CC BY
65
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м X 197 9
№ 2
УДК 533.6.011
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ОБТЕКАНИЯ ПЛОСКОГО ВОЗДУХОЗАБОРНИКА СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ НА РЕЖИМАХ С ВЫБИТОЙ УДАРНОЙ ВОЛНОЙ
Н. И. Тилляева
В рамках модели идеального (невязкого и нетеплопроводного) газа разработан метод и создан численный алгоритм решения задачи сверхзвукового обтекания плоского воздухозаборника на режимах с выбитой ударной волной. Созданные метод и алгоритм базируются на применении разностной схемы С. К. Годунова, подвижной сетки, левая граница которой совпадает с выделяемой при решении ударной волной, и процесса установления по времени. Возможности алгоритма демонстрируют примеры расчета, выявившие ряд интересных особенностей.
В настоящее время широкое распространение получили численные методы расчета сверхзвукого обтекания воздухозаборников на так называемых режимах „с проглоченным скачком". Имеется также ряд работ [1—4], посвященных расчетам дозвукового и трансзвукового обтекания воздухозаборников. В работе [1] полная система уравнений Эйлера численно интегрировалась с применением процесса установления по времени. В работах [2—4] использовалось безвихревое приближение, а решение велось методом релаксации. Скачки уплотнения, если они и возникали в потоке, во всех перечисленных выше работах не выделялись. Сверхзвуковое обтекание воздухозаборника на режимах „с выбитой ударной волной" численно исследовалось в работе [5]. Расчет велся при помощи разностной схемы [6] в рамках полной системы уравнений идеального газа с использованием процесса установления, а „выбитая" ударная волна выделялась. Метод, использованный в работе [5], первоначально был опробован в работе [7] на решении „модельной11 задачи, имеющей некоторое отношение к проблеме, рассмотренной в работе [5]. В модельной задаче рассчитывалось сверхзвуковое обтекание осесимметричного тора
с круговым поперечным сечением, а также пары симметричных по отношению к набегающему потоку круговых цилиндров, оси которых перпендикулярны к плоскости течения.
Данная статья посвящена разработке численного метода и созданию алгоритма, позволяющего определять интегральные и локальные характеристики плоского воздухозаборника на режимах с выбитой ударной волной. Рассматриваемый здесь воздухозаборник, в отличие от работы [5], может иметь центральное тело, начальный участок которого, образованный клином, попадает в область набегающего сверхзвукового потока, поэтому торможение потока осуществляется в косом скачке и головной ударной волне, выделяемых в процессе решения. Основу алгоритма данной работы составляет процесс установления по времени с использованием конечно-разностной схемы С. К. Годунова [8] и подвижной сетки, одна из границ которой совпадает с выделяемой при решении ударной волной*. Возможности созданного алгоритма демонстрируются на примерах расчета обтекания плоского воздухозаборника с центральным телом для нескольких значений числа М набегающего потока Мсо и для различных коэффициентов расхода <р. В результате расчета строится вся картина течения, а также находятся зависимости ряда интегральных характеристик воздухозаборника от Мсс и ®. Оценена точность некоторых приближенных подходов к определению указанных характеристик.
Постановка задачи. Элементы численной схемы. Рассмотрим задачу об обтекании плоского (или осесимметричного) воздухозаборника с центральным телом сверхзвуковым потоком невязкого и нетеплопроводного газа на режиме с „выбитой ударной волной". Схема течения для случая, когда начальный участок центрального тела образован клином (или конусом), изображена на рис. 1. Двойными линиями на этой фигуре показаны косой скачок уплотнения, образующийся при обтекании клина (или конуса) сверхзвуковым потоком, и ударная волна, отделяющая область смешанного течения справа от нее от чисто сверхзвукового течения. Рассматриваемая область течения включает поле течения внутри и вне воздухозаборника и ограничена поверхностью ударной волны участками поверхностей СС' и С’С и выходным сечением NN воздухозаборника. Остальные участки границы образованы поверхностями центрального тела и обечайки воздухозаборника. От границ йС' и СС требуется, чтобы они были достаточно удалены от кромки обечайки и так ориентированы в пространстве, чтобы проекция <7п скорости газа <7 на внешнюю нормаль к этим поверхностям была больше местной скорости звука а, т. е. >а.
