CC BY
1ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И
ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N.1, 2022 Электронный журнал, рег. Эл. N ФС77-39410 от 15.04.2010 ISSN 1817-2172
http://diffjournal, spbu. ruf e-mail: jodiff@mail.ru
Численные методы
Численные методы решения второй краевой задачи для многомерного уравнения Соболевского типа
М.Х. Бештоков
Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, ФГАОУ ВО «Северо-Кавказский федеральный университет», Северо-Кавказский центр математических исследований
Аннотация. Исследуется вторая краевая задача для многомерного дифференциального уравнения Соболевского типа с переменными коэффициентами. Рассматриваемое уравнение сводится к интегро-дифференциальному уравнению параболического типа с малым параметром. Для приближенного решения полученной задачи строится локально-одномерная разностная схема. Методом энергетических неравенств получена априорная оценка для решения локально-одномерной разностной схемы, откуда следуют ее устойчивость и сходимость. Для двумерной задачи построен алгоритм численного решения второй краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных Соболевского типа.
Ключевые слова: вторая краевая задача, априорная оценка, интегро-дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение Соболевского типа, локально-одномерная схема, устойчивость, сходимость.
1 Введение
Хорошо известно, что моделирование течения жидкости в трещиновато-пористых средах [1, 2], двухфазного течения в пористых средах с динамическим капиллярным давлением [3], переноса влаги [4, 5], движения подземных
вод со свободной поверхностью в многослойных средах [6, 7], теплопроводности в двухтемпературных системах [8] и течения некоторых неньютоновских жидкостей [9] приводят к дифференциальному уравнению в частных производных третьего порядка Соболевского типа.
Настоящая работа посвящена построению локально-одномерной (экономичной) разностной схемы для приближенного решения второй краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных Соболевского типа в многомерном случае, основная идея которого состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению ряда одномерных задач по каждому из координатных направлений. При этом для каждой из промежуточных задач строится безусловно устойчивая схема, требующая для своего решения числа действий, пропорционального числу узлов сетки на каждом временном слое. Основная трудность при построении локально-одномерной схемы для исходной дифференциальной задачи заключается в необходимости расщепления не только основного оператора задачи, но и оператора при производной по времени. В этой связи исходное многомерного дифференциальное уравнение сводится к интегро-дифференциальному уравнению параболического типа с малым параметром. Для приближенного решения полученной задачи строится локально-одномерная разностная схема. Методом энергетических неравенств получена априорная оценка для решения локально-одномерной разностной схемы, откуда следуют ее устойчивость и сходимость. Для двумерной задачи построен алгоритм численного решения второй краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных Соболевского типа.
Работа [10] посвящена исследованию разрешимости второй смешанной задачи в нецилиндрической области для уравнения третьего порядка Соболевского типа. Доказываются теоремы существования и единственности решения, в случае сужающейся при возрастании времени £ области.
В работе [11] исследуется вторая начально-краевая задача для уравнения третьего порядка Соболевского типа с малым параметром. Доказаны теоремы существования и единственности классического решения второй начально-краевой задачи. Методом Фурье в пространстве непрерывно-дифференцируемых функций получено решение в виде ряда. Доказано сходимость решения начально-краевой задачи для возмущенного уравнения третьего порядка Соболевского типа к решению соответствующей задачи для уравнения теплопроводности, когда малый параметр стремится к нулю.
Для приближенного решения дифференциальных уравнений в частных
производных во многих работах также используется итерационный многосеточный метод [12]-[14], а для приближения и замены в расчетах дифференциальной задачи на дискретную - метод конечных элементов [15], [16]. Так в работе [17], [18] приводится анализ сходимости многосеточного итерационного метода для решения системы алгебраических уравнений, получаемой в результате применения метода конечных элементов к уравнению конвекции-диффузии с краевыми условиями Дирихле.
Работы автора [19]-[23] посвящены исследованию локальных и нелокальных краевых задач для уравнения Соболевского типа в одномерном случае.
2 Постановка задачи
В замкнутой области (т = О х [0 < £ < 1], основанием которой является р-мерный куб О = {х = (х\, х2,..., хр) : 0 < ха < 1, а = 1, 2,...,р} с границей Г, О = О и Г, рассмотрим вторую краевую задачу для уравнения Соболевского типа
ди д
— = Ьи + "-к-Ьи + /(х,£), (х,£) е (т, (1.1)
(1.2)
где
Па(х,£) = Д_а(х,£), ха = 0, 0 < £ < Т, -Па(х,£) = Д+а(х,£), ха = 1, 0 < £ < Т,
и(х, 0) = и0(х), х е О, (1.3)
Ьи = ^ ЬаП, ЬаП = д^ (ка(х,£)д^ ) _ (х,£)и(х,£),
а=1 а ^
0 < Со < ка(х,£),да(х,£) < С1, и(х,£) е С4,3 ((), ка(х,£) е С3,1 (() ,Яа(х,£),/(х,£) е С2,1 ((), (1.4) (т = О х (0 < £ < Т], с0, с1, с2 = сопй£ > 0, V = сопй£ > 0,
ди д ди
Па(х, £) = ка(х, £) —--Ь V— ка(х, £)
дха д£ \ дхау
М+а = м(1,х',£), Д_а = д(0,х',£), Д±а(х,£) _ непрерывные функции, хх — (хх 1, хх2, ..., хр), х — (х 1, х2, ..., ха — 1, , ..., хр) , аа — 1, 2, ..., ^Р.
