Численный метод поиска солитонных решений в нелинейных дифференциальных уравнениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.634

H. П. Савенков^, В. С. Лапонин2

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ПОИСКА СОЛИТОННЫХ РЕШЕНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

В работе предлагается итерационный метод нахождения еолитонных решений уравнений Кортевега-де Фриза, синус-Гордона и нелинейного уравнения Шредингера с кубической нелинейностью, а также исследуется существование еолитонных решений в зависимости от управляющих параметров в задаче распространения фемтосекундных импульсов в среде с кубической нелинейностью. По сравнению с другими методами поиска еолитонных решений данный метод имеет высокую скорость сходимости, может быть применен для многомерной задачи и не требует специального подбора начального приближения.

Ключевые слова: солитонное решение, итерационный метод, нелинейность, сходимость.

I. Введение. Нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие различные нестационарные процессы, могут иметь как решения солитонного вида, так и решения несолитонного вида. Исследованию существования еолитонных решений посвящено много работ (см., например, [1-5]).

Под солитонным решением [6] подразумевается локализованная в небольшой области уединенная волна, которая быстро стремится к нулю при удалении от области локализации и профиль которой не изменяется с течением времени. Если уравнение имеет солитонное решение, то предлагаемый итерационный метод (назовем его М2) заведомо сходится именно к решению солитоннго вида, в противном случае метод расходится.

В данной работе иллюстрируется применение предлагаемого метода М2 для поиска еолитонных решений уравнений Кортевега-де Фриза, синус-Гордона и нелинейного уравнения Шредингера с кубической нелинейностью, а также исследуется существование еолитонных решений в зависимости от управляющих параметров в задаче распространения фемтосекундных импульсов в среде с кубической нелинейностью, которая описывается нелинейным уравнением Шредингера [7].

2. Алгоритм численного метода М2. Рассмотрим нелинейное уравнение, описывающее кон-

ди(х, t)

кретный нестационарный процесс, вида —--Ь I<и(х, t) = 0, где L — нелинейный дифференциальный оператор. Для нахождения решения солитонного вида в данном уравнении производится автомодельная замена переменных: £ = x—ct (см. [8]). Полученное уравнение при необходимости интегрируем и сводим к операторному уравнению вида А(и(£)) = си(£).

Алгоритм М2 можно записать следующим образом.

1. Построение начального приближения и°.

2. Итерационная часть.

2.1. По ип, полученному на предыдущей итерации, вычисление матрицы An+l.

2.2. Нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы An+l.

2.3. Получение решения run+l как одного из собственных векторов матрицы An+1, соответствующего нужной моде решения.

2.4. Нормирование ип+1.

2.5. Проверка критерия остановки итерационного метода: |An+1 — An| < е, где е задается изначально.

3. Анализ результатов и графиков.

Аналитическое исследование сходимости для оператора А общего вида практически невозможно в силу его нелинейности, поэтому сходимость и точность алгоритма исследуются численно.

1 Факультет ВМК МГУ, д.ф.-м.н., ведущ. науч. сотр., e-mail: mknandrewQmail.ru

2 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: lapvladQmail.ru

3. Применение итерационного метода М2 к уравнению Кортевега^де Фриза. Рассмотрим уравнение Кортевега-де Фриза вида

&Ь х дх дх3

с граничными условиями на бесконечности

и(± оо,£) = 0, и'(±оо,1) = О,

х € Я,

г > о,

(1)

и"(±оо, I) = 0, ¿>0,

и начальным условием и(х, 0) = щ(х), х € Я-

Легко проверить, что уравнение (1) имеет аналитическое односолитонное решение [5] вида

и(х, I) = — сЬ

-2

- (х — сЬ + 6)

Сделаем замену переменных £ = х ^ с1 и перейдем к уравнению

-си' + 6 ии' + и" = 0,

^ОО < £ <

и(±оо, = 0, и'(±оо, ¿) = 0, и"(±оо, I) = 0.

