Научная статья на тему 'ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННОй ЗАДАЧИ ДЛЯ ДВУМЕРНОГО интегрального уравнения ПЕРВОГО РОДА'

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННОй ЗАДАЧИ ДЛЯ ДВУМЕРНОГО интегрального уравнения ПЕРВОГО РОДА Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
211
26
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
интегральное уравнение / сингулярный интеграл / метод регуляризации / обобщенный обратный оператор / численные методы / вычислительный алгоритм / integral equation / singular integral regularization method / generalized inverse of an operator / numerical methods / computational algorithm

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Наац И. Э., Наац В. И., Рыскаленко Р. А.

В работе предлагается метод численного решения двумерного интегрального уравнения первого рода. При этом предполагается, что исходные данные в уравнении могут быть заданы приближенно с погрешностями, а ядро интегрального уравнения может иметь особенности, что приводит к постановке так называемой некорректно поставленной задачи. Это в свою очередь требует построения регуляризирующих алгоритмов в соответствии с теорией решения некорректно поставленных задач вычислительной математики. Решение данной задачи имеет самостоятельное значение в вычислительной математике, чем и обусловлена ее актуальность. В работе подробно описывается постановка задачи с выделением существующих проблем, требующих своего разрешения, разрабатывается и обосновывается соответствующий численный метод. При этом используются теоретические основы и методы функционального анализа, вычислительной математики, теории решения некорректно поставленных задач, теории вариационного исчисления и методов оптимизации. Также в работе рассматривается возможность применения данного метода для решения соответствующей трехмерной задачи. При построении вычислительного метода выполняется постановка соответствующей вариационной задачи, которая затем решается методом наискорейшего спуска, осуществляется построение регуляризирующего алгоритма. В итоге, разработанный численный метод и алгоритм позволяют получать устойчивые решения исходной задачи с учетом погрешностей в исходных данных, что соответствует ситуации практического моделирования процессов в конкретных прикладных задачах.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Наац И. Э., Наац В. И., Рыскаленко Р. А.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотр
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

A numerical method for solving ill-posed problems for two-dimensional integral equations of the first kind

Propose a method of numerical solution integral equations of the first kind. This assumes that the source data in the equation can be set approximately with errors, and the integral equation kernel may have features that leads to the formulation of so-called ill-posed problems. This in turn requires the construction of regularizing algorithms in accordance with the theory of solving ill-posed problems of computational mathematics. The solution to this problem is of primary importance in computational mathematics, hence its relevance. The paper describes the formulation of the problem, highlighting the existing problems that need to be resolved, developed and validated a suitable numerical method. It uses the theoretical bases and methods of functional analysis, computational mathematics, theory of solution of incorrectly formulated problems of the theory of calculus of variations and optimization methods. The work also examines the possibility of applying this method to the solution of the corresponding three-dimensional problem. When building a computing method performed, we state the corresponding variational problem, which is then solved by the method of steepest descent, the construction of the regularizing algorithm. In the end, the developed numerical method and algorithm allow to obtain a stable solution of the original problem taking into account the errors in the original data, which corresponds to a practical situation simulation of processes in specific applications.

Текст научной работы на тему «ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННОй ЗАДАЧИ ДЛЯ ДВУМЕРНОГО интегрального уравнения ПЕРВОГО РОДА»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

«наука. инновации. технологии», № 4, 2017

УДК 517.972:519.633 Наац И.Э., [Naats I. E.], Наац В.И., [Naats V.I.], Рыскаленко Р.А. [Ryskalenko R.A.]

