Имитационная модель многокомпонентного оборудования для определения функции распределения его наработки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6:311

ИМИТАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ МНОГОКОМПОНЕНТНОГО ОБОРУДОВАНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЕГО НАРАБОТКИ

© Ю.М. Краковский1, Нго Зюи До2

1Иркутский государственный университет путей сообщения, 664017, Россия, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15. 2Иркутский государственный аграрный университет имени А.А. Ежевского, 664038, Россия, Иркутская обл., Иркутский р-он, п. Молодежный.

Описана постановка и математическое обеспечение технологии имитационного моделирования для исследования надежности сложного оборудования, содержащего совокупность последовательно соединенных компонент. Приведены результаты вычислительного эксперимента по получению и обработке выборочных значений времени наработки оборудования как единой системы. Используя критерий Пирсона, обоснована возможность применения линейной плотности распределения вероятностей для аппроксимации времени наработки как случайной величины для многокомпонентного оборудования. На примере данного распределения показана возможность оценки среднего и гамма-процентного остаточного ресурса многокомпонентного оборудования по результатам имитационного моделирования.

Ключевые слова: время наработки; показатели надежности; остаточный ресурс; имитационное моделирование.

MULTICOMPONENT EQUIPMENT SIMULATION MODEL TO DETERMINE DISTRIBUTION OF TIME BETWEEN FAILURES Yu. M. Krakovsky, Ngo Duy Do

Irkutsk State University of Railway Engineering, 15 Chernyshevsky St., Irkutsk, 664017, Russia. Irkutsk State Agrarian University named after A.A. Ezhevsky, Molodezhny settlement, Irkutsk district, Irkutsk region, 664038 Russia.

The article describes the setting and software of simulation technologies to study the reliability of complex equipment comprising a plurality of serially connected components. The results of a computational experiment on receiving and processing of selective values of the operating time of equipment as a uniform system are given. Using Pearson's criterion the possibility of using a linear density of probability distribution for the approximation of time between failures as a random variable for multicomponent equipment is substantiated. On the example of this distribution the possibility to estimate an average and gamma-percent residual life of the multicomponent equipment by the simulation modeling results is shown.

Keywords: time between failures; reliability factors; residual life; simulation modeling.

Создание конкурентных отраслей промышленности во многом связано с использованием высоконадежного производительного оборудования. Факторы, влияющие на надежность оборудования, носят, как правило, случайный характер. В связи с этим основным направлением исследования надежности оборудования является использование вероятностно-статистических методов [1, 4]. При оценке показателей надежности в процессе проектирования и эксплуатации сложного оборудования ис-

пользуются модели потоков отказов и восстановления его компонент (подсистем, агрегатов), что в дальнейшем позволяет определить остаточный ресурс и обеспечить обслуживание этого оборудования по его техническому состоянию [4].

Примером сложного оборудования является мехатронная система как совокупность последовательно соединенных с точки зрения ее надежности компонент: механическая, электрическая, различные приводы (электромагнитные, пневмогид-

1

Краковский Юрий Мечеславович, доктор технических наук, профессор кафедры информационных систем и защиты информации, тел.: 89149267772, e-mail:kum@stranzit.ru

Krakovsky Yuri, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Information Systems and Data Protection tel.: 89149267772, e-mail:kum@stranzit.ru

2Нго Зюи До, аспирант, тел.: 89248288979, e-mail: irkndd@gmail.com Ngo Duy Do, Postgraduate, tel.: 89248288979, e-mail: irkndd@gmail.com

равлические и др.), а также подсистема управления, содержащая программно-технические средства и датчики различного назначения (рис. 1) [6].

Последовательное соединение компонент означает, что исключение любой из них приводит к отказу оборудования. В статье описана созданная имитационная модель многокомпонентного оборудования, позволяющая моделировать потоки отказов и восстановления его компонент с последующим определением закона распределения наработки оборудования как единой системы.

