CC BY
1
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 15. № 3 (2023). С. 14-41.
УДК 519.63
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ
М.Х. БЕШТОКОВ
Аннотация. Рассматриваются начально-краевые задачи для многомерного псевдопараболического уравнения с граничными условиями первого рода и специального вида. Для приближенного решения поставленных задач многомерное псевдопараболическое уравнение сводится к интегро-дифференциальному уравнению с малым параметром. Показано, что при стремлении малого параметра к нулю решение соответствующей модифицированной задачи сходится к решению исходной задачи. Для каждой из задач построена локально-одномерная разностная схема А. А. Самарского, основная идея которой состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению ряда одномерных задач по каждому из координатных направлений. С помощью принципа максимума получены априорные оценки, откуда следуют единственность, устойчивость и сходимость решения локально-одномерной разностной схемы в равномерной метрике. Построен алгоритм численного решения модифицированной задачи с условиями специального вида.
Ключевые слова: псевдопараболическое уравнение, уравнение влагопереноса, интегро-дифференциальное уравнение, начально-краевая задача, разностные схемы, локально-одномерная схема, априорные оценки, устойчивость и сходимость.
Mathematics Subject Classification: 35L35, 65N12
1. Введение
Хорошо известно, что краевые задачи для иеевдоиараболичееких уравнений возникают при изучении фильтрации жидкости в трещиновато-пористых средах [1]-[3], движений почвенной влаги [4]-[6], при описании тепломассопереноса [7]-[10], волновых процессов и во многих других областях.
Краевые задачи для различных классов уравнений третьего порядка изучались в работах [11]-[16]. Широкий спектр результатов по исследованию начальных и начально-краевых задач для сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа, а также вопросов локальной разрешимости, условий разрушения решений и глобальной во времени разрешимости был получен в [17]. Краевые задачи с общим нелокальным условием А.А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка изучены в работе [18].
С точки зрения численной реализации переход от одномерного случая к многомерному вызывает существенные затруднения. Сложность заключается в значительном увеличении объема вычислений, возникающем при переходе от одномерных задач к многомерным. В этой связи актуальное значение приобретает задача построения экономичных разностных схем для численного решения многомерных задач.
М.КН. Beshtokov, Numerical solution of initial-boundary value problems for a multidimensional pseudoparabolic equation.
© бештоков м.х. 2023.
Поступила 26 июля 2022 г.
В данной работе рассматриваются начально-краевые задачи для многомерного псевдопараболического уравнения с переменными коэффициентами. Целью работы является построение и исследование сходимости приближенного решения каждой из поставленных задач при аппроксимации по времени на основе локально-одномерных схем расщепления [19], [20], Основная трудность состоит в необходимости расщепления не только первого оператора, но и оператора при производной по времени, поэтому построение схем расщепления достигается за счет перехода к нелокальной по времени задаче и ее параболической регуляризации. Исследование устойчивости и сходимости проводится по методике A.A. Самарского [21], С помощью принципа максимума для решения соответствующей задачи получена априорная оценка в равномерной метрике, откуда следуют единственность и устойчивость решения, доказана сходимость. Построен алгоритм численного решения модифицированной задачи с граничными условиями специального вида с использованием рекуррентной формулы для быстрого счета в многомерном случае.
Настоящая работа является продолжением серии работ автора [22]-[26], посвященных исследованию локальных и нелокальных краевых задач для обобщенных псевдопараболических уравнений с переменными коэффициентами,
2. Постановка первой начально-краевой задачи
В цилиндре QT = G х [0,Т], основанием которого являетея р-мерный прямоугольный параллелепипед
G = {х = (х1,х2,... , хр) : 0 ^ Хк ^ ¡к, к = 1, 2,... ,р}
с границей Г, G = G + Г, рассмотрим следующую задачу
ди д
— = Lu + a—Lu + f(x,t), (x,t) e QT, (2.1) ot ot
и = ß(x,t), 0 ^ t ^ T, (2.2)
u(x, 0) = uo(x), x e G, G = G + Г, (2.3)
где
Lu = ^ Lk u, Lk и = 7"— (вк (x,t) + rk (x, t) ~~ - qk (x,t)u, к = 1, 2,...,p,
ÖXk V OXkJ охк
u(x,t) e С4,2 (QT), вк(x,t) e С3,1 (QT) , rk(x,t),qk(x,t),f (x,t) e С2,1 (QT), (2-4)
®k Qk rk дt, dt,dt
0 < Cq < вк(x,t),qk(x,t) < Ci, \rk| < C2,
^ c3, cq,c1,c2 = const > 0.
Ст'п — класс функций, непрерывных вместе со своими частными производными порядка т по х и п по ¿, (^т = С х (0,Т], а > 0.
Преобразуем уравнение (2.1), тогда умножив обе части (2.1) на ^е*\ затем заменив Ь на £ и проинтегрировав полученное выражение по £ от 0 до t, получим уравнение
Ви = Lu + f(x,t), (2.5)
где
t t
Ви =- t е~ ^щ d£, f(x,t) = - t е~ ^(t-) f (х,£ )d£ - е-^ Luq (х), a> 0. aa 0 0
В той же области вместо задачи (2,2), (2,3), (2,5) рассмотрим следующую задачу с малым параметром е
ди£
+ Bu£ = Lu£ + f(x,t), (x,t) е QT,
и£\т = Ф,г), о ^ t ^ т,
и£(х, 0) = и0(х), х е G,
(2.6)
(2.7)
(2.8)
где е = const > 0.
Так как при t = 0 начальные условия для уравнения (2.5) и (2.6) совпадают, то в окрестности t = 0 у производной и£ не возникает особенности типа пограничного слоя
[27], [28].