численный метод решения некорректно поставленной задачи для двумерного

интегрального уравнения

первого рода

A numerical method for solving ill-posed problems for two-dimensional integral equations of the first kind

В работе предлагается метод численного решения двумерного интегрального уравнения первого рода. При этом предполагается, что исходные данные в уравнении могут быть заданы приближенно с погрешностями, а ядро интегрального уравнения может иметь особенности, что приводит к постановке так называемой некорректно поставленной задачи. Это в свою очередь требует построения регуляризирующих алгоритмов в соответствии с теорией решения некорректно поставленных задач вычислительной математики. Решение данной задачи имеет самостоятельное значение в вычислительной математике, чем и обусловлена ее актуальность. В работе подробно описывается постановка задачи с выделением существующих проблем, требующих своего разрешения, разрабатывается и обосновывается соответствующий численный метод. При этом используются теоретические основы и методы функционального анализа, вычислительной математики, теории решения некорректно поставленных задач, теории вариационного исчисления и методов оптимизации. Также в работе рассматривается возможность применения данного метода для решения соответствующей трехмерной задачи. При построении вычислительного метода выполняется постановка соответствующей вариационной задачи, которая затем решается методом наискорейшего спуска, осуществляется построение регуляризирующего алгоритма. В итоге, разработанный численный метод и алгоритм позволяют получать устойчивые решения исходной задачи с учетом погрешностей в исходных данных, что соответствует ситуации практического моделирования процессов в конкретных прикладных задачах.

Propose a method of numerical solution integral equations of the first kind. This assumes that the source data in the equation can be set approximately with errors, and the integral equation kernel may have features that leads to the formulation of so-called ill-posed problems. This in turn requires the construction of regularizing algorithms in accordance with the theory of solving ill-posed problems of computational mathematics. The solution to this problem is of primary importance in computational mathematics, hence its relevance. The paper describes the formulation of the problem, highlighting the existing problems that need to be resolved, developed and validated a suitable numerical method. It uses the theoretical bases and methods of functional analysis, computational mathematics, theory of solution of incorrectly formulated problems of the theory of calculus of variations and optimization methods. The work also examines the possibility of applying this method to the solution of the corresponding three-dimensional problem. When building a computing method performed, we state the corresponding variational problem, which is then solved by the method of steepest descent, the construction of the regularizing algorithm. In the end, the developed numerical method and algorithm allow to obtain a stable solution of the original problem taking into account the errors in the original data, which corresponds to a practical situation simulation of processes in specific applications.

Ключевые слова: интегральное уравнение, сингулярный интеграл, метод регуляризации, обобщенный обратный оператор, численные методы, вычислительный алгоритм.

Keywords: integral equation, singular integral regularization method, generalized inverse of an operator, numerical methods, computational algorithm.

Введение

В работе предлагается метод численного решения двумерного интегрального уравнения первого рода. При этом предполагается, что исходные данные в уравнении могут быть заданы приближенно с погрешностями, а ядро интегрального уравнения может иметь особенности, что приводит к постановке так называемой некорректно поставленной задачи. Это в свою очередь требует построения регуляризирующих алгоритмов в соответствии с теорией решения некорректно поставленных задач вычислительной математики. Решение данной задачи имеет самостоятельное значение в вычислительной математике, чем и обусловлена ее актуальность. В работе подробно описывается постановка задачи с выделением существующих проблем, требующих своего разрешения, разрабатывается и обосновывается соответствующий численный метод.

Материалы и методы

исследований

В работе используются теоретические основы и методы функционального анализа, вычислительной математики, теории решения некорректно поставленных задач, теории вариационного исчисления и методов оптимизации.

Результаты исследований и их обсуждение

Предметом представленных в работе исследований является построение суммирующего аналога для интегрального уравнения вида

/)/(*',/ = Б(х,у), (1)

в

и его последующего обращения в предположении, что искомая функция/(х, у) интегрируема в области О С Я2, ядра Qn (х, у; х',у') (п = 1,2,...) могут иметь особенности в окрестности диагонали х = х', у = у' и правая часть 5" (х, у) задана приближенно, скажем своим о - приближением (х,у). К подобной задаче могут быть сведены краевые задачи для дифференциальных уравнений в случае их некорректной постановки в силу приближенного характера исходных данных [1-2]. В последнем случае речь идет о нахождении так называемых слабых решений [3-4]. Заметим, что задача дискретизации для уравнения (1) при указанных выше ограничениях не может быть решена стандартными квадратурными формулами (квадратурными процессами), эффективность которых определяется степенью гладкости (дифференцируемостью) подынтегральных функций [5]. В данном случае определяющим является предположение об измеримости всякой интегрируемой функции [3].