Математическая постановка задачи

Объектом исследования является высокотехнологическое оборудование, содержащее i компонент, i - номер компоненты. Исключение любой компоненты приводит к отказу оборудования. Для каждой компоненты оборудования известны:

а) вид функции распределения времени наработки как случайной величины (р-^)) и значения ее числовых характеристик (математического ожидания (Ты) и коэффициента вариации (уга.));

б) вид функции распределения времени восстановления как случайной величины (в $)), значение коэффициента готовности (к) и значение коэффициента вариации (у^). Коэффициент готовности:

к, = ь»/(i + \), 1=1,..„i, (1) где Ты - математическое ожидание времени восстановления, которое вычисляется из (1).

В качестве вероятностных моделей

времени наработки и восстановления компоненты в имитационной модели выбраны следующие распределения: нормальное Щ, Вейбулла Щ, Бирнбаума-Саундерса (bs), гамма (вм) и логнормальное ^щ. Зная значения математических ожиданий и коэффициентов вариации, методом моментов находятся значения параметров этих распределений [1, 4]. Алгоритмы моделирования значений случайных величин для этих распределений имеются в работах [2, 4].

В результате имитационного моделирования на первом этапе формируются следующие массивы:

амм(б,1) - матрица выборок времени наработок компоненты, s=1,...,nw(i);

avm(s,i) - матрица выборок времени восстановления компоненты, s=1,...,nw(i);

nw(i) - вектор числа отказов /-й компоненты за время моделирования;

anw(i) - вектор суммы наработок для -й компоненты за время моделирования;

avw(i) - вектор суммы времени восстановления для /-й компоненты за время моделирования.

Используя значения созданных массивов, на втором этапе оцениваются показатели для /-й компоненты (7=1,___,I):

а) математического ожидания времени наработки

~tm = ANW(/) / nw(i);

(2)

б) математического ожидания времени восстановления

t = A VW(/) / nw(i);

(3)

Рис. 1. Структура сложного оборудования

в) коэффициента готовности

+*,.)■ (4)

Оценки показателей (2)-(4) используются для верификации имитационной модели.

Для оборудования как единой системы далее в результате имитационного моделирования определяются:

1) выборка времени наработок оборудования за время моделирования

ANO(j), , (5)

где J - общее число отказов по всем компонентам, которое равно сумме nw(i). Это число является исходным данным, которое определяет точность имитационного моделирования;

2) выборка времени восстановления оборудования за время моделирования

AVO(j), j=1,..,J ;

3) оценка математического ожидания времени наработки

1и=АНи, (6)

где AN - сумма наработок оборудования за время моделирования;

4) оценка математического ожидания времени восстановления

гв=АУи, (7)

где AV - сумма времени восстановления оборудования за время моделирования;

5) оценка коэффициента готовности

к = 1н/{1н+1). (8)

Выборка (5) является одним из основных результатов первых этапов имитационного моделирования.

Вычислительный эксперимент

Имитационная модель, реализующая описанную математическую постанов-

ку, создана с применением системы Мат-лаб [3, 7]. Разработанная имитационная модель основана на концепции дискретно -событийного подхода, использующая модель календаря событий [2]. При проведении вычислительного эксперимента с использованием созданной имитационной модели в оборудовании выделено четыре компоненты: механическая (М), электрическая (Э), гидравлическая (Г), управляющая

(У).

Исходные данные для вычислительного эксперимента приведены в табл. 1: ФР - функция распределения; МОН - математическое ожидание времени наработки; КВН - коэффициент вариации для наработки; КГ - коэффициент готовности (1); КВВВ - коэффициент вариации для времени восстановления; МОВВ - математическое ожидание времени восстановления, полученное из формулы (1).

В табл. 2 приведены оценки исходных данных (2)-(4), полученные имитационной моделью, общее число отказов (!) равно 10000.

Сравнение данных табл. 1 и 2 позволяет сделать вывод о хорошем качестве моделирования исходных данных.

