CC BY
46
Библиографический список
1. Развитие и применение многозначных логик и сетевых потоков в интеллектуальных системах / Л.А. Лютикова, А.В. Тимофеев, В.В. Сгурев [и др.] // Труды СПИИРАН. 2005. № 2. С. 114-126.
2. Лютикова Л.А. Моделирование и минимизация баз знаний в терминах многозначной логики предикатов. Нальчик: Препринт, 2006. 33 с.
3. Барский А.Б. Логические нейронные сети. М.: ИНТУИТ, БИНОМ, 2007. 352 с.
4. Димитриченко Д.П. Многокритериальный поиск топологических структур для оптимального построения локальных вычислительных сетей // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. 2012. № 2. Т. 14. С. 68-73.
УДК 519.6:311
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОЙ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРА ПОТОКА ОТКАЗОВ МНОГОКОМПОНЕНТНОГО ОБОРУДОВАНИЯ
© Ю.М. Краковский1, Нго Зюй До2
Иркутский государственный университет путей сообщения, 664017, Россия, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15. Иркутский государственный аграрный университет имени А.А. Ежевского, 664038, Россия, Иркутская обл., Иркутский р-он, п. Молодежный, ул. Молодежный пос., 1/1. Предложен вычислительный алгоритм численной оценки параметра потока отказов многокомпонентного оборудования по результатам компьютерного моделирования. Оборудование рассматривается как совокупность последовательно соединенных компонент. Отказ любой компоненты приводит к отказу оборудования в целом. Восстановление отказанной компоненты приводит к восстановлению оборудования. Исследован вариант, когда временем восстановления можно пренебречь, а итоговый процесс создается наложением исходных процессов. Для линейного распределения наработки четырехкомпонентного оборудования найдены функции, которые совпадают на интервале изменения наработки с параметром потока отказов и функцией отказов. Это позволило провести тестирование предложенного вычислительного алгоритма численной оценки параметра потока отказов многокомпонентного оборудования.
Ключевые слова: многокомпонентное оборудование; время наработки; параметр потока отказов; компьютерное моделирование.
COMPUTATIONAL ALGORITHM FOR NUMERICAL ESTIMATION OF MULTICOMPONENT EQUIPMENT FAILURE FLOW PARAMETER Yu. M. Krakovskiy, Ngo Duy Do
Irkutsk State University of Railway Engineering, 15 Chernyshevsky St., Irkutsk, 664017, Russia. Irkutsk State Agrarian University named after A.A. Ezhevskiy, Molodezny Settlement, Irkutsk district, Irkutsk region, 664038, Russia.
The article proposes a computational algorithm for numerical estimation of the multicomponent equipment failure flow parameter based on the computer simulation results. The equipment is treated as a set of connected in series components. If one component fails, the whole equipment set fails. Recovering of the failed component results in the recovering of the equipment as a whole. The study is given to the option when recovery time can be neglected whereas the final recovery process is created by the superposition of original processes. For the linear distribution of four-component equipment operating time, the functions are found which are the same as the failure flow parameter and the failure function in the interval of operating time change. It allowed to test the proposed computational algorithm of numerical estimation of the multicomponent equipment failure flow parameter.
Keywords: multicomponent equipment; operating time; failure flow parameter; computer simulation.
Введение
Любое оборудование в процессе эксплуатации подвергается различным воздействиям, приводящим к его отказу. Это требует развития системы технического обслуживания и ремонта оборудования, включая совершенствование методов расчета показателей надежности. К базовым показателям надежности от-
носят вероятность безотказной работы для ресурса и остаточного ресурса. Зная эти показатели, можно найти средний ресурс (среднюю наработку оборудования) или средний остаточный ресурс, а также гамма-процентный ресурс или гамма-процентный остаточный ресурс [1, 2, 5]. В работе рассмотрен дополнительный показатель - параметр потока отказов, кото-
1 Краковский Юрий Мечеславович, доктор технических наук, профессор кафедры информационных систем и защиты информации, тел.: 89149267772, e-mail: [email protected]
Krakovskiy Yuri, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Information Systems and Data Protection, tel.: 89149267772, e-mail:[email protected]
2Нго Зюи До, аспирант, тел.: 89248288979, e-mail: [email protected] Ngo Duy Do, Postgraduate, tel.: 89248288979, e-mail: [email protected]
рый позволяет оценивать надежность оборудования в переходный период времени.