Разработка и обоснование вычислительного метода решения задачи (1)

Изложение подхода к дискретизации уравнения (1) начнем с рассмотрения двух интегралов, а именно,

Ъ *2 00 хг у2(х)

¡¿у ¡Ях,у)сЬ и ¡¿х \Кх,у)<1у, (2)

или что тоже самое вычисление двойного интеграла

\\/(х,у)(1С{х,у), (3)

в

по области

в={0с,У)\Х^хИХ2,У1(х) <у< у2(х)}={(х,у)\¥1<у<¥2,х1(у)<х<х2(у)1 (4)

Пары функций (х1(у), х2(у)) и (у1(х), у2(х)) определяются из уравнения границы О, задаваемой обычно уравнением Е(х,у) = С. Так, например, в случае эллипса имеем

2 2

Е (х, у) = ^ + уг = 1, а Ь

и соответственно

х1(у)=1 - ^ х2( у)=1 - Ьу", У1( х)=-ь-\]1 - а2, У2( х)=Ьу1 - а2.

Далее полагаем, что искомая функция/(х,у) как решение интегрального уравнения (1) может быть охарактеризована с той или иной степенью приближения конечным набором чисел {/у}, связанных с покрытием конечной области О системой эллиптических прямоугольников {[*,, х^ х >.^+1]} (г = 0, п +1, 7 = 0 ,т +1). Далее полагаем, что

|[х,, х,-+1 ] = А,.(х) = х,.+1 - х,. = кх, , у у+1 ] = А у (у) = уу+1 - у у = Ну, V/,у.

Для измеримой (интегрируемой) функции/(х,у) в области О в качестве системы {/у} предпочтительно взять так называемые средние {/„■}, определяемые с помощью функции интервалов / (А,- (х), Ау (у) = /у. Ясно, что при А,- (х) и Ау (у) стремящихся к нулю /(А, (х), Ау (у) ^ (х,,уу) = /у. Для измеримой функции данное предельное соотношение выполняется почти всюду в области О. Подобный подход к дискретизации исходного интегрального уравнения особенно предпочтителен в ситуациях, когда его правая часть S(x,y) представлена своим а - приближением Sа (х, у), о чем подробно говорилось в работах авторов [1-2].

Зафиксируем линию y = yj и будем рассматривать внутренний интеграл в (2) по переменной x. Удобно, в целях упрощения последующих обозначений, рассматривать частную функцию fJ(x |yj) по переменной x, которая при фиксированном значении yJ (J — сечение области G по переменной y = yJJ) меняется в пределах x1 (J) < x < x2 (J). Внутренние точки указанного интервала

обозначим через xi(J) <xBi(J),xBi(J)+i xB2(J) < x2(J) (xBi(J) > l,xn2(J) <n). Если

исключить из рассмотрения граничные элементы покрытия [x1(J) x (J) ] слева и [x (J),x2(J)] справа, то однократный интеграл по сечению y = yJ определяется интегральной суммой

, ^ П2(J)-1

I( >= X fJ (D ( x))hx. (5)

•=ni( J)

Остается внести поправки в (5) за счет интервалов, прилегающих к граничным точкам x1 ( J) и x2 ( J) . Соответственно имеем

= rÎMA^ilUA^l = /М^ся -^œ), (6а)

= /Фмя'ЗД^Ки) ,х2Ц\ = /^fcov^o-)) (6б)

В итоге, значение внутреннего интеграла в (2) для J - сечения области G по переменной y = yJ будет иметь вид:

Величины f(J ) и f2(J ) играют роль так называемых значений искомых функций f(x, y) на границе в рамках изложенного подхода. Подобное построение интегральной суммы адекватно соответствует случаю приближенного задания функциональных зависимостей, когда целесообразно отступить от принципа поточечного соответствия значений функции f и аргумента (x,y). Речь идет о нечетком (поинтервальном) задании функциональных зависимостей, что естественно ведет к необходимости введения в расчетные соотношения метода функций множеств.