В результате проведенного имитационного моделирования получены значения оценок для оборудования как системы:

а) математического ожидания времени наработки (6) - 3,5, мес.;

б) математического ожидания времени восстановления (7) - 0,2, мес.;

в) коэффициента готовности (8) -

0,95;

г) среднеквадратического отклонения времени наработки - 2,5, мес.;

д) коэффициента вариации времени наработки - 0,714.

Коэффициент готовности оборудования меньше коэффициентов готовности его компонент; математическое ожидание времени наработки оборудования также меньше значений математических ожиданий времени наработки компоненты. Это связано с наложением потоков отказов компонент оборудования.

Таблица 1

Исходные данные

Компоненты M Г Э У

ФР для наработки (р$)) n ln w bs

Ты (МОН), мес. 9,0 12,0 20,0 25,0

V* (КВН) 0,25 0,45 0,45 0,4

к; (КГ) 0,978 0,984 0,990 0,992

ФР для времени восстановления (0(1)) гамма гамма гамма гамма

Vvи (КВББ) 0,3 0,4 0,5 0,6

Т1в (МОВВ), мес. 0,20 0,20 0,20 0,20

Таблица 2

Оценки исходных данных_

Компоненты M Г Э У

к, мес. (2) 9,07 11,99 19,74 25,14

tie, мес. (3) 0,20 0,20 0,20 0,20

к, (4) 0,9783 0,9840 0,9901 0,9921

На рис. 2 представлена гистограмма частот времени наработки оборудования (5), число интервалов равно 20. Исследования показали существенную зависимость формы гистограммы от исходных данных.

Наличие гистограммы (выборочных значений) позволяет подобрать аппроксимирующую плотность распределения вероятностей времени наработки, а затем использовать ее для практических задач, например, для оценки остаточного ресурса.

Подбор теоретического закона для времени наработки оборудования

Данное исследование проведено для гистограммы (рис. 2). Исходя из формы гистограммы, была выдвинута гипотеза о плотности распределения вероятностей времени наработки следующего вида:

= !±£ - ^; 0 < Г < Ь; 0 < а < 1 . (9) Ь Ь

1500

1000

-О

н

о н о го т

500

0

0

2

12

4 6 8 10

время наработки, мес. Рис. 2. Гистограмма частот для времени наработки оборудования

14

Числовые характеристики для распределения (9) равны:

J b(3 - a) = b2(3 - a2).

6

36

a =

Ьл/з

- a2 - л/з -; kv = a/ t = —

(10)

- a

6 3 - a

Учитывая, что 0<a <1, значение коэффициента вариации (10) изменяется в следующих пределах:

-ч/з \/2

— = 0,577 < k < — = 0,707 . (11) 3 v 2

Учитывая, что оценка коэффициента вариации времени наработки оборудования при имитационном моделировании равна 0,714, примем а=1. В этом случае плотность (9) имеет вид 2

ДО = -rib-t), 0 < t < b. (12)

b

Математическое ожидание

T--= 3'

(13)

Используя метод моментов, получим следующее значение параметра: Ь = 37=10,5.

На рис. 3 представлены эмпирическая и теоретическая (12) плотности распределения вероятностей времени нара-

ботки оборудования.

Проверим гипотезу о том, что теоретическое распределение статистически соответствует эмпирическому. В качестве критерия согласия используем критерий Пирсона (х2), который имеет вид [2]:

О _L (щ - т теор Л набл _ ^-

)2

(14)

i=i

т

l теор

где т - частоты попадания случайной величины в 1-й интервал; l - количество интервалов; т!теор = J.р; р1 - вероятность

попадания случайной величины в 1-й интервал, полученная с использованием выбранного закона, в нашем случае (12); j - объем выборки.

