К решению одной задачи оптимального управления с подвижной целью при наличии препятствий Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 517.977.5 © А. Р. Матвийчук

К РЕШЕНИЮ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПОДВИЖНОЙ ЦЕЛЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ ПРЕПЯТСТВИЙ1

Введение

В работе рассматривается метод численного решения задачи об оптимальном по быстродействию управлении подвижным протяженным объектом на плоскости при наличии фазовых ограничений. Данный метод является дальнейшим развитием идей, изложенных в [1—5]. В настоящее время актуальность изучения управляемых систем, стесненных фазовыми ограничениями, обусловлена с одной стороны многочисленными задачами из различных областей механики, экономики, экологии и биологии, с другой стороны — внутренними потребностями, возникающими в математической теории управления динамическими системами. В частности, предложенный в работе метод решения задачи может быть использован при решении задач робототехники (навигация в средах с подвижными препятствиями).

§ 1. Постановка задачи

В рассматриваемой задаче имеется неподвижная арена О, внутри которой располагаются подвижные многоугольники-препятствия Тг(Ь) , г = 1,...,Мх , Ь € [Ьо,$] , совершающие плоскопараллельные движения по известным нам программным законам. Препятствия задают

фазовое ограничение, имеющее непустые сечения Ф(Ь) = О\( У ^(£)) С Я2.

г=1

Кроме того, внутри арены имеется некоторый подвижный многоугольник X* , который можно перемещать в плоскости путем плоско-параллельного переноса. В начальный момент времени «центр» многоугольника X* совпадает с некоторой точкой О. «Центром» многоугольника X* назовем произвольно выбранную точку О , лежащую внутри этого многоугольника и жестко связанную с ним. Положение «центра» О на плоскости Я2 переменных Ж1, Ж2, представляется как точка х € Я2 . Так как подвижный многоугольник можно перемещать только путем параллельного переноса, то точка х полностью определяет положение многоугольника X* на плоскости Я2 . Тогда и движение точки х полностью определяет движение многоугольника X* .

Динамика подвижного многоугольника описывается системой вида

Х = /(Ь,х) + В(Ь,х) ■ и, (1)

где Ь € [Ьо,$] , и = (и1, и2)т — управление такое, что и € Р, Р — выпуклый многоугольник

в Я, /(г,х) = ( /1<;-хП и В((,х) Л *11<;-х| ?“<‘-х> .

V /2(Ь,х) ) К [ Ь21(Ь,х) &22(Ь,х) _

На управляемую систему (1) накладываются традиционные условия, обеспечивающие существование, единственность и продолжимость решений системы на весь промежуток [Ьо,$] .

Внутри арены О расположены стартовое множество X* и целевое множество Xf (Ь), которые заданы в виде произвольных многоугольников. Полагаем, что Xf (Ь) , как и препятствия, перемещается внутри арены по известному нам программному закону.

Задача. Требуется построить допустимое управление и(Ь) , Ь € [Ьо, $] , приводящее фазовый вектор х[Ь] системы (1) из стартового множества X* на е* -окрестность целевого множества Xf (Ь) за минимальное время. Здесь е* — заданное положительное число.

хРабота выполнена при поддержке РФФИ, проектами № 05-01-00601 и № 04-01-96099-р2004урал_а, гранта Президента РФ по поддержке ведущих научных школ НШ-8512.2006.1 и программы научного сотрудничества с СО РАН.

§ 2. Метод решения

Для решения представленной задачи предлагается перейти к рассмотрению подвижного «центра» О путем построения так называемых «запретных зон» и последующего применения трехэтапного метода построения решения. Этот метод базируется на дискретизации промежутка [Ьо, $] , то есть задании разбиения Г = [Ьо ,Ь\,..., = $} промежутка [Ьо, $] .

В представленном методе на 1-м этапе для моментов разбиения Г вычисляется последовательность множеств достижимости [X(п)(Ьг)} , % = 1,..^ , (в прямом времени) до момента встречи очередного множества достижимости с терминальным множеством. При этом выделяется точка из пересечения этих множеств. На 2-м этапе, отправляясь от выделенной точки у[Ь^] , протягивается (в обратном времени) через множества достижимости движение поводыря у[Ь] , которое в результате приходит в некоторую точку начального множества (см. рис. 1). На 3-м этапе строится (в прямом времени) управление и(Ь) , и, соответственно, движение управляемой системы х[Ь] , приходящее в заданную окрестность терминального множества.

Рис. 1: Множества {X(n)(ti)} и поводырь y[t]

Важно отметить, что в представленной работе, в отличие от широко распространенных сеточных методов, все множества и, в том числе, множества достижимости X(п)(Ьг), % = 1,.. -,Х^ , представлены в виде многоугольников, что влечет применение более сложных процедур построения множеств достижимости, нежели в случае сеточных методов. В то же время, использование многоугольников приводит во многих случаях к заметному сокращению времени вычисления множеств достижимости на ЭВМ и существенному уменьшению объема памяти, требуемого для таких расчетов.

Список литературы

1. Красовский Н. Н. Управление динамической системой // М.: Наука, 1985, 520 с.

2. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. М.: Мир, 1967.

3. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

4. Матвийчук А. Р. Задача об оптимальном по быстродействию управлении подвижным объектом на плоскости приналичии фазовых ограничений // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2004. № 1. С. 89-95

5. Незнахин А. А., Ушаков В.Н. Сеточный метод приближенного построения ядра выживаемости для дифференциального включения // Журн. выч. мат. и мат. физики. 2001. Т. 41, № 6. С. 895-908.

Матвийчук Александр Ростиславович Институт математики и механики УрО РАН, Россия, Екатеринбург e-mail: [email protected]