Покажем, что и£ ^ и в некоторой норме при е ^ 0, Обозначим через z = и£ — и и подставим u£ = z + ив задачу (2.6)-(2.8). Тогда получим
QZ _
£— + Bz = Lz + f(x,t), (x,t) е Qt,
z\r = 0, 0 ^ t ^ T,
z(x, 0) = 0, ж е G, G = G + Г,
(2.9) (2.10) (2.11)
If du
где f (x,t) = —-.
Лемма 2.1. Для любой абсолютно непрерывной на [0,Т] функции справедливо
неравенство
v(t)Bv(t) ^ 1 Bv2(t),
где Bu = е~iа> 0. о
Доказательство. Перепишем неравенство (2.12) в виде
t t
v(t)Bv — 1 Bv2(t) =v(t) — ! e~ -(t~T)vTdr — — i e~ -(t~r)(v2)Tdr 2 a J 2a J
оо
t
=— i e- - (t~T)vT (t)(v(t) — v(t))dr
a
о
t
— j e(t~t)vT(t) ^ vv('n)d'q^j dr
(2.12)
— Vv(v)dv e 1(t T)vT(r)dr a о
0
1 "
— ^ vv(rj)e-g(t~v)
a Jo (t~v)
- i (t-r)
vT (r)dr
1 i eic-,)±
2 a о
e *(t T)vT (r) dr
v
1
2а
+
е-*^ )
ут (т)с1т
0
1 г
2а2
еа ( *-п)
0
е «( т)ит(т)Ат
Аг] ^ 0.
Таким образом,
у(г)Ву(г) ^ 1 Ву2(г).
□
Для получения априорной оценки воспользуемся методом энергетических неравенств.
Умножим уравнение (2,9) екалярно на 5:
р
(4И + И=( £ ¿( ^« Э
+ ( ЕГк(x,г),— (Едк+ (f(x,
(2.13)
к=1 ' 4 к=1 где скалярное произведение и норма имеют вид:
Н к
= wvdx, Цг;(■, = \Н\0 = v2Ax, Ь\\2ЫоМ = v2(x, Ь)Ах;. ./с ^ J0
Далее через М.1 = 1, 2,... обозначаются положительные постоянные, зависящие только от входных данных рассматриваемой задачи.
Используя лемму 2,1, преобразуем интегралы, входящие в тождество (2,13):
дг \ ед
:т,г) = ш1 1 р
/ V г> £—/ I 'п z—' 'п
к=1
(2.14)
1 р 1 р 1 р
( - > Вг, г ) = - > гВгАх = - у гВгАх ) Р^^ Р
У^ I ( I гВгАхк) Ах! ^ —I ( I Вг2Ахк\ Ах!
]о ) 2р л )
р . 1 р 1
Е , ВШ12(0,1 к)Лх' = - £ ВЦЩО = 2ВЦЩ1 к=^с' р к=1
(± £ <)£;> !) = - ± I -к < £)"
1 Р
1 2р
(2.15)
Ах ^ — с0
(2.16)
где
С' = {х' = (х\,х2,..., хк-\,хк+\,..., хр) : 0 < хк < 1к}, Ах! = Ах\Ах2... Ахк-\Ахк+\... Ахр.
д р
' дхк д 2
^ £ о
( ^ г;(х, Ь)-^-,^ ) = [ ^ г;(х, ^-^-гАх = V" I г;(х, Ь)-^Ых V дхк ) дхк ^ )с дхк
к=1 2 р
(2.17)
2
2
п
2
0
( ь), 2^ ^ 11/12 + ехй. Учитывая преобразования (2,14)-(2,18), из (2,13) получаем неравенство
2дРИ2 + 2ВРИ2 + (с0 - £о)
дх
(С0 - * - й)
+ (* - в1 - р||2 ^ ¿т 11/12.
1 „^ 471
Второе слагаемое в левой части (2,19) преобразуем следующим образом
ВРИО
1 е а I
01 *Н0)с<е
г
аРИО - ^[е(^РИ0<е
а а2
0
0
Выбирая е0 = е1 = -ис2 < с0, из (2,19) с учетом (2,20) находим
(2.18)
(2.19)
(2.20)
4 м°+
д
д х
+ р|Ю И^10^ + м2 И/И2.
(2.21)
I т
ерИ0 + РИ0 +
д х
| «т ^ М^¿т I р||0<£ + М2 !
0
0<1т.
00
Оценим первое слагаемое в правой части (2.22). Тогда перепишем (2.22) в виде
(2.22)
V ^ М1 У<т + М2Р, 0
где V = /0 И 5И2<т, Р = /с
* 11ТН2
0 ИЛ И0
(2.23)
На основании леммы Гронуолла ([29, глава III, §1, лемма 1.1]) из (2.23) получаем оценку
*иг+/ (ри?+1 дх, |0)
<т < М
3 / 1и и0 0
2<1т = £ 2Мз
ди
¿Т = 0(£2), (2.24)
М
Из априорной оценки (2.24) следует сходимость и£ к и при е ^ 0 в норме
2
РИ? = е| |*И2 + РИ^ +
д х
где ЦЩ Qt = / И-?И0<т) если иг — ограниченная, достаточно гладкая функция. Поэтому 0
начально-краевой задачи для многомерного псевдопараболического уравнения (2,1)-(2,3),
3. Локально-одномерная разностная схема
Пространственную сетку выберем равномерной по каждому направлению Охк с шагом !гк = ,к =1, 2,... ,'р : " "
шнк
{
к
XI, "" = %к Ьк : 1к = 0,1,...,Ик, кк = —, к = 1, 2
(ч)
... ,
р
П
ш = | Ик. к=1
2
0
2
0
2
0
0
На отрезке [0, Т] введем сетку
4 = {о, Ьц = (з + ^т, т = Т, 3 = 0,1,..., Зо - 1, к = 1, 2,...,ру
содержащую наряду с узлами = ]т, фиктивные у злы к, к = 1, 2,... ,р — 1. Будем
ссс с j + ^ „
обозначать через — множество узлов сетки 4'т, для шторых Ь > 0, этого уравнение (2,6) перепишем в виде
V £к и = 0, £к и = —;— + - Ви£ — Ьк и — ¡к,
где /к(х, I), к = 1, 2,... ,р — произвольные функции, обладающие той же гладкостью, что
р
и /(х, Ь) и удовлетворяющие уеловию ^ ¡к = /.
