} = Хз,

{1, 2} и {2, 3} и {1, 2, 3} = Хз,

{1, 3} и {2, 3} и {1, 2, 3} = Хз,

{1, 2} и {1, 3} и {1, 2, 3} = Хз,

{1, 2} и {2, 3} и {1, 3} и {1, 2, 3} = Хз.

Следовательно, комбинаторные числа вида 3N2г3 = 3N(0, к, /), где к = 0 и / = 0, равны

зN (0,1,1) = 3; зN (0, 2,1) = 3; з N (0, 3,1) = 1.

С помощью перебора всех вариантов покрытий можно получить и остальные коэффициенты вида ^(т, к, / ):

^(1, 0, 0) = 0, ^(2, 0, 0) = 0, ^(3, 0, 0) = 1, зN(1,1, 0) = 3,

зN (2,1, 0) = 6, зN (3,1, 0) = 3, зN (1, 2, 0) = 9, з N (2, 2, 0) = 9,

^(3, 2, 0) = 3, ^(1, 3,0) = 3, ^(2, 3, 0) = 3, зN(3, 3, 0) = 1,

^(1, 0,1) = 3, ^(2, 0,1) = 3, ^(3, 0,1) = 1, зN(1,1,1) = 9,

зN (2,1,1) = 9, зN (3,1,1) = 3, зN (1, 2,1) = 9, з N (2, 2,1) = 9,

^(3, 2,1) = 3, ^(1, 3,1) = 3, ^(2, 3,1) = 3, ^(3, 3,1) = 1.

2. Соотношения и тождества

Все соотношения и тождества для комбинаторных чисел (12), (13) сначала будем получать для простого вида чисел, когда все подмножества покрытия имеют одинаковую мощность (то есть для комбинаторных чисел ). В этом случае фиксируем количество и мощности множеств.

Найдем зависимость комбинаторных чисел га^к от биномиальных коэффициентов С* и комбинаторных чисел предыдущих порядков вида га-і^к. Множество Х мощности п имеет СП подмножеств мощности /. Из этих подмножеств можно выбрать СС,

Сп

способами к подмножеств. Не все эти наборы подмножеств будут являться покрытием множества Х. Некоторые из них являются покрытиями собственных подмножеств исходного множества Х. Следовательно, число покрытий множества Х к подмножествами мощности / будет равно СС, минус число всех покрытий собственных подмножеств

Сп

тем же количеством подмножеств с такими же мощностями:

|„С,‘ (Х)| = С‘, - £ ||„„|С,‘ (Щ|. (15)

п иа СХ

У множества мощности п существует С„ подмножеств мощности (п—і). Количество покрытий множества мощности п — і — это комбинаторное число га-і^к. Окончательно получаем рекуррентное соотношение для числа покрытий множества:

= ССП — га-1^к СП — „-2^ СП — га-з^к СП —••• (16)

Вычитаемые в (16) берутся пока га-і^к > 0, то есть пока С„_* ^ к. Таким образом,

формулу (16) можно записать в компактном виде

С1 .^к

П — 1

Х = ССп — £ „-*^кС„. (17)

п і^і

Соберем в соотношении (17) все слагаемые с комбинаторными числами Nf с одной стороны, а биномиальный коэффициент СС, —с другой:

Сп

С .^к С .^к

п —г п — г^

ССП = Х + £ „_і^к С„ = £ „-і ^к С„. (18)

і^і і^0

Выражение (18) представляет собой биномиальное преобразование [3]. Используя обратное биномиальное преобразование, получим

„Дк = £(— 1)іС„ Ск, = С‘, +£(— 1)іС„ С*, . (19)

і^0 п—1 п і^і п—1

Выведем аналогичное (19) выражение для общего случая. Из множества Х мощности п можно выбрать С„г способами подмножество мощности /і. Из этого числа подмножеств выбрать кі подмножеств можно Скг,. способами. Так как все задаваемые

Спг

мощности /і не равны между собой, то выбрать семейство, содержащее к1 подмножеств мощности /1, к2 подмножеств мощности /2 и т. д., можно следующим числом способов:

т

к.

1г .

П СС

і=1 С

Таким образом, в общем случае выражение (15) будет иметь следующий вид:

к=т

кс^ :(Х)|= П С;,, - е ||и.|0‘‘‘2:(щ|.

