Численное решение некоторых задач геофильтрации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия ТРТУ

Специальный выпуск

В рамках линейной теории мелкой воды [1] с помощью метода Римана [2] получено решение задачи Коши:

д 2^_ д

ді2

g

дх

к( х )

К

дх

(( х ,0) = / (х), ^ (х),

где С(хД) - отклонение свободной поверхности жидкости от равновесного состояния, х - горизонтальная координата, I - время, g - ускорение силы тяжести, И(х) -глубина жидкости. На рисунке приведены графики волны для

И(х ) = — х - И0, /(х ) = СОБ — при \х\< 1, ^(х ): хп 2 1 1

= 0.

1-0.5£(х,0); 2-С(х,1); 3-£(х,2)

Как видно из графиков, амплитуда правой волны со временем растет, левой -уменьшается. Для скорости распространения волн наблюдается обратная закономерность.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Овеян ников Л.В. К обоснованию теории мелкой воды // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1973. Вып.15 С.104-125.

2. Тихонов А.Н., Самарский АЛ. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.

УДК 519.63:532.55

АЛ. Сухинов, И.В. Маринова ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ГЕОФИЛЬТРАЦИИ

В работе представлены результаты моделирования нестационарной фильтрации грунтовых вод. Численное решение поставленной задачи базируется на современных схемах расщепления и методах решения сеточных уравнений.

Для приближенного решения многомерной задачи геофильтрации была построена локально-двумерная схема (ЛДС), которая получается при замене много-

Секция фундаментальной и прикладной математики

мерной дифференциальной задачи цепочкой двумерных задач, с последующей их аппроксимацией в суммарном смысле.

В общем случае области произвольной формы и неразделяющихся переменных для реализации ЛДС имеет смысл использовать универсальный попеременнотреугольный метод (ПТМ). Ряд особенностей задач фильтрации (высокий порядок системы разностных уравнений, существенный разброс коэффициентов уравнений и т.п.) делает актуальной разработку алгоритмов, которые бы позволили уменьшить число итераций, а также решать плохо обусловленные системы разностных уравнений либо увеличить временной шаг.

В работе для решения разностных уравнений параболического типа применен вариант модифицированного ПТМ с чебышевским набором параметров, требующий 0(^/4) арифметических операций, где N - число узлов сетки, при аппроксимации трехмерной задачи фильтрации ЛДС, если шаг т по времени удовлетворяет условию т=0(|Ь|), где |Ь| - максимальный из шагов сетки.

Итерационная схема модифицированного попеременно-треугольного метода ()

«+1,5+1 «+1,5

(Р + оЯ1)РЧ(Р + оЯ2)У-----------—У-----+Луп+1,5 = /п ,

где у5 — итерационное приближение номера 8, Б=Б*>0, о >0 - параметр, 8 - номер итерации, п - итерационный параметр,

- шаг сетки по направлению Ох{, а+1 — переменные коэффициенты неявной .

МПТМ позволил существенно (в 2,5-9) раз сократить число итераций по

, 103 ,

для существенно неоднородных пластов - по сравнению с методом переменных направлений. Предложенная методика определения необходимой априорной информации: диагональной матрицы Б, оценки А, удовлетворяющей операторному неравенству

К^^А^Я^),

где Я1 и Я2 - треугольные матрицы (операторы), входящие в каноническую форму двухслойного итерационного метода, подтвердила свою эффективность при реше-

,

.