Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 228-229
УДК 517.977.58
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
© 2011 г. А.Р. Матвийчук1, А.Г. Малев1, А.А. Зимовец2
1Институт математики и механики УрО РАН, Екатеринбург 2Уральский федеральный университет, Екатеринбург
matv@uran.ru
Поступила в редакцию 16.05.2011
Предлагаются три численных метода решения некоторых задач управления протяженными подвижными объектами на плоскости при наличии пространственных ограничений. Первые два метода базируются на методе построения оптимального управления с поводырем, в основу третьего лег алгоритм Дейкстры.
Ключевые слова: оптимальное управление, множества достижимости, фазовые ограничения.
Постановка задачи
Рассмотрим управляемый подвижный объект Т* в евклидовом пространстве Ят. Центр объекта Т* обозначим некоторой точкой О внутри него. Динамика точки О описывается уравнением:
х = /(£,х,и), £е[£0,0], £0 <0<<х>. (1)
Здесь х — т-мерный фазовый вектор системы, и — управление. Будем предполагать, что традиционные условия существования, единственности и продолжимости решений на весь промежуток времени [£0,0] для системы (1) выполняются.
Пусть вместе с системой (1) заданы фазовое ограничение Ф и целевое множество Ху из [£0, 0] х х Ят, а также стартовое множество Х0 из Ф(£0). Фазовое ограничение имеет непустые сечения Ф(£) = {х е Ят : (£, х) еФ|, £ е [£0, 0]. Предположим, что сечения Ф(£) и Ху (£) меняются с течением времени непрерывно. Допустимым управлением и(£), £ е [£0,0], обозначим любую измеримую по Лебегу функцию такую, что и(£) е Р, £ е [£0,0], Р — компакт в Ят.
Необходимо построить допустимое управление и*(£), £ е [£0,0], которое приводит фазовый вектор системы х(£) (траекторию центра О) системы (1) из Х0 в Ху за минимальное время так, чтобы подвижный объект Т* с Ф(£), £ е [*0 , А].
Поставленную задачу будем решать приближенно, а именно, будем вести центр О на некоторую выбранную окрестность множества Ху таким образом, чтобы подвижный объект Т* оставался внутри заданной окрестности фазового ограничения Ф(£).
Общая схема приближенного численного решения методом многоугольников и сеточным ме-
тодом состоит в следующем. Во-первых, мы переходим к рассмотрению задачи с подвижным центром О вместо задачи с подвижным объектом Т*. Это можно сделать, так как ориентация подвижного объекта фиксирована. С этой целью сужаем фазовое ограничение Ф(ґ) по определенному правилу и получаем фазовое ограничение Ф (ґ) уже для центра О. Во-вторых, переходим к дискретной модели времени путем разбиения временного интервала ґ є [ґ0 , Ф]. После этого мы применяем трехэтапный метод построения управления. На первом этапе строятся множества достижимости, на втором строится ломаная-поводырь, которая проходит через множества достижимости. На третьем этапе вычисляется оптимальная по времени траектория движения центра О методом прицеливания на узлы ломаной-поводыря. Кратко опишем особенности каждого из трех методов.
Метод многоугольников
В этом методе все множества (подвижный многоугольник, стартовое и целевое множества, множества достижимости, фазовые ограничения) представлены в виде многоугольников. Многоугольники могут быть невыпуклыми. Каждый многоугольник определяется набором замкнутых ломаных линий. Одна из них задает внешнюю границу многоугольника, остальные — внутреннюю (в случае, если многоугольник имеет дыры). Все операции построения множеств достижимости базируются на операциях с многоугольниками (объединение, вычитание и пересечение). Поскольку все многоугольники сформированы набором замкнутых ломаных, это позволяет рационально использовать память ЭВМ и приводит
к сокращению времени вычислений по сравнению с сеточными методами. С другой стороны, метод многоугольников имеет сравнительно сложную логику вычислений и требует очень высокой точности вычислений на ЭВМ. Кроме того, он применим только для задач на плоскости.
Сеточный метод
Сеточный метод использует не только дискретную модель времени, но и дискретную модель пространства, т.е. т-мерное пространство разбивается равномерной сеткой и все множества в нем представлены как множества ячеек этой сетки. Преимуществом данного метода является то, что он имеет простую логику вычислений множеств достижимости. С другой стороны, сеточный метод является очень затратным по времени и требует большого количества памяти ЭВМ (особенно для случая высокой точности вычислений). Это заставляет разрабатывать вспомогательные алгоритмы для уменьшения времени счета и уменьшения потребляемой памяти на ЭВМ. Одним из таких методов является алгоритм выделения границ, который позволяет исключить из расчетов внутренние ячейки множеств.
Метод, базирующийся на алгоритме Дейкстры
Для случая стационарной системы (1) где фазовое ограничение Ф(ґ) не меняется со временем, применяем некоторую разновидность сеточного метода — метод, основанный на алгоритме Дейкстры. Здесь также подменяем задачу подвижного объекта задачей подвижного центра О. В этом методе т-мерное пространство разби-
вается равномерной сеткой, и все множества представляются в виде множеств ячеек этой сетки. В отличие от предыдущего метода, здесь все ячейки рассматриваются как вершины некоторого взве-шанного графа. Весом каждого ребра графа является время, необходимое для движения вдоль этого ребра. Ребра графа и их веса зависят от системы (1) и вида множества P. К преимуществам этого метода можно отнести относительно малое время вычислений и возможность рассмотрения изменяемой ориентации для подвижного объекта. В случае изменяемой ориентации приходится вводить дополнительные измерения.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №10-01-96006-р_урал_а), по программе Президента РФ НШ-64508.2010.1 и программе Президиума РАН «Математическая теория управления» №29.
Список литературы
1. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.
2. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Аппроксимация в дифференциальных играх. М.: Наука, 1974.
3. Матвийчук А.Р, Ушаков В.Н. О построении разрешающих управлений в задачах управления с фазовыми ограничениями // Теория и системы управления. 2006. №1. С. 2-20.
4. Незнахин А.А., Ушаков В.Н. Сеточный метод приближенного построения множества выживаемости для дифференциальных включений // ЖВМиМФ. 2000. Т.41, № 6. С. 895-908.
5. Saint-Pierre P., Quincampoix M. An algoritm for viability Kernels in Holderian case: approximation by discrete dynamical systems // J. Math. System Estim. Control. 1995. Vol. 5, No 1. P. 115-118.
6. Dijkstra E.W. A note on two problems in connection with graphs // Numerische Mathematik. 1959. V. 1. P. 269-271.
ON NUMERICAL METHODS FOR SOLVING SOME OPTIMAL CONTROL PROBLEMS
WITH PHASE CONSTRAINTS
A.R. Matviychuk, A.G. Malev, A.A. Zimovets
Three numerical methods of solving optimal control problems with space constrains are suggested. The first two methods are based on the methods of optimal control, the third method is based on Dijkstra algorithm.
Keywords: optimal control, attainability sets, phase constraints.