CC BY
0
JSSN1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 2
Научная статья УДК 621.315.592
http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2024-2-40-47
Численное решение задачи о распределении температурного поля в прямоугольной кремниевой пластине с учетом радиационно-кондуктивного теплообмена
П.Б. Данилова1, Р.В. Арутюнян2, С.А. Некрасов1
'Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия, 2Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, г. Москва, Россия
Аннотация. Выполнен расчет радиационно-кондуктивного теплообмена в термических устройствах с плоским резистивным нагревателем для легирования полупроводников. Отмечено, что качество таких устройств во многом определяется возможностью создавать однородное поле температурного градиента, необходимого для обеспечения стабильной термомиграции системы жидких зон через полупроводниковую пластину.
Метод конечных разностей, как более универсальный и точный, по сравнению с интегральными моделями, позволяющими получать простые предварительные оценки значений температурного поля, принят в качестве основного. Показано, что результаты моделирования могут быть получены с более высокой точностью только при условии учета угловых коэффициентов радиационного теплообмена. В силу трудоемкости соответствующих алгоритмов и программ проведено исследование, которое показало, что в ряде практически важных случаев можно не учитывать угловые коэффициенты радиационного теплообмена, что позволяет уменьшить трудоемкость расчетов на порядок.
Рассмотрены примеры нагрева стандартной кремниевой пластины при помощи графитового нагревателя при различной конфигурации установки термолегирования для прямоугольной формы пластины, определена степень однородности температурного градиента в полупроводнике.
Ключевые слова: полупроводник, графитовый нагреватель, термическое легирование, термомиграция, температурное поле, градиент температуры, математическое моделирование
Для цитирования: Данилова П.Б., Арутюнян Р.В., Некрасов С.А. Численное решение задачи о распределении температурного поля в прямоугольной кремниевой пластине с учетом радиационно -кондуктивного теплообмена // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2024. № 2. С. 40-47. http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2024-2-40-47.
Original article
Calculation of the temperature field based on the finite difference method in the installation of local doping of semiconductors by thermomigration, taking into account radiation-conductive heat transfer
P.B. Danilova1, R.V. Harutyunyan2, S.A. Nekrasov1
1Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia, 2Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Abstract. The calculation of radiation-conductive heat transfer in thermal devices with a flat resistive heater for doping semiconductors is performed. It is noted that the quality of such devices is largely determined by the ability to create a homogeneous field of temperature gradient necessary to ensure stable thermal migration of a system of liquid zones through a semiconductor wafer.
© Данилова П.Б., Арутюнян Р.В., Некрасов С.А., 2024
ISSN1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 2
The finite difference method, as more universal and accurate, compared with integral models, which allow to obtain simple preliminary estimates of the values of the temperature field, is accepted as the main one. It is shown that the simulation results can be obtained with higher accuracy only if the angular coefficients of radiation heat transfer are taken into account. Due to the complexity of the corresponding algorithms and programs, a study was conducted that showed that in a number of practically important cases it is possible to ignore the angular coefficients of radiation heat transfer, which reduces the complexity of calculations by an order of magnitude.
Examples of heating a standard silicon wafer using a graphite heater with different configurations of a thermal alloying unit for a rectangular plate shape are considered, and the degree of uniformity of the temperature gradient in a semiconductor is determined.
Keywords: semiconductor, graphite heater, thermal alloying, thermal migration, temperature field, temperature gradient, mathematical modeling
For citation: Danilova P.B., Harutyunyan R.V., Nekrasov S.A. Calculation of the temperature field based on the finite difference method in the installation of local doping of semiconductors by thermomigration, taking into account radiation-conductive heat transfer. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Techn. nauki=Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Technical Sciences. 2024;(2):40-47. (In Russ.). http://dx.doi.org/10.17213/156Q-3644-2Q24-2-4Q-47.