Преобразуем уравнение (1.1) и краевые условия (1.2), тогда, умножая обе части (1.1) и (1.2) на 1 е1 * и интегрируя полученное выражение по т от 0 до
t, получим задачу
1 Г 1 1 ~
Lu + / e-1 (t-T Vx, t)dr - - u + fix, t) = 0, (1.5)
ka(x,t)dU = M-a(x,t), Xa = 0, 0 < t < T,
(1.6)
u(x, 0) = uo(x), x E G, (1.7)
-ka(x,t)Ла = M+a(x,t), Xa =1, 0 < t < T,
где
t
f(x, t) = 1 J e-1 (t-Tf(x, т)dr - e-^ ^Lu0(x) - 1 u0(x)^ , o
t
MTa(x, t)u = 1 J e-1 (t-TVTa(x, т)dT ± e-vka(x, 0)u0(x). 0
В той же области вместо уравнения (1.5) рассмотрим следующее уравнение с малым параметром £
t
£uf = Lue + -1 I e-1 (t-TVdT - 1 ue + f(x, t), (x, t) E Qt, (1.8) v2 J v
0
где £ = const > 0.
t=0
дают, то в окрестности t = 0 у производной uf не возникает особенности типа пограничного слоя [24], [25].
Покажем, что ue ^ u в некоторой норме при £ ^ 0. Обозначим через z = ue - u и подставим ue = z + u в уравнение (1.8). Тогда получим задачу
t
£zt = Lz + Д. I e-1(t-T)zdT - 1z + f(x,t), (x,t) E QT, (1.9) v2 У v
0
ka (x,t) Ц = 0, xa = 0, 0 < t < T, -ka(x,t)|L = 0, xa = 1, 0 < t < T,
8L ~ _____- (1.10)
z(x, 0) = 0, x E G, G = G + Г, (1.11)
t
где /(х,£) = —
Для получения априорной оценки воспользуемся методом энергетических неравенств. Умножим уравнение (1.9) скалярно на 5 и получим энергетическое тождество:
= ( ддг(ка(х,£)дх^) _( ?а(х,£)5,5>) +
д£
а=1
а=1
+ (Л / е_1 т^т,^ — (15, 5^1 + (/(х,£),5^ .
V 2
V
(1.12)
Будем пользоваться скалярным произведением и нормой
(и,-и) = ии^х, Ци^2 = и2^х, ||и||| (01 ) = и2(х,£)^ха.
•/С }о 2( , а) Л
Преобразуем интегралы, входящие в тождество (1.12):
/ д5 Л £ д_____о
£—, 5 = - — 5
д£
2 д£
(1.13)
^ ка(х,£^тд5 1,5| =
а=1
дха
дха 2р
V / ка(х,£)
а=1 С
5
д5 дха
^^ ка(х,£)( д^5) ¿х = — ^ ^ ка(х,£Д ^ ) ¿х <— Со15Ж10• (1.14)
а=1
'с
а=1
'с
дха
Р \ Р Л
^да(х,£)5,5) = ^ / ^а(х,£)52^х >
а=1 ' а=1 с
22 > С0|5Ц0.
(1.15)
-5,5 = - ||5|0.
V / V
(1.16)
Далее, для оценки слагаемых правой части, воспользуемся £ неравенством Коши и неравенством Коши-Буняковского
^е_1 т)^ ^ < ¿2У5|12 +
/
V
2
1
е_ 1 т} 5^т I ,
V 2
/
12
< У г|2+
О
1
О
1
1
г
t t \ 2 t + I 1 J e-2<i-T)d^y Z2dT, 1 ) = ¿2IIZMg + f IIZHodT. (1.17)
0 / 0
(?(x,t), z) < ||7 II2 + £iMzIIo, (1.18)
где G' = {x' = (xi,x2, ...,xa-i,xa+i, ...,xp) : 0 < xa < 1},
dx — ^d^^i^d^^o • • • dxa—idxa+i • • • dx^.
-
2 t
£ d ,,2 ,,2 ( 11 A ,,~„2 e-^ Л. ,|2 7
2 dt Mz||2 + CoM Z 2 + {C0 + v - 4v2 - £V + "2Г J Mz||2dT <
0
ь
< ¿/ II^ + 4^ И/113 (1Л9)
0
Выбирая = —, из неравенства (1.19) находим 2
ь
ЦМ + ^М^-ИЗ + (I +1 - ¿) И^МЗ < а № + 2^II/Ю- (1-2°)
0
Проинтегрируем (1.20) по £ от 0 до тогда получим
ерИ2+*[ и-уо^е +(С0 + 1 - А)/ и^Мо^е <
ь е
< Р^ + 21о/( и/ПК, (1-21)
о о
Оценивая в (1.21) первое слагаемое в правой части следующим образом
г е ь
и^иО ^ <1 РИ0с
0 0 о
при V > З получаем оценку
еИ^Ио + Г (и^-ио + и^Мо) # < м Г /ио^е = е2м Г кио^е = о^.
./о Уо Уо
(1-22)
где M <
1П { Оо,^}
Из априорной оценки (1.22) следует сходимость ие к и при £ ^ 0 в норме
£
У¿III = еИ¿Но + II+ II¿хЦад^ гДе II¿хЦ0,д, = III¿хЦ^т, если и*— ограпи-
о
ченная, достаточно гладкая функция. Поэтому при малом £ решение задачи (1.6)-(1.8) будем принимать за приближенное решение второй краевой задачи для многомерного дифференциального уравнения Соболевского типа с переменными коэффициентами (1.1)-(1.3).
3 Локально-одномерная схема
На отрезке [0,T] введём равномерную сетку = {tj = jT, j = 0,1,..., jo} с шагом т = T/jo. Каждый интервал (tj, tj+i) разобьем пар частей точками tj+а = tj + т^, а = 1, 2, ...,р и обозначим через Aa = (tj+а-i, tj+а].
Пространственную сетку выберем равномерной по каждому направлению Oxa с шагом ha = nt, а = 1, 2, ...,р :
p
Wh = П , = tóa) = ¿a^a, ¿a = 0, 1, ...,Na,a = 1, 2, ...,p},
ha =
hf , ¿a = 0,Na.
a=1
ha, ¿a = 1, 2, ..., Na - 1, h
ha л 2 , ¿a
Уравнение (1.8) перепишем в виде
t
d?/e 1 С i 1 —
= e— - Lu£ - -1 e-1(t-TVdr + -u£ - f = 0, dt v 2 j v
o
или
t
edu£ ^ „ 1 f _ i , 1
V = 0, = -дЦг - LaU£ - А, I e-V2(t-TVdT + — U - fa,
p dt pv2 j pv
a=1 o
где /а(ж,£), а = 1, 2,...,р — произвольные функции, обладающие той же
р
гладкостью, что и /(ж, £) и удовлетворяющие уеловию ^ /а = /.