Задача решается методом установления. В соответствии с этим параметры течения внутри расчетной области должны удовлетворять нестационарным уравнениям Эйлера, которые по аналогии с работой [9] записываются в форме интегральных законов сохранения для элемента объема с учетом скорости движения границ этого элемента. На границах рассчитываемой области параметры должны удовлетворять заданным граничным условиям. Количество и тип этих условий определяются в соответствии с принципами, изложенными в [8] на стр. 316. На поверхности ударной
* Как указывается в работе [5), попытка решения аналогичной задачи с использованием процесса установления по времени и конечно-разностной схемы С. К. Годунова предпринята в диссертации Дж. Гарнера (США, 1972 г.). Однако автору не удалось ознакомиться с этим исследованием.
волны РБО выполняются условия сохранения потоков массы, двух компонентов импульса и энергии. На границах йС' и С'С нормальная к границам составляющая скорости газа на стационарном режиме является сверхзвуковой в силу выбора положения этих границ и, следовательно, задание дополнительных условий не требуется. В процессе установления, однако, вышеупомянутое условие может нарушаться. В таком случае на указанных границах задается величина статического давления, равная давлению в набегающем потоке. На поверхностях тел, как обычно, следует потребовать выполнения условий непротекания. В сечении выхода NN/ воздухозаборника задается постоянное по сечению статическое давление, величина которого в каждый момент времени подбирается такой, чтобы расход газа, протекающего через данное сечение (или, что то же, -- коэффициент расхода <?), был равен заранее заданному постоянному, не зависящему от времени значению.
При сформулированных граничных условиях и заданном начальном распределении параметров течения в расчетной области уравнения движения численно интегрируются при помощи конечно-разностной схемы С. К. Годунова с шагом по времени, определяемым условием устойчивости данной схемы, до того момента, пока не установится стационарная картина течения, т. е. параметры течения перестанут зависеть от времени.
Начало декартовой (в плоском случае) или цилиндрической (в осесимметричном случае) системы координат х, у совмещается с вершиной клина или конуса, образующего начальный участок центрального тела, а направление оси х выбирается совпадающим с направлением вектора скорости набегающего потока.
Построение расчетной сетки, связанной в каждый момент времени с положением ударной волны, производится следующим
образом. Вся расчетная область течения, как показано на рис. 1, разбивается на две области отрезком Е' Е прямой, параллельной оси х и проходящей через кромку обечайки. Область FNN' EE'SF, расположенную под этим отрезком, назовем внутренней областью течения (областью А), а область над ним назовем внешней областью течения (областью В). Продольные линии сетки в области А выбираются фиксированными в плоскости ху и такими, что любое поперечное сечение x = const указанной области делится этими линиями на т,\ равных частей. Каждая из продольных линий сетки разбивается затем равномерно по х на Па частей, и точки разбиения с одинаковыми номерами соединяются между собой отрезками прямых, образуя ячейки расчетной сетки в области А.
Построение расчетной сетки в области В несколько сложнее и начинается с определения координаты xD точки D. Если Нх — шаг разбиения по х на верхней границе области А, то xD—xE, + 4-nDhx, где nD — заданное целое положительное число. Ордината yD точки D фиксирована в процессе расчета и также задана. Через точку D параллельно оси х проводится линия расчетной сетки до пересечения с ударной волной в точке D\ и полоса области В, расположенная под этой линией, подобно области А, разбивается на заданное число продольных слоев одинаковой высоты. „Продольными" линиями сетки в остальной части области В являются лучи, выходящие из точки D и пересекающие ударную волну в точках с заранее заданными и фиксированными в процессе расчета ординатами. Разность ординат соседних точек на ударной волне задается возрастающей по линейному закону в направлении к периферии. На каждой из построенных таким образом „продольных" линий сетки в области В шаг разбиения по х определяется как отнесенная к nD разность абсцисс точки D и соответствующей точки на ударной волне. Полученные при разбиении с этим шагом точки нумеруются слева направо. Затем точки с одинаковыми номерами соединяются отрезками прямых, образуя поперечные линии сетки в области В. При этом точки с номерами, превосходящими некоторый заданный номер в разностную сетку
не включаются. Поэтому линия, соединяющая точки с номерами, равными пв, служит крайней правой границей области В. Как уже отмечалось, узлы разностной сетки, расположенные на ударной волне над точкой D', имеют фиксированные ординаты и в процессе установления перемещаются вдоль линий, параллельных оси х и не совпадающих с линиями сетки. В то же время остальные узлы разностной сетки, лежащие на ударной волне, перемещаются в продольном направлении вдоль линий сетки.