Сообразуясь со структурой интегралов (2), интегральную сумму (7) будем писать в виде

-2 ( J ) 2 _

I °]= X J + X f(J)а< hx, (8)

i=¡1( J ) i=1

(,) X„I(j) - X, (j) (,■) X2(j)-Xn2U) td

где œ\J>= —^"Ц"—и щ'= ——ULL. Второе слагаемое в правой

tlx fix

части (8) определяется граничными значениями исходной функции f(x, y). Выделение подобного члена целесообразно в тех случаях, когда значения f(x, y) определены на границе как исходные данные задачи. Это имеет место,

когда интегральное уравнение (1) возникает в результате сведения некорректно поставленной задачи для дифференциального уравнения к интегральному аналогу, каковым и является (1) [1—2]. Вместе с тем ясно, что уравнение (1) вполне определено относительно /(х, у) при условии, что правая часть 5"(х, у) задана в области О. В последнем случае интегральную сумму (8) можно писать в виде

¿2( 1) _

I(1 )= £ I (1Щ1 )их, (9)

'='Л 1)

расширив соответствующим образом границы ¡С ) и /2(/ ) для переменного индекса ¡. Построенная интегральная сумма связана с внутренним интегралом в (2), то есть сечением у = у1 области О. В соответствии с этим, интегральная сумма для полного (двойного) интеграла может быть записана в виде

т т ¡2( 1) _

I = £ I(1 >Д 1 (у) = £ £ /,(1Щ1 \Иу . (10)

]=1 1=1'=¡1(1)

Формула (10) определяет некий квадратурный процесс при т ^ да и п ^ да. Вопросы, связанные со сходимостью подобных процессов будут затронуты ниже, а пока лишь заметим, что проверка эффективности предлагаемого метода дискретизации интегралов может быть осуществлена расчетным путем, если функцию /(х, у) заменить характеристической функцией области О. Значения двойной суммы (10) должны определить площадь О. В случае эллипса оно равно жаЬ.

В соответствии с изложенным выше, интегральную сумму для уравнения (1) будем писать в виде

т ¡2( Л _

I(х, у) = £ £ Qn (х, у; х, у') Дх;, у;)нхну +1(х, у). (11)

1=1'-Ц(1)

Здесь второе слагаемое в правой части составлено из членов суммы, определяемых граничными значениями искомой функции /(х, у) ((х, у) е О ). Напомним, что нас интересуют ситуации, в которых функции Qn (х, у; х', у') содержат особенности и прежде всего при [(х - х')2 +(у - у')] ^ 0 (сингулярность в нуле). Последнее предполагает, что Qn (х, у; х', у') = Qn (х - х', у - у'). Нерегулярность в поведении подынтегральной функции требует введения методов предварительной регуляризации суммационных аналогов интегрального уравнения (1). В соответствии с предлагаемым подходом к дискретизации интегралов (метод интервальных средних) в целях регуляризации сходимости интегральных сумм можно ограничиться введением следующих условий:

Qn (х - х', у - у' ):= Qn (х - х', hy), если |х - х'\> Нх, |у - у'| < Ну

Qn (х - х', у - у'):= Qn Фх, у - у'), если |х - х' < hx, у - у'| > 1у (12) ^(х - x;, у - у' ):= ^ (hx, 1), если Iх - х'1 < 1, |у - у'| < \ Qn (х - х', у - у'.) := Qn (х - х', у - у'.) во всех остальных случаях.

Ясно, что условия (12) определяют регуляризацию сходимости интегральных сумм вида [(х - х')2 + (у - у] > /и2 для всех пар (х - х') и (у - у' ) из области О. Главным при этом является выбор надлежащего значения параметра /л в зависимости от погрешности в задании как правой части 5(х, у), так и ядра Qn (х, х'; у, у'). Стандартная задача теории квадратурных формул о влиянии гладкости (дифференцируемости) подынтегральных функции на скорость их сходимости при ^ 0 и 1у ^ 0 для теории интегральных уравнений в практическом отношении мало интересна. Интегральное уравнение первого рода (1) в приложениях выступает как параметризованная модель для соответствующих функциональных уравнений [1-2].

