Численные модели оценки показателей надежности многокомпонентного оборудования по результатам компьютерного моделирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6:311 Краковский Юрий Мечеславович,

д. т. н., профессор, профессор кафедры ИС и ЗИ, Иркутский государственный университет путей сообщения, e-mail: [email protected]

Нго Зюи До,

аспирант кафедры информатики и математического моделирования, Иркутский государственный аграрный университет имени А. А. Ежевского, e-mail: [email protected]

Захарова Олеся Александровна, к. т. н., доцент кафедры информатики, Читинский филиал Байкальского государственного университета экономики и права, e-mail: [email protected]

ЧИСЛЕННЫЕ МОДЕЛИ ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ МНОГОКОМПОНЕНТНОГО ОБОРУДОВАНИЯ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Y. M. Krakovskiy, Ngo Duy Do, O. A Zacharova

NUMERICAL MODEL OF RELIABILITY INDEX ASSESSMENT OF MULTICOMPONENT EQUIPMENT BASED ON THE SIMULATION RESULTS

Аннотация. Предложены численные модели оценки показателей надежности многокомпонентного оборудования, когда оно рассматривается как совокупность последовательно соединенных компонент. Отказ любой из компонент приводит к отказу оборудования в целом. Восстановление отказавшей компоненты приводит к восстановлению оборудования. Исследован вариант, когда временем восстановления можно пренебречь. Это позволило представить итоговый процесс восстановления как наложение исходных процессов. Для каждой компоненты оборудования известна функция распределения времени наработки и значения ее числовых характеристик. Созданная имитационная модель позволяет создавать обычный процесс восстановления многокомпонентного оборудования и выборку наработок, которая в дальнейшем обрабатывается статистическими методами и предложенными численными моделями оценки показателей надежности. Показателями надежности являются: средняя наработка; гамма-процентный ресурс; средний остаточный ресурс; гамма-процентный остаточный ресурс. В качестве вероятностных моделей времени наработки между отказами для компонент в имитационной модели выбраны распределения: нормальное, Вейбулла, Бирнбаума - Саундерса, гамма и логнормальное. Зная значения математических ожиданий и коэффициентов вариации, методом моментов находят значения параметров этих распределений.

Ключевые слова: наработка оборудования, средний остаточный ресурс, гамма-процентный остаточный ресурс, компьютерное и имитационное моделирование.

Abstract: The article proposes model for evaluation of reliability indices of multicomponent equipment, when it is viewed as a set of series of components. For equipment, overall failure results from the failure of any of the components. The recovery of a failed component leads to the restoration of equipment. Options for when the recovery time can be neglected are explored. It allowed to present the final recovery process as the imposition of the original processes. For each piece of equipment, the distribution function of the operating time and the values of numerical characteristics are known. A simulation model makes it possible to create a conventional recovery process of multi-component equipment and sample of operating time, which is further processed by the statistical methods and the proposed model for estimation of reliability indices. The reliability indices are: mean time; gamma-percent resource; the average residual life; gamma-percent residual life. As the probability models of operating time between failures for the components in the simulation model, the distributions: normal, Weibull, Birnbaum - Saunders, gamma, and lognormal are chosen. Knowing the values the mathematical expectations and coefficients of variation, the parameters of these distributions are found by the method of moments.

Keywords: operating time of the equipment, average residual life, gamma-percent residual life, simulation modeling.

Введение

Выбор моделей оценки показателей надежности сложного оборудования зависит от его структуры и формализации технологии ремонтно-восстановительных работ. Если оборудование рассматривается как совокупность последовательного соединения компонент, то при отказе любой из них происходит отказ оборудования в целом. Восстановление отказавшей компоненты приводит к восстановлению оборудования. Если при этом пренебречь временем восстановления по сравнению со временем наработки, то функционирование восстанавливаемых объектов описывается обычным процессом восстановления [1, 2]

Т, г = 1, 2, ..., (1)

где Тг - последовательность взаимно независимых случайных величин, имеющих одинаковое распре-

деление. Эти величины интерпретируются как наработки между отказами оборудования.

Моменты восстановления, когда происходят отказы оборудования:

Хk =Ет, .

(2)

i=1

В теории процессов восстановления, а также в теории потоков отказов (событий) доказано, что при наложении большого количества потоков итоговый поток можно считать простейшим [3, 4]. А из этого обосновывается показательный закон для наработки между отказами сложного оборудования.

