Комбинаторные числа для подсчёта разбиений конечных мультимножеств Текст научной статьи по специальности «Математика»

2013

Вычислительные методы в дискретной математике

№4(22)

УДК 519.1

КОМБИНАТОРНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ПОДСЧЁТА РАЗБИЕНИЙ КОНЕЧНЫХ МУЛЬТИМНОЖЕСТВ

В. В. Гоцуленко

Институт технической теплофизики НАН Украины, г. Киев, Украина

E-mail: gosul@ukr.net

Рассматриваются комбинаторные числа для подсчёта всех разбиений произвольного конечного мультимножества как в упорядоченную, так и в неупорядоченную сумму его подмультимножеств. Найдены производящие функции для введённых комбинаторных чисел и исследованы некоторые свойства этих чисел.

Ключевые слова: разбиения мультимножества, диофантовы уравнения, производящие функции.

В классическом смысле под разбиением [1,2] произвольного множества понимают его представление в виде объединения произвольного числа попарно непересекающих-ся подмножеств. Всякое представление натурального числа суммой натуральных чисел также называется разбиением этого числа. Разбиения конечных множеств изучаются в комбинаторике и теории чисел.

К основным комбинаторным задачам относятся задачи подсчёта и перечисления разбиений данного типа [1, 2]. Разбиения конечных множеств, а также подсчёт числа различных разбиений, удовлетворяющих тем или иным условиям, представляет особый интерес в комбинаторике. В частности, некоторые комбинаторные числа естественно возникают как количества разбиений того или иного вида. Например, число Стирлинга второго рода S (т, и) [1,2] представляет собой число неупорядоченных разбиений т-элементного множества на и частей. При этом мультиномиальный коэффи-

множества на и частей фиксированных размеров к\, к2,... , кп. Отметим, что многие комбинаторные задачи приводят к вычислению числа способов разбиения т-элемент-ного множества на и подмножеств, среди которых допускаются и пустые подмножества. Однако в этом случае задача сводится к определению числа всех (неупорядоченных) разбиений заданного т-элементного множества на не более чем и непустых его подмножеств. Число всех неупорядоченных разбиений (без пустых подмножеств) т-элементного множества называется числом Белла Вт [1, 2].

Одно из возможных обобщений приведённых выше комбинаторных конструкций связано с допущением дублирования во множествах некоторых элементов, т. е. переход к мультимножествам.

1. Формализация комбинаторных чисел для подсчёта неупорядоченных

разбиений конечных мультимножеств

Обозначим через X = {т\а\, т2а2,... , т«} исходное мультимножество, которое необходимо представить в виде неупорядоченной суммы и подмультимножеств Хк,

Введение

выражает число упорядоченных разбиений m-элементного

к = 1,..., п. Отметим также, что вектор первичной спецификации [4] каждого из под-мультимножеств Хк имеет вид

[к1, к2,..., kN]т , где 0 ^ кг ^ ш,, г = 1,...,

П

Для произвольного представления X = У Хк обозначим через Хкьк2,...,км число

к=1

подмультимножеств Хк с вектором первичной спецификации равным [к1, к2,... , к^]Т.

Набор целых неотрицательных чисел Хк1,к2,...,км, как несложно проверить, является решением системы линейных диофантовых уравнений:

✓ k1 m1

mi m2 mN xki,k2,...,kN k2 = m2

ki=0 k2=0 kN =0 kN

mN

ш\ m2

xki,k2,...,kN n-

^ ki=0 k2=0 kN =0

Данная система содержит (1 + mi) (1 + m2) ... (1 + mN) неизвестных xki,k2,...,kN и N +1 уравнений.

Таким образом, задача сводится к определению числа всех целых неотрицательных решений системы уравнений (1). Обозначим данное число через S (m1,m2,... , mN; n).

Получим производящую функцию для введённых комбинаторных чисел S (m1,m2, ... ,mN; n). Рассмотрим для этого следующую промежуточную задачу. Обозначим через A = (aij)nxm произвольную матрицу с целыми неотрицательными элементами, через b = (bi)n — произвольный вектор-столбец с целыми неотрицательными элементами. Определим число всех целых неотрицательных решений системы линейных диофан-товых уравнений

ai1x1 + ai2x2 + ... + aimxm bi, i 1 . . . , n. (2)

Данное число равно коэффициенту при t22 ... в разложении в степенной ряд производящей функции

m

п (1 - taij ta2j --Х"')-1. (з)

j=i

Для применения формулы (3) к определению числа целочисленных неотрицательных решений системы диофантовых уравнений (1) перенумеруем неизвестные xk1,k2,...,kN, ki = 0,1,•••,mi, i = 1,...,N, с помощью одного индекса. Одно из возможных таких взаимно однозначных соответствий, как несложно проверить, задаётся следующей последовательностью рекурсивно определяемых функций:

V (0 ^ i1 ^ m1, 0 ^ i2 ^ m2, • • •, 0 ^ iN ^ mN)

