Применение адаптивного модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода для численной реализации двумерной математической модели движения водной среды Текст научной статьи по специальности «Физика»

Применение адаптивного модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода для численной реализации двумерной математической модели движения водной среды

А.Е.Чистяков, Н.А.Фоменко Технологический институт «Южного федерального университета» г.Таганрог

Моделирование процессов происходящих в водной среде имеет значение не только при исследованиях водных экосистем, экологического состояния водоемов, параметров водной среды, но и при проектировании и возведении прибрежных сооружений, так как воздействия волн и прибоя к берегам различных водоемов приводит к их разрушению. А так же непрерывное движение водной среды приводит к необратимым последствиям, таким как изменение рельефа дна. Последствия данных явления можно наблюдать на побережьях океанов, морей и крупных озер. Строительство берегозащитных сооружений, ограждающих дамб, волнорезов, волновых молов является дорогостоящим и технически сложным мероприятием. Поэтому моделирование данных процессов является важным не только для экологии, но и для экономики.

Для прогнозирования процессов заиленья, негативных факторов, влияющих на эксплуатацию прибрежной зоны и береговых сооружений необходимо детально исследовать гидродинамические процессы, происходящие в водной среде.

Для построения двумерной математической модели движения водной среды нам понадобится двумерная модель гидродинамики[1,2] исходными уравнениями которой являются:

- двумерный аналог системы уравнений Навье-Стокса ((Н + £) и )^+(Я + £) ии'х +(Н + £) ш'у =

=- 8 (Н+Ж+((Н+С)и<),+((Н+с)к) у+—,

((Я + С) V)'_ + (Я + С) «V, + (Я + С) у/ = (1)

=- 8 ( н+т+(( н+ож),+(( н+£)»г’у) у+-р—,

- аналог уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости

С+((Н + С) и )\ +((Н+С) у)\ = 0. (2)

где С - функция подъема уровня, V = {и, у} - вектор скорости движения водной среды, Р

- давление, /и - коэффициент турбулентного обмена по горизонтальному направлению, 8

- ускорение свободного падения, р - плотность жидкости, — = {— ъ—уъ}, — = {—р —ур}

- тангенциальное напряжение на дне и поверхности жидкости соответственно, Н -глубина водоема, отсчитываемая от невозмущенной водной поверхности.

Математическая модель (1)-(2) учитывает геометрию донной поверхности и функцию возвышения уровня. Данная система уравнений рассматривается при следующих граничных условиях:

и'п = 0, = 0, СП = 0. (3)

Условие (3) описывает свободный выход на боковых границах.

Построение двумерной модели гидродинамики.

Расчетная область вписана в прямоугольник. Покроем область равномерной прямоугольной расчетной сеткой о = ю(хюххюу :

со{ = {1п = пк(,0 < п < N -1,^ \ (N -!)},

°х = {Х. = тх, 0 < /• < ых -\ 1х = их (ых -1)},

СО у = {у =

: {у, = ]ку ,0 < / < Ну -1, 1у = ку (Ну -1)} , где п,/',/ - индексы по временной координате и пространственным координатным направлениям Ох, Оу соответственно, \, кх, й - шаги по временной координате и пространственным координатным направлениям Ох Оу соответственно, N, N, N -количество узлов по временной координате и пространственным координатным направлениям Ох, Оу соответственно, ¡(, ¡х, I - длина расчетной области по временной координате и пространственным координатным направлениям Ох , Оу соответственно.

Дискретный аналог модели движения водной среды, представленной уравнениями (1)-(2), согласно методу поправки к давлению[3] запишется в виде следующей системы уравнений, в которой первое уравнение записывается без учета функции возвышения на первом временном слое:

ип+а - ип

(Н+0 —---------+ (Н + С) ии[ + (Н + 0 и =

= ((Н + 0)ии'х ) х +((Н + 0)ии'у ) + ---— ,

у Р Ру

уп+а - уп

(Н + 0) —------+ (Н + 0 ) Ш/ + (Н + 0 ) уу',, = (4)

=(( н)'х+(( н ) у—-р.

С учетом выполнения (2),(3) аналога уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости, данное уравнение можно представить в виде:

0; - й ((н+0)0: )'х - й ((Н+0)0: )'у = (5)

= - 8 (( Н+0) и" -)' х, - 8 (( Н+0) V" -)',,

а затем на следующем временном слое:

ип+1 - ип+а

(я+0)и ,и =-8(я+0)0:, (6)

уп+1 - уп+СТ

(Н+0) —Г-------= - 8 (Н+0)0', •

Для построения конечно-разностных схем использован метод баланса.

Дискретные аналоги операторов конвективного ие'х и диффузионного (ис'х)

переноса в случае частичной заполненности ячеек в случае граничных условий третьего рода:

СП (Х, У, Z, ^ = «пС + Рп ,

могут быть записаны в следующем виде [4]:

!Г( \ С'+и - С / ,( \ С’, / - С!, /

иСх □ (Я )ии,—,-----------+ ,2 Х,-1/2,, -—-------,

С..,, .■ - С . , , С .■ - С

(ис'х ) 'х □ (Яг У, иш,, —" - (Я2 ),, tt— — 1,7

( Я1 1 , -( Я 2 I

х *, /

и ;

Йх

где ^, т = 0..4 - коэффициенты, описывающие заполненность контрольных областей.