В работе с использованием компьютерного (имитационного) моделирования исследуется случай многокомпонентного оборудования, когда

Машиностроение и машиноведение

число компонент не очень большое, что не позволяет описывать наработки между отказами показательным законом.

1. Постановка задачи

Объектом исследования является высокотехнологическое оборудование, содержащее I компонент, / - номер компоненты. Отказ любой компоненты приводит к отказу оборудования. Для каждой компоненты оборудования известна функция распределения времени наработки как случайной величины (^ 0)) и значения ее числовых характеристик: математического ожидания - ^ и коэффициента вариации - .

Для этого случая создана имитационная модель, которая позволяет создавать процесс восстановления (1) как результат наложения небольшого числа потоков. Процессы отказов компонент описываются моделями (1-2).

В качестве вероятностных моделей времени наработки между отказами для компонент в имитационной модели выбраны следующие распределения: нормальное (Л), Вейбулла (Ж), Бирнбаума -Саундерса (55), гамма (ОМ) и логнормальное (ЬЛ) [1, 2, 5, 6]. Зная значения математических ожиданий и коэффициентов вариации, методом моментов находятся значения параметров этих распределений [1, 7]. Алгоритмы моделирования значений случайных величин для этих распределений имеются в работах [1, 5, 7].

Результатом компьютерного моделирования является выборка наработок многокомпонентного оборудования объема п

Т = (*,..., и,..., Ъ), (3)

которая в дальнейшем обрабатывается статистическими методами.

К показателям надежности отнесено:

- средняя наработка;

- гамма-процентный ресурс;

- средний остаточный ресурс;

- гамма-процентный остаточный ресурс.

2. Использование усеченного

показательного распределения

На рис. 1 представлена гистограмма частот для 6 компонент оборудования, полученная по выборке (3), единица измерения наработки -месяц (мес.).

Была выдвинута гипотеза о том, что генеральная совокупность, из которой получена выборка (3), имеет усеченное показательное распределение с функцией

F (t) =

1 - e'

1 - e

-хь

0 < t < ь.

(4)

Рис. 1. Гистограмма частот наработки для 6 компонент оборудования

Вероятность безотказной работы

P(t) =

e-'Kt - e-'хь

1 - e

-хь

, 0 < t < ь ; (5)

плотность распределения вероятностей

Л -Xt

f(t),0 < t <ь; 1 - e

числовые характеристики

t =■

1

X

ь

хь 1 e -1

n _ 2 (b + 2/X)b D = —:.---

X2

К, =

хь 1 e -1

4D

t

(6)

(7)

(8)

(9)

Зная оценки математического ожидания (7) и коэффициента вариации (9), методом моментов можно найти параметры b и X. Учитывая наличие «хвостов» при имитационном моделировании многофакторной случайной величины, которой является наработка многокомпонентного оборудования, за величину b рекомендуется принять не максимальное значение (3), а значение, при котором число выборочных значений составляет 98 %.

В этом случае b = 7 (мес.) а оценка математического ожидания t = 2,13 (мес.). Решая уравнение (7), получим X = 0,37 (1/мес.).

При этих значениях параметров и числе интервалов 20 расчетное значение критерия хи-квадрат равно 28,6. Это позволило при уровне значимости 0,05 принять гипотезу об усеченном показательном законе.

Величина (7) является средней наработкой.

Решая уравнение

P(t) = у,0 < t < ь, (10)

где P(t) определяется (5), получим гамма-процентный ресурс

2500

2000

ъ 1500

1000

500

0

0

2

3

4

5

6

7

t, мес

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

г0 - Ь - 1\п[у(еХЬ -1) + 1]. (11) к

Для усеченного показательного закона вероятность безотказной работы для остаточного ресурса с учетом (5) равна

Р(г + у) _ е~_

" ~" (12)

Р(у)=-

-Кг -Ку 0-кЬ

-Кг -КЬ ' е - е

Р(г)

0 < г < Ь, 0 < у < Ь - г. Тогда средний остаточный ресурс

Уг =

Ь-г

-1 Р(у¥У-

1

Ь-г

К е

'-1

, 0 < у < Ь - г . (13)

Гамма-процентный остаточный ресурс для вероятности у вычисляется из уравнения [1]

Р (у) = У, (14)

где Р (у) определяется (12). В результате полу-

чим

т,=

у

Е п п

м

- накопленные относительные

1=1

частоты, т7 = 1; к/ = 1 - т/, / = 1, ..., ко = 1.