Введение
В технологиях полупроводниковых приборов различного назначения широко применяются установки для глубокого локального легирования кремниевых пластин методом термомиграции. Математическое моделирование радиа-ционно-кондуктивного теплообмена позволяет надежно прогнозировать распределения температур в полупроводниковых пластинах в рассматриваемых установках.
Соответствующая технология основывается на использовании поперечного градиента температур в пластине кремния. Термомиграция системы жидких зон в кремнии создается при помощи резистивных нагревателей в виде плоской спирали из графита [1-8]. Качество легирования в значительной степени определяется однородностью температурного поля в продольном направлении, обеспечить которую без детального теплового расчета затруднительно. Основной целью исследования является сравнительный анализ нескольких методов и моделей для решения соответствующей теплофизиче-ской задачи. Математическое моделирование лучистого теплообмена осуществлено на основе законов Фурье, Стефана-Больцмана и Ламберта [1-17].
Настоящая статья является продолжением исследований, представленных в этом же номере (см. с. 11-19). Здесь описана математическая модель и метод конечных разностей для расчета с разной степенью точности температурных полей в установке для термолегирования пластины кремния прямоугольной формы.
Численный расчет температур на основе решения пространственной краевой задачи
Рассмотрим случай термолегирования пластины кремния прямоугольной формы (рис. 1).
б
Рис. 1. Схемы нагревательного устройства и размещение пластины: а - вид сверху; б - вид сбоку Fig. 1. Diagrams of the heating device and plate placement: a - top view; б - side view
Математическая модель основана на данных из ранее опубликованных работ [1-17]. Решим уравнения теплопроводности для объемов нагревателя и кремниевой пластины [9-17]:
д 2Л д 2Л д2 Л .2
- + —т + —Г + Р7 = 0, (x, y, z) eVH;
dx dyz
dzz
д2Л д2Л д2Л v
+ —T+ —г = о, (x,y,z) eFK.
dx dy
dz2
а
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 2
Сеточные граничные условия: = ai
Краевые условия радиационного теплообмена без учета угловых коэффициентов [16]:
вЛ = -(т,4-Т,4);
z=0
д Л
д Л
dz
z=b
z=b
dz
=--TK); =-ct(t4-TO4); f
д Л
дл
dz
z=b+d
z=b+d+h
= a(T,K -T4 );
= -а(г24к-To4 ).
На боковых гранях
£=-(т4-т4 )■
Поверхности частей нагревательного устройства, участвующие в лучистом теплообмене, разобьём на достаточно малые элементы. Точность моделирования контролируется на основе стандартного приема сравнения результатов расчета при разных шагах разбиения расчетной области, а также на модельных упрощенных задачах.
Система сеточных уравнений метода конечных разностей, аппроксимирующая уравнения теплопроводности, имеет следующий вид [12]:
Л/+1,/',к - 2Л/,/',к + Л/-1,;,к Л/,/'+1,к - 2Л',./,к + Л/,/'-1,к
h2
h2
Л/',М+1 - 2Л/,/,к +Л/,/,к-1 f _0 + - + Д /,k = 0,
К
( xi, y/, zk ) еКн/! +Кк/! ;
=
Л/'+1 + Л/ -1,j,k + Л/J-U
V
+1 + ^Ak-1 r
\
Л
К
( xi, >> zk ) + VKh ■
У
AAA
hx2 + /2 + hz2'
Здесь Их, Ну, к2 - шаги сетки по координатам; Унк, Укк - сеточные области, соответствующие объемам нагревателя и кремниевой пластины; (х/, у/, 2к) - координаты узлов сетки, соответствующее значение сеточного температурного потенциала равно Л/,/,*; /, ], к - индексы узлов сетки по координатам х, у, г соответственно; для объема нагревателя / = 1,..., N; ] = 1,..., Л^-; к =1,., Л^; для объема пластины кремния / = 1,] = 1,Л^,-; к = 1,Л^/.
