CC BY
48
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ И АГ И
Том VIII 1 97 7 №5
УДК 629.7.015.3.036:533.697.2
РАСЧЕТ ОБТЕКАНИЯ ВОЗДУХОЗАБОРНИКА ТРАНСЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ
Ю. А. Забелин, Ю. В. Лифшиц
Дается подробное описание алгоритма расчета невязких плоских и осесимметричных трансзвуковых течений около воздухозаборников. Алгоритм основан на численном решении соответствующей краевой задачи для уравнения потенциала возмущений при помощи итерационного метода работы [1]. Приведенные результаты некоторых расчетов иллюстрируют возможности алгоритма и хорошо согласуются с данными эксперимента и расчета, опубликованного в работе [2].
1. За последние семь лет были созданы надежные методы расчета внешних трансзвуковых течений около крыловых профилей и тел вращения и внутренних течений в соплах различных конфигураций. Значительно сложнее разработка метода расчета трансзвуковых течений около воздухозаборников. Ее решение представляет интерес как для теоретических, так и практических исследований, поскольку в настоящее время всю информацию о течениях около воздухозаборников доставляют весьма трудоемкие эксперименты в аэродинамических трубах. Первым шагом на пути решения задачи является разработка метода расчета невязкого течения, хотя надежные данные, указывающие на пренебрежимо малое влияние вязкости на параметры рассматриваемого класса течений в практически важных случаях, авторам неизвестны.
Существует мнение, что любое стационарное течение газа может быть рассчитано при помощи той или иной разностной схемы метода установления. В работах [3 — 5] метод установления был применен для решения некоторых модельных задач обтекания воздухозаборников. Однако в задачах трансзвуковой аэродинамики проведение расчета методом установления выливается в большие затраты машинного времени. Они на порядок превышают время, требуемое для расчета решения стационарной задачи при помощи специальных итерационных методов.
Опыт решения задач обтекания крыловых профилей и тел вращения показал, что наименьшее время требуется при использовании метода работы [1]. Он заключается в построении специальной разностной аппроксимации основного уравнения, учитывающей в каждом узле сетки эллиптический или гиперболический характер
уравнения, и последующем решении системы разностных уравнений при помощи метода линейной релаксации. К расчету течений с дозвуковой скоростью на бесконечности около осесимметричных воздухозаборников без центрального тела указанный метод был применен в работе [2], в которой область течения предварительно конформно отображалась на внутренность некоторого прямоугольника.
Следует отметить, что изложенный в работе [2] метод не может быть непосредственно использован в случае сверхзвуковых скоростей набегающего потока. Это связано со структурой расчетной сетки, получаемой в результате конформного отображения, и необходимостью вести счет в области сверхзвуковых скоростей только в направлении вниз по потоку. Другим ограничением является требование отсутствия центрального тела. Предлагаемый ниже метод расчета воздухозаборников в трансзвуковом потоке свободен от указанных ограничений.
2. Рассмотрим воздухозаборник, образованный центральным телом и обечайкой, в потоке с единичной скоростью на бесконечности. Предположим далее, что М<1 или немного превосходит единицу. Тогда интенсивность возникающих во внешнем потоке ударных волн будет малой и изменением энтропии в них можно пренебречь. Кроме того, предположим, что в канале воздухозаборника ударные волны либо отсутствуют, либо их интенсивность также мала. Если набегающий поток потенциален, то при сделанных предположениях все течение будет с принятой точностью потенциальным. Введем систему декартовых координат х, у, как указано на фиг. 1. Уравнение для потенциала возмущений Ф(х, у) будет в ней иметь вид:
(а2 - 4^ + (а2 — VI) ~ — + V — — = 0. (1)
дх2 у дхду ' у дуя у ду
Здесь составляющие скорости Vх и ]/у, скорость звука а вычисляются по обычным формулам:
а2 =
1
(1 — №2) + М(
-2
где х — показатель адиабаты Пуассона; у = 0 для плоских течений и 4 = 1 для течений с осевой симметрией.
Граничные условия для уравнения (1) представляют собой условие непротекания Уп = 0 на обечайке и центральном теле, условие симметрии на оси х вне центрального тела и условие выхода
течения на невозмущенное при удалении на бесконечность в области, лежащей вне канала воздухозаборника. Внутри канала при удалении на бесконечность можно задать составляющую скорости
Перечисленные условия в случае полностью дозвуковых течений гарантируют существование и единственность решения задачи.