к=1
На каждом полуинтервале А к = (tj+к—1, tj+ к
= 1, 2, . . . ,
решать задачи
£к $(к) = 0, х еС, ге Ак, к = 1,2,...,р,
г, , ч т, зл)
$(к) = у(х, Ь) при х еГк,
полагая при этом
1)(х, 0) = ио(х), 0(1)(х, tj) = &(р)(х, tj),
&(к)(х, к—к) =0(к-1)(х, к-1^ , к = 2, 3,... ,р, 3 = 0,1,..., ]о — 1,
Гк — множество граничных точек по направлению хк.
Будем называть решением этой задачи при Ь = ¿^функцию tj+1) = 0(р)( tj+1)■
В и
к
1 [ е-к=1 у Г" е-к-)й(х, №
_ _ 7=1 Зг—
о
р
1 р+к Г-Л -
р е Ч'+"Ч (и(х,1) + и(х,0^ —
_ 8=1 31 — р
р + к / \ * у I е р — е р щ
' ^ (Ч -!(., +к
+_ е/'
_ ^ к-,
р
е р Зй(х, № —
где
в в —к 0
р ир — и р ~ . ди .. д2и -
щ =-=-, £ = ts к , и = -—, и = ——, ¿з—к < Е < 6.
р
Оценим второе слагаемое в правой части (3,2), Тогда получим
1 рр+ ГН е-к -)й(х^Ш — ^^ —М У е-р
_ ¿14—1 _р Л—
р р
(3.2)
Мт Р
Мт Р
а^ j + h_§.
е р — е
PÚ+k ,
S=1 v
(l — е^
Мт p
)
)
где \U(x, £)| ^ М. Итак, имеем
1-)
a
щd^
pj+k , S=1 V
____
a ó + k_s a ■+ k_s + l J 1 p _ g J 1 p
)UI +0 (I).
(3.3)
схему второго порядка аппроксимации по hk, для которой справедлив принцип максимума при любых т и hк, к = 1, 2,... ,р. Для этого рассмотрим уравнение (3.1) при фиксированном к с возмущенным оператором Lk :
едд 1
+ ~m(k) = Lk %) + fk, te Ак, к =1, 2,...,р,
(3.4)
где
д ( \
^к ^(к) =Хк дХТ (вк (X, 1) -дХг) + ^ (X, 1) - % (X, ^)^(к),
Хк = --, Лк = 0.5кк - разностное число Рейпольдса.
1 + Лк ®к
Каждое из уравнений (3.4) с учетом (3.3) заменим схемой на А к, к = 1, 2,... ,р:
- • к 1 ví+k . i. £ J + £ . 1 I - к — з
у- р +
"J+к / £
=1
а .+ ^—о а . + ^—^^ . р
е р — е р I yj
)
J+ ^ _L Í1 _ ,-r. \n,j+kr, 1
=л kivklf+r +(1 — Vk )y3
3 + -
J i y
+ <fk
x e ш^,
(3.5)
j+-1
i+ —
V 'p hh,k = V p, j = 0,1, jo — 1
y(x, 0) = Uo(x),
где ак — произвольные параметры,~ множество граничных по направлению хк узлов,
х e шн
{
Xi = (i íhi,..., iphp) eG, ik = 0,1,...,Nk, hk =
Nl
}
Щ
s — 1 yp — y p
T
P
л k]f+kp = Xk
( +p\ P I
+
r+ = 0.5(Tk + |Tk|) > 0, r- =0.5(Tk — |Tk|) < 0, 6+ = ^, b- = ^f, n = r+ + r-,
Ухк P + bk akVxk p — dkV> v, ak = ®k (xi-1/2, t),
Xk
+
o k k Ok
к к
dk = Qk (x,t), V3+p = fk (x,t), ^ =V (x, t) , t = f+1/2, к =1, 2,... ,p
4. Погрешность аппроксимации ЛОС Перейдем к изучению погрешности аппроксимации (невязки) локально-одномерной схе-
мирует уравнение (2.6), но сумма погрешностей аппроксимации ф = ф1 + ф2 + ... + фр стремится к пулю при т и |к| стремящимся к пулю.
1
o
i
к
Будем считать ак = 1, к = 1, 2,... ,р. Пусть и = и(х, Ь) — решение задачи (2,6), а у3+к
решение разностной схемы (3,5), Характеристикой точности локально-одномерной схемы
к
является разность у:+1 — = г:>+1. Промежуточные значения у3+1 будем сравнивать с
уравнение (3,5), получим
и р = и [х, к I, полагая г р = у р — и р. Подставляя у3+р = г р +и р в разностное
- ¿+к + ~Втг3+к = Л кг3+Р + фк1+к, (4.1)
р 1 р
к
кк* = 0, Ах, 0) = 0} (4.2)
где
Р 7 j+" , ^к 1 Рр+ ( - Н+ к" -Н+к-'+Л Р £ ^к
фк р = Лки р + <рк р--> [е 3+ р — е 3+ р ир--и
к -~тук ) 1 р*
и ^+к / к, к , \
и j + Р - " 3 + — - " 3 + к —В + М Р
Втг р = У I е 3+ р — е 3+ р I г".
