Численный алгоритм для исследования влияния бесканального подземного трубопровода теплоснабжения на вечномёрзлые грунты Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.63

ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЛИЯНИЯ БЕСКАНАЛЬНОГО ПОДЗЕМНОГО ТРУБОПРОВОДА ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ НА ВЕЧНОМЕРЗЛЫЕ ГРУНТЫ \I. II. Акимов, С, Д. Мордовской, Н, П, Старостин

В настоящее время в Центральной Якутии эксплуатируются опытно-промышленные бесканальные варианты внутрпквартальных подземных трубопроводов горячего водоснабжения и теплоснабжения из сшитого полиэтилена, армированного нитью из арамидного волокна (кевлара), с тепловой изоляцией из пенополиуретана в полиэтиленовой оболочке. Преимущества такого способа укладки принципиально новых видов труб — из полимерных материалов в заводской теплоизоляции — очевидны: они не подвержены коррозии, не зарастают отложениями и потому служат многие десятки лет. Весьма ценным качеством является их гибкость, позволяющая поставлять их на объекты длинномерными отрезками необходимой длины, в подавляющем большинстве случаев обходиться без стыков и проходить повороты трассы без применения фасонных деталей. Такие трубы не требуют компенсаторов и рассчитаны на бесканальную прокладку. Благодаря малому весу труб монтажные работы осуществляются без применения грузоподъемной техники. Тем не менее нормативная база по проектированию и монтажу таких трубопроводов отстает от требований практики. Исследование динамики температурного поля подземного полимерного трубопровода с теплоизоляцией в процессе эксплуатации на вечномерзлый грунт является актуальной задачей, решение которой позволит разра-

© 2010 Акимов М. П., Мордовской С. Д., Старостин Н. П.

ботать рекомендации по применению перспективных трубопроводов в регионах холодного климата, а также будет способствовать внесению изменений в существующие отраслевые и строительные нормативные документы. Кроме того, согласно существующим нормативным документам [1] при строительстве тепловых сетей в районах вечномерзлых грунтов выбор мероприятий по сохранению их устойчивости должен выполняться на основе расчетов зоны оттаивания мерзлого грунта около трубопроводов. Расстояния в свету по горизонтали от тепловых сетей при их подземной прокладке до фундаментов зданий и сооружений, строящихся по принципу I (с сохранением вечной мерзлоты), должны приниматься не менее 2 м от зоны оттаивания грунта около канала, определяемого расчетом. В то же время, численному моделированию теплового взаимодействия трубопровода с грунтом уделяется недостаточное внимание.

При решении задачи методом конечных разностей трудности возникают вследствие сложности рассматриваемой области. В плоском случае границы расчетной области представляют собой отрезки прямых и полуокружности, что затрудняет выбор системы координат для построения расчетной сетки. Обычно такую задачу решают, используя уравнение теплопроводности в декартовой системе координат [2]. Такой подход для определения температурного поля в многослойной трубе осложняется ввиду наличия условий теплового контакта между слоями. При исследовании влияния теплоносителя в трубе на тепловое состояние грунта, приближенное задание границ в непосредственной близости от теплообменной поверхности может привести к существенным погрешностям при определении границ оттаивания. Для более точного описания температурного поля в окрестности трубы с теплоносителем предлагается решать задачу в полярных координатах. Естественно, при этом приближенно будут описаны прямые участки границ области, что также снизит точность расчета, но можно предположить, что их влияние на определение границ оттаивания будет значительно ниже.

Ф = о

Постановка задачи. Примем допущение, что температурный режим теплоносителя в трубопроводе вдоль трубы меняется слабо, а величина заглубления теплопровода практически не меняется по трассе, что позволяет пренебречь тепловыми потоками вдоль теплопровода. Тогда задачу о формировании температурного режима в системе «труба-грунт» можно рассматривать

Рис. 1. Расчетная область грунта вокруг теплопровода, как двухмерную в полярных координатах (рис. 1).