а=1
На каждом полуинтервале Д а, а = 1, 2,..., р, будем последовательно решать задачи
t
1 f 1
^(a) = - ¿a#(a) -— в-1 + — 0(а) - f = 0, (2.1)
v ' p dt v 7 pv2 J v 7 pv v '
о
ka(x,t)^ = M-a(x,t), Xa = 0, 0 < t < T,
'"âx
полагая при этом [26, стр.522
-ka(x,t)= M+a(x,t), Xa = 1, 0 < t < T,
(2.2)
0(1)(ж, 0) = u°(x), ^(i)(x,tj ) = ^(p)(x,tj ), j = 1, 2,..., tf(a) (x,tj+a_i ) = ^(a)(x,tj+a_i ), a = 2, 3, ...,p. Аппроксимируем каждое уравнение (2.1) номерa a двухслойной неявной
на полуинтервале Да = (tj+a-i , tj+
схемой , ^ _ , ,+_
" "" \ ' + p
номерных разностных уравнений:
p
j+a j +a-i -, j -,
-y p - y P =Aayj+a + ЛУ в-1 (tj -tj ' )y (x,tj +a )t --y(x,j^ ■ ~j+a T pv2 pv
A«yj + p = faay;^+P) - d«yj
:a
(2.3)
где
. ai j +
P
:a
a = k (x(-°.5a) f) x(-0.5a) = (x x x _ 0 Г ,1 Г ) f = tj+1/2
^a i v ) i v 1 ' " ' ' ^a-1 j ^a u. о ' t-a j ^a+l j • • • i -^p ) j ь ь j
da = qa(x,f), Yh,a-множество граничных по направлению xa узлов.
К уравнению (2.3) надо присоединить граничные и начальное условия. Запишем разностный аналог для граничных условий (2.2)
' (la) j+a = ~ = 0
aa yxa,0 = M-a, xa = 0, /о /|\
_ (Na) j+a = - =. (2.4)
aa yxa,Na = M+a, Xa = 1.
Условия (2.4) имеют порядок аппроксимации O(ha). Повысим порядок аппроксимации до O(ha) па решениях уравнения (2-1) при каком-либо a :
j i a
aaia)<J = M-a + O(ha).
С помощью разложения Тейлора находим
X /
\ . ^ / , 2 \
= a
ka^(a) = a^j+I - 0.5ha(ka^))' + ) = a^a)ja
p
—0.5^а( £
+? _ +V
т
1 7
——о ^ е—1 (0—о'^(ж,*3'+а)т+
7 '=0
1
а)+^ а)—я+а)+о(л^).
Итак,
—0.5Ла (в3^^—^о ^ е—1(О—О
т
1 3 '=0
^е"1 (0 —го' Цж,^'+а )т+да #(ж,3а) +
+р^М+а) — /3+а)0 = М—а + О(^) + 0(^т).
(2.5)
В (2.5) отбросим величины порядка малости О(^) и 0(^ат), заменим #(а) на у3+а, тогда (2.5) перепишется так:
(1а)л3+а , 0.5^о
£ а
У, 0"
УХа,0 + р^2
Е е—1 (0 —о')у0+ат — 0.5^а
3 '=0
р
Аналогично, при жа = 1 :
0.5^
+
а, Ха
= 0.
£ а
"У"/ =
ра
(жа) з+а
0.5Л.П
Ё е 1 (0 0'3 т + 0.5^а^а,жа3
р^2
3 '=0
0.5^
= 1,
где ¿а,0 = ^а,0 + р", = + р^,
М _ { — У-а М _ { — ^+а
м—а = 0.5^а , М+а = За,0 0.5^ .
Итак, разностный аналог задачи (1.6)-(1.8) имеет вид
РУ(Н = ЛаУ(а) -
Р 1
у(ж, 0) = и0(ж),
3+а _
'а р, а = 1, 2, ...,р, ж е
(2.6)
где
ЛаУ3 + р
=
ЛаУ =
Л—У = чЛ+У =
3+а
аауха
а 3 а а
— ^ау3+а + р?2 Ё е—1 ^' V + а т — р?У3+а
3 '=0
+ С е-1(0'У/ а т— 0.5^,0%
/'=0
0.5^а
а(^а)уо+а _0.5Ьа О е-1(0-0 ' )у0+а т+05^ 2 м О
О '=0
", жа 0,
0.5^а
", жа 1,
р
р
х
а
^aj xa ^ , j i a j i a-1
ж )- П (a) Уp - У p
фа = < M_a, Xa = 0, У = -T-
aa
.M+a, Xa = 1,
p
4 Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы
Характеристикой точности решения локально-одномерной схемы является разность г7+р = р — где и7+решение исходной задачи (1.6)-(1.8).