Математическое описание задачи
Функционирование восстанавливаемых объектов описывается обычным процессом восстановления [1]:
Т, i = 1, 2,
(1)
где Т, - последовательность взаимно независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение (эти величины интерпретируются как наработки между отказами оборудования); I - значения этих величин.
Моменты восстановления, когда происходят отказы оборудования, описываются как
хk = ТТ.
(2)
В модели (2) предполагается, что время восстановления оборудования по сравнению со временем наработки между отказами мало и им можно пренебречь. Дополнительно предполагается, что после восстановления оборудование с точки зрения его надежности возвращается в исходное состояние (старением оборудования пренебрегают).
Модель (2), так же как и модель (1), описывает процесс восстановления. В теории надежности модели (1) и (2), когда время восстановления нулевое, называют иногда процессами отказов. Мы также будем использовать эту терминологию.
При исследовании процессов отказов особый интерес представляет считающий процесс:
N(t) = max{k:Хк <t}, N(t) = 0, для t < Xv
(3)
Величина (3) означает случайное число отказов, произошедших за время от 0 до I (в момент времени Хк величина (3) увеличивается на единицу). Из выражения (3) следует, что неравенство Хк < I выполняется только тогда, когда N(1) > к.
Если процесс отказов одновременно обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия, то он является простейшим, или пуассоновским [5, 9]. В этом случае вероятность возникновения к отказов на отрезке времени длиной I определяется распределением Пуассона:
Pk(t) =
(at)k
k!
k = 0, 1, 2,
exp( - at)
(4)
где э[ - параметр этого распределения.
Для простейшего потока величины (1) имеют показательное распределение с параметром а:
1
a = — t
(5)
где 7 - средняя наработка (1).
В теории технического обслуживания особое значение имеет математическое ожидание числа отказов за время t (3), которое называют функцией отказов:
W(t) = M[(N(t))];
lim
W(t)
(6)
Ч-» t t
Считающий процесс отказов (3) является случайным и дискретным, а функция отказов (6) - детерминированной и непрерывной.
В теории процессов восстановления, а также в теории потоков отказов (событий) доказано, что при наложении большого количества потоков итоговый поток можно считать простейшим. А из этого обосновывается показательный закон для наработки между отказами сложного оборудования.
Для простейшего потока с учетом (4)
да
W(t) = £k■ Pk(t) = a■ t.
Производная от функции (6) называется параметром потока отказов. Параметр описывается интегральным уравнением восстановления [1, 9]:
t
w(t) = f(t) + J w(x)f(t - x)dx ,
lim w(t) = =, t
(7)
где f (t ) - плотность распределения вероятностей величин (1) (наработок оборудования между отказами). Параметр потока отказов (7) является важным показателем надежности для восстанавливаемого оборудования, когда временем восстановления пренебрегают.
Интегральное уравнение восстановления (7) является уравнением Вольтерры 2-го рода, которое имеет единственное решение [1, 3]. В общем случае интегральное уравнение восстановления (7) решается аналитически, численно или с использованием преобразования Лапласа. Для всех этих методов необходимо знать плотность распределения вероятностей наработок оборудования между отказами.
Вычислительный алгоритм численной оценки параметра потока отказов по данным компьютерного моделирования
В теории надежности оборудование рассматривается как единый объект, который описывается некоторой функцией распределения времени наработки между отказами. Нами исследуется многокомпонентное оборудование, содержащее совокупность последовательно соединенных с точки зрения его надежности компонент: механической, электрической и т.д. [7].
Зная значения математических ожиданий и коэффициентов вариации наработок компонент, методом моментов можно найти значения параметров этих распределений [3, 7]. Алгоритмы моделирования значений случайных величин для этих распределений имеются в работах [4, 5, 6].
/=1
k=0
0
Введем следующие обозначения: l - номер реализаций при моделировании, I = \,ь , где I - число реализаций; Ь - максимальное значение наработки оборудования между отказами; j - номер интервала; J
- число интервалов на отрезке (0, Ь); Аг = Ь - длина
интервала; ^ = у -Аг - значение j-го узла, у = ,
где Jm - число интервалов при моделировании, Jm > J; тЩ - число отказов оборудования для 1-й реализации за время т(0) = 0.