Опишем один из способов задания начального распределения параметров в расчетной области. Положение ударной волны выбирается произвольно, а форма ее задается в виде прямолинейного вертикального участка, плавно переходящего в дугу окружности. Задание коэффициента расхода однозначно определяет площадь поперечного сечения струи, втекающей в воздухозаборник, перед ударной волной. Считая, что за ударной волной вплоть до кромки обечайки граница струи является прямолинейной, используя законы сохранения на ударной волне и уравнения одномерного течения, найдем приближенное распределение по х параметров в струе, протекающей через воздухозаборник, от сечения скачка
3—.Ученые записки" № 2
33
до сечения выхода Л^Л'. Полученное распределение параметров задается в качестве начального во всей области А. В области В в каждом поперечном слое разностной сетки задается линейное по у распределение параметров течения от значения, которое имеет данный параметр в том же слое в области А, до значения этого параметра в набегающем потоке.
Во всех рассчитанных вариантах в качестве начальных данных брались либо распределения параметров, полученные описанным выше способом, либо результаты расчета при том же числе М набегающего потока для варианта с близким значением коэффициента расхода, либо результаты расчета с более грубой сеткой.
Некоторые особенности численного алгоритма Остановимся на особенностях численного алгоритма, связанных с выделением ударной волны и с движением расчетной сетки.
Отметим, что параметры сверхзвукового течения слева от ударной волны известны. Над косым скачком ОБ они совпадают с параметрами набегающего потока, а под 05 они известны из решения задачи об обтекании клина (или конуса).
При решении исходной задачи по схеме С. К. Годунова необходимо знать в каждый момент времени скорость движения ударной волны, а также потоки массы, импульса и энергии через элементы ее поверхности. В данном численном алгоритме указанные величины находятся из решения одномерной нестационарной задачи о распаде произвольного разрыва, являющейся необходимым элементом конечно-разностной схемы С. К. Годунова. При этом в качестве параметров слева от разрыва берутся известные параметры течения слева от Параметры справа от разрыва
берутся с предыдущего временного слоя из середины ячейки, примыкающей к данному участку ударной волны. Найденная из решения задачи о распаде разрыва скорость движения левой волны и есть интересующая нас скорость движения данного элемента ударной волны по нормали к себе. Знание этой скорости для всех участков волны позволяет в принципе построить конфигурацию ударной волны в следующий момент времени, а также определить стандартным образом потоки массы, импульса и энергии через элементы ее поверхности, являющиеся границами ячеек, примыкающих к ударной волне.
Не останавливаясь на деталях построения всей волны ГБй по известной „нормальной" скорости каждого ее элемента, отметим, что использованный алгоритм обладает свойством „самоста-билизации" в смысле работы [10].
Расчетная сетка является подвижной. Из-за этого точку 5 пересечения ударных волн невозможно совместить с узлом разностной сетки при одновременном выполнении условия более или менее равномерного разбиения расчетной области ячейками разностной сетки. Преимущества близкого к равномерному разбиению обусловлены, по крайней мере, двумя причинами.
Во-первых, наличие относительно мелких ячеек приводит (из-за ограничения на шаг по времени, диктуемого условием устойчивости разностной схемы) к неоправданному измельчению шага по времени во всем поле течения и увеличению времени счета.
Во-вторых, как показано в работе [11], неравномерное разбиение расчетной области ухудшает разностную аппроксимацию исходных уравнений. В нашем алгоритме точка 5 в общем случае
не совпадает с узлом разностной сетки. При этом та из примыкающих к ударной волне ячеек, левая граница которой содержит указанную точку, бралась „пятиугольной". Последнее делает необходимым вычисление потоков через два участка левой границы этой ячейки, расположенные соответственно над и под точкой 5. Следовательно, приходится решать две задачи о распаде разрыва, в каждой из которых параметры справа от разрыва берутся из середины пятиугольной ячейки, а параметры слева от разрыва — из областей сверхзвукового течения соответственно над и под скачком 05. Аналогично при определении смещения ударной волны верхний и нижний элементы волны в пятиугольной ячейке рассматриваются отдельно. Совершенно так же мы поступали при определении потоков через границы пятиугольных ячеек, содержащих точку Е.