Математическая постановка задачи Стефана со сглаженными коэффициентами формулируется следующим образом: требуется определить нестационарное температурное поле Т(г,ф^), удовлетворяющее уравнению теплопроводности в полярных координатах:

дТ 1 д ( ВТ \ 1 д Л дТ \ , Л ^

граничному условию на дневной поверхности грунта:

= -а(Т(г,ф,1)|Г1 - Токр(*)), (2)

дТ дТ

Л - —— эт (р ——- сое (р

г дф дг

граничным условиям на границах Г2, Г3 и Г5:

дТ дТ

Л I —— вт (р + - —— сое (р

дг г дф

= 0,

дТ

дф

=0,

дф

= 0,

г5

граничному условию на внутренней поверхности трубопровода:

= а(Т(Г,Ф^) - Тводы(») ,

Л —

дг

(3)

(4)

(5)

г4

и начальному условию:

Т(г,ф,0)=Тв(г,ф).

(6)

На границах слоев заданы условия идеального теплового контакта:

X

ОТ дг

= х.

r=Ti— О

дТ дг

, T(n-0 ,<p,t) = Т(п+0 ,<p,t),

r ri

i= 1,2,3.

(7)

Численное решение проводилось на неравномерной сетке uJhr'-Wfci = {п, i = О, ПЬ hj = п -п-1, г = l,ni},

h1 = hr, hi+1 = ri+1 - ri,

Vh2 = {tfik, k = 0,n2, hi = ifik - ipk-1, к = 1 ,n2}, h = hl+1 = yfc+i - yfc,

= {ij, tj = tj-1 + Tj, j = 1, WT, t0 = 0, tNT = TG},

где Tq — время конца счета, ZJhr = x ^л.2 x , ^ = .

Двумерное уравнение теплопроводности (1) записывается в форме, удобной для решения методом сквозного счета. Используется схема расщепления в целых шагах с методом суммарной аппроксимации.

На каждом временном интервале [tj—, tj] решаются две одномерные задачи с граничными условиями, полученными естественным методом расщепления [3,4]:

dt г дг (j'^ Qr ) i

ТЛг ¥>,0) = То(г, у),

ТЛг, уЛО = г, УЛО>

А^ = a(T{r, ip, t) - T0Kp(t)) cos , = аТ(г, у, t) -

(8)

л ат I Л Эг 1г4

)> j <t<t

j+i,

Af-sin^lr2 =

срШ. = J-JL(\dT

' dt г2 дер V дер / ' 3

Т(т ¥>Л0 = Т(т ¥>Л-+1)>

A±f£ = —a(T(r, <p,t) -T0Kp(t))sm^|ri,

Л dT

-тр- cosyL =0,

r ' 1Г2

(9)

-Щ = 0 Щ - n

д'-P lr5 - U'

При вт^ = 0 и сое <р = 0 условия (8) и (9) записываются в виде

)ГТ1 I \ )ГТ1 I

Ау-1 = 0 и_ = 0 соответственно.

ОТ 1Г2 Г дф 1Г2

Приближенным решением задачи (1)—(7) является решение задачи (9), т. е. Т+1 к Т. Таким образом, решение одной из задач является начальным условием для другой. Алгоритм решения сформулированной задачи заключается в последовательном решении одномерных задач по первому и второму направлениям. Каждую из одномерных задач решаем методом сквозного счета.