Если же поток, вытекающий из области через ее правую границу, является сверхзвуковым, то на ней, в соответствии с гиперболическим типом уравнения (1), никакие условия не ставятся. Эксперимент показывает, что в случае потоков со сверхзвуковой скоростью стационарное течение может не существовать.
Уравнение (1) описывает непрерывные течения сжимаемого газа. В случае возникновения скачков уплотнения на их фронтах нужно удовлетворять условиям Гюгонио, которые, вообще говоря^ несовместимы с недивергентным видом уравнения (1). Однако опыт построения трансзвуковых течений около крыловых профилей показывает, что поток со скачками уплотнения удовлетворительно рассчитывается недивергентной схемой сквозного счета для уравнения (1), если возникающие скачки имеют малую интенсивность. С наибольшей погрешностью при этом определяется положение головного скачка при М>1.
3. Прежде чем перейти к разностной аппроксимации уравнения (1), отобразим область течения на некоторый прямоугольник в плоскости %, 1г). Для этого разобьем плоскость х, у на две части лучом, проведенным из носка обечайки параллельно оси х. Для каждой из областей воспользуемся преобразованием вида % = Ь(х,у), 7) = г((л:) так, чтобы они отображались на верхнюю и нижнюю части прямоугольника плоскости %, у, как это показано на фиг. 1.
Для области I можно взять преобразование вида
Функция т](х) производит сжатие области по оси х. Она отображает левую границу области течения на линию т} = 0. Для дозвуковых потоков эта граница должна быть удалена на значительное расстояние от плоскости входа в воздухозаборник, для сверхзвуковых — должна располагаться левее головного скачка уплотнения. Правая граница области ^ = щ* выбирается в случае сверхзвуковых скоростей ниже по потоку, чем граница минимальной области влияния. Для дозвуковых течений граница -ц* помещается в области, где поток близок к одномерному.
В системе координат I, ^ уравнение (1) переписывается в следующем виде: ,
У — У1
У2 — У1
а для области II
Здесь
Перечисленные в п. 2 граничные условия в плоскости с, т] запишем следующим образом:
Ф = 0 на сторонах прямоугольника = 0 и 5 = —;
аФ (3)
% + % ' дгь
на линиях, соответствующих твердым стенкам;
Ф = 0 при ■/] = ■»]*, — , если набегающий поток дозву-
2 2
ковой;
(0 при т) = у]*, 0 < 5 < (4)
а тг) 2
Условие (4) означает, что в выходном сечении канала воздухозаборника продольная скорость считается постоянной, а ее величина однозначно определяется по значению коэффициента расхода /. Кроме указанных условий, на линии сопряжения областей / и II следует выполнить условия
' “ дФ '
| - (5)
д s //
4. Для разностной аппроксимации уравнения (2) внутренность прямоугольника разбивается равномерной сеткой. При этом горизонтальные границы 5 = 0, % — kj2 и линия 5 = 1/2 отстоят от ближайших узлов сетки наполовину шага по 5. Точка, соответствующая носку обечайки, также расположена на расстоянии полушага по 7] от ближайших вертикальных линий. Границы прямоугольника т] = 0 и i\ = г\* принадлежат сетке.
Все производные искомого потенциала по \ аппроксимируются центрированными разностями. В точках, расположенных на расстоянии полушага от линий 5 = 0 и 1/2, для аппроксимации используется граничное условие (3) или условие сопряжения (5).
Уравнение (2) является эллиптическим при W<^а и гиперболическим при U7^>а. Линия параболичности W = a почти во всех точках мало отличается от линии Vx = a. Поэтому в точках, где с>0, для аппроксимации производных по у берутся центрированные разности. Если же с<0, то производные по г\ аппроксимируются левыми односторонними разностями.
Полученная система разностных уравнений решается методом линейной релаксации. Вдоль каждой линии ■») = const решение системы определяется при помощи простых итераций, а соответствующая линейная задача на каждой итерации решается методом прогонки. После расчета линии проводится релаксация и переход к следующей линии, лежащей ниже по потоку.