-/z-= a(T'^-T0);
Л/'/'Л Л('/'Л-1
: - a
(t'J> TJ'0k);
-h-= -a(TJ'n-T0 );
"z
Лi, j,1k - Лг, j,0k
h
zk
'fal,0k T'4j,Nz );
Л i, /,nk Л i, / ,n-1k /^4
— = - a (Ti, j ,nk
h
zk
-To4 ).
Соотношения для угловых коэффициентов
Пусть йЕ\, - произвольно расположенные в пространстве элементы поверхностей, имеющих температуры Т и Т2 соответственно (рис. 2).
dFf
Рис. 2. К выводу формулы для углового коэффициента Fig. 2. To derive the formula for the angular coefficient
Поглощательная способность этих элементов Ai и A2, коэффициенты излучения Ci= siCo= A1C0 и C2= S2Co= A2C0. Расстояние между центрами элементов r, а углы между r и нормалями к плоскостям элементов ф1 и ф2. Тогда угол видения dFi из dF2 равен
dQ = dF2 cosф2/r2 dQ = F1dF1dQ1 cosф^л,
откуда
dQ = C1
\4
100
cos ф1 cos ф2
dFJdF ;
лг
ISSN1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 2
dQ2-1 = A2dQ1 =
C1C2
Co
T j cos Ф1 cos Ф2
100 J ЛТ2
dF1 dF2
12
dQ-2 = C1C2
4
T
G
O
V100 у
cos^cco^ dF1dF2
nr
Следовательно
Q1-2 ( M ) = G2 JJ C
OF
TÍN) 100
cos ф1 cos ф2
лг.
dFN =
MN
C1C2
G
JJ
0 F
îWÏ гш(-е.)с0S(P2
100
dFN =
nr,
MN
GC„ / T ( N ) ^
= ^ JJ
0 F
100
ZN ZM
nr,
cosФ2dFN, cos ф2 =
MN
где М - точка наблюдения; N - точка интегрирования: М = (хм, Ум, 2М), N = , у^,^) •
Сеточные соотношения для угловых коэффициентов
Т4 (N) й 2
91-2 =
s1s2a
JJ
2 2 (xM -xN) +(Ум - Jn) +'
d 2
x dxNdyN ~ x
i=1-«x J=1-"y
x/ yj
xJ J —
x/-1 yj-1
■ Z ■ Z 4 ^jUo + T4J-1,-dxNdyN
+ T/ + T
4x
■о / '
(xM -xN) +(Ум -yN) + d2
2 "
Расчет температурного поля без учета угловых коэффициентов
Расчеты пространственного температурного поля установки термолегирования осуществлены методом конечных разностей в системе программирования ABCPascal•
Параметры сетки: Nx = 12; Ny =12; N2 = 2; N^1 =10; = 10; = 2.
Число итераций Nuer = 3000.
Минимальные и максимальные значения температур в нагревателе и пластине: Тшл = 1180,24 К; Т1тх = 1266,00 К; Г™ »=1003,14 К; Т^ = 1065,61 К.
Углы градиента температурного поля вычислены на срединной плоскости пластины. Результаты вычислений представлены в табл. 1 и на рис. 3. Через I обозначен номер узла сетки, Ф - соответствующий угол наклона градиента.
Таблица 1 Table 1
Углы градиента температуры в пластине кремния Temperature gradient angles in a silicon wafer
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ф 0,00 -0,93 -1,62 -2,19 -2,71 -3,18 -3,62 -4,07 -4,66 -5,68
Ф, град.
rMNnN rMN
Рис. 3. График углов наклона вектора теплового потока в кремниевой пластине, соответствующий данным табл. 1
Fig. 3. Graph of the angles of inclination of the heat flux vector in a silicon wafer, corresponding to the data in Table 1
Результаты для сеточной области с уменьшенными вдвое шагами по координатам:
Параметры сетки: Nx_si = 20; Ny_si = 20; Nz_s¡ = 2.