о + а 7 + а 7+а / \
Подставляя у7+р = г7+р + и р в разностную задачу (2.6), получим задачу
7+-
для погрешности г р :
г р — г р " 7+Р + ЛУ е—1 &—' )г (ж,*7 '+р )т — - г )+
т pv2 vp
£-= Aazj+p +--^^ e 1(tj tj')z(x,tj'+ p)t--z(x,tj+p
(3.1)
• i a 7
7+----a 1 1 fi i \ , ^ / I a \ 1 / 7_|_a\ • I a
где Va p = Aauj+p + pi2 e_v(tj_tj')u(x,tj + p )t _ p;u(x,tj+p) + +p _
j '=0
j+a j+ a-1 с-
Обозначив через
/ t \ j+i/2
Va = ( LaU +--2 e_1 (t_TWt--U + fa---7-
l pv2 у pv p dt
pp
и замечая, что Va = 0, если ^ fa = f, представим погрешность в виде
a=1 a=1
суммы jp = Va + Va:
va+ p = AaUj+p + A j e_1 (tj_tj')u(x,tj'+ p )t _ — u(x,tj+p) + jp _
pv2 pv
1
£U --U-p--Va+Va = (AaUj+ p _ La Uj+2 )_(—u(x, t7 + p ) _ — Uj+1 ) +
t V / \pv pv у
+ (Л j e_1 (tj _tj' )u(x,tj'+p )t _ А / e_1 (t_T)uj+2 dT | +
l pv2 f=0 pv2 У I
+ U+f - /+1
а-1
p — u3+ p £ ( du\3+1/2
-I£-T--PUJ |+ = ^ + ^ •
о
Очевидно,что = O(ha + t), / = O(1),
р = £^ + ^^ = о(|^|2 + т), |л|2 = л? + л2 +... + л
а=1 а=1 а=1
Запишем граничное условие при жа = 0 так:
0.5ha£ p
(а) (1 ) j+P ,
0.5hc
pv 2
è e—1 Cj—'j ') jp t—
j '=0
— j+p ~ —0.5ha da,oyo P + 0.5ha /,0 — 1—«•
(3.2)
Пусть 53+р = у3+р — и3+ р, где и— решение исходной дифференциальной задачи (1.6)-(1.8). Подставим у3+р = г3+р + и3+р в (3.2). Тогда получим
0.5ha£
p
а£ (а)
4 )
= а (1а)
a0i a)zx а,0 +
0.5hc
pv 2
1 j+а j+а j+а
Ee—1 (tj —'j'^0 pT — 0.5hada,oz0 p + а41а)< ,0 +
j '=о
0.5h
j
pv
2 £ e—1('j')u0+pt—0.5UV0+f — 0Ж£-(<>)
j '=0
p
а u^ + 0.5ha/a,0 — 1—с
К правой части полученного выражения добавим и вычтем
0.5ha^—а = 0.5hc Тогда
д л du \ 1
) qau+
I ' Ui
^У X а ^ дха
—2 i e 1 (t тWt —-u+/—£du pv2 j pv p dt
0
j+1/2
a = 0.5ha( /a,0 — pU^,0
(/a,0 put,0 ^ +a „ ,0 + p^2 è
e — 1 ('j ')u0+ pT — 0.5hada,0U0+ p —
j '=0
—1_a— 0.5hc
д л du
о I ' "С* о
дХл/ \ (JX
ka о ) qau +
1 f -1 ('_T ) 7 1 „ £du
—2 e v ( )udT--u+/ — -^7
pv2 7 pv p dt
0
j+1/2
+
° (1 ) j+P ~ +0.5ha = a(a)Ux 0 — 1—a — 0.5h.
"ж а,0
д л du k
r\ I ' "Cl r\
-^JXa JJ X
о
+ 0.5ha/ + O(ha )+
'
'
a
a
a
ди7+р
+0(^Т) = ка—- + 0.5^
д л ди
кс
о V ^ ^У Х а ^ дха
- 0.5^
д л ди к
7+2
—1—а + 0.5М^ + О(Ла) + 0(^аТ) = (к,
ди7+з
дд^^ а
1—с
а
+ О.5^С0а +
+0(^) + 0(^аТ).
В силу граничных условий (1.6) выражение, стоящее в скобках есть ноль. Поэтому
0 О
а = 0.5М>—а + ^* а, а = 0(^ + Т) + 0(^Т),
имеем
0.5^а 7+р (1 ) 7+р , 0.5^а 7 _1 ,) 7 + р -г,-п р = аа1 г— 0 +--х р ' (ь Ь') г. р т_
Р
или
а — а, 0
pv2
1 —Ч') г0 р т—0.5^а ¿а,ог0 р +0.5^—а+^—а,
7 '=0
е 7+р _ г _ р _
го р 1,0
е 7 _ р_
N
Р
(1а)/+ р + 0.5^ 7 е — 1 (Ч —Ч')/+ рТ - ^ п/'+ р
а г—а, 0 + «V2 е ^ 4 4 г0 Т 0.5^а«а,0г0 , *
7 '=0 . ? .
--Ь а +
0.5^г
0.5^а'
а г р _ 0-5^а
— а «V
£ е—1 —'Ч'7рт + 0.5Ма,*аг
7 '=0
а N
0.5^с
Итак, задача для погрешности г7+р принимает вид:
где
-г^а) = Лаг(а) + Ф+р, р г
г (ж, 0) = 0, Ла, Ха £ , Г^а, Ха £ ,
Ла = <( Л—, Ха = 0, Фа = < а, Ха = 0,
ОО ¿-V о
^а = ^а + «, ^а = 0(1), ^ = 0(^ + т), а = а +
/ * «
^+а = ^+а + 05-, = 0(^ + т), ^±а = 0(1), ^ ^±а = 0.
а
(3.3)
а
0.5^а ,
а=1
р
0
а
р
а
5 Устойчивость локально-одномерной схемы
Исследование устойчивости разностной схемы (2.6) будем проводить с помощью метода энергетических неравенств. Для этого умножим уравнение (2.6)
скалярно на у(а) = У 1 р :
£ (а) (а)
-у- ),у( ) р 1
где
Ла У(а),У(а)
ф(а), У(а)
(4.1)
Да
Да
и, V
V а На, II У(а)|ц2(а) = X] У^а, Нс
г а =0
и, V
,(а)Н2_ ^ = ^ ,.2}
г =0
Р
= 1, 2, - 1, "2" , ^ а 0;
£ и„Н, Н = Д На, ||У(а)||2(^) = £ ||У(а)|12(а)Н/На.