Статистическая вероятность безотказной работы (рис. 2)

Р (0 = , г ! <г < г}, ] = й;

7 7 7 (17)

Рс (0) = к0 = 1; Рс (г) = 0, г/_1 < г < г/.

Численную вероятность безотказной работы получим как совокупность отрезков прямых, соединяющих точки (/ к)

0, г > Ь

Рг (г) = \

к-1 + (г - г/_1)(к/ - к :_1)3, 0 < г < Ь, (18)

1, г < 0 где г]-1 < г < г], ] = 1,3.

у0 =- 1це-КЬ +у(е-Кг - е ~КЬ)) - г. (15)

3. Численный метод оценки показателей надежности

В общем случае, если не удается подобрать теоретический закон, предлагается численный метод определения показателей надежности.

Разобьем интервал (0, Ь) узлами на 7 подинтервалов длиной

А г = Ь / 3; ^ = ] • А г, ] = 1,3, г0 = 0; ^ = Ь . (16)

Введем следующие обозначения: п - число выборочных значений, попавших в подинтервал

3

(г}_1, / (частоты), Епу = п, п - объем выборки;

1

0.9 -

0.8 -

0.7 -

0.6 -

~о 0.5-о.

0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 ^ мес.

Рис. 2. Статистическая вероятность безотказной работы Численная средняя наработка с учетом (18)

ь ь 3

~гг =/Рг (г)Л = -(0,5 + £ к}). (19)

0 3 7=1

С учетом (10) и (18) численный гамма-процентный ресурс равен

(у-к.-) Ь

г (у) = г.. +-ду) 7-1 к} - 7 3

(2о)

где к7_1 >у>к7, 7 = 1,3 .

На рис. 3 представлены численная (18) и теоретическая (5) вероятности безотказной работы. Наблюдается очень хорошее совпадение, что позволяет рекомендовать (18)-(20) для общего случая. 1

0.9 0.8 0.7 0.6

0.4 0.3 0.2 0.1 0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 мес.

Рис. 3. Численная и теоретическая вероятности безотказной работы

Введем статистическую вероятность безотказной работы для остаточного ресурса

(21)

Р (у) = Р7 (О = 7 / к1, р1 (0) = 1 ,

7+

7

7

где г = 7 • Ь / 3, 7 = 1,3, 30 < 3 - 2; у = г • Ь / 3, г = 0,3 - ].

Численную вероятность безотказной работы для остаточного ресурса получим аналогично (18):

0

Машиностроение и машиноведение

р (7)=

0, у > Ь - г

Р] (г -1) +

1, У < 0

(у - ¿гч)(р] (г) - Р; (г -1)) ■ У

Ь

, (22)

где

г = у ■ Ь / У; ^ < .у < гг, гг = г ■ Ь / У, г = 1, У - 7 .

Учитывая (13) и (22), численный средний остаточный ресурс

~ Ь

Уг = Ь

Уо = гг-1 +

р, (0 - р,(г -1) У

рг (г) =

т;Ч + (г - г^ )(ш] - )У /Ь, 0 < г < Ь, (25) 1, г > Ь

где г,.! < г < г,, у = 1, У.

Решая уравнение

^ (г) = г, г ^ Я(0,1), (26)

получим численный алгоритм моделирования случайной величины по результатам компьютерного моделирования

г = г 7-1 +

г - т

7-1

т - т,-\

Ь_ У

0 < г < Ь, (27)

У - 7

0,5 + ^р, (г) . (23)

_ г=1 _

Учитывая (14) и (22), численный гамма-процентный остаточный ресурс

(7- Р, (г -1)) Ь

где т < г < т ■, 7 = 1, У .

Для усеченного показательного распределения алгоритм моделирования с учетом (4) и (26) равен

1

(24)

г = -- 1п(1 - (1 - е )Г).

(28)

где р, (г -1) > 7 > р, (г), г = 1, У - у, р. (0) = 1.

На рис. 4 представлены численная (22) и теоретическая (12) вероятности безотказной работы для остаточного ресурса при г = 1,4 (мес.) (Ь = 7, У = 40,; = 8). Наблюдается очень хорошее совпадение, что позволяет рекомендовать (22)-(24) для общего случая.