г=1 *п иаСХ

У множества мощности п существует С" подмножеств мощности п — г. Количество покрытий множества мощности п — г подмножествами с фиксированными мощностями есть комбинаторное число П-г^г;1г;2,"г';т. Получаем рекуррентное соотношение для числа покрытий множества:

лйк’.'й" = П с*;,, — е с; „—.^к!,”-, (20)

г=1 *п г>1

где параметр суммы г ограничен сверху соотношениями

V? е {1, (С"— ^ ^)

Избавившись в правой части (20) от комбинаторных чисел N с помощью биномиального преобразования, получим нерекур только биномиальные коэффициенты:

ного преобразования, получим нерекуррентное выражение для га^к;;2..'^”, содержащее

110 110 Хь2.'..”" = П С*;,, + Е(—1)*с; П сД . (21)

г=1 *п г^1 .7=1 *п—;

Найдем зависимость комбинаторных чисел "N1' от комбинаторных чисел предыдущих порядков вида га—,^к—^ где 0 ^ г ^ /. Рассмотрим произвольное покрытие множества мощности п — г, состоящее из к — 1 подмножеств мощности /. Теперь добавим в него еще одно множество мощности I таким образом, чтобы получившееся семейство стало покрытием для множества мощности п. Для этого добавляемое множество должно содержать г элементов, не входящих в изначальное множество мощности п — г,

и, следовательно, I — г элементов, входящих в него.

Рассмотрим случай, когда г = 0. У множества мощности п существует С" подмножеств мощности /. Из них к — 1 уже входят в покрытие. Значит, в это покрытие можно

добавить одно из С" — к + 1 оставшихся подмножеств. Так как у множества мощно-

сти п существует "N1 -1 покрытий, состоящих из к — 1 подмножеств мощности /, то добавление еще одного подмножества дает

(С" — к + 1) „Дк—1 (22)

покрытий этого множества к подмножествами мощности /.

В случае, когда г > 0, существует -1 покрытий множества мощности п — г

подмножествами мощности I в количестве к — 1. У множества мощности п существует С"- подмножеств мощности п — г. Способов выбрать I — г элементов из множества мощности п — г равно С"-^. Таким образом, количество возможных вариантов получения из покрытий множества мощности п — г покрытий множества мощности п равно

ш—% дтк—1 _ дтк—1 /^99^

"-гС" "—= С"-гС""—. (23)

Так как добавить в покрытие можно любое из к подмножеств мощности /, то, просуммировав (22) и (23) для всех г, окончательно получаем

Nк = — = к

(С" — к +1) „^к—1 + Е С^Си—^*

г=1

Вынося одно слагаемое, получаем другой вид выражения (24)

1 1 к — 1 „Лк = - Е - —X-1.

к г=0 к

(25)

С помощью аналогичных рассуждений можно вывести соотношение для общего случая

N к1* * * * * кт

• • г,-• • гт

1

к,

к 1 • • • (к ^ — 1) • • • кт

(СП - к, +1) Х1;;,'к;—;> • • • кт + Е с„—•сп^л^:,';^

г=1

(26)

где 1 ^ ^ т.

Получим выражение (24) с помощью ряда преобразований выражения (19). Подставив тождество

/~ук _____

ссП =

С«. - к + 1 ск—1

к

СП

в (19), получим

N к

1

к

Е(-1)гСга (С!—г - к + -) СС

г>0

к—1

,

Теперь подставим вместо ССг 1 правую часть соотношения (18

1

к

Е(-1)гСга (С1—г - к + 1 Е „—,—гЛгк 1с'—г

г>0

,>0

Произведем замены г + ^ ^ г и г ^ ^ и поменяем порядок суммирования:

1

Ж

Е„—глгк 1 Е(-1)'с^—,с' (с1—, - к + ^

г^0 ,=0

„Лг к

Разложим выражение под знаком суммы на два слагаемых:

Е(-1)'Сга—‘,СпС^-7 - (к - 1) Ё^1^С^—‘' Сп.

,=0

,=0

(27)

При г = 0 вторая сумма равна 1. Для вычисления сумм воспользуемся тождествами для биномиальных коэффициентов [3]:

с; с^—;

с; с * сз сз—; с ; с г+* = с;+*с ,

с; = (-1); с;—5—1

Ес; ср—; = с* с«+р.