а=1 ¿в=гс
Преобразуем каждое слагаемое тождества (4.1):
£ (а) (а)
-У- ) ,У( ) 1р 1
£ '" <а)ИЬ2(аО - + ^ ||У-а 11 ¿2 ( а) *
= 5Р< "У
(4.2)
ЛаУМ, уН = (ЛаУ(а», У(а») + Л-У^У^На + Л+У^Удх =
I V /а
На ( а аУх- а
)2
а 5
1
+
а р^
2
0
У(а)^е" 1 ^'У '+РТ
о '=0
1 У( ), У( )
р^ а
ф(а), У(а)
^(а),У(а)
~ (а) ~ (а) М-аУ0 — М+аУда •
(4*3)
(4.4)
Оценим слагаемые, стоящие в правой части (4.4), с помощью леммы 1 [27]:
( )
( )
М—а У0 - а Уда < 4^ I М—а + М+с
Г2 , ~2
х а] |Ь2(а)
+ £1( 1 + 1
а) ||2
¿2(а)*
Выбирая £ = 1,^1 = получаем
М-а У'"' - М+а Уд?) < ^ (М-« + ) + | НУ*" Щ«» + ^ ||У ""Ш
а) 1 ^И Ух'а л ¿2 (а) + 4
"¿а,(У(а))2]а < с2|У(а)|;
2( ),
I ¿2 (а)'
—У(а), У(а) р^ '
^ 2
р^ V
1
а Р^
= - ||У(а) 11¿2( а) *
(4*5)
(4*6) (4*7)
а
а
а
а
а
а
1
2
а
1
pv2
1 7 '=0
У е 1 ч''+^т, у7+р
pv2 ^
^ 7 '=0
Е е—1 —Ч'Цж,^''+
' I а
р |т
<
1
pv2 ^
^ 7 '=0
Е е—1 —')у (я,*7'+
' I а р
¿2 (а)
Ь2(а) + 4р^2 ИУ р 11 ¿2(а)
1
pv 1
7+-
yJ р
<
¿2 (а)
7+р|| 2 _
||У ' р
, ^ — 1 / 7 11
pv2 Л
ЕЕ
— 1 —')<
г а=1 \ 7 '=0
1
1 ^е - ч ' ,£7' + ^ т) Ла + 4р^ Иу7+ р И? , <
1^2 (а) <
, N — 1 / 7 7
< ^ Е Е е—2<"'>т Е У^,7'+р)т Ла +
Р г а=1 V 7 '=0 7 '=0
1
4pv 2 1
1|у
7+р II2
<
1^2(а) <
, 7 N — 1 7
< р^ Е е—2<"'>т Е Ла Е У2('+р т + 4ру2
У 7 '=0 г а = 1 7 '=0 У
Иу
7+р||2 , ^ =
и^2(а)
pv
pv2
, 7 7 ЛТа — 1
1 Е е—2—Ч')т Ет Е у2(Х.а,7'+р)Ла +
7 '=0
Е е—2 (Ч —Ч ')
7 '=0
7 '=0 г =1 7
11 у (х. а ^
7 '=0
4pv2
'+р )11 2 ,т +
¿2 (а)
4pv2
иу
у
7+р|12
¿2(а)
I ¿2 (а)
Так как
(4.8)
Е е—2—')т
7 '=0
е ^ь
Е
7 '=о
2 ь
е ^ Ь'' т =
_2 ь е2 — 1
е ^ Ь'—2-
е 2 т- 1
1 -2 г-1 — е ^ ь
т = V-
тогда из (4.8) получаем
pv2 ^
1 7 '=0
Е е—2—Ч'Ц^7'+
' | а
р 1 т, у ' р
<
<
1 -2 7
1 — е ^ ь
2pv
ЕИу (Х.а ^
'+р )112, т +
¿2(а)
7 '=0
4р^
иу
,7 + р II2
1^2(а):
^а,у
(а)
<
2со
¿2 (а) + 2
^11 у(а)||2
+ ^ Иу
¿2(а).
(4.9) (4.10)
а
1
2
2
1
2
р
1
1
2
1
а
1
1
2
а
После суммирования по г^ = га, в = 1, 2,***,р подставим (4.2)-(4.10) в тождество (4.1). Тогда получим
2р( ||У(а) ^(¿-ь)) - + 2Тр |У-|Ь2(^) + |У^")]|12(^) +
+(!+рЪ - 4рЪ) 7Р +$ е |У(х.а '+Р )| <
< Е '+?+ ±№ +Р (.,) + С0 Е (М-а + М+
о '=0 гв=га
(4*11)
Суммируем (4.11) сначала по а от 1 до р :
Р
2р( ||У + 1|Ь2 (^)) I + 780 Е ||У-а Р ]|Ь2(^) +
1 1 \ Р 1 Р о
с0 , 1 1 \ II 7 + " 112 ^ 1
+ ( Т + рЬ - +Р< '+рт+
+ М Е I Р\\1ш + Е (М-а + М+а
=1 гв=г
_2_
- 2со , со -
где М1 = тах{ 21-, —}, а затем, суммируя по ] ' от 0 до
. 7 о Р ' ' а
2 ||У + 1||Ь2(^) + 7^" ^ ||У-а Р ]|Ь2(^) +
7 '=0 а=1
+ (I + ^ — Е т Е |У7'+Р<
4 ^ 7 '=0 а=1
^ 7 Р 7'
< Е т ЕЕ мм"р +
У 7 '=0 а=1 в=0
7 Р
+М1 Е т Е1|| 7р + Е (м2-« + М+а а I + '0|12
7 '=0 а=1 у ¿в=
•Ы^) + Iм—а + М+а а | +2 ||У ^(¿-ь),
а
или, оценивая первое слагаемое в правой части следующим образом 7 р 7' р 7
j '=0 a=1 s=0 a=1 j '=0
получаем
-llyj+1||2 +IC0V TVl |yj '+a 1 P +
j '=0 a=1
+ (c0 + 2pv - £T £ |yj '+a <
jp
< M1 £ T £ ( l j Ц^) + £ (M-a + M+a) H/fia) ll/l^,
j '=0 a=1 y ¿в = ia /
(4.12)
Выбирая v > 2 из (4.12) получаем априорную оценку
j p ■ / a
-|yj+1|!2(^h) + £ T£ (lly*a P 1|i2(â>h) + llyj +p lli2(â;h^ <
j '=0 a=1
jp
< Щ £ T £ I lj llb2(^) + £ (M2-a(0,X/,tj') + M+a(1, x', tj')) H/fia ) +
,j '=0 a=1 V ¿в =ia
2
где M <-p-^ и те зависит от ha и t, x' = (x1, x2,..., xa-1, xa+1,..., xp).