8=1
еди 1 У+ к Л
° ( £ ди 1 \'
Вводя обозначение фк = Ьки + ¡к-------Ви и замечая, что ^ фк = 0, если
V рдЪ р ) к=1
р j+" ° *
¡к = Л представим фк = фк р в виде фк = фк + фк, где
к=1
фк = рл кП* к — Ь^2 ) + (,ГР — ¡1+2 ) — (к — р 2 ) — (^к — ^ )
Ясно, что фк = 0(Ь1+т), так как каждая из схем (3.5) номера к аппроксимирует в обычном смысле соответствующее уравнение (3.4). Таким образом, ДОС (3.5) обладает суммарной аппроксимацией
фк = 0(И2к + т), фк = 0(1), у^фк = 0,
к=1
ф = 5>к = £ рфк + фк) = ^-Фк = 0(\и\2 + т).
к=1 к=1 к=1
5. Устойчивость Л ОС
Для решения разностной схемы (3.5) с помощью принципа максимума [20, Глава IV, §2, п. 1] получим априорную оценку в равномерной метрике, выражающую устойчивость локально-одномерной схемы по начальным данным и правой части. Для этого решение задачи (3.5) представим в виде суммы
У = У + V,
где у — решение однородных уравнений (3.5) с неоднородными краевыми и начальными условиями
рj+к
4+кр +1У *^^ — ^) у" = лкуз+р ,
рУг р ¿1 V )Уь (5.1)
к к У3+р \1н,к = р, У(х, 0) = ио(х),
ями:
£ з+-
и i —
-Ьт
р
3 + к
-
+ -
1к,к
р + к
а 7 +к
— — е
а 3+
к-з + 1 р
)
= Л кУ 3+р + (к
3 + к
с/ I р
(5.2)
0, ь(х, 0) = 0.
Р = Р (хгк, ¿7-+ к) имеем
1 ( _ + 1 р - £ - \ + Х^как,г к+1 + ХЪк ак,г к + Ь+ ак^к+1
т\£+ ) + К + кк +
Ьк ак,гк кк кк
+ ¿к
к
Хгк ак,гк+1-3+к
~Угк+1 +
кк
Х%как,гк -3+ — ,
У гк-1 +
к к
ак,г к + 1-3+к
У гк-+1
к к
Ьк ак, г к - Э+к Уг,
к
к
к 1
1
+ -
-
а 1
£ + 1 - 2е а -+е
-
а 2
_з+к к
1
+ -
11 --¿1 --Т,2
а — о а — |
з р - 2е р + е
-
а 3
3 + к
-
Угк
_3 + к ^ к
(5.3)
+ ■ ■ ■ + -
--í . к —2 --^ ■ к — 1
е а 3+ — — 2е а 3+ р-
—к
I «7+к
+ е 7+р
1
+ -
--^ к — 1
а 7 + к—1
е 7+ р — е
—к
а 7+ к 1 р
к
В [20, Глава IV, §2, п. 1] доказан принцип максимума и получены априорные оценки для решения сеточного уравнения общего вида
А(Р)у(Р) = ^ В(Р)Я)у(Я) + Р(Р), Р е 0,
Qeт'(P) (5.4)
у(Р) = р(Р) при Р е Б,
где Р, Q — узлы сетки 0, + Б, Т'(Р) — окрестность узла Р, не содержащего самого узла Р. Коэффициенты А(Р), В(Р^) (5.4) удовлетворяют условиям
А(Р) > 0, В(Р^) > 0, Р(Р) = А(Р) - ^ В(Р^) ^ 0. (5.5)
Qeт'(p)
Обозначим через Р(х, Ь'), где х е ¿' е ш'т узел (р + 1)-мерной сетки 0 = шь х ш'т, через Б — границу 0, состоящую из узлов Р(х, 0) при х е и узлов Р ^х, при
к е шТ и х е для всех к = 1, 2,... ,р, ] = 0,1,...,]0.
3+ р
Видно, что коэффициенты уравнения (5.3) в точке Р = Р (х^, к ^ удовлетворяют
условиям (5.5) и Р(Р) = 0.
Из теоремы 3 [21, глава V, дополнение, §2, п. 2] следует, что для решения задачи (5.1) верна оценка
(5.6)
^ Ыс + птах. И^(х,^)Ис1
0< Р^зт
где И^Ис = тах |^1, И^Ис7 = тах 1
3+к , р
Т 7+к —
Лкгт р + (Рк
.3 + к ^ р
(5.7)
з+к
р
|7Й,к = 0, у(х, 0) = 0,
где
(к
,з+-р
3 + р 1 ( р--
РЗ+к-1
]+к-1 / =1
а ^7 + к_^ 1 ^7 +
р
к-з + 1 р
^.
р
1
0
Уравнение (5,7) приведем к каноническому виду
~{е + 1 — е - *
+ Хгк ^к,г к + 1 + Хгкак,г к + Нак,гк + 1
К Як,
к
Ч
ьк
j+к
з+к
гк+1 +1 + Хгкак , к гк - 1
Ьк
Ь+а
Ь
к
Ь
+ <1к
к
з+"
п р к
+
к
к, гк+1 3+к к гк+1
к- к
Ь
Ь к
• ^ к
+ ф( рз+-),
1
где
, ч 1 ( ( к-\2\ 3+ _З+к
ф(РЗ+-)=1 \ £ + у1 — е-к-р) ) р + Щ[р
( - Ьч - Ь* Л
I е р — е р I '+к—2 / к к \ / — к \
к- 3 + к 1 - ^- - ^Л з+ к-2
Щк =Щк +~\е Р —е Р ) 1 р^-2 ,
1 x ^ / ь6- , к — в ь1 ■ , к — в+к
Т Э=1
Проверим выполнимость условий теоремы 4 [21, глава V, дополнение, §2, п, 2]
Б'(Р(к) ) = А(Р(к))— У В(Р(к),Я) = + 1 — е-Ь-) +4
^1 (е + 1- е-Ь- ) > 0,
Яет'к (р )
где
Р(к) = Р(х,гз+ к), А(Р(к)) > 0, В(Р(к),Я) > 0 доя всех Я е Т^Я е Тк.