Из всего изложенного ясно, что расчет обтекания осесимметричного воздухозаборника в рамках данного алгоритма не представляет большой сложности по сравнению с расчетом обтекания плоского воздухозаборника. Незначительное усложнение в осесимметричном случае связано лишь с необходимостью вводить в память ЭВМ распределение по углу параметров сверхзвукового конического течения в области 05/"'. Более того, хотя дальнейшие численные примеры относятся к плоским воздухозаборникам, в действительности расчетный алгоритм использует уравнения осесимметричного течения. Плоский случай получается при этом автоматически, если ординату любой точки, например точки Е, взять намного большей размеров рассчитываемой области течения.
Пример расчета обтекания плоского воздухозаборника с центральным телом. Созданный алгоритм был использован для расчета нескольких воздухозаборников при различных числах Мсо- Его возможности демонстрируют примеры расчета обтекания плоского воздухозаборника с центральным телом совершенным газом с показателем адиабаты у. = 1,4 при трех значениях числа М набегающего потока Моо=1,8, 2 и 2,35. Геометрия исследованного воздухозаборника совпадает с показанной на рис. 1. За характерный размер принята высота входа в воздухозаборник, в силу чего у Е — 1. Выходное сечение воздухозаборника располагалось
при х = 2,5. Внешний и внутренний контуры обечайки образованы участками парабол, проходящих через точку Е и имеющих в сечении выхода горизонтальные касательные и заданные ординаты, равные соответственно 1,25 и 1,125. Контур центрального тела образован клином с углом при вершине в 10°. Прямолинейная образующая клина при лг = 1,4 плавно сопрягается с кубической параболой, имеющей в сечении выхода горизонтальную касательную и ординату уА, = 0,3. Начало координат, как уже указывалось, совмещалось с вершиной клина. Абсцисса х£ точки Е подбиралась так, что при Моо = 2 на режиме работы воздухозаборника „о проглоченным скачком" косой скачок от клина приходит на кромку обечайки, как показано на рис. 1. Последнее условие выполняется при хЕ~ 1,221. Иными словами, для данной геометрии воздухозаборника режим течения с числом М набегающего потока Мсо = 2 является расчетным. На режимах течения с Мсс = 1,8 и 2,35 косой скачок отклонялся соответственно наружу и внутрь воздухозаборника.
На рис. 2, а и б приведены картины соответственно линий тока и линий постоянных статических давлений для Мо= = 2,35 и коэффициента расхода '■? = 0,72. Под коэффициентом расхода здесь и далее понимается отношение реального расхода, протекающего через канал воздухозаборника, к идеальному расходу, когда граница струи, втекающей в воздухозаборник, прямолинейна и параллельна оси воздухозаборника. Штриховые линии на указанной фигуре отвечают расчету с разбиением, при котором на область А приходится 15X6—90 ячеек, а на область В— 12X15=180 ячеек. Сплошные линии соответствуют расчету с более мелкой сеткой с числом ячеек в А, равным 20X8—160, и в В — 16X20=320. Цифры рядом с кривыми, дающими положение линий тока, указывают значение расхода на данной линии тока, отнесенное к идеальному расходу через канал воздухозаборника. Цифры рядом с изобарами дают величину статического давления, отнесенную к Р* я2» где р* и а* — критические плотность и скорость набегающего потока. Заметим, что разделительная линия тока (линия ® = 0,72 на рис. 2, а) и звуковая линия (пунктир на рис. 2,6) в масштабе графика для обоих разбиений практически не различаются.
Степень совпадения локальных и интегральных характеристик течения при расчетах с разным числом расчетных ячеек может служить одним из внутренних методов контроля точности получаемых результатов. Из приведенных результатов следует, что с наибольшей погрешностью определяется давление в окрестности точки тройного взаимодействия скачков. В остальной части течения соответствие результатов, полученных при разном количестве расчетных ячеек, — хорошее.