В проведенном исследовании с учетом того, что Ь = 10,5, l=16, объем выборки равен 4945 (отличается от исходной выборки на 1%). При q=0,05, х2я(14)=23,69, учитывая (14), для распределения (12) Х2набл=21,71. Исходя из полученных результатов можно принять гипотезу о том, что выборочные значения времени наработки оборудования (5), полученные по исходным данным (табл. 1), можно аппроксимировать распределением (12) при q=0,05 и Ь = 10,5.

о

0

1 I-

о сц с

0.2г

0.15 -

0.1 -

0.05

0

0

f(t)=0,018.(10.5-t)

2

4

10

12

14

6 8 время наработки, мес.

Рис. 3. Эмпирическая и теоретическая плотности распределения вероятностей времени наработки

оборудования

Расчет остаточного ресурса оборудования

Расчет остаточного ресурса рассмотрен в работах [4, 5]. Средний остаточный ресурс вычисляется по формуле

У = \ P (y)dy,

(15)

где р (у) - вероятность безотказной работы для остаточного ресурса (ресурса после времени Для распределения (12):

P (У ) =

(b -1 - y)2 (b -1 )2

(16)

0 < г < Ь, о < у < Ь - г При у=0 р (0) = 1, а при

у = Ь - г р (Ь - г) = 0.

На рис. 4 представлена функция (16) при t=4 и 6=10,5.

Учитывая (15) и (16),

У = V, 0 < t < b. (17)

Например, при t=4 и 6=10,5 средний остаточный ресурс (17) у4 = 2,17, мес.

Гамма-процентный остаточный ресурс (у0) вычисляется из уравнения [4, 5]:

P (У ) = У,

(18)

где р(у) - вероятность безотказной работы для остаточного ресурса. Для распределения (12) она равна (16); у - заданная вероятность.

Для функции (16) уравнение (18) имеет вид:

(Ь - г - у)2

, —у = 0. (Ь - г)2 у Решая уравнение (19), получим

у0 = (1-л/у) ■ (Ь - г).

(19)

(20)

Например: при t=4, 6=10,5 и у=0,6 гамма-процентный остаточный ресурс (20) у0 = 1,5, мес.; при t=2, 6=10,5 и у=0,9 гамма-процентный остаточный ресурс (20) у0 = 0,4, мес.

0.8 -

0.6 -

0.4 -

0.2 -

0

0

2

3 4

у, мес.

5

6

7

Рис. 4. Зависимость функции (16)

0

1

1

Из приведенных результатов вычислительного эксперимента можно сделать следующие выводы:

1. Описаны постановка и математическое обеспечение технологии имитационного моделирования для исследования надежности сложного оборудования, содержащего совокупность последовательно соединенных компонент.

2. Приведены результаты вычислительного эксперимента по получению и обработке выборочных значений времени

наработки оборудования как многокомпонентной системы. Используя критерий Пирсона, обоснована возможность применения линейной плотности распределения вероятностей (12) для аппроксимации времени наработки оборудования.

3. На примере распределения (12) показана возможность оценки среднего и гамма-процентного остаточного ресурса многокомпонентного оборудования по результатам имитационного моделирования.

Статья поступила 06.04.2015 г.

Библиографический список

1. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математической подход. М.: Радио и связь, 1988. 392 с.

2. Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. СПб.: Питер, 2004. 847 с.

3. Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. МДП.ДБ 7: программирование, численные методы. СПб.: БХВ-Петебург, 2005. 752 с.

4. Краковский Ю.М. Математические и программные средства оценки технического состояния оборудо-

вания. Новосибирск: Наука, 2006. 228 с.

5. Краковский Ю.М., Нго Зюи До. Влияние вида функции распределения наработки на показатели остаточного ресурса // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2014. № 3 (43). С. 55-59.

6. Мехатроника / Б. Хайманн [и др.]. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2010. 602 с.

7. Половко А.М., Бутусов П.Н. MATLAB для студента. СПб.: Изд-во «БХВ-Петербург», 2005. 320 с.