1т{ со,с0} Итак, справедлива следующая
Теорема 1 Локально-одномерная схема (2.6) устойчива по правой части и начальным данным, так что для решения разностной задачи (2.6) справедлива оценка (4-13).
6 Сходимость локально-одномерной схемы
г 1 7 | а
По аналогии с [26] решение г(а) = г р задачи для погрешности
-4а) = Ла г(а) + Ф"+ р, (5*1)
р ъ
г (х, 0) = 0,
представим в виде суммы г(а) = и(а) + П(а), где П(а) определяется условиями
—П(а—1) = ^а, х е + 7а, а = 1, 2, „^р, (5*2)
т
П(х, 0) = 0*
./ о о о \ . ^
Из (5.2) следует £п = £П(Р) = £П7 +^(^1. +^2 + ***+^Р) = £П7 = *** = £П0 = 0*
Для Па = £(^1 + ^2 + *** + ^а) = -~(^а+1 + *** + ^р) = О (") • Функция и(а) определяется условиями
и(а) ти(а—1) = Л аи(а) + ^а, М = ЛаП(а) + ^а, Ха е ^ , (5*3)
и(а) -ти(а—1) = Л— и(а) + а, а = Л—П(а) + ^, Жа = 0, (5*4)
и(а) -ти(а—1) = Л+ и(а) + ^+а, ^+а = Л+П(а) + 05^;, *а = 1, (5*5)
и (х, 0) = 0* (5*6)
--д 4
Если существуют непрерывные в замкнутой области ^производные дх2 дх2,
Т ~ ( ° ° \ т
= в, ТО ЛаП(а) = - £ Ла(^а+1 + *** + ^ = О( £ )*
Решение задачи (5.3)-(5.6) оценим с помощью Теоремы 1.
7 Р
' : ' | а р'
+1Ni3(0h> + Е ^ Р+ Ци7''+рИм) <
7'=0 а=1
7 Р I \
< М Е Т Е I И7Р И^) + Е а + М а) Н/На| , (5*7)
7 '=0 а=1 \ ¿в=га /
Так как п7 = 0, п(а) = О ^^ , ||г71| < ||и71|, из оценки (5.7) следует
Теорема 2 Пусть задача (1.6)-(1.8) имеет единственное непрерывное вОу решение и(х,Ь) при всех значениях е и существуют непрерывные в От производные
д2и д4и д3и д2/ ^ ^ р д£2 ' дхСдх2 ' дхСд£' дХС' 5555 5 тогда локально-одномерная схема (2.6) сходится к решению дифференциальной задачи (1.1)-(1.3) со скоростью О ^|Л|2 +---Ь т = о (е)7 для всех
V > ^ так что
2т
|у7+1 — и7+1И1 < м (|Л|2 + т + е) ,
гс^е е— малый параметр, |Л|2 = Л2 + Л2 + ... + Лр7
7 Р - 1/2 к7 + 1 111 = I е|г7 + 1 + Е т Е (||г—а р ]|Ь2(^) + ||г7 +р ИЬ2(^).
7 '=0 а=1
Очевидно, что скорость сходимости будет определяться наилучшим образом, если выбрать е = 0(т2).
Следствие. Если е = т2, тогда решение разностной задачи (2.6) сходится к решению дифференциальной задачи (1.1)-(1.3) со скоростью О (|Л|2 + у/т).
Замечание 1. Полученные априорные оценки справедливы и в случае, когда область С представляет собой р-мерный прямоугольный параллелепипед
С = (х = (х1, Х2,..., Хр) : 0 < Ха < /а, а = 1, 2,...,р}.
Замечание 2. Полученные в данной работе результаты справедливы и для уравнения дробного порядка следующего вида
д0ьи = Ьи + д0ЬЬи — и + /(х,£), (х,£) £ От, (1.1*)
с краевыми
Па(х, £) = 1—а(х,£), Ха = 0, 0 < £ < Т, (1 2*)
— Па(х,£) = 1+а(х, £), Ха = 1, 0 < £ < Т, и начальными условими
и(х,0) = и0(х), х £ С, (1.3*)
ь
где д0ь = щ—у / (Ц—^ — дробная производная в смысле Капуто порядка 5, 0 < 5 < 1 Па(х,£) = ка(Х,£)д—а + ^ (ка(х,£)
Г
Тогда, умножая обе части (1.1*, (1.2*) на Е г(1 + 5к) И Л0|'1Г| я опеРа_
t
тором дробного интегрирования = гщ I т^^ТТ37' после несложных пре-
( ) 0 ( т)
образований получаем
Ьи - и = -/(х,£), (1*4*)
ка(М)д^ = М—а(х, £), Ха = 0, 0 < £ < Т,
(1*5*)
а (х, ^ дха = м+а(°"_ 1 "< г < '
и(х,0) = и0(х), х е С, (1*6*)
' дха _ а
-ка(х, £)ддг = М+а(х,*), Ха =1, 0 < I < Т,
где
Д-' ( /(x, 0 Е Г/Д ) + Ьи0(х) 2 и0(х)
дм) = —к=0 Г(1+у-,
у —-—
¿0 Г(1 + ¿к)
/ то ¿м \
А- М±а(х,^) Е р/ч , с ,ч ± kа(x, 0)и0(х)
М±«(х,^) = -^-
ТО
Г(1 + ¿к)
£
Д-' = ш! (£--г)Т1-7 — дробный интеграл Римана-Лиувилля порядка 0 <
( ) 0 ( т)
£ < 1.
Далее вместо уравнения (1.4*) рассматривается следующее уравнение с малым параметром
£и = Ьи — и + /(х,£)* (1*7*)
7 Алгоритм численного решения
Для численного решения дифференциальной задачи (1.1)-(1.3) выпишем расчетные формулы (0 < ха < 1, а = 1, 2, р = 2) :
д / ди \ д / ди \
= дх^С ^ь^) дх^) + дх^С Ь^,^) дху+
д2 ( ди ) д2 ( ди ^дх^Ск1(х1,х2,г) д^) + ^д^дх^Ск2(х1,х2,г) дх2.