Тогда число отказов оборудования при моделировании по всем реализациям
M(tj) =Ym,(tj),j = \,Jm
1=1
(8)
а оценка функции отказов (6) с учетом (8)
М (I,)
Мч.,
1 ь _
= 7 Ет>(гу)' У = Ыт-^ 1=1
(9)
Так как параметр потока отказов (7) является производной от функции (6), то численная его оценка
w,(tj)=(M(tj)-
(10)
Подставляя в (10) оценку (9), получим:
=(± Пу )• Ь-у=
(11)
где и, = т(г ) -т(г х) - частота отказов для j-го интервала ) и 1-й реализации.
При увеличении / (г^ ч>г(Г])я\, где 1-оценка
t
средней наработки оборудования.
Для вычисления частот п необходимо моделировать процесс (2):
гк1 Е ХИ' гк1 — ,
1=1
где хг - наработки оборудования. Если г^ — г и< ^, то
пу = пу +1, 1 = 1,1 .
(12)
(13)
Пусть т(г^) - число отказов за время ^ для I-й реализации. Это число
Jm _
т(гО = ЕИу = = и . (14)
У=1
Тогда объем выборки наработок
L Jm
'=Z mi(tJm) =ZZ '
4j-
1=1 j=l
По этой выборке найдем точечную
г2)
(~)
(15)
и интер-
вальную "2/ оценки среднего значения наработки оборудования:
I к,
1
f-^EI
n V'=1 i=i = t - 8;
t2 =t+S,
x„
(16)
где
8 =
zr •s . ■v/n"
s =
SS xl -
n-f
n -1
(17)
здесь г - квантиль нормального распределения;
величина К определяется формулой (14).
Формулы (8)-(17) образуют вычислительный алгоритм численной оценки параметра потока отказов по результатам компьютерного моделирования.
Вычисление параметра потока отказов для линейного распределения
В практике технического обслуживания оборудования, содержащего ограниченное число компонент, наложение процессов восстановления от этих компонент возникает тогда, когда восстанавливается только отказавший компонент. Для этого случая создана имитационная модель [6], с помощью которой создается процесс отказов (1). Это позволило представить итоговый процесс как результат наложения небольшого числа потоков. Процессы отказов компонент описываются моделями (1)-(3).
Воспользуемся примером из работы [7], в которой осуществлен подбор линейного распределения для четырехкомпонентного оборудования с плотностью распределения вероятностей времени наработки:
1 2t
f(t) =- -2t; 0<t<b. b b2
(18)
Найдем параметр потока отказов для линейного распределения (18), используя преобразование Лапласа. При этом [1, 2]
«Ys)
1 - f(s)
(19)
где т° (s) = | w(t) • exp( ^^г - преобразован
ие
Лапласа параметра потока отказов; р(я)- преобразование Лапласа плотности распределения вероятностей. При использовании преобразования Лапласа плотность распределения вероятностей должна быть на интервале от 0 до ж. В нашем случае это условие не выполняется, поэтому полученный результат не является параметром потока отказов, но совпадает с ним на интервале (О, Ь) .
1=1
0
Преобразование Лапласа для функции (18)
/ V) =265-2
b2 s
(20)
Подставляя выражение (20) в (19), получим преобразование Лапласа для функции (18):
a'(s) =
1
1Y 1
s-- I
b I b2
(21)
Преобразуя (21) с учетом таблицы обратного преобразования Лапласа [8], получим:
w(t)=2 •cos (b )exp (bb
о < t < b, w(о)=-.
b
(22)
Функция (22) совпадает с параметром потока отказов (7) для линейного распределения (18) на интервале (О, Ь). В цитируемой работе [7] наработка измеряется в месяцах, параметр Ь = 10,5 мес., это значение нам понадобится в следующем разделе, посвященном тестированию.
Найдем функцию отказов (6) для линейного распределения (18), интегрируя функцию (22):
W(t) = exp | -
cos\ — I + sin I —
b I l b
-1,
о < t < b, W(0) = 0.