(28)

Преобразуем первую сумму в (27):

Е (-1)' с— с, С1—, = с; е (-1)' С СД—' = с; Е (-1)' с, (-1)„—1—' с„———'

,=0 ,=0 ,=0

С г / 1\„—1^у„—1 __ у^уг ^у„—1 _ у^уг /^1—г

„(-1) сг-1- 1 = СгаСга—г = СгаСга—г.

Вторую сумму вычислим для г > 0:

Ё (-1)' с;—, с„ = Е (-1)' с' = (-1)г Е с^сП = (-^с— = о. (зо)

,=0 ,=0 ,=0

Воспользовавшись (29) и (30), а также учитывая значение второй суммы при г = 0, получаем выражение (24).

Рекуррентное соотношение (24) при к =1 и п = I дает

г N = 0№_

Таким образом, получаем

0№ = 1,

что можно интерпретировать следующим образом: число покрытий пустого множества семейством подмножеств, не содержащим ни одного подмножества, равно 1.

3. Суммы

Вычислим сумму всех комбинаторных чисел „Л(к1к2 • • • к„) для определенного п. Для это воспользуемся выражением (21)

„„

Е (к1, к2, • • • , к„) = Е Ё(-1);с„ П ,,

к^0 к^0 г '=1 п—г

где к ^ 0 — общее условие для всех чисел из набора (к1, к2,... , к„). Поменяем порядок суммирования, вынесем один множитель из произведения и воспользуемся тождеством

Е с„ = 2„:

г

П П

Е„л(к1,к2,...,к„) = Е(-1);с„ Е с* е П сСк^ = Е(-1);с;2с.:- е П с£ .

к^0 г к3^0 к^0 '=« п-г г к^0 '=« п-г

Аналогично, вынося по одному множителю, получим

„ ^ С * „

Е „Л(к1, к2,... , к„) ^(-1);с„2 * - = Е(-1);с„22"-г—1 к>0

что равно числу всех покрытий множества мощности п (6) Получим значения следующих сумм:

Е C;„-;Nk,k•••il;;"; (31)

г^0

Е (-l)"„N1k'11k'’•t"; (32)

га^1

(33)

га^1

£ & £•". (34)

га^1 ' '

В выражении (20) переносом всех комбинаторных чисел „Лгк1гк2 А г".^- из правой части получаем сумму (31):

т

Егп ]\7klk2• • • кт _ тт ^к*

с„„ — ^1 12 •• • гт = П сС !г .

г>0 г=1 Сп

Для нахождения других сумм воспользуемся соотношениями (25) и (26). Подставим в (32) вместо „Л,к правую часть из (25) и преобразуем выражение:

к- 1

Е(-1)„„Лгк = Е(—1)„ ^с„——^„п—гЛгк—1 - —„Лк—1

„^1 „^1 \к г=0 к

1 г к — 1

- Е (-1)„Ес„—;;с„„—гЛгк—1 - — Е Н'„ ^к—1

к„^1 г=0 к „^1

гЕ(-1)„Е с„-—;с„„—гЛк—1 - — Е(-1)„„Лгк—1. (35)

В первой сумме в (3) произведем замену п — г ^ п:

Е (—1)„ Е C„■-■;C;„-;N1k'-1 = Е(— l)“nN^ 1 Е (— 1);с„ + ;с„-г.

„^1 г=0 „ г=0

Воспользуемся тождествами (28):

I I

Е( 1 \;Гч; гч'—г _ ^ гч; гч'—г __ г1' _ I 1 Л'Г1' __ I 1 \г

( 1) с„+гс„ = 2_^ с —„— 1с„ = с — 1 = ( 1) сг = ( 1) .

г=0 г=0

Подставив значение первой суммы в (3), получим рекуррентное соотношение

(—1)' — к + 1 к

„^1 к „^1

Е(—1)„„ N = ' 4 , " * E(-l)"„N1k-(36)

Для к = 1 значение суммы (32) равно

Е (—1)„„л/ = (—1)', N = (—1)г.

„^1

Коэффициент в выражении (36) при четных и нечетных значениях / соответственно равен

(—1)' — к + 1 Г —1, если / нечетное,

к | —-—, если / четное.

к

При к = 2 коэффициент для четных / равен 0. Окончательно получаем

{(—1)к, если / нечетное,

1, если / четное и к = 1,

0, если / четное и к > 1.

В общем случае сумма (32) равна

{(—1)Е к, если все /г нечетные,

(—1)Ек, если кг = 1 для всех четных /г; сумма идет только по г, для которых /г нечетно,

0, если кг > 1 хотя бы для одного четного /г.

