CC BY
41
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м X
197 9
№ 1
УДК 532.516
ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ГИПЕРЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ СФЕРЫ С УЧЕТОМ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ
В. К. Молодцов
Рассматриваются численные результаты расчетов течения вязкого газа около теплоизолированной сферы при малых числах Рейнольдса, полученные на основе полной системы уравнений Навье — Стокса и граничных условий скольжения. Приводится краткое описание способа построения разностной аппроксимации уравнений Навье —Стокса и метода решения. Дается сравнение численных и экспериментальных данных.
1. Одним Из направлений исследования аэродинамических характеристик тел при полетах в разреженной атмосфере является изучение обтекания тел на основе модели сплошной среды. В качестве математической модели, описывающей течения подобного рода, довольно широкое распространение получила полная система уравнений Навье — Стокса при граничных условиях скольжения и температурного скачка [1].
Известные к настоящему времени численные решения задач обтекания [2, 3], полученные на основе этой модели, приемлемо согласуются с экспериментальными данными, а также с аналогичными данными, полученными в результате решения уравнения Больцмана.
В работе [2] приводятся постановка и численные решения задачи о гипер-звуковом обтекании плоской пластины потоком разреженного газа, а в работе [3] рассматривается течение газа в окрестности критической точки затупленного тела.
В настоящей статье приводятся результаты расчетов стационарного течения во всей области вблизи поверхности теплоизолированной сферы при малых числах Рейнольдса.
Численное решение задачи строится на основе консервативной конечно" разностной схемы, которая является дальнейшей модификацией разностной схемы полной системы уравнений Навье — Стокса, опубликованной в [4].
2. Системой координат, в которой рассматривается обтекание осесимметричного тела, является криволинейная ортогональная система 5, и, ер(5 — координата, отсчитываемая вдоль контура тела в меридиональной плоскости, п— нормаль к поверхности тела, <р — азимутальный угол).
Каждое из уравнений, выражающих закон сохранения массы, импульса и энергии в этой системе координат, запишем в дивергентной форме [5]:
^Р.
дЬ
dpU 1 Г &
--------= I — г (Tsn sin 0 - Tss cos 0)-)-
dt rH L ds
rH (T„„ stn 0 — Tsn cos 0) + Тщ sin 6 — Ts9 cos 6) I; (2>
Í—
[ ds
r (Tss sin 0 cos 9 + Tsn cos 0 COS <p — T s sin <p) +
dpV________1_
_ rH d
4- ~r~ rH(Tsn sin 0 cos <p +Tan cos 0 cos 9 — T sin 9) +
dt rH I л« ' ..........T ' т ф
_d
0n • “ V" sn o*“” -«О т -г.‘ пп «•»'» “ «-«-т ‘ пч
д_ df
+ -^7- и (TS9 sin 0 cos 9 + T„9 cos 0 cos <p — sin <p)
(3>
dpW
dt rH
d
— r (Tss sin 0 sin <p Tsn cos 0 sin <p -f TfS cos tp) -f
d
+ ~~^rH(Tsn sin Osin 9+ Tnn cos0sin9-|- 7’„9cos9) +
d_
d<$
■+ — H (в sin 9 4- Tnf cos 0 sin 9 + T9? cos 9)
(4)
dt = |^J- r(qs + u (zss — P) + vzsn + wxstf - upE) +
d
— rH (qn + uxsn + v (t„„ — p) ■+ - vpE) -f
_d d<p
+ — H (<?9 + axsn + vrnif +- w (i?(f — p) — wpE) I . (5>
В этих уравнениях 0 — угол между направлением невозмущенного потока и касательной к контуру тела в меридиональной плоскости, г, //—коэффициенты Ляме. Все величины в уравнениях (1) —(5) полагаются безразмерными: линейные размеры относятся к радиусу сферы а; компоненты скорости и, v, wr направленные соответственно в сторону возрастания координат s, п, 9, относятся к скорости невозмущенного потока £/ю, плотность р — к р^, давление р —
к рот t/^j, энтальпия h — к £/£,, коэффициент вязкости (х —к компоненты
вектора теплового потока qs, qm q и компоненты тензора напряжений tís, xsnr. т и т. д., которые определяются обычным способом [1], относятся соответственно к PoqU^, и U^; U, V к U7 —декартовы составляющие вектора скорости:
U — V sin 0 — и cos 0, .V = и sin 0 cos 9 + v cos 0 cos 9 — w sin 9, W — и sin 0 sin 9 + -f v cos 0 sin 9 + w cos 9, E = e + 0,5 (м2+ + ®2) — полная энергия единицы
массы, е — удельная внутренняя энергия газа, Tss = xss — р — ри2, Tsn = zsn — puv, Tsf — xstf — puw и т. д. Число Рейнольдса вычислено по радиусу затупления в.