р
Тогда получаем
£ В(Р(к),Я) = ^1(£+(К1 — е-Ь-)^ > 0,
дет 1
2
£ + (1 — е а-
Е В(р(к),я) = —р—п^ ^1
(Р(к)) дети ' £+(1 — е-Ь-
(5.8)
где Ту , чч = Т'к + Т'к-1, Т'к — множество узлов Я = Я(С, Ьк) е Т(р(х^к)),
Х* 3 + р
пх
Т'к-1 — множество узлов Я = Я(С, ^к-1) е Т(р^^
На основании теоремы 3 [21, глава V, дополнение, §2, п, 2], в силу (5,8) получаем
к £ + — е
к п- 3+ к ^ I 1 -»- ^ I к_к
к \\с ^ -тт\\Щк Р \\с +-^-тЛ— \\с. (5.9)
£ + 1 — е а - £ + 1 — е а -
7 + к
Оценим ||(к+р Ис, где
_?' +к 7 +к 1 / - - ^Л з + —
—^ 1 р р I I а 1 а
(к р =(к р +-\е р - е р у
( - - ^¿2 Л
I а 1 а — \
I е р - е р I
'+к , 1 -«^ - - Л 0 (5 10)
=(к р +— I е 7+ р - е 7+р ) ь°к \O.JLVJ
+ 1 ^е- "^ - 2е- "1 + е-°^ иг{ + ■ ■
/ -о -I -1
1е р - 2е р + е р
Так как выражения, стоящие в круглых скобках положительны, то из (5,10) получаем оценку
•+ к ■+ к 1 / И(к р Ис ^ И(к р Ис + - е-" р - е-тах. тах 2 К +р Ис. (5.11)
Т \ I 0^3'<з 0^«^ к-2
С помощью (5.11) из (5.9) находим
т „ з'+
тах тах ||г> р||с ^ тах тах ||г> р||с +--гг тах тах р||с. (5.12)
<з 0<8<к 0^' <;/0<8<к-1 £+1_ е-й р к
Просуммировав (5.12) сначала по к = 1, 2,... ,р, затем по ]' = 0,1,...получим оценку
к+1с ^ и ^°ис + £ т++— е 0тад и/+р ис, (5.13)
А—' £ + УТ А—' 0^«^к =0 к=1
где у = ^р.
Из оценок (5.6) и (5.13) следует окончательная оценка
/+1Ис^иу0Ис+птах мх/эис, + Т.-+— £тхи^Ис. (5-14)
7+ 7'=0 ' к=1
Таким образом справедлива
Теорема 5.1. Пусть выполнены условия (2-4), тогда локально-одномерная схема (3.5) устойчива по начальным данным и правой части, так что для, решения задачи (3.5) справедлива оценка (5.Ц).
6. Равномерная сходимость ЛОС р
Чтобы использовать свойство ^ фк = 0, фк = 0(1), представим, по аналогии с [20,
к=1
Глава IX, §3, п. 8], решения задачи для погрешности (4,1)-(4,2) в виде суммы
7 + к
Z(к) = Щ) + 'П(к), г(к) = г р,
где г](к), к = 1, 2,... ,р определяется условиями
к Р3+к , 1 1 ч
^ '+к ^ 1 ^ ( е - "Ь]+- ^ "Ь]+) ^р ~ 8=1 ^ '
РЪ р +р1^{в а'+ р -е р )Г]-р =фк, х е шь + Уь,к, (бл)
( х, 0) = 0.
( к)
е з+к 1( -к~в -к-з+к\ - ~ ~
ру3+- +1 ^—еа'+= л * (к) + фк, (6,2)
к)\1кк = — V(.к), v(х, 0) = 0,
где фк = фк + Л к 'П(к), фк = 0(Ьк + т).
Покажем, что г/^ 1 = 0 ( —-— ) , к = 1, 2,... ,р, 3 = 0,1, 2,...,]0 — 1.
+ ^Т /
( = 2) = 0 рассмотрим первый слой (0,Ьх]. Тогда задача (6,1) примет вид
к
£ к 1 V—^ ( —к—8 —з+к \
2" ^ —е а ) =фк, к = 1,2. 2 2 =1
к = 1 ,
£ к 1 Л г \ к
2
При к = 2 получаем
£ к 1 / к т \ к о
2%2 + 2{1 — е-"V ^ =ф1. (6'3)
2V! + 1 (е-^ — е~1 — е-п! = ф2. (6.4)
Складывая выражения (6.3) и (6.4), получаем
£ к £ 1 1 р т \ к 1 р т т\ к 1 р г \ 1
2^ + 2'п1 + 2\1 — е " 3 %2 + 2 V а 2—6 ) ^ + 2\1 — е " 3 'п1 = 0.
Откуда следует
к т к
Из (6.3) находим
-1 т ( г Л к
Р а 2 Р а 2 — 1 'П 2 —
1 е У 1 '' е а 21Т'П2 (а ^ V =--тт-=--. (6.5)
£ + 1-е 2 £ + ^т
2 = ---кТф1 = ,Т _ф1 =--~^ф2 . (6.6)
а 2 - -
е + 1 — е "а 2 £ + ^т £ + т
Учитывая (6.6), из (6.5) находим г?1 = 0 ^^ , V1 = 0 ^)2) . Допустим, что при ] = п выполнено условие
т]к, Г]1, т]1+к,..., Г]п+1 = 0
Опираясь на допущение (6.7) покажем, что аналогичное условие выполнено и при ] = п+1. Для чего запишем уравнение (6.1) при ] = п +1, р = 2 :
к 1 2(п+1)+к , .
