CC BY
15Численное решение дифференциальных уравнений
35
не решает проблему радикально. В докладе рассматривается класс многоточечных симметричных трехслойных схем в общем виде. Коэффициенты схем определяются из условия достижения максимально возможного порядка аппроксимации на данном шаблоне. Схемы этого класса исследуются на предмет выполнения необходимого критерия Неймана. Показано, что рассматриваемые симметричные схемы условно устойчивы, и сформулированы численные ограничения на соотношение шагов, при которых выполняется критерий Неймана.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (код проекта 17-72-30006). Список литературы
1. Паасонен В. И., Федорук М.П. Компактная безитерационная схема с искусственной диссипацией для нелинейного уравнения Шредингера // Вычислительные технологии. 2012. Т. 17, № 3. С. 83-90.
2. Паасонен В. И., Федорук М.П. Трехслойная безитерационная схема повышенного порядка точности для уравнения Гинзбурга-Ландау // Вычислительные технологии. 2015. Т. 20, № 3. С. 46-57.
Применение n-раздельных всплесков в методе вейвлет-Галеркина
Е. А. Плещева
Институт математики и механики УрО РАН им. Н.Н. Красовского Уральский федеральный университет им. Б. Н. Ельцина Email: eplescheva@gmail.com DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10069
В решении дифференциальных и интегральных уравнений довольно широкое распространение получил метод вейвлет-Галеркина [1,2]. При его применении в качестве базисных функций для приближения решения используются периодические базисы всплесков. При этом матрица полученной в результате системы линейных уравнений будет разреженной, но не обязательно хорошо обусловленной. Но она легко приводится к хорошо обусловленному виду (см., напр., [1]).
В работе рассматривается задача Штурма-Лиувилля. В качестве базисных функций для приближения ее решения будем использовать построенные нами ранее [3] ортонормированные n-раздельные периодические базисы всплесков.
Список литературы
1. Фрейзер М. Введение в вэйвлеты в свете линейной алгебры. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2008.
2. Захаров В.Г., Иванов О.Н. Построение вейвлет-базисов, адаптированных к дифференциальным операторам // Математ. моделирование систем и процессов. 2003. № 11. С. 38-45.
3. Плещева Е.А., Новое обобщение ортогональных базисов всплесков // Тр. ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, № 4. С. 264-271.
Численное решение трехмерной задачи о теплопереносе в свободном слое жидкости под действием термокапиллярных сил и дополнительных касательных напряжений
Е. В. Резанова
Алтайский государственный университет Email: katerezanova@mail.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10070
Проведено численное моделирование нестационарного течения вязкой несжимаемой жидкости, заполняющей бесконечную полосу с плоскими свободными поверхностями, которые находятся под действием термокапиллярных сил и дополнительных касательных напряжений, индуцируемых внешней средой. Математическое моделирование проводится на основе точных решений уравнений Навье -Стокса специального вида (Пухначев, 1999).
Численный алгоритм включает алгоритмы типа "предиктор-корректор" для определения динамики жидкого слоя (Пухначева, 2000). Решена задача о нахождении распределения температуры в слое в трехмерном случае. Представлена общая схема численного моделирования процесса переноса тепла в параллелепипеде с движущимися границами, основанная на методе стабилизирующей поправки. На искусственно введенных "вертикальных торцах" расчетной области полагаются выполненными "мягкие" граничные условия, являющиеся следствием уравнения переноса тепла и условий для температуры на бесконечности. Представлены результаты численных экспериментов, проведенных в случаях, когда до-
36 Секция 2
полнительные касательные напряжения усиливают или ослабляют действие термокапиллярных сил на свободных границах.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 17-08-00291).
Modelling of bonded elastic structures by a variational method: theoretical analysis and numerical simulation
E. M. Rudoy
Lavrentyev institute of hydrodynamics of SB RAS Email: rem@hydro.nsc.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10071
We deal with an equilibrium problem of two bodies joined (glued) with each other along a part of their common interface. There exists a crack on the rest part of the interface. Surface loadings are applied to both bodies. We assume that the interface is "spring type interface", modelling a soft and thin material between bodies. We impose a nonpenetration condition and Treska's friction on the common interface including both the adhesive layer and the crack. The nonpenetration condition excludes mutual penetration of bodies. A formula for the derivative of the energy functional with respect to the crack length is obtained. It is shown that the derivative can be represented as a path-independent integral (J-integral). Moreover, we propose a non-overlapping domain decomposition method for the joined structure and study its convergence theoretically and numerically. Numerical examination shows the efficiency of the proposed method and importance of the nonpenetration condition.
The supports from the Russian Foundation for Basic Research (Grant No. 19-51-50004) are gratefully acknowledged.
Новый метод решения внешней краевой задачи для уравнения Гельмгольца декомпозицией области
А. О. Савченко, А. В. Петухов
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН Email savch@ommfao1.sscc.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10072
Для решения внешней краевой задачи для уравнения Гельмгольца используется декомпозиция области с пересечением. Задача сведена к решению операторного уравнения на внешней границе вспомогательной области. Для численного решения этого уравнения вводится конечномерный оператор, аппроксимирующий исходный, который представляется в матричном виде. Решение полученной системы линейных алгебраических уравнений производится одним из методов в подпространствах Крылова.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 16-01-00168).
О подходах к численному решению дифференциально-алгебраических систем уравнений в частных производных индекса выше единицы.
С. В. Свинина
Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН Email: svinina@icc.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10073
Дифференциально-алгебраические уравнения в частных производных впервые появились в работах, посвященных конкретным уравнениям гидродинамики в конце XIX и начале XX века. В современной литературе такие уравнения встречаются, например, при моделировании теплообменников, при описании химических процессов и многих других. Дифференциально-алгебраические уравнения в частных производных представляют собой взаимосвязь уравнений в частных производных, обыкновенных дифференциальных уравнений и алгебраических равенств. Особенность таких уравнений состоит в наличии производных от исходных данных системы в структуре ее общего решения. Максимальный порядок таких производных называют индексом системы. В случае, когда индекс системы выше единицы, численные методы, разработанные для схожих по типу эволюционных дифференциально-алгебраических