—qi(xi, x2, t)u(xi, x2, t) _ q2(xi, x2, t)u(xi, x2, t) + f (xi, x2, t),
na(x,t) = M_a(x,t), Xa = 0, 0 < t < T, _na(x,t) = M+a(x,t), Xa = 1, 0 < t < T, u(xi, X2, 0) = u0(xi, X2).
„(ia)
(6.1) (6.2) (6.3)
Рассмотрим сетку xk = iaha, a = 1,2, tj = jT, где ia = 0,1,...,Na, ha = 1/Na, j = 0,1,...,m, t = T/m. Вводится один дробный шаг
j+a ' a
tj +1 = tj + 0.5t. Обозначим у«_+ = yj+a = y(iihi, i2h2, (j + 0.5а)т), a = 1, 2, сеточную функцию.
Напишем локально-одномерную схему
с
yj+2 _yj _
= Aj2 + ¿2 E e_1 (tj_tj'У+1T _ 2-yj+1 + Pi,
j '=0
■ 1 j с^^ = A2yj+i + 2д E e_1 (tj_tj')yj+iT _ 2VУ^ + ^2,
j '=0
j+1 j+1 y0,i22 = Kii (i2 h2, tj+2 )yi,i22 + Mii (i2h2 ,tj+1),
Ул+,1 = Ki2(i2h2, tj+ii,i2 + Mi2(i2h2, tj+i),
Уг1,02 = K2i (ii hi,tj+i)yj1,i + M2i(ii hi,tj+1),
У^ = K22 (ii hi,tj+i)yj1,N2_i + M22(iihi, tj+iX
'«1 ,«2
Ak yj +a = faayX^+p
y0' ,i2 = ^Мъ^АХ
^a =
1
2v
j
— £e_ i (tj _tj' )f j+2 j '=0
fj+2т _ e_tj+2
_ dayj+p, a = 1, 2,
a-1 j+a-1 \ 1 ..
y
X'X'
+y
X2 X2
1-1
v
y
Приведем расчетные формулы для решения задачи (6.4)-(6.6).
(6.4)
(6.5)
(6.6)
p = 2,
На первом этапе находим решение у-л ^. Для этого при каждом значении
i2 = 1, N2 _ 1 решается следующая задача:
Ai(«1,»2)yii+_2i,»2 _ Ci(«1,«2)уД" + Bi(«1,i2)yji+i,«2 = ^iil^ 0 < 'i < Ni'
(6.7)
у0+22 = Kii (i2h2, t j +1 )yj+22 + Mii(i2h2,tj+ 1 ),
Л«2
yj+2 j + 2 )yi,«2
yN'I = Ki2(i2h2,tj+ 1 ^Дi,«2 + Mi2(i2h2, tj +1 ),
x
а
где
л М «1,«2 Г)
Al(i1 ,«2) h2 ' В1(«Ь«2) h2 '
£ T 1
C1(il,i2) = A1(il,i2) + B1(il,i2) + £ - + ^1(»1'»2) + 2V'
-1 _ j 1 ^ ^ »■" 1
Fj+1 , = -yj . + — V e-1 (tj-tj'V'+1 т + флг ' \
j'=0
(®1)M2
KU(i2h2't?+ 1) =
^ - ^ + 0.5/j + ^ + ^
(°1)n1,
K12(i2h2'i7+1) =
Mn(i2h2' tj, 1) =
^ - + 0.5h1d++12 + + ^ _ M-1(i2h2'tj+1 ) + y0
j+2) = ^ - + 0.5h1dj+i + °#1 + '
M12(i2h2'tj +1)
2v2 TW. v^u,2v
M+1(i2h2'tj + 1 ) + j1
(a1)N1,i2 0.5fe1T 1 n Eb j + 2 _L 0.5h1 I 0.5fe1£
■5h1r +0 2 + 0.5h1 +
2v2 + °-5h1tt+1,i2 + 2v +
j+2
Для вычисления правой части прогонки ) на j + 1 -м слое необ-
ходимо использовать значение искомой функции yj ^ со всех предыдущих
i1,i2) j
«1,«2
V (j -j ^ '
j
нижних) слоев из-за слагаемого Ё е-1 (tj -tj'У+2 т, что значительно уве-
V j '=о
личивает объём вычислений, даже при малых разбиениях сетки. Во избежания этого, в работе предлагается рекуррентная формула для быстрого счета в многомерном случае, которая позволяет хранить на предыдущем слое значение указанной суммы, что по количеству операций не уступает двухслойной схеме.
t
Аппроксимируя f е-1 (t-T)u(X'T)dT суммой
v 0
pj+a у 1 _11 s 1 \ Л I /Э V j + —" — с v j + 15 1ч IV гра'Ь'ТЖИ/Г ГЧ^Т^ООГМ/Г ТТТ>ТЖ T1 - О UQ 1° _l_ 1
Р7 + а ✓ ^ £ я
1 Е (е "^^ — е ^^а—ир таким образом, при р = 2 на ^ + 1—м слое рекуррентная формула для быстрого счета примет вид:
1 1 j 1 2j 1
2Sj+2 = Е е -V"j -'''V+2т = -V Е (е-1 <J-V - е "1 У1 =
j'=0 s=0
h
1
h
1
(1 — е—.+1 т 1 . = ^-}- у7+2 + е—^ - 57,
V 2
где 5ю = 0.
На втором этапе находим решение у7^. Для этого, как и в первом случае, при каждом значении ¿1 = 1, N1 — 1 решается задача
А2(.1,.2)у7+2 —1 — З^!^7 + В2(.1,.2)У7+2+1 = -F27(+l1,.2), 0 < ¿2 < , (6.8)
у7+01 = К21 ('1 Л1, £7+1 )у7+11 + 121 (¿1Л1, £7+1), У7+Ж2 = к22(^1Л1,£7+1)у7+А2 —1 + 122('1Л1,£7+1),
л (а2) ¿1 ,.2 Г) (а2 ).1 ,¿2 + 1
А2(г1 ,¿2) = Л2 , В2(г1,г2) = /2 ,
е т 1
С2(г1,г2) = А2(г1,г2) + В2(гьг2) + т "" + ^(п^) + ^,
е ■ 1 1 7 —1 7 л = -у7+2 + —У е—1 (Ч —' )у7'+1т + 02(- • )
^2(.1,г2) ту.1 ,¿2 + 2V2 е у ' + ^2(гьг2).