£-г]П+1+2 + 1 ^ ( е а+к+^ — е а^+к+'4 =ф>к, к = 1, 2. (6.8)
к = 1
Р 3 1 2(п+1) + 1 / к к X
-щ+3 + ^ ^ е а— е ап- = ф1 2 2 =1
Преобразуем последнее следующим образом
-- е '
- — ^ - е 1 — ^
е (»+1 )т
?72 + - е 12^
е ~«пт г]1 +
1
1 -
+ ^ е"а 2 +
1 -1 —
^ — е « 2
У1 - О+^рл )
Г]п+1
= ф1.
(6.9)
Рассмотрим отдельно содержимое квадратной скобки, тогда перепишем в виде:
(1 + ГгЫ|""+§к(
| г] п+31 ^ ( 1 -е 2 +
1 -1— / 1 1-е «2 > 1
п+1
тах ^^ / е
5СП+1
8=0
- ¿ет-
а
и, следовательно,
1 -1- , £
3 1 -е а 2 +--^ТТ / т \
^31 ^ ---£1-е " 2 тах ^ тах = 0 1—- .
1 2 5Сп+1 1 < 55Сп+1 \£ + У'Т )
1+
_1т
1-е « 2
(6.10)
Учитывая (6.7), (6.10), достаточную ограниченность коэффициентов при г/1, г/1 ,,.., г]'' находим 'цп+3 = О
+
Положим теперь в (6.8) к = 2,
2> 'п+2+2
2п+4 =1
1. , 2 — з
е "а *п + 1 +
2 - е 1 Ьп+1+3 2 ^ п^з = ф2,
тогда
- е * 2 ^
" I 1 - е
- Ъ 2(п+1)т ф
(1 - е « 2 )е + (1 - е « 2 )е
- Ь (п+ 2 )т„1
-I . __1 — .__1 — ,
г]1 + ... + (1 - е а 2)е « 2'ц
1
1 -
+ М _ е - а 2 +
1 -1 —
1-е & 2
3 - О + ГтЬ)
п+1
п+2
= ф2.
(6.11)
Складывая (6.9) и (6.11) с учетом равенства ф1 + ф2 = 0, получим
- 1{1 - е '
(1 - е -«- е-е--(п+2)тг]2 + - е-е--птг]1 + ...
1
1 -
+ 1 - е - а 2 +
1 - е -
1п+1 - е^тг]п+ 2 - 11 +
(1 + Г^)
\ 1 - е & 2 /
п+2
0.
Тогда из (6.12) получим
ц2, т]1, г]п+1, г]п+ 2, ??п+2 = О
(—)
+
(6.12)
+
гично можно показать, что
(6.13)
анало-
0
(-4
+
к =1, 2,...,р, 3 = 0,1,...,30 - 1.
3
2
1
Для оценки решения задачи (6,2) воспользуемся теоремой 5,1:
у+1\\с ^ тах \\/+р||с7 + Е тах * 11с. (6-14)
р^ 1 У=° 1 к=1
__¡¡)4и
Если существуют непрерывные в ЯТ производные ^ , к = и, то
охгкох2
Л к г](к) =--—ак Л к (фк+1 + ... +ФР) = О ( —-— )
т + £ \£ + гут )
ак — известные постоянные.
Тогда из оценки (6,14) находим, что
Ь »Чс = М[ —!— + У—?— Т (кк +
11 11 + ^ + 1тк=1\к £ + 1т))
т , РЬ (ъ.к , т
М — + кк +
£ + 7 Т £ + 7 Т \ £ + 7 т
кк т \ ,
^ М--+ --— , к = тах кк.
\е + т ( £ + т)к) ык<Р
Откуда получаем
И^1 \\с < \\с + Цу'+Чс = О + (^к) .
Итак, справедлива теорема
Теорема 6.1. Пусть задача (2.6)-(2.8) имеет единственное непрерывное решение в ЯТ при всех значениях £ и существуют непрерывные в Ят производные
дки д4и д3и д2!
ддх2кдх1) дхкдЬ' дх2к'
1 ^ к, V ^ р, к = и, а > 0,
и выполнены условия (2-4), тогда решение разностной схемы, (3.5) равномерно сходится к решению дифференциальной задачи (2.6)-(2.8) со скоростью
+ , кк = 0^. т = о((е + тУ) ,
а > 0
7. Постановка начально-краевой задачи с условиями специального вида Вместо краевых условий (2,2) рассмотрим условия вида д(вких,) . .ди
^ = *-к(х) т
вк ихк + а хк) =р-к (х) — к (х, ¿), хк = 0, 0 ^¿^Т,
- ^вкихк + = Р+к(х)^ии - ^+к(х, 1), хк = 1к, 0 ^ г ^ Т,
где
0 < с° (х) ^ С1, Гк(0,1) > 0, Гк(1к, I) ^ 0, (7.2)
3-к = ¡3(0, х'), Р+к = 3 (I к ,х), ^-к = ^(0,х', Ь) ^+к = 1к ,х', Ь) — непрерывные функции.