Подставим „Л,к из (25) в (33) и преобразуем получившееся выражение:

Е = Е ^ ( к Ес—с,. гЛ'к—1 ^ „Л'к -

1у^(-1)„^сг—г сг дГк — 1 к — 1у^(-1)„ Лк — 1

—гс„„—гЛ' ^ „Л .

„^1 г=0 „^1

Воспользуемся тождеством

1 с г 1 с г

„ с„ „ •с„— 1 п п — г

и произведем замену п — г ^ п в первой сумме:

1 Е ^Ес„—-;;с„„—гЛ'к—1 = 1 Е ^ Е(- !)гс^3

„^1 г=0 „ г=0

Для вычисления суммы произведений биномиальных коэффициентов воспользуемся тождествами (28):

„+г—

г=0 г=0

Е( 1 '\г/",‘—г^*г _ V'' /"Ч—г^»г ____ _ п

( 1) с„ с„+г — 1 = 2_^ с„ с —„ = с0 = °-

г=0

Таким образом, получаем

Е (—11)" ^к = — ^ Е ^ ^—1 = Е ^ „Л,1 (37)

^ п „ ' ~ к ^ п „ ' “ к ^ п „ '

„^1 „^1 „^1

Для к = 1 значение суммы (33) равно

Е=<^'Л/- (-1)г

п „ ' / ' ' /

„>1

Окончательно получаем значение суммы комбинаторных коэффициентов:

Е <-i)-„N'k 1

/ п

„^1

В общем случае для т > 1 сумма (33) равна

(—1)„ ¥кг-к^-кт = (—1)кг+'г —:1 (—1)„ ¥кг-Ь-к- = 0

/ V п „^Г-гг-'- = к7- ^ п ^•••'г—'т = 0,

„>1 г г „>1

так как, согласно (37)

Е ^ -N'^1.^;;'k:• =—Е Цт- "N£;;i0;^' = 0. (38)

„^1 „^1

С помощью подобных же выкладок вычислим сумму (34):

(-1)" „,к_ ^ (-1)" V-п'.-,п<. »,к-1 к — (—1)„ „к-,.

„

к-

V" ( 1) Лк = 1 V ( 1) с'—г с г - Лк—^ к_______1 V"

п(п — 1) „ ' к ^ п(п — 1)^-' „—г „„ г ' к ^ п(п — 1)

^•">1 ^ ' „>1 г=0 „^1

— 1) „ ' 1 \ / ^ „—г^„„—г ' 7„ 1\„ ' ’

„>1

1 с г _ _____1________с г

с„ Л („• 1 ^ с„— 2;

п(п — 1) „ (п — г)(п — г — 1)

( 1)„ ( 1)„

\ Л ( 1) \ А/^1—г ^г лтк— 1 ___ \ Л ( 1) лтк—1 \ "V -]\г^'11—г^'1г

п(п_ с„—-с„„—гЛ' = 2_^ п(п_ 1) „Лг 2^(—1) с„ с„+;—2;

„>1 ' ' г=0 „ г=0

Е(__1 \ггч'—ггп _ V'' гч'—ггп _ гч' _ ) 1, если 1 1,

( 1) с„ с„+;—2 = £, с„ с—„+1 = с1 = 1 0, если / > 1

г=0 г=0

Для к = 1 и / > 1

V (—1)„ -1 (—1)' -1 (—1)'

2^п(п_ 1) „Л' = Тп~1) 'Л'

„>1

Для / = 1

(—1)„ дГк = к — 2 ^ (—1)„ лГк—1_ (—1)к

2^п(п- 1) „^ = к 2^п(п- 1) „^

„^п(п —1) к п(п —1) к(к —1)-

Окончательно:

{(—1)к

— —, если Т = 1,

к(к — 1)

(—1)к+' 1

—-:-—, если / > 1.

к/(/ — 1)

Используя выкладки, аналогичные (38), получим, что для т > 1 сумма (34) равна 0:

\ Л ( 1) ДГ к1к2^ • • кт _ 0

2^п(п — 1) „^ • • '- =0.

„^1

4. Частные случаи

Рассмотрим частные случаи комбинаторных чисел (13), когда их коэффициенты заданы или связаны определенными соотношениями.

'

у„— 1

При к > с1п_ _1 в выражении (19) остается только одно слагаемое:

к > с' —1 ^ „Л/* = сСп.

