CC BY
18
му
УДК 539.3
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СТАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
В.М.Степаненко
Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова
Ь'ул мацаяада сыгылмашпын ортада сертмЫлЫ теория ШёШнщ сандьщ шеиймищ схемасы к/арастырылды.
В статье рассмотрена разностная схема для численного решения задачи теории упругости для несжимаемой среды.
The article deals with dijferance schemes for numerical decision of theory of elasticityfor imcompressable material.
Для аппроксимации статической задачи теории упругости
. _ дсгп да;1 да
L, о~ S —- + —— 4--— + Ft
CSC, дх2 ^fycо
. 1 t d2e]k
dxkdxk dx-fikj дх .dxk
cr.. =Л-31}-(еи+ s22 + ¿?33) + 2 Ц- ei} (1)
0, M'ey
j=i
в параллелепипеде D = {0 < щ < li ) рассмотрим разностную схе-
(L,)Llhoh s (сгп)- +(а12)Хг +(crt3)% +Flh = 0 (L2h)L2hah ={an)Xi + (<т22)^ + + F21 =0
(LJ hnPn s К),, + (Ox, + (азз),, + ^ = 0 (2)
(% )x,4 + (A.v. = Гs A^ + Г£kk 4v,, i = j * k (£* + = + (% L, ' * J,i* Kj * k
№1, 2002г.
151
о.. =0 на границе X,- - 0, щ -1.
в сеточной области
Ок - {(//?,;тК;рИ3);/ = ^Щуп = О^р = ВД = А. }.
Эта разностная схема отличается от схемы для плоской статической задачи теории упругости ] лишь способом аппроксимации тех уравнений совместности Сен-Венана, для которых / Ф /,/ ? к, / т. к.
Выясним вопрос о влиянии коэффициента Ламе Д на скорость сходимости разностной схемы (2).
Обозначим
где а1, г1 - р ешения задачи (1), - я - л
а а,Л, £,Я - решения схемы (2).
Известно [2], что / 2 1 >
1
•И + А
к,
(3)
к, 11 " 2(\+к,)
где У = 0(7?;, ¡ф\\ = 0(/1), Щ = 0(к), а константы К- таковы, что ) > К\ ■ (г;,, ), (уи, ) &К2{щ -ф, гь - р), , Шн) < , ) Так как
(д>А, гА) * (В-■ гк2ь) й тш Лв • , )=
(Здесь
/
1
1
то К. -
Ы + 2ц ' 1 31 + 2/у
В
а /? ь 0 0
й а ъ 0 0 0
Ъ Ъ а 0 0 0
0 0 0 с 0 0
0 0 0 0 с 0
0 0 0 0 0
а
к и
,Ь =
Я
,с =
//(ЗА + 2//) 2//(ЗЯ + 2//) /./ }
Далее
(фк-ф,1к-ср) = (Шк-ф,В~х(Шк-ф)>
min (Шъ-ф,Шк-фь) = /л(юк-фь, (üh-фк)> ß'KJvh, vk),
откуда
- г - 1
(v,,\>к)<К2(й)„-ф,гк-<р), где Л2 К4~константа
неравенства Корна. Наконец
„ 1
К, a>h) = (В-гн,В- zh) < max Я/ ■ (zh ,zh) = — (zh, zh),
/<"
К -А
т.е. 3 2 ' И
Теперь из (3) , с учетом констант K¡, для Я > Я0 будем иметь
(úh J = ¡5 • Zj, I < шах Лв Jzh J = 0(A). (4)
Для реализации разностной схемы (2) введем итерационную разностную схему [l]
{8иуа^[ь ak+F¡h\\t,
2Ц )\ = [Li hah + Fih J'Y + \L] hah + Fj<hf, , / Ф j a-(s¡) а — s ij -e
V
<„ = 0, Xj=0u x, = /,, /,7=1,2,3 или в матричной форме
^•^.«r+A^+f/, =0. (5)
Так как при однородных граничных условиях
K (Bäk,äk)<(Ahäh,cfh)< 12(3^2+ 2М) (В■ ¿F,,äk),
№1, 2002г.
153
где к не зависит от И и X > то для сходимости итерационной разностной схемы (5) достаточно положить [з]
2/г
а = ■
К-И + ЩЗЛ+2р) а для разности решений задачи (2) и схемы (5) справедлива оценка
г <
' I»
" ЩЗЯ + 2и)-К-к2 12(ЗЛ + 2^) + К' И2 }
-Г
(6)
е £ = в либо £■ = 4
А, 0 0 Аз 0
0 1-/<у> 0 0 4з
0 0 Аз 0 Аз Аз
Аз Аз 0 А, Аз Аз
Аз 0 Аз Аз Л2 Аз
0 Аз •^23 Ач •^21 А3
% =(•),.,., А, =0^., Ау = 0)^., А, =!„ +123, Л2 Д, = Ь22+Ь33.
Покажем, что решение статической задачи теории упругости для несжимаемого материала [4] можно получить предельным переходом из решения разностной схемы (5).
Теорема. Решение итерационной разностной схемы (5) сходится к решению статической задачи теории упругости для несжимаемого материала
А<?+А - о,
д\ , д2*» _ д2ел ,
----1--—----------------- 4--,
дхкдхк дxiдxJ дх}дхк дх{дхк
£и +.% +«?зз =0,
сги(М') = (\х, =0;/, (7)
И2 п
при п —> 0, Я —» СО, п 00, —------> 00.
Доказательство. Пусть -решение итерационной разностной схемы (5), £л -решение задачи (1), - решение схемы (2), а £ -решение задачи (7).Тогда
-Я.п -
< ?Л'Л _ 7я - г h Й
+ F»
+ \eJ
(8)
Для первого слагаемого правой части неравенства (8) справедлива оценка (6), а для второго оценка (4).Из [5] известно, что
lim
X—>со
а
= о
Таким образом, если то
lim j—
= о,
lim
Я -»со, я—:»0
ЛИТЕРАТУРА
1. Коновалов А.Н. Итерационная разностная схема для численного решения плоской статической задачи теории упругости в напряже-ниях//Численные методы механики сплошной среды,-1975.-т.6, №2.
2. Коновалов А.Н. Решение задач теории упругости в напряже-ниях.-Новосибирск, 1979.-92 с.
3. Самарский A.A., Гулин A.B.
Устойчивость разностных схем.-М: Наука, 1973.-415 с.
4. Кобельков Г.М. Об эквивалентных нормировках подпространств Ln //Analysis mathematica..-Budapest,! 977.-t.3.
5. Степаненко В. M. Аппроксимация решения задачи теории упругости для несжимаемого материала/ /Численные методы механики сплошной среды,-1978.-т.9, №6.