Подобные задачи для пеевдопараболичеекого уравнения возникают в практике регулирования солевого режима почв, когда рассоление верхнего слоя достигается сливом слоя воды с поверхности затопленного на некоторое время участка [8, с, 233], Если на поверхности поля имеется слой воды постоянной толщины h, то на верхней границе с
дс дс д2с
учетом фрактальноети почвенной среды следует задать условие h— = D——+ А———,
at ox otox
D
A,h = const > 0,
Преобразуем условия (7,1), тогда умножив обе части (7,1) па —еit, затем заменив t на
a
ди
6 k (х, t) — = B-fc и — Ц-к (х, t), хк = 0, 0 ^t^T, ди
— 6k (x, t) = B+k и — ц+k (x, t), Xk = k, 0 ^t^T,
(7.3)
где
г
В-ки(0,х',0 = ЫМ Г р~^('-)ди(0,х>,()<Ц,
а д
о
г
п (1 ' Р+к(1 к,х') [ -1 и - )дип ' С\ЙС
В+ки(1к, х , €) =- е -( — (Iк, х , €)<]£,
а д
о
г
]1-к(0,х', Я = 1 е-«(<-)/1-а(0,х', тШ + е-« Ок(х, 0)и'(0,х'),
- а - 0
о
г
Д+к(1,х, г) = 1 е- «()д+а(1,х', 0<]£- е-« Ок(х, 0)и'0(1,х'). а0
о
В той же области вместо задачи (2.3), (2.5), (7.3) рассмотрим задачу с малым парамет-
ди£
Ок(х, ^д— = В-ки£ -Д-к(х, хк = 0, 0 ^ £ ^ Т, хк
ди
— 6k (х, t) — = B+k и£ — ц+k (х, t), Xk = k, 0 ^t^T
где е = сопэ t > 0.
Покажем, что и£ ^ и в некоторой норме при £ ^ 0. Обозначим через г = и£ - и и подставим и£ = г + и в задачу (2.6), (2.8), (7.4). Тогда получим задачу (2.9), (2.11) с граничными условиями
д2
Ок (х, ^ — = В-к2, хк = 0, 0 ^¿^Т,
ди (7'5)
- Ок(х, ^ д— = В+к5, хк = 1к, 0 ^ £ ^ Т. д хк
С учетом р
р г дх ^к р [
Ок (х, Ь) х—— [г(1 к ,х', Ь)В+кг (I к ,х', Ь) - г(0,х', Ь)В-кг (0,х', ¿м йх'
к=1^' дхк 0 к=1^'К ;
г2(1 к,х', I) + Р-к(0,х,) ¿2(0,х', ¿Л йх' а
Е
к=1 '
/ Р+к (I к ,х)
+ е2М1
д
д х
+ 1 15 1 I 0) +М,£2 / (| 110 + и 5"2)
+ 20 < ,
повторяя рассуждения (2,13)-(2,24), из (2,13) для решения задачи (2,9), (2,11), (7,5) получаем оценку
Ф 1 I 0 + /'( I 1 5 I 1 2 + |Ц |0)
йт ^ М3
Л I / I I 0<г = е2Мз 00
д и
«т.
(7.6)
Из априорной оценки (7.6) следует сходимость и£ к и при е ^ 0 в норме
I I ^ I I 1 = £\\^ I I 0 + 1 I ^ I I к +
д х
если иг — ограниченная, достаточно гладкая функция. Поэтому при малом е решение задачи (2.6), (2.8), (7.4) будем принимать за приближенное решение начально-краевой задачи для многомерного псевдопараболического уравнения (2.1), (7.1), (2.3) .
8. Построение локально-одномерной схемы
На каждом полуинтервале А к = к—1, к
к = 1, 2,... ,р будем последовательно
решать задачи
к $(к)
+ - В$(к) -Ь $(к) -/к = 0, х еС, 1е Ак, к =1,2,
О к( х, )
( к)
д хк
- О к( х, )
( к)
д хк
В-к(х, £)$(к) - Д-к(х, Ь), хк = 0, В+к(х, £)$(к) - Д+к(х, Ь), хк = к,
(8.1) (8.2)
полагая при этом
$(1) (х, 0) = щ(х), $(1) (х, ^ ) = $(р)(х, ^), 3 = 0,1,..., 30 - 1,
$(к)(х, г.-+ к—1) = $(к-1)(х, *.+к—1), к = 2, 3,... /р.
р р
Будем называть решением этой задачи при Ь = ¿.^функцию $( tj+1) = $(Р)( tj+1)■
А к :
(8.3)
к р + к ¥р + 1 £
(
а 7+к — з а 7+ к — з + 1
р р
)
к к 1 --Лк[°кУ'+-Р + (1 )У3+
\ з+к )+(к р,
х е шь, к = 1, 2,
з+к
р
ак1к)уХ+00 = В-ку0'р - И-к, хк = °
3 + к
р
(-к) •? +к _ и " ' р ~ — 1
- ак Ухк,мк = В+кУмк - Д+к, хк = 1к,
у(х, 0) = и0(х), к = 1, 2,
(8.4)
(8.5)
(8.6)
2
0
2
0
2
р
где
в-к У°
з+- _ 3-к (0,х) р+к ( -К., к— -ОаК, к-,+1
з+- 3+к (Iк ,х)
Е
=1
/ч рз+к
а к—8 а 9+ к
р _ р
ч,°'>
В+кУмк к р + к
Р
Е
=1
3 + к
р — е
.+ к — 8 + 1
3 +
-3 + к к
р + к =°
а 1+ к—8 а 1+ к—
р р
) атк {х, Ц)
ц) те а4-в°ки°(х).
О(к к).
до О(кк) на решениях уравнения (8,1) при каком-либо к. Так как
вк ^ = ¿'к I
дх,
к
к1 кЧк)хк- 0.5кк (+ рВ&(к) - Гк(х, г)+ Як(х, Щк) - + О(кк),
то
(ак1к) + 0.5ккГк,°) #
(- РЗ+к
- V
Р^1
3 + -р
хк,°
р — е
а**+- а**+к—+1) Щ - 0.ькк-$г + ц_к(х, к - !к
)
(8.7)
+
В-кр -а-к + О№) + О(ккТ).