/2 (i1, i2) = i1 (m2 + 1) + i2 + 1,

/3 (i1, i2, ie) = /2 (i1,i2) + *3/2 (m1, m2) ,

/n (i1, i2, • • • ,iw) = /n-1 (i1, i2, • • •, iN-1) + *n/n-1 (m1,m2, • • • ,mN-1) •

Следовательно, задача (1) допускает представление в виде (2), если положить

А = («Ч)(М+1)х/м(Ш1,Ш2......ш№) , Ь = (Ь»)м+1 , (4)

где

Ур е {0,..., Ш1>(а1й = р), к = (р, *2, *3,..., -1, ), 0 ^ ^ ^ т8, 5 е {1,..., N} \ {1};

Ур е {0,... ,т2}(а2к = р), к = /^ (*1,р, *з,... ,*м-1,*м), 0 ^ г8 ^ т8, 5 е {1,..., N} \ {2};

Ур е {0,... ,ш^}(а^,к = р), к = /^ (*1, *2,... ,*м-1,р) , 0 ^ ^ т8, 5 е {1,..., N - 1};

«N+1,*: = 1, к = 1,... / (то1,Ш2,... ,ш^);

Ь* = т*, к = 1,..., N; 6м+1 = п.

Таким образом, полагая

/^ (т1,т2.

Фш1,ш2,..,ГО„ (^1,^2,...,^М+1)= П (1 - С' ^ ...*^++11'0 ,

.7 = 1

где элементы матрицы А определяются формулами (4), получаем, что число S (т1, т2,... , ; п) равно коэффициенту при ^Щ74 ... %+1 в разложении функции

Фш1,ш2,...,^ (^1, ^2,... , ^N+0 в степенной ряд, т. е. имеет место равенство

^ (т1, т2,..., ;п) = С?^;:.:;^ ^

где

\Т/ (+ + + \ _ ,/|т1,т2.;п у-г1у-г2 4-rN^rN+1

*т1,Ш2...(11, 12, . . . , ^N+1) гп,г2....гN,г\м+111 12 . . . +1 .

rl,...,rN+1^0

Для введённых комбинаторных чисел справедлива формула

N

5 (т1, т2,..., тМ; т) = 5 (т1, т2,..., тМ; п) для всех т ^ п = ^ т^. (5)

г=1

N

Действительно, если п = X] т», то в этом случае лишь одно разбиение, состоящее из

г=1

N

одноэлементных множеств, не содержит пустых множеств. Поэтому при п > X] т» все

г=1

разбиения мультимножества X = {т1а1,т2а2,... ,mN} получаются путём добавле-

N N

ния п — У2 т» пустых множеств в каждое разбиение при п = ^ т», что устанавливает

г=1 г=1

взаимно однозначное соответствие между рассматриваемыми разбиениями и, таким образом, доказывает формулу (5).

Далее рассматриваются некоторые частные случаи и примеры вычисления рассмотренных комбинаторных чисел.

Пример 1. Полагая т» = 1 для всех * = 1,...,N, получаем, что комбинаторное число 5 (т1,т2,...,тя; п) определяет число всех неупорядоченных п-эле-ментных разбиений N-элементного множества. Поэтому при п = N получаем, что 5 (1,1,..., 1; п) = , где — число Белла.

Как частный случай формулы (5), получаем

5 (1,1,..., 1; т) = 5 (1,1,..., 1; п) для всех т ^ п, п е N.

В данном случае элементы матрицы (4) лежат в булеане {0,1} и легко вычисляются, так как рекурсивная функция ^ (*1, *2, *3,... , ^) допускает представление в явной форме

N

/м (*1, *2, *3, • • • , ) — 1 + 2І1 + *2 + 2 Є {0,1} , в — 1,..., N.

к=3

Например, для случая N — 3 матрица (4) имеет вид

А

0 0 1 1 0 0 1 1 01010101 0 0 0 0 1 1 1 1 11111111

Следовательно, коэффициент при *1*2*з*4 в разложении в степенной ряд производящей функции

(1 - *3*4) (1 - *2*3*4) (1 - *1*3*4) (1 - *1*2*3*4)

(1 - *4) (1 - *2*4) (1 - *1*4) (1 - *1*2*4)

1

определяет комбинаторное число

S (1,1, 1; п) —

1, если п — 1,

2, если п — 2, 5, если п > 3.

Пример 2. Предположим, что имеется т1 предметов вида а1 и т2 предметов вида а2. Рассмотрим задачу определения числа способов разложения этих предметов по п одинаковым коробкам без каких-либо ограничений.

Таким образом, необходимо найти число способов разложения мультимножества

П

X — {т1а1,т2а2} в неупорядоченную сумму п его подмультимножеств X — и {Х&}.

к=1

В этом случае формулы (4) (при N — 2) приводят к следующему результату:

А — (аЧ)

"Ч ' 3х (ті+1)(т2+1)

Ь — (Ьг)г

где

Ур е {0,..., т1}(а1* = р) при р (т2 + 1) + 1 ^ к ^ (р +1) (т2 + 1); Ур е {0,..., т2}(а2к = р) при к = * (т2 + 1) + р + 1, * = 0,..., т1; аз* = 1, к = 1,..., (т1 + 1)(т2 + 1); 61 = т1,62 = т2, 63 = п.