То есть к подмножеств мощности / не могут являться покрытием ни одного собственного подмножества исходного множества (при условии вхождения этих к подмножеств в собственное подмножество). Аналогично в выражении (21): если к' > 1 хотя бы

для одного из коэффициентов к', то

т

„м •;к*'"• кт = п с\.

„ '!• • • ' *• • • 1г

* г=1 Сп

Из этого тождества следует, что если в комбинаторном числе „Л(к1, к2,..., к„) последний коэффициент равен 1 , то

„— 1

„Л(к1,к2,... ,к„—1,1) = П сСгг.

Сп

г=1

Просуммировав все комбинаторные числа вида „Л(к1, к2,... , к„—1,1), получим

Е„Л (к1 ,к2,...,к„—1,1) = 22П—2, к^0

что равно количеству всех покрытий множества мощности п, включающих в себя исходное множество. Вычтя это число из общего числа покрытий множества мощности п, получим выражение (7).

Используя выражение (8) и сумму комбинаторных чисел с одинаковым количеством подмножеств в покрытии, можно вывести соотношение

ЕдгА:іЙ2-• • кт _ 1 V''/' лЛгГУгГУк

гаіУІіІ2-• •Іт = о ^( СгаС2"-4-Г

^к;=к 2 г=0

Для простого вида комбинаторных чисел при к = СП из (19) получаем

к = С1П ^ „Жк = 1.

Если п = Е кі/і, то каждый элемент множества X принадлежит только одному из подмножеств покрытия. Таким образом, все покрытия представляют собой неупорядоченные разбиения множества X на подмножества фиксированного размера [3 - 5]:

т п!

п = Vк-/- =*>- /ук1к^• • кт =__________________:_________________ (39)

і іг ” ^ • -Іт (/і !)к1 (/2!)к2 ••• (/т!)кт кі!к2! ••• кт!. ( )

При т =1 получим

і N

к (к/)! кІ^1 (/!)кк!

Количество всех неупорядоченных разбиений п-элементного множества задается числом Белла В» [3]. Таким образом, сумма всех новых комбинаторных чисел, для которых п = Е кг/г, равна В». Вследствие этого получаем соотношения между различными комбинаторными числами:

в» = е «Кй^,

^ =»

В» = п! Е ((/1!)"1 (У)"2 ■ ■ ■ (/т!)к: №! ■ ■ ■ кт!)-1.

^ кг!г=»

Если п = Е кг/г — 1, то один и только один элемент множества X принадлежит двум подмножествам покрытия. Исключим одно из них из покрытия. Пусть мощность этого покрытия /г. Тогда оставшееся семейство подмножеств будет являться покрытием для подмножества мощности п — /г + 1, каждый элемент которого будет принадлежать только одному подмножеству покрытия. Число таких подмножеств в множестве X равно

С»—1г + 1 _ С 1г — 1

С» С» .

Любой из п — /г + 1 элементов подмножества может быть в добавляемом подмножестве. Таким образом, количество вариантов построения из покрытия подмножества мощности п — /г + 1 покрытия множества X равно

(п — /г + 1)С»г —1»—гг+1#£;;£—:• • к:.

Общее количество вариантов построения покрытия множества X из покрытий подмножеств равно

т

Е(п — /г + 1)С»г —1„—1г+1^к ^г—: • • к: .

г=1

Так как один элемент принадлежит двум подмножествам в покрытии, то каждое покрытие посчитано два раза. Таким образом, окончательно получаем

1т

п^1.'.'г!т = 2 Е(п — /г + 1)С»г—1»—г4+1<1::£—^'' кт. (40)

2 г=1

Упростим выражение (40), учитывая, что п = Е к' — 1, а

п — /г + 1 = Е к' 1' + (к — 1)/г.

'=г

То есть для комбинаторных чисел, стоящих под знаком суммы в (40), можно применить выражение (39):

N кг • • кт = ^ (п — /г + 1)п! (п — 1 + 1)!

П 11-• • 1т / у

г=1

2(/г — 1)!(п — /г + 1)! (/1!)к1 ■ ■ ■ (/г')к^-1 ■ ■ ■ (/т!)т^1! ■ ■ ■ (кг — 1)! ■ ■ ■ кт!

(п — /г + 1)кг/г (п + 1)!

г=1 2(п + 1) (/1!)к1 ■ ■ ■ (/г!)к* ■ ■ ■ (/т!)тк1! ■ ■ ■ кг! ■ ■ ■ кт!