Число итераций Niter = 3000. Минимальные и максимальные значения температур в нагревателе и пластине: TU = 1174,26 К; TU = 1265,26 К; TU = 1002,99 К; Tmax_si = 1065,25 К.
Результаты вычислений представлены на рис. 4 и 5.
ф, град, о
N 2
l l
4
10
а
ф, град о
l
2
>•
б
Рис. 4. Графики углов наклона вектора теплового потока в кремниевой пластине, соответствующие уменьшенным вдвое сеточным шагам по координатам (а) и (б); 1, 2 - номера слоёв по координате z
Fig. 4. Graphs of the angles of inclination of the heat flux vector in a silicon wafer corresponding to halved grid steps in coordinates (a) and (б); 1, 2 - layer numbers according to the z coordinate
n
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 2
Т, 1.280
1.260
1.240
1.220
1.200
-10 -5 0 5 10
а
т, к
1,070 1.060 1.050
1.040
1.030
-10 -5 0 5 10
б
Рис. 5. Графики температур в нагревателе (а) и в кремниевой пластине (б) в отсутствие кассеты; 1, 2, 3 - номера слоев по координате z Fig. 5. Temperature graphs in the heater (а) and in the silicon wafer (б) in the absence of the cossette; 1, 2, 3 - layer numbers according to the z coordinate
Уточненный расчет температурного поля с учетом угловых коэффициентов
Расчеты осуществлены при следующих характеристиках сетки и алгоритма вычислений:
Параметры сетки: Nx = 12; Ny =12; Nz = 2; Nxjsi =10; Nysi = 10; Nz^i = 2.
Число итераций Niter = 3000. Результаты для случая упрощенных краевых условий радиационного теплообмена:
Минимальные и максимальные значения температур в нагревателе и пластине: Tmin= 1180,24 К; Г1тх = 1266,00 К; Т™ = 1003,14 К; Tmaxsi = 1065,61 К.
В случае уточненного решения на основе учета угловых коэффициентов радиационного теплообмена:
Число итераций Niter = 300. Минимальные и максимальные значения температур в нагревателе и пластине: Tmin= 1171,74 К; Tmax = 1264,74 К; Tmn = 998,86 К; Tmax_si = 1064,55 К.
Углы направления вектора теплового потока вычислены на срединной плоскости пластины. Результаты вычислений представлены в табл. 2 и на рис. 6.
Таблица 2 Table 2
Сравнительные расчетные значения углов градиента температуры с учетом и без учета угловых коэффициентов излучения Comparative calculated values of the angles of the temperature gradient, taking into account and without taking into account the angular coefficients of radiation
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ф1 0,00 -0,93 -1,62 -2,19 -2,71 -3,18 -3,62 -4,07 -4,66 -5,68
ф2 0,00 -1,02 -1,75 -2,35 -2,87 -3,34 -3,78 -4,21 -4,73 -5,37
ф, град.
2 1
2 4 6 S 10
Рис. 6. График углов градиента температур: 1 - без учета угловых коэффициентов; 2 - уточненный расчет с угловыми коэффициентами радиационного теплообмена Fig. 6. Graph of temperature gradient angles: 1 - without taking into account angular coefficients; 2 - refined calculation with angular coefficients of radiation heat transfer
Уточненное решение на основе учета угловых коэффициентов радиационного теплообмена (число итераций Niter = 500):
Минимальные и максимальные значения температур в нагревателе и пластине: Tmin= 1171,04 К; Tmax = 1264,14 К; Tmn = 998,47 К; Tmax_si = 1063,84 К.
Углы температурного градиента вычислены на срединной плоскости пластины. Результаты вычислений представлены в табл. 3 и на рис. 7.