Процедура расчета по изложенной методике оказывается довольно чувствительной к заданию начального поля потенциала возмущений. Неудачное задание приводит к расходимости итерационного процесса. В большей степени это касается течений с М„> 1. Поэтому для их расчета применяется следующая процедура построения начального поля. При заданном числе М берется воздухозаборник, центральное тело которого совпадает с осью л, а обечайка представляет собой линию параллельную оси х. Потенциал возмущений в этом случае равен нулю. Далее ведется расчет в соответствии с изложенной схемой, а контуры центрального тела и обечайки постепенно трансформируются к заданным. Полученное таким образом поле потенциала представляет собой хоро-
шее начальное приближение для расчета течений с Моо>1 и различными значениями коэффициента расхода /.
Если же заданное число Моо<1, то начальное поле можно получить более простым способом. Он заключается в расчете полностью дозвукового течения около заданного воздухозаборника при достаточно малом значении Мю и нулевом начальном поле. Затем число М,» постепенно увеличивается и доводится до заданного.
5. Результаты расчетов течений с Мсо=1,3 около плоского и осесимметричного воздухозаборников представлены соответственно на фиг. 2 и 3 в виде линий М = const. Продольное сечение центральных тел этих воздухозаборников представляет собой сопряженные отрезки синусоид, переходящие в соответствующие горизонтальные линии. Продольное сечение обечаек — половину эл-
Плоский
Фиг. 2
'0,8
-ОА
ЬР
-0,4
-0.2
О
О2 О.ч
М„=0,6 к
У* / V
0, 1 о/ 2^Ь ч о, 6 0,1
о/
ОА
0,8
липса с отношением полуосей 1:10, сопряженного с горизонтальными линиями. Оба расчета проведены при таких значениях коэффициента расхода /, когда течение в канале воздухозаборников полностью дозвуковое. Начальные поля возмущенного потенциала были получены первым из указанных способов.
Результаты расчетов качественно согласуются с имеющимся представлением о течениях около воздухозаборников с Моо>1. Эти течения характеризуются далеко отошедшим от входа головным скачком уплотнения, быстрым разгоном потока в области, прилегающей к носку обечайки, последующим его торможением на верхней поверхности обечайки и т. д. Размеры областей дозвуковых течений удовлетворительно согласуются с оценками по одномерной теории. Все это означает, что предложенный метод применим для расчета плоских и осесимметричных течений около воздухозаборников при небольших сверхзвуковых скоростях набегающего потока.
к — М^=0,9-, f=0,695
? \ \
II ц \ 1 1 °
!Ь Внешняя /| поверхность 1 1
1 V 1 1 о
1 ! 1_ —
1 1 0,2 и* И х/Лф
1 || /
/ °
Внутренняя / поверхность
т
Фиг. 4 Фиг. 5
На фиг. 4 и 5 приведены значения коэффициента давления на поверхности обечаек двух осесимметричных воздухозаборников без центральных тел. Начальные поля в обоих случаях получены вторым из описанных выше способов.
На фиг. 4 результат расчета (сплошная линия) хорошо согласуется с экспериментальными результатами. В окрестности точки излома образующей обечайки, сечение которой показано на фиг. 4, скорость быстро растет, а затем быстро падает. Это согласуется с имеющимися представлениями о характере дозвуковых течений.
На фиг. 5 представлены распределения коэффициента давления по верхней и нижней поверхности обечайки воздухозаборника из работы [2]. Ее сечение приведено на фигуре и образовано эллипсом с соотношением полуосей 1:2 и двумя параллельными прямыми, касающимися эллипса в точках максимальной толщины. Результаты расчета по изложенной методике (сплошная линия) хорошо согласуются с расчетными данными работы [2] (штриховая линия) и приведенными в этой же работе результатами эксперимента.
1. Murman E. M., C o 1 e J. D. Calculation of plane steady transonic flow. AIAA J. vol. 9, N 11, 1971.
2. Ar linger B. G. Calculation of transonic flow around axisymme-tric inlets. AIAA Paper, N 75 — 80, J975.
3. M o r e 11 y G., D’S ouzeN., MolderS. A time-derend method for blant leading edge hypersonic internal flow. AIAA Paper, N 71-85, 1971.
4. Bansod P. The supersonic flow about ducted bodies with subsonic internal boundaryes. AIAA Paper, N 74-78, 1974.
5. Grossmann B., Moretty G. Development analitical methods of predicting the pressure distirbution about a nacelle at transonic speed-exact solution. NACA CR-112271, 1971.
Рукопись поступила 20/1 1977