(2)

Для применения итерационного метода М2 произведем замену переменных = и введем конечный отрезок [—Ь,Ь], на котором будем численно решать задачу. Получим интегродифференци-альные уравнения вида

Р

(зир = ср, Р(±Ь) = 0, и(±Ь) = 0, и = I рс1£

(3)

-ь

Задачу о нахождении солитонных решений уравнения Кортевега-де Фриза можно рассматривать как задачу нахождения собственных функций задачи (3). Запишем следующую разностную аппроксимацию:

21

к =

N

Сг = рЦг) = Ри = Щ, 1, = 0

N ,..., ± *,

Рг — 1 ~ 2Рг ~Ь Рг+1 к2

&ЩРг = срг, г = 1, . . . , N - 1,

(4)

щ =

г = 0,..., Ж, р0 = 0, рдг = 0, Щ) = 0, и^ = 0.

3=0

Таким образом, нахождение собственных функций задачи (2) сводится к поиску собственных функций оператора А, который имеет матрицу

А =

к2

/^2 + 6 к,2щ 1 0

1 ^2 + 6 к2и2 1 0 1 ^2 + 6 к2и3

0 0 о

\

V

о

о

1 -2 + «/,-У\- 1/

где п — номер итерации.

Для нахождения односолитонного решения будем искать первую собственную функцию оператора А. Рассмотрим задачу на отрезке [—100,100], т.е. Ь = 100, число точек разбиения N = 400. В качестве начального значения возьмем финитную функцию вида "домик" на отрезке [—Ь,Ь],

выбор финитной функции подробно описан в [8]. Эксперименты показали, что при выборе различных финитных функций в качестве начального приближения метод М2 будет сходиться к аналитическому виду солитонного решения с одинаковой скоростью и примерно за одно и то же время. Для нахождения солитонного решения второй моды необходимо рассматривать собственную функцию, соответствующую второму собственному значению. На рис. 1 приведены графики численного решения ипит (непрерывная линия), соответствующего первому собственному значению, и аналитического решения иап (пунктирная линия) уравнения Кортевега-де Фриза.

Рис. 1. Численное (непрерывная линия) и аналитическое (пунктирная линия) решения уравнения Кортевега-де Фриза

При разбиении отрезка [—100,100] на 400 частей метод сходился за 37 итераций с погрешностью 7 • 10~4, время работы метода примерно 7 мин. При разбиении этого же отрезка на 800 частей метод сходился за 52 итерации с погрешностью 4- Ю-4, время работы метода примерно 24 мин. Таким образом, численные решения уравнения (1) методом М2 показали, что итерационный метод М2 сходится к солитонным решениям различных мод и сходимость метода М2 слабо зависит от вида начальной функции.

4. Применение итерационного метода М2 к уравнению синус-Гордона. Рассмотрим уравнение синус-Гордона вида [9]

д2и(х, £) д2и(х, £) . чч

~дё~ = + Ма,(м))' (5)

г4(±оо,£) = 0, г4(±оо,£) = 0,

где а, 6, с заданы.

Данное уравнение допускает решение в виде бегущей волны. Ниже приводится аналитическое решение данного уравнения при значении параметров а = 1, Ь = 1, с = 1. Односолитонное аналитическое решение [3] уравнения (5) имеет вид

и(х^) = 72 = 1

1-У2'

здесь у — скорость движения волны, 5 — произвольная постоянная.

Решения такого вида называются кинками, так как они описывают "перескок" переменной и(х^) из одного стационарного состояния и(х^) = 0 в другое и(х^) = 2п при положительном 7. При отрицательном 7 получается солитонное решение вида антикинк.

Сделав замену переменных £ = х — сЬ и домножив правую и левую части уравнения на и, получим

уравнение (с2 — 1 )ии" = иБти. Замена си = —- приводит к уравнению

с — 1

и

ии = --и", и(-Ь) = и(Ь) = 0. (6)

Используя разностную аппроксимацию (4) и итерационный процесс, описанный в п. 2, приведем сравнение численных результатов поиска солитонного решения для уравнения синус-Гордона с помощью итерационного метода М2 с аналитическим решением уравнения (5). Будем решать задачу (6)

на отрезке [—100,100] с числом точек разбиения N = 400. В качестве начального значения возьмем финитную функцию вида "ступенька" на отрезке [—£,£], выбор вида финитной функции подробно описан в [8].

На рис. 2 приведены графики численного ипит (пунктирная линия) и аналитического иап (непрерывная линия) решений уравнения синус-Гордона.