Р1,4<У) Р1,4(У)

0

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 4.4 4.8 5.2 5.6 у, мес.

Рис. 4. Эмпирическая и теоретическая вероятности безотказной работы для остаточного ресурса

4. Результаты вычислительного эксперимента

Зная статистическую вероятность безотказной работы (17), можно найти статистическую функцию распределения

^ (г) = 1 - Рс (г), а затем и численную функцию аналогично (18)

0, г < 0

Получим по алгоритму (28) выборку объема 10000, найдем точечную и интервальную оценку для математического ожидания

I = 2,127(мес); 12) = (2,093;2,161). (29) Точечная оценка (29) является оценкой средней наработки многокомпонентного оборудования.

Получим по алгоритму (27) выборку объема 10000, найдем точечную оценку для математического ожидания, относительные частоты определяются по выборке, полученной по алгоритму (28),

гС = 2,128 (мес.). (30)

Убедимся, что полученная оценка (30) попала в доверительный интервал (29). В связи с этим можно рекомендовать алгоритм (27) для общего случая.

Найдем численную среднюю наработку (19), используя полученные относительные частоты,

1Т = 2,128 (мес.). (31)

По модели (7) средняя наработка равна 2,130 (мес.). Результаты отличаются не существенно, оба значения попадают в доверительный интервал (29), что позволяет рекомендовать (19) для общего случая.

Дополнительно найдем численный гамма-процентный ресурс (20) при 7 = 0,90

гг (7) = 0,262 (мес.). (32)

По модели (11) имеем

г0 = 0,262 (мес.). (33)

Результаты совпали, что позволяет рекомендовать (20) для общего случая.

Найдем с учетом (21) по модели (23) численный средний остаточный ресурс при г = 1,4 => у = 8

У1,4 =

40

32

0,5 + £ р,(г)

г=1

= 1,885 (мес.). (34)

По модели (13) имеем

у1>4 = 1,895 (мес.). (35)

Результаты отличаются не существенно, что позволяет рекомендовать (23) для общего случая.

Найдем по модели (24) численный гамма-процентный остаточный ресурс при г = 1,4 (мес.)

~0 = 0,254 (мес.). (36)

По модели (15) имеем

у0 = 0,248 (мес.). (37)

Результаты отличаются не существенно, что позволяет рекомендовать (24) для общего случая.

Полученные результаты (30)-(37) позволяют сделать вывод о том, что предложенные численные модели можно использовать для не очень большого произвольного числа компонент, не подбирая аналитическую аппроксимацию в виде функции распределения для наработки многокомпонентного оборудования.

Выводы

1. Предложены численные модели оценки четырех показателей надежности многокомпонентного оборудования по результатам компьютерного моделирования. Этими показателями являются: численная средняя наработка - (19); численный гамма-процентный ресурс - (20); численный средний остаточный ресурс - (23); численный гамма-процентный остаточный ресурс - (24).

2. Предложена численная модель для моделирования времени наработки многокомпонентно-

го оборудования по результатам компьютерного моделирования (27).

3. Для шести компонент многокомпонентного оборудования предложено усеченное показательное распределение, гипотеза о котором проверена по критерию хи-квадрат.

4. Это распределение использовано для тестирования численных моделей, что позволило обосновать их корректность и практическую значимость для общего случая, когда подбор теоретического распределения для наработки не проводится.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Краковский Ю.М. Математические и программные средства оценки технического состояния оборудования. Новосибирск : Наука, 2006. 228 с.

2. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математической подход. М : Радио и связь. 1988. 392 с.

3. Ястребенецкий М. А., Иванова Г. М. Надежность автоматизированных систем управления технологическими процессами. М. : Энергоатомиздат. 1989. 264 с.

4. Дружинин Г.В. Надежность автоматизированных систем. М. : Энергоатомиздат. 1986. 480 с.

5. Краковский Ю.М., Нго Зюи До. Аналитический подход при оценке остаточного ресурса оборудования на основе статистических данных // Вопросы естествознания. 2014. № 2(3). С. 36-42.

6. Краковский Ю.М., Нго Зюи До Имитационная модель многокомпонентного оборудования для определения закона распределения его наработки // Вестник ИрГТУ. 2015. № 7. с. 50-56.

7. Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. Спб. : Питер. 2004. 847 с.

7