Применение метода к решению трехмерной задачи.

Изложенный выше подход в полной мере применим и к трехмерным задачам, когда область интегрирования V лежит в Я3. Соответствующий исходный интеграл типа (2) записывается в виде

г2 у2(г) Х2<.у,г)

| с!у \/{х,у,г)(Ьс = 1, (13)

Ж*) *1<у,*)

у2

В случае эллипсоида = + + = \ пределы

интегрирования в (13) имеют следующие аналитические представления:

Ъл^ 2) = ±^1 - Ь" + , у^,2 (2) = ±Ъ^ 1 - С-, ^1,2(y, 2) = ±с .

Подобный простой пример приводится с целью обратить внимание на следующее обстоятельство. Если в исходной задаче принято считать исходные данные приближенными (определенными нечетко), то и задание геометрии области интегрирования может допускать некую неопределенность. В подобной задаче эллипсоид с приближенно заданными параметрами (а,Ъ,с) может считаться некоторой аппроксимационной моделью для области интегрирования в прикладных задачах.

Постановка вариационной задачи,

построение регуляризирующего алгоритма.

Остается указать способы коррекции решений интегральных уравнений с использованием тех или иных критериев и их последующей оптимизацией [6-7]. Суммирующий аналог для интеграла в уравнении (1) может быть записан в виде

^ = ма = tl.QnJ.AK + (14)

у=1 ;=1 ил ;=1

и тогда итоговая алгебраическая система уравнений примет вид

т ¡2 и) _

ееа^ллл^ (15)

МШ)

где

7=1

Обращение системы (15) в вычислительной математике является вполне стандартной задачей. Вместе с тем, с учетом вышеизложенного, можно сделать некоторые замечания. В виду возможных ошибок в правой части (15), а также зависимости матрицы Qn от параметра регуляризации р, для нахождения матрицы {/¡Д из уравнения (15) при заданной матрице (я'9}, следует, применяя вариационный подход, искать так называемое нормальное решение линейной алгебраической системы. Последнее находится путем решения оптимизационной задачи для квадратичного функционала вида

Та(?) = р\Г) + а-П\Л, а > 0 (16)

где через f обозначена матрица {/¡,}. В последнем выражении

1 ?

\

2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Л ___ ___ от »2^7/

(17)

V 7=1 КО) у

= (18)

а

и {/¡^ } - некоторая опорная матрица [8]. Решение задачи минимизации функционала (16) можно осуществить методом наискорейшего спуска [5-7].

Построим соответствующие расчетные соотношения метода (алгоритм). Для большей легкости обратимся к задаче минимизации главного слагаемо в правой части (16), то есть функционала (невязки исходного уравнения (15)), вводя следующие обозначения:

¿ = 1х1у,

т к О) _

^сл^ЦейЛ-г*, (19)

М г, О )

^2(7)=п7)=ЕЕЙ'?(/))2. (20)

I ч

Ясно, что Е (У) есть скалярная функция аргумента / = {/у}. Для вычисления градиента Е (У) следует найти значения

ар

-^-(Л = 2ЛХЕА"(ЛвЦь (21)

Ч/Ьр 1 ?

которые по индексам к и р образуют матрицу {/%(/)}=Е'(/) . В соответствии с идеей метода наискорейшего спуска следует рассмотреть рекурсивное соотношение

/(^/М-ДГ^М), (22)

или в координатной форме

= (23)

В выражении (22) - коэффициент, определяемый на каждом шаге V - итерации наилучшим образом с точки зрения скорости сходимости данной итерационной схемы. Для решения этого вопроса рассмотрим вспомогательную функцию

I ч

Правую часть равенства (24) можно привести к виду

НИ(25)

' г

где (26)

у=1 4(7)

В соответствии с (25) в) есть квадратичная парабола по параметру в и не составляет труда найти ее минимум. Вычисляя значение в*, доставляющее функции ¥(,,)( в) наименьшее значение, найдем

ЕЕ^^'1)-.8'*(/и)

^"'¿емнг . (27)

' я

Выбор значения параметра в* в соответствии с (27) обеспечивает выполнение основного условия в методе наискорейшего спуска, а именно Тогда можно определенным образом сократить число операций, выполняемых решающим алгоритмом, что весьма важно для многомерных задач теории интегральных уравнений и их приложений.