7 '=0
(а2)г1 ,1
к21(г1Л1, £7+1) = -—-,
( ^ — ^ + 0.5Л2d-З1,l + + ,
1
(в2)г1,№2
К22 (¿1Л1, £7+1) = т-р-——
7+1 , 0.5^2 , 0.5^2е
»2 + 0.5Ы+2;,1 + зт +
£ )= 1—2 (¿1/1, £7+1) + у0
121(1 1,7+1) (-2)»1,1 0.5^2Т + 05/Л7+1 + 0.5^2 + 0.5^2£ ,
1+2 (¿1Л1, £7+1) + у.
122(11/1,7+1) ^ — +10.5/12^+2^+ о#2 +. На ^ + 1—м слое рекуррентная формула для быстрого счета имеет вид:
7 27+1 х 1 1 е
1^+1 = Е е—1 <"^'¥+2т = ^ Е (е—* — е—ур =
7 '=0 в=0
= у7+1 + е—^157+1.
V 2
Каждая из задач (6.7), (6.8) решается методом прогонки [26].
Список литературы
[1] Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984.
[2] Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения, 18:4 (1982), 689-700.
[3] van Duijn C.J., Cuesta С., Hulshof J. Infiltration in Porous Media with Dynamic Capillary Pressure: Travelling Waves // European Journal of Anaesthesiology, 11 (2000), 381-397.
[4] Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. M.: Наука, 1976.
[5] Hallaire М. Le potentiel efficace de l'eau dans le sol en regime de dessechement // L 'Eau et la Production Vegetale. Paris: Institut National de la Recherche Agronomique, 9 (1964), 27-62.
[6] Colton D.L. On the analytic theory of pseudoparabolic equations // Quart. J. Math. 23 (1972), 179-192.
[7] Дзекцер E.C. Уравнения движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах // ДАН СССР. 220:3 (1975), 540-543.
[8] Chen P.J., Curtin М.Е. On a theory of heat conduction involving two temperatures // Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP). 19 (1968), 614-627.
[9] Ting T.W. Certain non-steady flows of second-order fluids // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 14 (1963), 1-26.
[10] Иванова M.B., Ушаков В.И. Вторая краевая задача для псевдопараболического уравнения в нецилиндрической области // Матем. заметки. 72:1 (2002), 48-53.
[11] Аблабеков B.C., Муканбетова А.Т. О разрешимости решений второй начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения с малым параметром // Наука, новые технологии и инновации Кыргызстана. 3 (2019), 41-47.
[12] Федоренко Р.П. О скорости сходимости одного итерационного процесса // Жури, вычисл. матем. и матем. физ. 4:3 (1964), 559-564.
[13] Бахвалов Н.С. О сходимости одного релаксационного метода при естественных ограничениях на эллиптический оператор // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 6:5 (1966), 861-883.
[14] Brandt A. Multi-level adaptive solutions to boundary value problems // Math. Comput. 31 (1977), 333-390.
[15] Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.
[16] Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984.
[17] Ольшанский М.А. Анализ многосеточного метода для уравнений конвекции-диффузии с краевыми условиями Дирихле // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 44:8 (2004), 1450-1479.
[18] Olshanskii М.А., Reusken A. Convergence analysis of a multigrid solver for a fînite element method applied to convection-dominated model problem // SIAM J. Num.Anal. 43 (2004), 1261-1291.
[19] Бештоков M.X. Разностный метод решения одной нелокальной краевой задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка // Дифферент уравнен. Т. 49, № 9, (2013), 1170-1177.
[20] Бештоков М.Х. Численный метод решения одной нелокальной краевой задачи для уравнения третьего порядка гиперболического типа // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 54:9 (2014), 1497-1514.
[21] Бештоков М.Х. Разностный метод решения нелокальной краевой задачи для вырождающегося псевдопараболического уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 56:10 (2016), 1780-1794.
[22] Бештоков М.Х. Дифференциальные и разностные краевые задачи для нагруженных псевдопараболических уравнений третьего порядка и разностные методы их численной реализации // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 57:12 (2017), 2021-2041.
[23] Бештоков М.Х. Краевые задачи для нагруженных псевдопараболических уравнений дробного порядка и разностные методы их решения // Известия вузов. Математика, 2 (2019), 3-12.
[24] Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференицальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 12:5 (1967), 3-122.
[25] Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.:Науки. 1977.
[26] Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.
[27] Андреев В.Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений //Ж. вы-числ. матем. и матем. физ., 8:6 (1968), 1218-1231.
Numerical methods for solving the second boundary value problem for a multidimensional Sobolev type equation
M.KH. Beshtokov
Department of Computational Methods, Institute of Applied Mathematics and Automation, Kabardino-Balkaria Scientific Center of the Russian Academy of
Sciences,
Department of Computational Methods, North-Caucasus Center for Mathematical Research, North-Caucasus Federal University
Abstract. The second boundary value problem is investigated for a multidimensional Sobolev-type differential equation with variable coefficients. The considered equation is reduced to an integro-differential equation of parabolic type with a small parameter. For an approximate solution of the obtained problem, a locally one-dimensional difference scheme is constructed. Using the method of energy inequalities, an a priori estimate is obtained for the solution of a locally one-dimensional difference scheme, which implies its stability and convergence. For a two-dimensional problem, an algorithm is constructed for the numerical solution of the second boundary value problem for a partial differential equation of Sobolev type.
Keywords: boundary value problems, a priori estimate, integro-differential equation, Sobolev type differential equation, locally one-dimensional scheme, stability, convergence.