Разностная краевая задача. Задачу (8), (9) аппроксимируем консервативной разностной схемой, построенной методом баланса:

СР> т = --Xi-i-/Л-)> г<пз к,

у® = Т0(тЧ, фи) — начальное условие, у| =

г '

„¿+1 _„] 1 , , „¿+1 _„]+1 г

,

„п _„п 1 ! \ „"1 „пТ1

срП1—^—1 = ^т^(-гП1_1ЛП1_1 1 ^ 1 ) на границе Г2, ерпыП*\УП*к = гп Я1 (-аГ"3)г+1 " Токр(*)) соз^

3 к ъзк 2

Пк

- ^п3 к

-гПЗк_хХПЗк_1 п3кК^3к ) — гр. условие на Гь

(10)

Здесь щ к = щ — а^ — п^), где щ — общее число узлов сетки по радиусам, — номер угла, nfl — число узлов равномерной сетки по углам до пересечения с дневной поверхностью.

Теплофизические функции для полярных координат вычисляются по следующим формулам [5]:

сРг = 1 + СРг) + + ^, СР0 = СрО + <¿0. СРN = ¿Рм + ^

( вср(Т^(п + + (1 - в)ср(Т1+1)(п -

(Т - тф)(т4+1 - тф) < о, (п)

I ср{Шп + ), (Т - ТФ)(Т^1 - Тф) > 0;

= ( Ч^г^ № - Тф)№+1 - Тф) < о,

4 1 О, (Т - Тф)№+1 - Тф)>0;

4 \о, (Т - ТФ)(Т^1 - Тф)>0; 1 1 № ~~ Тф)(Т4+1 - Тф) < о,

Л(Т^) 1п ^ А(7^+1) 1п ^

=

№-Тф)№+1-Тф)>0;

(14)

в = Тф - тг

По второму направлению имеем аналогичную разностную задачу:

■7+1 ■ 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1

л ^ + ^ + 1 \ ^ + — х

Лк+\ ~ 2 ' ~ 2 '

7 7+1

= — начальное условие,

г5^1 — г5

српз "3 т "3 = - ТокрИ) вт р

—А„з_1 пз — гр. условие на Гь (15)

Ап3-1

г1+1 —г1 1 / г^1 —г^1 \ /г^

сро 0 т р = 1 ^ р ), = "2* на границе Г3,

—г3 „ , + 1 — 7 + 1

С/Э„2 "2 Т "2 = -(А„2_ 1 "2 1) на границе Г5,

\ , ~ Л0+Л1 Л 1 « Л"2+Л"2~1 12 _ ^2 - | 2 ' 2 ' "2 — 2 •

Здесь щ = П2 - (гг - пг), где П2 — общее число узлов сетки по углам, гг — номер радиуса, пг — число узлов равномерной сетки по радиусам до пересечения с дневной поверхностью.

Эффективность предлагаемого алгоритма определения температурного режима системе «труба-грунт» в дальнейшем намечается проверить сопоставлением расчетных температур с данными мониторинга действующего опытно-промышленного участка внутриквартального бесканального подземного трубопровода теплоснабжения.

ЛИТЕРАТУРА

1. СН и П 41-02-2003. Тепловые сети (приняты Постановлением Госстроя РФ от 24.06.2003 №110).

2. Размазни Г. А., Моисеев В. В. Тепловое взаимодействие бесканальной прокладки теплопроводов с вечпомерзлыми грунтами // Проблемы строительства, инженерного обеспечения и экологии городов / Сб. материалов I Междунар. научно-практической конференции. Пенза: ДДЗ, 2000. С. 106-110.

3. Гордезиаии Д. Г., Меладзе Г. В. О моделировании третьей краевой задачи для многомерных параболических уравнений в произвольной области одномерными уравнениями // Журн. физ. математики и мат. физики. 1974. Т. 14, № 1. С. 246-250.

4. Охлопков Н. М. О некоторых разностных методах решения задач для дифференциальных уравнений. Иркутск: Изд-во Иркутск, ун-та, 1986.

5. Слепцов В. И., Мордовской С. Д., Изаксоп В. Ю. Математическое моделирование теплообменных процессов в многолетне-мерзлых горных породах. Новосибирск: Наука; Сибирская издательская фирма РАН, 1996.

г. Якутск

20 апреля 2010 г.