Помимо параметров потока в расчетах определялись интегральные характеристики воздухозаборника. Напомним, что коэффициент расхода ср в наших расчетах считался заданным. Коэффициент восстановления полного давления з при ®^0 определялся как отношение среднего по расходу значения полного давления
на выходе из воздухозаборника к полному давлению в набегающем потоке. В случае <р = 0 осреднение по расходу заменялось осреднением по площади. В работе определялись также коэффициент волнового сопротивления с°х и коэффициент подъемной силы с°у. Указанные коэффициенты характеризуют суммы проекций на оси хну интеграла сил давления „по жидкой линии“ /?7' и части „подсасывающей" силы, действующей на участок обечайки ТЕ, и определялись следующим образом (/? —точка пересечения разделительной линии тока с ударной волной, положение которой на ударной волне однозначно определяется заданием коэффициента расхода Т — критическая точка течения на обечайке, положение которой в работе не определялось). Пусть 1Х и /у — соответственно проекции на оси х и у потока импульса через линию ЯЕ. Величины этих проекций определялись по полученным из расчета и известным параметрам на ЯОКК' Е с использованием закона сохранения количества движения для замкнутого контура ЕЯОКК1 Е. Коэффициенты сх и с°у вычислялись затем по формулам <РХ = \1Х — Раа{УЕ-уя)]1увРоА с°у = [1у-р00(хЕ — хк)]/уЕ?а)и1, где рх, р^, и^ — давление, плотность и скорость набегающего потока. В описанном способе вычисления с°. и су не требуется знания положения критической точки, хотя и не находятся в отдельности соответствующие воздействия.
Значения перечисленных выше интегральных характеристик, полученные в расчетах с разным числом расчетных ячеек, сравнивались между собой. Отличие этих значений для коэффициента а не превышало 1%, а для с°х лежало в пределах 0,01, не превосходя, как правило, нескольких процентов своей величины. Приведем, например, значения указанных характеристик для описанного выше варианта течения при последовательном измельчении расчетной сетки, при котором на область А приходилось соответственно 40, 90 и 160 ячеек, а на область 5 — 80, 180 и 320 ячеек. Значения а для этих случаев равны 0,669; 0,671 и 0,672; с°х = 0,209; 0,213 и 0,216 и, наконец, 0,307; 0,328 и 0,339. Расчеты, выполненные в широком диапазоне значений ф, позволили сделать некоторые обобщения, о которых будет сказано ниже.
На рис. 3 приведена зависимость расстояния отхода ударной волны х$ от разности 1—<р для трех значений числа Ь\х. За расстояние отхода принималось расстояние точки волны с единичной ординатой от кромки обечайки. Видно, что зависимость расстояния отхода ударной волны от коэффициента расхода близка
к линейной (соответствующие прямые приведены на рис. 3 штрихами). Этот факт может оказаться полезным при создании приближенных способов определения характеристик плоских воздухозаборников на режимах с выбитой ударной волной. Кроме того, близкой к линейной оказывается зависимость от ? коэффициента с°к, как это видно из рис. 4 (сплошные линии), а также и с°. Укажем, что отмеченный выше линейный характер зависимостей х3, с°х и сйу от (р находится в соответствии с существующими представлениями о поведении этих характеристик.
Некоторые приближенные способы определения интегральных характеристик воздухозаборника. Полученные результаты позволяют оценить точность достаточно широко распространенных способов определения коэффициента волнового сопротивления по
жидкой линии сх и коэффициента подъемной силы су. Поскольку в этих способах предполагается, что жидкая линия приходит на
т
0,50
0,25
" ''—— а- ■10°
\\ М-1 ,35 0 8
\
\
0,5 Рис. 4
6
0,9
0,7
и =18
2,0
2,35'у
Я*
Рис. 5
0,8 с/>
X ч>- 0
-
х
2,0
1,0
2,0 3,0
Рис. 6
4-0
м
переднюю кромку обечайки, а значит действующая на ТЕ подсасывающая сила равна нулю, то в рассматриваемом приближении коэффициенты сх и с° и соответственно су и с° совпадают. Один из приближенных способов определения сх основан на замене статического давления вдоль жидкой линии давлением за прямым скачком уплотнения. В другом способе предполагается, что давление вдоль жидкой линии изменяется линейно от значения за
прямым скачком уплотнения до давления торможения. Результаты, полученные с использованием этих предположений для МСс=1,8, представлены на рис. 4 пунктирной линией (первый способ) и штриховой линией (второй способ). Сравнение с соответствующей сплошной кривой, которая соединяет точки, полученные при помощи нашего численного расчета, показывает, что при второй способ представляется весьма точным. Анало-
гичная ситуация имеет место также для Моо = 2 и 2,35.