Например, если т1 = 1 и т2 = 3, то матрица А имеет вид

А

0 0 0 0 1 1 1 1 01230123 11111111

и, следовательно, комбинаторное число 5 (1, 3; п) определяется как коэффициент при *1*2*? в разложении в степенной ряд производящей функции

(1 — *1*з)-1 (1 — *1*2 *з)-1 (1 — *1*2*3 )-1 (1 — *1 *2*з)-1 (1 — *3) (1 — *2*3) (1 — *2*3) (1 — *2*3)

Элементарные подсчёты показывают, что

Б (1, 3; п)

1, если п = 1, 4, если п = 2,

6, если п = 3,

7, если п ^ 4.

2. Формализация комбинаторных чисел для подсчёта упорядоченных разбиений конечных мультимножеств

Обозначим Б (т1,т2,... ,т^; п) число всех упорядоченных п-элементных разбиений мультимножества X = {т1а1, т2а2,... , }, предполагая, что допускаются

повторения подмультимножеств, а также пустые подмультимножества. Зафиксируем произвольное упорядоченное разбиение {Х^ : г = 1,... , п} мультимножества X. Обозначим через [к1г, к2г,... , &№], 0 ^ ^ т, 5 = 1,... , N, вектор первичной специфи-

кации подмультимножества Хг.

Тогда каждое упорядоченное разбиение мультимножества X однозначно задаётся следующей матрицей:

к11 к12 . . . к1п

к21 к22 . . . к2п

При этом из равенства и Хг = X следует, что элементы данной матрицы должны

г=1

быть решениями в целых неотрицательных числах системы линейных уравнений

П

Е ку = тг, г = 1,..., N. (6)

.7 = 1

Переименуем неизвестные ку одним индексом с помощью отображения (г,_7) ^ ^ (г — 1) п + [5] и запишем систему (6) в стандартной форме

где

Е «і?Ху = т*, і = 1, у=1

1, если (і — 1) п +1 ^ І ^ іп, .

X,

1, • • •, X, і = 1, • • •, Хп.

7)

0 в остальных случаях,

Таким образом, из соотношений (2)-(3), (7) следует, что комбинаторное число Б (т1, т2, ...,т^; п) равно коэффициенту при ^т-1 в разложении в степенной

ряд производящей функции

((1 — У” (1 — «2)“ ■■■ (1 — )“)

1

Наконец, используя разложение

1

(1 -

*=0

Е(-1)М ,Г Ь*

получим

Б (т1, т2, • • •, ; п) = (—1)

ті+т2+.-.+тм І п \ I п т1 т2

-п

тм

Замечание. Отметим, что формула для подсчёта упорядоченных разбиений конечных мультимножеств может быть получена без применения формул (2)-(3). Действительно, окончательно задача сводится к определению числа всех целых неотрицательных решений системы линейных диофантовых уравнений (6). Несложно проверить, что данное число равно коэффициенту при г^1 *™2 .. .*™^ в стандартном разложении по возрастающим степеням г^1 *22 .. . производящей функции

1 \п / 1 у / 1 \п 1 — V и — V "л 1 — .

Отсюда, воспользовавшись тождеством

п + к — 1 ^ получаем

а, \ ( п + т1 — 1 \ / п + т2 — 1 \ / п + — 1 \

Б (т1,Ш2,...,т^; п) = ... .

V т1 / V т2 ) V т« /

Заключение

В данной работе задача о подсчёте числа различных разбиений конечного мультимножества сведена к определению числа всех целых неотрицательных решений соответствующей системы линейных диофантовых уравнений с многоиндексной нумерацией неизвестных. Полученные соотношения (4) позволяют представить данную систему в стандартной форме (2), для которой известен явный вид производящей функции (3). Это позволило получить производящие функции для рассматриваемых комбинаторных чисел и исследовать некоторые их свойства. При этом для числа всех разбиений произвольного конечного мультимножества в упорядоченную сумму его подмульти-множеств получены явные формулы.

Отметим, что для практики, безусловно, важны не только формулы (или алгоритмы) вычисления тех или иных комбинаторных чисел, но и оценки и асимптотики этих чисел [6]. Однако вопросы, связанные с эффективностью реализации вычислений с помощью полученных соотношений, требуют дальнейшего исследования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. М.: Мир, 1990. 400 с.

2. Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов. СПб.: Питер, 2009. 384 с.

3. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. М.: Наука, 1969. 323 с.

4. Заторский Р. А. Подсчет т-подмультимножеств через их вторичные спецификации / под ред. К. А. Рыбникова // Комбинаторный анализ. М.: МГУ, 1986. Вып. 7. С. 136-145.

5. Гоцуленко В. В. Формула для числа сочетаний с повторениями при ограничениях и её применение // Прикладная дискретная математика. 2013. №2(20). С. 71-77.

6. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986. 384 с.

1 - г

Ж / Е

к=0 V

п

1