1 / т т \

.+1^1 • • г^Т ( (п + 1) Е кг/г — Е кг(/г)2 ) =

\ г=1 г=1 /

2(п + 1)

к1^• • кт______________________________1_ I {ю I 1 \2

1 / т

= 5(пЛ)1<п +1)2 — Ё кг</г)^ .

Для т =1 получим

Лк = /(к — 1) л»_ /(к — 1) (к/)! к!-1^; = ---------------- -кгЛг

2 кг г 2 (/!)кк!’

Найдем общее количество покрытий, в котором все подмножества одной мощности,

то есть сумму

г

Е»Лк.

к

Подставим выражение для простых комбинаторных чисел (19) и преобразуем:

Е..Л» = ЕЕс*, с;(—1)г = ес;(—1)гЕс* = Ес;(—1)г(2сП- — 1).

к к г п— г к п— г У 7

Раскрывая скобки и учитывая, что Е С.(— 1)г = 0, окончательно получаем

Е;Лгк = £ с;(—1^2*"-

г=0

При к = 2 получаем целочисленную последовательность А006129 в ОЕ1Б [6].

5. Интерпретация

Новые комбинаторные числа, исчисляющие количество неупорядоченных покрытий конечного множества подмножествами с фиксированными мощностями, можно применять в следующих областях:

1) Конечные множества, покрытия множеств. С помощью новых комбинаторных чисел (12) и (13) можно вычислять количества покрытий конечных множеств с различными ограничениями: фиксирование мощностей подмножеств покрытия, ограничивающие соотношения для количества подмножеств в покрытии, общие условия на мощности и количество подмножеств. Вместо способа подсчета ограниченных условиями покрытий множеств, использующего метод исключения из общего числа покрытий, не удовлетворяющих заданным условиям [5], можно вычислять покрытия с помощью суммирования новых комбинаторных чисел, ограничивая параметры сумм.

2) Распределение элементов по классам. Покрытие конечного множества заданным числом подмножеств с определенными мощностями можно интерпретировать как распределение элементов множества по классам с условиями, что элемент может принадлежать нескольким классам, при этом он должен принадлежать хотя бы одному классу, а также нет идентичных друг другу классов. Новые комбинаторные числа можно применять для вычисления количества распределений по классам с заданными характеристиками (количество и мощности классов) [7, 8].

3) Диаграммы Эйлера — Венна. В качестве наглядного представления, с помощью которого можно изобразить отношения между подмножествами или классами элементов, обширно используются диаграммы Эйлера — Венна. Для вычисления вариантов распределения элементов по диаграммам могут служить новые комбинаторные числа [9].

4) Двудольные графы [10]. Покрытие конечного множества семейством несовпадающих подмножеств можно интерпретировать как частный случай двудольного графа G(X U S, E), в котором каждый элемент (вершина) из X связан ребром хотя бы с одним элементом (вершиной) из S и обратно: для каждой вершины S есть хотя бы одно ребро, связывающее вершину из X с данной вершиной. Кроме того, любую пару вершин из X и S связывает только одно ребро. При этом есть условие, что для любых двух вершин из S наборы вершин из X не должны совпадать. Для подсчета таких двудольных графов с зафиксированным количеством ребер можно использовать комбинаторные числа (12) и (13).

ЛИТЕРАТУРА

1. Comtet L. Advanced Combinatorics. The Art of Finite and Infinate Expansions. Dordrecht, Holland: D. Reidel Publishing Company, 1974.

2. Macula A. J. Covers of a finite set // Mathematics Magazine. 1994. V. 67. No. 2. P. 141-144.

3. Кнут Д., Грэхем Ф., Поташник О. Конкретная математика. Основание информатики. М.: Мир, 2006.

4. Эндрюс Г. Теория разбиений. М.: Наука, 1982.

5. Stanley R. P. Enumerative Combinatorics. V. I. Cambridge University Press, 2002.

6. http://oeis.org/classic/A006129 — On-Line Encyclopedia of Integer Sequences — энциклопедии целочисленных последовательностей.

7. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.

8. Риордан Д. Введение в комбинаторный анализ. М.: ИЛ, 1963.

9. Burger A. P., van Vuuren J. H. Balanced minimum covers of a finite set // Discrete Mathematics. 2007. V.307. No. 22. P. 2853-2860.

10. Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982.