Таблица 3 Table 3
Сравнительные расчетные значения углов градиента температуры с учетом и без учета угловых коэффициентов излучения
Comparative calculated values of the temperature gradient with and without taking into account the angular coefficients of radiation
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ф1 0,00 -0,93 -1,62 -2,19 -2,71 -3,18 -3,62 -4,07 -4,66 -5,68
ф2 0,00 -1,09 -1,84 -2,44 -2,96 -3,43 -3,85 -4,26 -4,72 -5,25
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 2
ф, град.
1
2
2 4 6 8 10
Рис. 7. Сравнение углов градиента температур при количестве итераций 500: 1 - без учета угловых коэффициентов; 2 - уточненный расчет с угловыми коэффициентами радиационного теплообмена Fig. 7. Comparison of the angles of the temperature gradient with the number of iterations 500: 1 - without taking into account angular coefficients; 2 - refined calculation with angular coefficients of radiation heat transfer
Расчет с учетом кассеты
Рассматриваются трёхмерные модели расчета температуры нагревателя и пластины прямоугольной формы с расчетом угловых коэффициентов и учетом влияния кассеты, которые отличаются от моделей [2] формой пластины кремния. Зазор между кассетой и кремниевой пластиной считается пренебрежимо малым, но теплопроводность осуществляется между ними только радиационным путем.
Параметры сетки: Nx = 12; Ny =12; Nz = 2; Nx_si =10; Nyjsi = 10; Nz_si = 2; Niter = 3000.
Минимальные и максимальные значения температур в нагревателе и пластине: Tmn = 1234,37 К; TU = 1283,74 К; Tmn» = 1066,22 К; Tmax_si = 1172,84 К.
Результаты вычислений представлены на рис. 8 и 9.
Ф, град.
1QD --
Рис. 8. График углов теплового потока в кремниевой пластине
Fig. 8. Graph of the angles of heat flow in a silicon wafer
Т, К
2 1
3 У " ь, 1
-5 0 5
а
T, К
\
/ \
; ~> ?
"Ч .
-10 -5 0 5 1D
б
T, к
ЙЧ
2 ! 3
к J
-10 -5 0 5 10
в
Рис. 9. Графики температур в кремниевой пластине (а), кассете (б) и нагревателе (в): 1, 2, 3 - номера слоев по координате z
Fig. 9. Temperature graphs in the silicon wafer (a), cassette (б) and heater (в): 1, 2, 3 - layer numbers according to the z coordinate
Заключение
Математическое моделирование температурного поля является достаточно эффективным методом для надежного прогнозирования распределения температуры в полупроводниковых пластинах в установках термолегирования.
Интегральные модели позволяют получить простые предварительные оценки значений температурного поля. Более универсальным методом является метод конечных разностей. Точные результаты могут быть получены при учете угловых коэффициентов радиационного теплообмена. Соответствующие алгоритмы и программы относительно трудоемки. Сравнение результатов расчетов показало, что в ряде практически важных случаев можно не учитывать угловые коэффициенты радиационного теплообмена. Это позволяет уменьшить трудоемкость расчетов на порядок.
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 2
Список источников
1. Лозовский В.Н., Лунин Л.С., Попов В.П. Зонная перекристаллизация градиентом температуры полупроводниковых материалов. М.: Металлургия, 1987. 232 с.
2. Математическое моделирование температурного поля электрического нагревателя для локального легирования полупроводников методом термомиграции / А.Н. Заиченко, П.Б. Данилова, Р.В. Ару-тюнян, С.А. Некрасов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2023. № 4. С. 38-42.
3. Morillon B. Etude de la thermomigration de l'aluminium dans le silicium pour la réalisation industrielle de murs d'isolation dans les composants de puissance bidirectionnels. Micro and nanotechnologies / Microelectronics. INSA de Toulouse, 2002. 222 р.
4. Лозовский В.Н., Лунин Л.С., Середин Б.М. Особенности легирования кремния методом термомиграции // Изв. вузов. Материалы электронной техники. 2015. Т.18, №3. С. 179-188.