передней критической точке Re= коэффициент ВЯЗКОСТИ [Х = Л".
Уравнение состояния имеет вид:
p = h — i)pe-
В случае осесимметричного течения решение, естественно, не зависит ог координаты 9, а пространственная расчетная область есть часть плоскости 5, п, ограниченная осью симметрии, поверхностью тела и некоторой, достаточно удаленной от тела, кривой N(s) (фиг. 1).
На части этой кривой, расположенной со стороны набегающего потока,, задаются условия, соответствующие стационарному невозмущенному течению, на остальной части .свободной* границы считается, что нормальные производные от искомых функций равны,нулю. На поверхности тела выполняются условия непротекания, скольжения [1] и условие равенства нулю теплового потока.
На оси симметрии' учитываются условия симметрии течения. Ввиду громоздкости полной аппроксимационной системы уравнений Навье — Стокса соответствующая численная схема расчета поясняе'гся на примере модельного дивергентного уравнения
ди д / ди \ д I ди \
7Г“^(“17 + *“+/)+^г(‘77 + Л, + !')' <6>
где д>0, с^>0, Ь, с1, /, «у — некоторые заданные функции х, у, и.
Фиг. 1
Конечно-разностная схема уравнения (6) является одной из схем метода переменных направлений [6] и в обычных индексных обозначениях имеет вид
и
6 + 1/2
ч
0,5-е
гД+1
ич
и
* + 1/2 Ч
0,5т
¡где
(Ьхи)к+ІІХ =
+ 0,5 (Ь^ і + І+Т<
и
* +1/2 <4-1/
и
* + 1/2 V
„* + 1/2 „* + 1/2 “¡7 “/-1/
кх
' + _2 1
(4++1?+ 0.5 (4+1/ - 4+2/)) + 0,5 .
\ ,+Т7
х (4+1/2+ 0,5 (4- - И?_1у)) - 0,5 (Ькі_^__ + Ь*_^ | (4
,,*+1/2
+ 0,5«.
,+т7
-ик “/+V
X
,■))
■0,5 /*
. 1 .
(4І1/2+о.5 (4_ і/ - 4-2/)) + /
/+т/
/
+]•
Аналогичное выражение выписывается для оператора (£у и)й; т, н Несоответственно размеры разностной сетки по координатам і, х я у. Решение на каждом временнбм слое находится с помощью метода прогонки [6].
Подобная схема расчета и использовалась при решении полной системы уравнений Навье — Стокса.
Отметим, что правые части уравнений сохранения количества движения (2) — (4) записываются (в криволинейных координатах я, п, 9) в виде дивергенции некоторого вектора для декартовых составляющих импульса, выраженных через .криволинейные* компоненты. Такая дивергентная форма записи позволяет легко строить схемы, консервативные по декартовым составляющим импульса, из которых, путем простых алгебраических вычислений, получаются ■схемы для „криволинейных“ компонентов импульса. Обратное, вообще говоря, неверно.
3. Ниже приводятся некоторые результаты численных расчетов задачи о сверхзвуковом обтекании теплоизолированной сферы при малых числах Рейнольдса.
Газ считается совершенным с постоянным отношением удельных теплоемкостей 7= 1,4, число Прандтля Рг = 0,72.
Форма и расположение внешней - границы, определяющей расчетную область, показаны на фиг. 1.
Вычисления велись в нормированных координатах £=i-, r¡ ¡
так, что
область интегрирования в переменных 5, т] представляла собой прямоугольник.
Разностная схема и решение строились на равномерной сетке в пространстве (Е, Т)).