(23)
Тестирование вычислительного алгоритма численной оценки параметра потока отказов
Для вычисления численной оценки параметра потока отказов (11) найдем алгоритм моделирования наработки между отказами для плотности (18). Для этого найдем функцию распределения:
2t b
F(t)=-г-
0 < t < b
Решая уравнение
Р( 7) = г, г ^ ^(0,1) ,
получим алгоритм моделирования наработки между отказами:
7 = Ь(1 Г), О < г < Ь. (24)
Пусть Ь = 10,5; 3 = 100; Ь = 50000; 3т = 200 .
Найдем численной параметр потока отказов (11) с учетом (12) и (13) по результатам компьютерного моделирования (24) (рис. 1).
Объем выборки (15) п = 287632. Сначала найдем точечную и интервальную оценки (16) для математического ожидания:
7 = 3,499 ; (%• ?2; = р,490; 3,508;. (25)
Математическое ожидание наработки 7 = Ь = 3,5
попадает в доверительный интервал (25).
На рис. 1 представлены значения численного (11) и теоретического (22) параметра потока отказов при Ь = 10,5; 0,286 - это предельное значение, равное
1 =3. Параметр потока отказов для линейного рас-
Г ъ
2
пределения, начиная со значения - = 0,190, увеличи-
Ь
вается, превышает предельное значение, а затем колеблется около этого значения.
Принимая во внимание хорошее совпадение значений, вычислительный алгоритм численной оценки параметра потока отказов (11) с учетом (12) и (13) рекомендуют для общего случая, когда не ставится задача подбора теоретического распределения для наработки по результатам компьютерного моделирования многокомпонентного оборудования.
^ мес.
Рис. 1. Значения численного и теоретического параметра потока отказов
На рис. 2 представлены значения оценки функции отказов (9), полученные по результатам компьютерного моделирования (24), теоритеческая функция отказов (23) для линейного распределения (18) и прямая
= 0,286 • /.
г
Как видно из графиков, функции (23) и (9) на интервале изменения наработки линейного распределения практически совпадают, а начиная приближенно со значения 10 месяцев, параллельны прямой. Полученные результаты также подтверждают корректность предложенного вычислительного алгоритма (8)-(17).
нентного оборудования по результатам компьютерного моделирования.
2. Посредством использования преобразования Лапласа получена функция, которая совпадает на интервале изменения наработки с параметром потока отказов. Это позволило провести тестирование предложенного вычислительного алгоритма численной оценки параметра потока отказов многокомпонентного оборудования.
3. Проведенное тестирование позволило обосновать корректность и практическую значимость для общего случая вычислительного алгоритма численной
4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1
0.5 0
L L L L L L L
- W(t)
- Wr(t)
•' г г г г г 3t/b
0
4
6
10
8
t, мес.
Рис. 2. Значения оценки функции отказов
12
14 15
Подводя итоги работы, можно сделать следующие выводы:
1. Предложен вычислительный алгоритм численной оценки параметра потока отказов многокомпо-
оценки параметра потока отказов многокомпонентного оборудования по результатам компьютерного моделирования.
Статья поступила 10.08.2015 г.
Библиографический список
1. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математической подход. М: Радио и связь, 1988. 392 с.
2. Дружинин Г.В. Надежность автоматизированных систем. М.: Энергоатомиздат, 1986. 480 с.
3. Калиткин Н.Н. Численные методы. СПб.: БХВ-Петербург, 2011. 586 с.
4. Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. СПб.: Изд-во Питер, 2004. 847 с.
5. Краковский Ю.М. Математические и программные средства оценки технического состояния оборудования. Новосибирск: Наука, 2006. 228 с.
6. Краковский Ю.М., Нго Зюи До. Влияние вида функции
распределения наработки на показатели остаточного ресурса // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2014. № 3 (43). С. 55-59.
7. Краковский Ю.М., Нго Зюи До. Имитационная модель многокомпонентного оборудования для определения закона распределения его наработки // Вестник ИрГТУ. 2015. № 7. С. 50-56.
8. Макаров И.М., Менский Б.М. Таблица обратных преобразований Лапласа и обратных z-преобразований. М.: Высш. шк., 1978. 274 с.
8. Ястребенецкий М.А. Надежность автоматизированных систем управления технологическими процессами. М.: Энергоатомиздат, 1989. 264 с.
2