На рис. 5 сплошными линиями приведены зависимости коэффициента восстановления полного давления а от коэффициента расхода <р, построенные по результатам расчетов данной работы. О точности приведенных интегральных характеристик можно судить, например, по значениям з, соответствующим <р = 0. Последние во всех трех случаях отличаются от точных значений а в прямом скачке уплотнения менее чем на 1%. Одновременно была предпринята попытка приближенно оценить потери полного давления в канале воздухозаборника. Начнем с того, что из двумерных расчетов возьмем зависимость Мсо расстояния отхода л:° ударной волны от кромки обечайки при у = 0. Для рассмотренного воздухозаборника соответствующая кривая приведена на рис. 6. Как показали многочисленные расчеты, выполненные для различных воздухозаборников (в том числе без центрального тела), указанная зависимость является универсальной, т. е. почти не зависит от геометрии воздухозаборника. Поэтому с ее помощью можно оценивать потери полного давления для большого класса воздухозаборников при числах Мот^1,8 и любых значений ср.
Действительно, определяя для любого значения Мсо^ 1,8 при помощи рис. 6 приближенное значение xs, соответствующее ср = 0, и используя обнаруженную ранее (см. рис. 3) линейную зависимость от <р, можно определить расстояние отхода ударной волны, соответствующее заданному значению да. Примем далее участки Е' S и SF волны прямолинейными и перпендикулярными набегающему на них потоку и определим доли расхода, протекающие через канал воздухозаборника соответственно над и под точкой 5. Определим после этого потери полного давления в прямом скачке над точкой 5 и в системе из косого и прямого скачков под ней. Осредняя затем эти потери по расходу, найдем приближенное значение о. Полученные таким способом зависимости з = о (f, Moo) даны на рис. 5 штриховыми линиями. Не исключено, что весьма хорошее соответствие штриховых кривых результатам расчетов есть следствие взаимной компенсации погрешностей сделанных допущений. Тем не менее такое совпадение позволяет рекомендовать предложенный способ, опирающийся на рис. 6, для оценки величины з воздухозаборников исследованного класса (с одноступенчатым клином).
Все расчеты в данной работе выполнены на ЭВМ БЭСМ-6 по программам, составленным на языке АЛГОЛ-бО для транслятора ВЦ АН СССР. Расчет обтекания типичного воздухозаборника при фиксированном числе М набегающего потока М» и фиксированном коэффициенте расхода ср занимает от одного до трех часов машинного времени.
Автор выражает глубокую благодарность А. Н. Крайко, под чьим руководством было выполнено данное исследование,
М. Я. Иванову за помощь при постановке задачи и при выполне нии работы, а также Н. В. Дубинской, Н. П. Исаковой и В. А. Па ниной за помощь в работе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Grossmann В., Moretti G. Development analiiical methods of predicting the pressure distribution about a nacelle transonic speed: exact solution. NASA CR-112271, 1973.
2. Arlinger B. G. Calculation of transonic flow around axisymmetric inlets. A1AA Paper, N 75-80.
3. Забелин Ю. А., Л и ф ш и ц Ю. Б. Расчет обтекании воздухозаборника трансзвуковым потоком. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 8, № 5, 1977.
4. Caughey D. A., Jameson A. Accelerated iterative
calculation of transonic nacelle flowfields. ,AIAA J.“, vol. 15, N 10,
1977.
5. Bansod P. Supersonic flow about dueled bodies with subsonic internal boundaries. ,J. Aircraft”, vol. 12, N 6, 1975.
6. Moretti G., Abbett M- A time-dependent computational method for blunt body flows. „AIAA J.“, vol. 4, N 12, 1966.
7. M о r e 11 i G., D’ S о u z e N.. Molder S. A time-de-pend method for blunt leading edge hypersonic internal flow. AIAA Paper, N 71-85.
8. Годунов С. К., 3 а б p о д и н А. В., И в а н о в М. Я., КрайкоА. Н., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М., „Наука", 1976.
9. Иванов М. Я., Ланюк А. Н. К расчету сверхзву-
ковой перерасширенной струи идеального газа при наличии в потоке диска Маха. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 4, № 4, 1973.
10. Moretti G. Three-dimensional, supersonic, sieady flows
with any number of imbedded shocks. AIAA Paper, N 74-10.
И. Тагиров P. К. Усовершенствование метода расчета трансзвукового обтекания тел вращения. .Ученые записки 1ДАГИ”, т. 6, № 6. 1975.
Рукопись поступила 181 VI 1977 г Переработанный вариант поступил 1\Ш 1978 г