и©

0,16 г 0,14 -0,12 -0,10 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 -

о1_I_I__

-100 0 100 \

Рис. 2. Численное (непрерывная линия) и аналитическое (пунктирная линия) решения уравнения синус-

Гордона

При разбиении отрезка [—100,100] на 400 частей метод сходился за 39 итераций с погрешностью 8-Ю-4, время работы метода примерно 9 мин. При разбиении этого же отрезка на 800 частей метод сходился за 58 итераций с погрешностью 5- Ю-4, время работы метода примерно 28 мин. Таким образом, численные решения уравнения (5) методом М2 показали, что итерационный метод М2 для уравнения синус-Гордона сходится к солитонному решению.

5. Применение итерационного метода М2 к нелинейному уравнению Шредингера с кубической нелинейностью. Гассмотрим нелинейное уравнение Шредингера [9] (далее НУШ) вида

.ди(хЛ) д2и(хЛ) . . / Ч|9 / ч

^ у ; + ^ } = 0, (7)

где у > 0.

Сделаем замену переменных £ = х — сЬ в уравнении (7), получим следующее уравнение:

{си'(0 + и"(£) + ы\и(£) |2и(£) = 0.

Полученное выражение проинтегрируем по домножим на г и в результате получим

£

си = ги — V J с1£.

-ь

Используя разностную аппроксимацию (4) и итерационный процесс, описанный в п. 2, приведем численные результаты получения солитонных решений для НУШ с помощью итерационного метода М2. Гассмотрим задачу при Ь = 100 на отрезке [—число точек разбиения N = 400. В качестве начального приближения возьмем финитную функцию щ(^) вида "домик" на отрезке [—Ь,Ь] для действительной и комплексной части соответственно. Далее на рис. 3 приведен результат работы итерационного метода М2 уравнения (7) для и = 4.

Время работы метода М2 заняло около 7 мин., метод сошелся за 33 итерации. Так как для уравнения (7) неизвестен аналитический вид солитонного решения, то мы можем только вычислить невязку. В данном случае невязка полученного численного решения не превышает 8 • 10_3.

Рис. 3. Численное решение уравнения Шредингера с кубической нелинейностью

О 100 г

Рис. 4. Численное решение (непрерывная линия), полученное методом М2, и решение (пунктирная линия), полученное методом, описанным в [7]

6. Применение алгоритма М2 к задаче распространения фемтосекундных световых импульсов в среде с кубической нелинейностью. В работе [7] исследуется распространение фемтосекундных импульсов в среде с кубической нелинейностью. Математическая постановка задачи сводится к нахождению солитонных решений следующего уравнения:

+ +ia\u\2u + 7a-§l(\u\2u), 0 < £ < г > 0,

< ¿,0) =и{г1Ь) = 0, (8)

=

где £) — нормированная на максимальное значение комплексная амплитуда импульса, распространяющегося вдоль оси г (координата г измеряется в единицах длины дисперсионного расплывания), £ — нормированное на длительность основного импульса время в сопровождающей его системе координат, Ь — безразмерный временной интервал, а — отношение начальной мощности импульса к характерной мощности самовоздействия, 7 — коэффициент, характеризующий скорость изменения нелинейной поляризации.

Сделав замену переменных £ = £ — сг и проинтегрировав уравнение (8) по получим

£

си = ги + ш J \и\2и + а^и\и\2. (9)

— сю

Используя разностную аппроксимацию (4) и итерационный процесс, описанный в п. 2, рассмотрим задачу (9) при Ь = 100 на отрезке [—число точек разбиения N = 400. В качестве начального значения возьмем одну финитную функцию щ(^) вида "домик" [8] на отрезке [—Ь,Ь] для действительной и комплексной части соответственно. На рис. 4 изображено решение, полученное с помощью итерационного метода М2 (непрерывная линия) при а = 0.001, 7 = 0.01, и решение, полученное другим численным методом [7] (пунктирная линия) при таких же значениях параметров. Максимальная разница между этими двумя решениями не превосходит 2 • Ю-4, невязка решения, полученного методом М2, составляет 9- Ю-4. Метод М2 сошелся за 38 итераций, время работы составило около 17 мин., что выгодно отличает его от метода [7], которому для решения задачи (8) требуется несколько часов. Для определения области значений управляющих параметров, в которой существуют солитонные решения, задачу (8) необходимо решать для большого числа различных значений управляющих параметров. При использовании метода М2 можно получить результат менее чем за сутки, в отличие от метода [7], которому для поиска области потребуется несколько недель. Численные исследования показали, что метод М2 сходится при небольших положительных значениях параметров а < 0.1, 7 < 0.1 при обязательном выполнении условия а < 7.