Дальнейшее исследование рассмотренного метода требует разработки программно-алгоритмического обеспечения применительно к прикладным задачам и примерам, и соответствующие вопросы будут изложены в следующих работах авторов.

Выводы.

Таким образом, для двумерного интегрального уравнения первого рода разработан и обоснован соответствующий численный метод, приводится пример применения данного метода для решения соответствующей трехмерной задачи. При построении вычислительного метода выполняется постановка соответствующей вариационной задачи, которая затем решается методом наискорейшего спуска, осуществляется построение регуляризирующего алгоритма. В итоге, разработанный численный метод и алгоритм позволяют получать устойчивые решения исходной задачи с учетом погрешностей в исходных данных, что соответствует ситуации практического моделирования процессов в конкретных прикладных задачах.

Библиографический список

1. Наац И.Э., Наац В.И., Рыскаленко РА. Метод численного решения краевой задачи для уравнения в частных производных с эмпирическими функциями на основе интегрального уравнения Фредгольма первого рода // Наука. Инновации. Технологии. 2016. №3. С. 30-41.

2. Наац И.Э., Наац В.И., Рыскаленко Р.А. Вычислительная модель для дифференциального уравнения с эмпирическими функциями на основе интегрального уравнения Фредгольма первого рода // Наука. Инновации. Технологии. 2016. №2. С. 37-48.

3. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит. 1994.

3. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы: общая теория. М.: Изд-во иностранной литературы. 1962.

4. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука. 1977.

5. Сухарев А.Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа. М.: Наука. 1989.

6. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Изд-во иностранной литературы. 1985.

7. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Физматлит. 1979.

REFERENCES

1. Naac I.Je., Naac V.I., Ryskalenko R.A. Metod chislennogo reshenija kraevoj zadachi dlja uravnenija v chastnyh proizvodnyh s jempiricheskimi funkcijami na osnove integral'nogo uravnenija Fredgol'ma pervogo roda (Method for the numerical solution of boundary value problems for partial differential equations with the empirical functions on the basis of the integral Fredholm equation of the first kind) // Nauka. Innovacii. Tehnologii. 2016. №3. S. 30-41.

2. Naac I.Je., Naac V.I., Ryskalenko R.A. Vychislitel'naja model' dlja differencial'nogo uravnenija s jempiricheskimi funkcijami na osnove integral'nogo uravnenija Fredgol'ma pervogo roda(Computational model for a differential equation with empirical functions on the basis of the integral Fredholm equation of the first kind) // Nauka. Innovacii. Tehnologii. 2016. №2. S. 37-48.

3. Lebedev V.I. Funkcional'nyj analiz i vychislitel'naja matematika (Functional analysis and computational mathematics). M.: Fizmatlit. 1994.

4. Danford N., Shvarc Dzh. T. Linejnye operatory: obshhaja teorija (Linear operators: General theory). M.: Izd-vo inostrannoj literatury. 1962.

5. Marchuk G.I. Metody vychislitel'noj matematiki (Methods of computational mathematics). M.: Nauka. 1977.

6. Suharev A.G. Minimaksnye algoritmy v zadachah chislennogo analiza (Minimax algorithms in problems of numerical analysis). M.: Nauka. 1989.

7. Rektoris K. Variacionnye metody v matematicheskoj fizike i tehnike (Variational methods in mathematical physics and engineering). M.: Izd-vo inostrannoj literatury. 1985.

8. Tihonov A.N., Arsenin V.Ja. Metody reshenija nekorrektnyh zadach (Methods for solving ill-posed problems). M.: Fizmatlit. 1979.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.