5. Лозовский В.Н., Попов В.П., Середин Б.М. Сравнение диффузионных и эпитаксиальных методов получения радиационно-стойких структур силовых полупроводниковых приборов // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Физика радиационного воздействия на радиоэлектронную аппаратуру. 2015. №3. С. 57-61.
6. Лозовский В.Н., Лунин Л.С., Середин Б.М. Особенности получения силовых кремниевых приборов методом термомиграции // Электронная техника. Сер.2. Полупроводниковые приборы. 2015. №2-3 (236-237). С. 105-115.
7. Оборудование для получения кремниевых структур методом термомиграции / В.Н. Лозовский, Б.М. Середин, А.С. Полухин, А.И. Солодовник // Электронная техника. Сер. 2. Полупроводниковые приборы. 2015. №5 (239). С. 65-76.
8. Лозовский В.Н., Полухин А.С., Середин Б.М. Основы технологии силовых кремниевых приборов с использованием термомиграции. Ростов-н/Д: ТЕРРА, 2016. 146 с.
9. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача: учеб. для вузов; 4-е изд., перераб. и доп. М.: Энергоиздат, ИЛ, 1981. 416 с.
10. Бреббия К., ТеллесЖ., Вроубел Л. Методы граничных элементов; пер. с англ.: Л.Г. Корнейчук; под ред. Э.И. Григолюк. М.: Мир 1987. 524 с.
11. АС № 2015661478 РФ. Расчет распределения температуры и градиента температуры при использовании меандрового нагревателя переменной толщины «Termomeander»: свид-во о государственной регистрации программы для ЭВМ /Б.М. Середин, Н.Ю. Архипова, С.Ю. Князев, Л.М. Середин; №2015612204; заявл. 26.02.2015 г.; зарегистрировано в реестре программ для ЭВМ 15.06.2015 г.
12. Арутюнян Р.В. Численные методы расчета тепло-и электропереноса, диффузной фильтрации и электромагнитных полей: монография. М.: Изд-во "Ру-сайнс". 2016. 182 с.
13. Arutyunyan R. V. 3D modeling of heat and mass transfer processes during microwave heating of the oil flow in the pipeline // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2021. Vol. 94. No. 3. P. 745-752.
14. Стержанов Н.И. Расчет температурных полей в кремниевой пластине при оптическом импульсном отжиге // Инженерно-физический журнал. 1982. Т. 43. № 3. С. 463-467.
15. Алифанов О.М. Математическое моделирование сложного теплообмена в дисперсных материалах // Инженерно-физический журнал. 1985. Т. 49. № 5. С. 781-791.
16. Блох А.Г., Журавлев Ю.А., Рыжков Л.Н. Теплообмен излучением: Справочник. М.: Энергоатомиз-дат, 1991. 432 с.
17. Теплоэнергетика и теплотехника. Общие вопросы: справочник; под общ. ред. В.В. Клименко, В.М. Зорина. Кн.1. М.: Изд-во МЭИ, 1999. 528 с.
References
1. Lozovsky V.N., Lunin L.S., Popov V.P. Zone recrystallization by temperature gradient of semiconductor materials. Moscow: Metallurgy; 1987. 232 p. (In Russ.)
2. Zaichenko A.N., Danilova P.B., Harutyunyan R.V., Nekrasov S.A. Mathematical modeling of the temperature field of an electric heater for local doping of semiconductors by thermomigration method. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Techn. nauki=Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region.Technical Sciences. 2023;(4):38-42. (In Russ.)
3. Morillon B. Etude de la thermomigration de l'aluminium dans le silicium pour la réalisation industrielle de murs d'isolation dans les composants de puissance bidirectionnels. Micro and nanotechnologies / Microelectronics. INSA de Toulouse, 2002. 222 p.
4. Lozovsky V.N., Lunin L.S., Seredin B.M. Features of silicon alloying by thermomigration method. Izv. vuzov. Materials of electronic equipment. 2015;18(3):179-188. (In Russ.)