7. Заключение. Исходя из численных результатов, представленных в данной работе, итерационный метод М2 поиска солитонных решений хорошо подходит для применения к уравнениям Кортевега-де Фриза, синус-Гордона, НУШ и к задаче распространения фемтосекундных световых импульсов в среде с кубической нелинейностью. По сравнению с другими методами поиска солитонных решений [5-7] метод М2 имеет высокую скорость сходимости, применим для различных видов нелинейности дифференциального оператора и не требует специального выбора начального приближения. Метод М2 также применим и в многомерном случае, что позволяет решать системы двух нелинейных уравнений Шредингера, описывающих процесс удвоения частоты фемтосекундных импульсов в аксиально-симметричной среде в случае с квадратичной и кубичной нелинейностью [4].

Проблема построения солитонных решений для задач распространения фемтосекундных световых импульсов в среде с кубичной нелинейностью актуальна в связи с задачами передачи информации по оптическим волокнам. В этом случае, как известно, солитон распространяется без пространственных искажений. С помощью предложенного метода найдены стационарные (в смысле неизменности их распределения интенсивности) решения задачи распространения фемтосекундного импульса в световоде со слабой кубичной нелинейностью.

Проведенные численные эксперименты показали, что метод М2 в случае сходимости позволяет получить решение исключительно солитонного вида нелинейного уравнения. Отметим, что при решении всех вышеперечисленных задач в ходе итерационного процесса на каждом шаге производится вычисление площади под графиком. Начиная с некоторой итерации площадь сохраняется до момента прекращения работы метода, что подтверждает выполнение первого закона сохранения для полученного численного решения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Brull L., Lange H. Oscillatory and solitary wave type solution of singular nonlinear Schrodinger equations // Math. Meth. in Appl. Sei. 1986. 8. N 4. P. 559-575.

2. Rozanov N.N., Fedorov S.V., Shatsev A.N. Incoherent weak coupling of laser solitons // Optics & Spectroscopy. 2007. 102. N 1. P. 83-85.

3. Кернер B.C., Осипов B.B. Автосолитоны. M.: Наука, 1991.

4. Кившарь Ю. С., Агравал Г. П. Оптические солитоны. М.: Физматлит, 2005.

5. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989.

6. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский J1. П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.

7. Дорохова Т. В., Савенкова Н.П., Трофимов В. А. Численное моделирование солитонных решений в задаче распространения фемтосекундного импульса в среде с кубической нелинейностью // Прикладная математика и информатика. № 2. М.: МАКС Пресс, 1999. С. 63-68.

8. J1 апонин В. С., С авен к о ва Н. П., ИльюткоВ.П. Численный метод поиска солитонных решений// Прикладная математика и информатика. № 38. М.: МАКС Пресс, 2011. С. 69-80.

9. Мива Т., Джимбо М., Датэ Э. Солитоны: дифференциальные уравнения, симметрии и бесконечномерные алгебры. М.: МЦНМО, 2005.

Поступила в редакцию 12.12.12

44

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕРН. 2013. № 2

NUMERICAL METHOD FOR SOLITON SOLUTIONS SEARCH IN NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS

Savenkova N. P., Laponin V. S.

In this paper we introduce an iterative method for finding soliton solutions of the Korteweg-de Vries, sin-Gordon and nonlinear Sehrodinger equation with cubic nonlinearity, also we investigate the existence of soliton solutions, depending on the control parameters in the propagation of femtosecond pulses in a medium with cubic nonlinearity. Compared with other methods of finding soliton solutions, the method revised steel highrate of convergence, can be applied to a multidimensional problem and does not require a special selection of the initial approximation.

Keywords: soliton solutions, iterative method, nonlinearity, convergence.