Полученные сеточные уравнения решались модифицированным попеременно -треугольным итерационным методом, алгоритм которого представлен ниже.

Адаптивный модифицированный попеременно-треугольный метод вариационного типа. Рассмотрим задачу об отыскании решения операторного уравнения в конечномерном гильбертовом пространстве Н:

Ах = /, А: Н ^ Н, (10)

где А - линейный, положительно определенный оператор ( А > 0 ).Для нахождения задачи (14) будем использовать неявный итерационный процесс хт+і _ хт

Вх-----— + Ахт = /, В: Н ^ Н, (11)

т

где т - номер итерации, т> 0 -итерационный параметр, а В - некоторый обратимый оператор. Обращение оператора В в (11) должно быть существенно проще, чем непосредственное обращение исходного оператора А в (10). При построении В будем исходить из аддитивного представления оператора А - симметричной части оператора А

Ао = Я + Я = Я*. (12)

Также здесь и далее будем использовать кососимметричную часть оператора А

, А _ А*

А1 =------.

1 2

В силу (12) (Ау, у) = (Ао у, у) = 2( Яу, у) = 2( Я2 у, у) . Поэтому в (12) Я > 0, Я > 0 . Пусть в (11)

В = (Р + &Я)Р1(Р .оЩ), Р = Р* > 0, о> 0,у є Н, (13)

где Р - некоторый оператор.

Поскольку А = А* > 0, то вместе с (12) это дает В = В * > 0. Соотношения (11)-(13) задают модифицированный попеременно-треугольный метод (МПТМ) решения задачи[5-7], если определены операторы Я, Я и указаны способы определения параметров т , о и оператора Р.

Алгоритм модифицированного попеременно - треугольного итерационного метода минимальных поправок для расчета сеточных уравнений имеет вид

Гт = Ахт _ / , В(От V = Гт , От =

( Рwm, Vй)

ш р1Я^т, Яwm)’

( Awm, Vй )2 (В-1А^т, А^т )

5 2 = 1_120 I I____________________________________________ к = У_1_12_і (14)

т [в-1а^й,Awm)^т,Vй) ’ т [в-lAwm,А^т) ’

і _

=

У(і(А,Vй,Vй)

т„, = «_^-^-¿Т , х" = хт , От .і =От •

1+К(1 -V)' "(ВТ'А*",А*")

В адаптивном попеременно - треугольном методе в качестве параметра о используется значение с предыдущей итерации с этим и связан локальный рост нормы вектора невязки.

Рис.1.Зависимость нормы вектора невязки от количества итераций.

Из рис. 1 видно что, при решении сеточного уравнения адаптивным попеременно -треугольным методом равномерная норма вектора невязки (максимальный по модулю элемент) убывает достаточно быстро, но возможен локальный рост погрешности. В таблице 1 приведены результаты сравнения ПТМ и МВР.

Таблица 1.

Номер временного шага Количество итераций Попеременно-треугольный метод Количество итераций Метод верхней релаксации

Расчет поля скорости Расчет давления Расчет поля скорости Расчет давления

1 1 1 1 1

2 1 4 1 53

3 3 4 17 56

4 3 4 23 58

5 3 4 27 59

6 3 4 30 60

7 3 4 32 60

8 3 4 35 61

9 3 4 36 61

10 3 4 38 62

11 3 4 39 62

12 4 4 40 62

13 4 4 41 62

Из приведенной таблицы видно, что выбор адаптивного модифицированного попеременно-треугольного метода вариационного типа является более предпочтительным по сравнению с методом верхней релаксации при решении сеточных уравнений, полученных в результате аппроксимации задач волновой гидродинамики.

Литература

1.Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А. Двумерная гидродинамическая модель, учитывающая динамическое перестроение геометрии дна мелководных водоемов. Известия ЮФУ. Технические науки. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011, №8(121). С. 159-167.

2.Фоменко Н.А. Моделирование гидродинамических процессов при обтекании корпуса судна. Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Актуальные проблемы математического моделирования». - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011, №8(121). С.139-147.

3.Чистяков А.Е., Фоменко Н.А. Построение двумерной математической модели движения водной среды // Журнал ТТИ ЮФУ. Информатика, вычислительная техника и инженерное образование №5(7)-2011, Электронный журнал. С. 59-66.

4.Чистяков, А. Е. Об аппроксимации граничных условий трехмерной модели движения водной среды// Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Актуальные проблемы математического моделирования». - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010, №6(107). С. 66-77.

5.Сухинов А.И., Чистяков А.Е. Адаптивный модифицированный попеременно -треугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором. Математическое моделирование, 2012, том. 24, №1. С.3-20.

6.Сухинов А.И. Модифицированный попеременно - треугольный метод для задач тепловодности и фильтрации// Вычислительные системы и алгоритмы. - Ростов -на- Дону: Изд-во РГУ,1984, С. 52-59.

7.Чистяков А.Е. Теоретические оценки ускорения и эффективности параллельной реализации ПТМ скорейшего спуска. Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Актуальные проблемы математического моделирования». -Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010, №6(107). С. 237-249.