5. Lozovsky V.N., Popov V.P., Seredin B.M. Comparison of diffusion and epitaxial methods for obtaining radiation-resistant structures of power semiconductor devices. Issues of atomic science and technology. Series: Physics of radiation effects on radioelectronic equipment. 2015;(3):57-61. (In Russ.)
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 2
6. Lozovsky V.N., Lunin L.S., Seredin B.M. Features of obtaining power silicon devices by thermomigration method. Electronic engineering. Ser.2. Semiconductor devices. 2015;(2-3):105-115. (In Russ.)
7. Lozovsky V.N., Seredin B.M., Polukhin A.S., Solodovnik A.I. Equipment for obtaining silicon structures by thermomigration method. Electronic engineering. Series 2. Semiconductor devices. 2015;239(5):65-76. (In Russ.)
8. Lozovsky V.N., Polukhin A.S., Seredin B.M. Fundamentals of technology of power silicon devices using thermal migration. Rostov-on-Don: TERRA; 2016. 146 p. (In Russ.)
9. Isachenko V.P., Osipova V.A., Sukomel A.S. Heat transfer: Textbook for universities. Moscow: Energoizdat, IL; 1981. 416 p. (In Russ.)
10. Brebbia K., Telles J., Wrobel L. Methods of boundary elements. Translated from English by L.G. Korneychuk. Edited by E.I. Grigolyuk. Moscow: Mir; 1987. 524 p. (In Russ.)
11. Seredin B.M., Arkhipova N.Y., Knyazev S.Y., Seredin L.M. Calculation of the temperature distribution and temperature gradient when using a meander heater of variable thickness "Termomeander": certificate of state registration of a computer program. Certificate RF, no. 2015661478. 2015.
12. Harutyunyan R.V. Numerical methods for calculating heat and electric transfer, diffuse filtration and electromagnetic fields. Moscow: Publishing house: Rusains; 2016. 182 p. (In Russ.)
13. Arutyunyan R.V. 3D modeling of heat and mass transfer processes during microwave heating of the oil flow in the pipeline. Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2021;94(3):745-752. (In Russ.)
14. Sterzhanov N.I. Calculation of temperature fields in a silicon wafer with optical pulsed annealing. Engineering Physics Journal. 1982;43(3):463-467. (In Russ.)
15. Alifanov O.M. Mathematical modeling of complex heat transfer in dispersed materials. Engineering Physics Journal. 1985;49(5):781-791. (In Russ.)
16. Blokh A.G., Zhuravlev Yu.A., Ryzhkov L.N. Heat transfer by radiation: Handbook. Moscow: Energoatomizdat; 1991. 432 p. (In Russ.)
17. Klimenko V.V., Zorina V.M. Thermal power engineering and heat engineering. General questions: handbook. Moscow: Publishing House of the MEI; 1999. 528 p. (In Russ.)
Сведения об авторах
Данилова Полина Борисовнав- аспирант, кафедра «Прикладная математика», ро1у1 .seredina@gmail.com
Арутюнян Роберт Владимирович - канд. физ.-мат. наук, доцент, кафедра «Вычислительная математика и математическая физика», rob57@mai1.ru
Некрасов Сергей Александрович - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Прикладная математика», nekrasoff_novoch@mai1.ru
Information about the authors
Polina B. Danilova - Graduate Student, Department «Applied Mathematics», poly1.seredina@gmail.com
Robert V. Harutyunyan - Cand. Sci. (Phys.-Math.), Associate Professor, Department «Computational Mathematics and Mathematical Physics», rob57@mail.ru
Sergey A. Nekrasov - Dr. Sci. (Eng.), Professor, Department «Applied Mathematics», nekrasoff_novoch@mail.ru
Статья поступила в редакцию / the article was submitted 25.03.2024; одобрена после рецензирования / approved after reviewing 12.04.2024; принята к публикации/acceptedfor publication 16.04.2024.