Граничное условие скольжения [1] аппроксимировалось следующим выражением:
u¿ о = •
W-7
>A/íío(^)¡o+4-1zlí
Pío
Pi о
1
Re
Л/+і, о ~ Vi, о
a«'+i
ъ1-1
где а — коэффициент ■ отражения.
0,25
и
/ / ^ \ •
' / / / \\
0,3 0,В
Фиг. 2
0,15
0,5
0,25
кХ NX —
r cf
0,2ü-Tí Фиг. 3
0,5 Л
1 4 x y=/,# [í] • М^1+9,1,Ьы~Ь0,ч=У1т\
•4^ С * xx x x * x
1,0
ід Яей
Фиг. 4
Все расчеты выполнены на сетке ¡X т = 31X30; здесь ¿—число внутренних узлов разностной сетки по координате 5, т — по координате ■»).
Характерное влияние граничных условий скольжения на поле течения во всей лобовой окрестности сферы иллюстрируется на фиг. 2. Здесь представлены профили касательного компонента скорости а и давления р на линии s = 0,838.
Параметры задачи следующие: число М невозмущенного потока Мм = 10, число Re = 5,64, ш = 0,75, коэффициент отражения а полагался равным единице.
Сплошные кривые соответствуют условиям скольжения, пунктирные — условиям прилипания. На фиг. 3 показаны распределения давления р и коэффициента трения Cf вдоль поверхности тела.
На приведенных графиках хорошо прослеживается влияние граничных условий скольжения на весь поток от поверхности тела до невозмущенной области. Скольжение уменьшает степень возмущенного потока и приводит к меньшим значениям коэффициента трения и давления на поверхности тела.
Значение коэффициента сопротивления сферы сх, отнесенного к 0,5Poot/^S(S — площадь миделя тела) с учетом условий скольжения примерно на 60% меньше значения сх, подсчитанного без учета скольжения.
На фиг. 4 приводится кривая зависимости коэффициента сопротивления
сферы сх в зависимости от числа Рейнольдса Re0 = 2 ——¡2^ , где |л0—коэффи-
циент вязкости, подсчитанный по температуре торможения. В работе [7] отмечается, что при гиперзвуковых скоростях потока в переходной области основными параметрами подобия являются показатель степени со в законе изменения вязкости от температуры, отношение удельных теплоемкостей -у, температурный фактор и число Рейнольдса Re0. Сплошная Кривая на фиг. 4 построена при следующих параметрах задачи: = 10, со = 1, f = 1,4, поверхность тела счи-
талась теплоизолированной.
Расчетные данные, полученные с использованием граничных условий скольжения, хорошо согласуются с аналогичными экспериментальными [7J.
Приведенные численные результаты позволяют надеяться на получение удовлетворительных аэродинамических характеристик затупленных тел в переходной области с применением полной системы уравнений Навье — Стокса при граничных условиях, соответствующих скорости скольжения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Основы газовой динамики. Сб. под редакцией Эммонса Г. У., М., Изд. иностр. лит., 1963.
2. Tannehill J. С., Mohling R. A., Rakich J. V. Numerical computation of the hypersonic rarefied flow near the sharp leading edge of a flat plate. „А1АА Paper“ N 73-200.
3. Jain A. C., Adimurthy V. Hypersonic flow near the stagnation redion of a blunt body at low Reynolds number. „А1АА Paper“ N 73-639.
4. Численное исследование современных задач газовой динамики. Под редакцией Белоиерковского О. М., М., „Наука“, 1974.
5. Anderson J. L., Preiser S., and Rubin E. L. Conservation form of the'equations of hydrodynamics in curvilinear coordinate systems. „J. Computational Phys.“, vol. 2, N 3. 1968.
6. Годунов С. К., Рябенький В С. Разностные схемы. М., .Наука“, 1973.
7. Гусев В. Н., Коган М. Н.. П е р е п у х о в В. А. О подобии и изменении аэродинамических характеристик в переходной области при гиперзвуковых скоростях потока. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 1, 1970.
8. Kins low М., Potter J. L. Drag of spheres in rarefied hypersonic flow. „А1АА J.“ I., 1963.
Рукопись поступила 11¡I 1978 г.