В (8.7) отбросим величины порядка малости О(кк), О(ккт), тогда после замены $(к) получим
0.5к
к л 3+-
0.5кк~Ш,° + ВтУ° р = а(к1к)у3х+к - А-ку°+ к - В-ку°+ к + а-к.
хк = к
е 0.5кк з+к
0.5кк-Угм +-ВтУмк
р р 1 к
-акМк)Уз+кк - л+кУщ - В+кУщ + а+к
(8.8)
(8.9)
где
(°)
ак1к) = ак1к) + 0.5ккГк,°, акт = акЩк) - 0.5ккГк1к, а-к = 0.5ккАк А+к = 0.5ккАк1к), а-к = а-к + 0.5кк1'к,°, а+к = а+к + 0.5кк1'к,мк.
Итак, разностный аналог задачи (2.6), (2.8), (7.4) имеет вид:
-
-уг + 1Вту3+'р = Л ку3+р + Ф у(х, 0) = и°(х),
з+к р
к = -, 2,... ,р,
.10) .11)
где
Лак
ЛкУ = Хк(акУхк )хк + ъ+4+^Ухк + ьк акУхк - АкУ, хк е шНк -
0.5кк -
, 0.5кк
, = а<кк)Ухк- А-кУ° - В-ку° х
Лк У — п п. , хк — ^
Л+У = -
0.5кк
акк) У^к ,1к + А+кУмк + В+кУМк 0.5к к
хк = к
р
1
а
р
р
1
1
к
к
Ф
( к)
(к, хк е шЬк
Д-к
0.5кк: Д+к 0.5кк''
хк хк
0, к.
9. Погрешность аппроксимации ЛОС Рассмотрим погрешность краевых условий разностной схемы (8,8), (8,9), обозначив че-
о | к л | к ^ I к
рез г р = у р - и р, Запишем граничное условие при хк = 0 следующим образом р 0 5кь 7 +к (Л \ 1 +к — 7 +к 7 +к
0.5кк-уь,0 + ВтУ0 р = ак1к)уХкр - <-кУ0 р - В-кУ0 р + 0.5кк/к,0 + Д-к. (9.1)
к к к Тогда, подставляя у3+р = г3+р + и3+р в (9,1), получим
05Ь£ 7 +0.5ккВ 3+кр (1к)з+кр < 3+к В 3+р < з+кр В 3+к
0.окк~г1А +--Втz0 = ак г 0 — ¿-кг0 - В-к- «-ки0 - В-ки0
р р к'
к к
- 0.5кк-щ,0 - кВти0 р + ак к иХкР0 + 0.5кк1'к,0 + Д-к.
£и 0.5ккп „ 3 +к , ,(1к)„,з + ;~Щ,0--
К правой части полученного выражения добавим и вычтем
е 1 У+
-иг--Ви
Р Р ) 0
Тогда
о ( £ 1 V
0.5кк ф-к = 0.5кк Ьк и + /к--щ--Ви
-
( £ з+к 1 з+(1 ) з+к — з
ф-к =0.Ъкк\ ¡к,0--щ0р--Втщ р + ак к)щ.к 0 - й-кщ
V р ' р ) к'
3+к ( £ 1 У+2 °
- В-к щ р + Д-к - 0.5кк\ Ьк и + /к--Щ--Ви + 0.5кк ф-
- к 0 - к к к к 0 к -
_к / £ 1 У + 2
р 1 " к - 0.5кк Ьк и + /к--щ--Ви + 0.5кк 'ф-к
к к к к 0 к - к
(1 ) 3 +к - 3 +к 3 + р ] +1 °
=а к к)ихк,ро - «-кщ р - В-кщ р + Д-к - 0.5кк (Ьки)0 2 + 0.5ккф-к + 0(ккт) "к^ + 0-5кк^ (вк^)'+1 + 0.5*^1 - 0.5кАг'+к " ■
ди3+р д{ диУр (0) з+к з+р я
-Ок дхк + 0.5ккд^ ( Окдхк) + 0.5ккГ% 'ихк,0 - 0.5ккйк,0и0 р - В-кщ
/ д / ди \ ди У+2 о
+ Д-к - 0.5кк ^^ (^Окд^) + Гкдх~к - 1ки^ + 0.5ккф-к + 0(кк) + 0(ккт)
к
к
дщ+р з+к
Ок~дх--В-к щ р + Д-к
+ 0.5кк ф-к + 0(кк ) + 0(ккТ).
хк =0
В силу граничных условий (7,5) выражение, стоящее в квадратных скобках, равно нулю. Поэтому
ф-к = 0.5кк ф-к + ф-к, ф-к = 0(кк + т) + 0(кк т).
Итак,
£ 0 5кк 3+к • к о *
0.5кк-гг:0 + —-Втг0 р = к + -ф-к, -ф-к = 0.5ккф-к + ф-к. (9.2)
р р
Аналогично при ха = 1а имеем
£ 0 5кк ]+к ■ к о *
0.5кк - + —-Втг14кр = Л+г3+к + ф+к, ф+к = 0.5кк ф+к + Ф+к,
р к
р
Фф±к = О(1), ЕФ±к = 0, Фф±к = О(кк + т) + О(ккГ). к=1
Таким образом, для погрешности - получаем задачу:
- к + -Вт^+к- = Лк^+к- + Фк+ к, р 1 р к
г(х, 0) = 0,
где
Лак =
Лк, хк е , -
сЖ хк = 0
-
0.5к
-Л+, хк = Ь
'фк, х< е шНк, Фк = ^ ф-к, хк = 0, Ф+к, хк = 1к,
(9.3)
(9.4)
(9.5)
фк = О(1), У фк = 0, ф = ^фк = = О(\к\к + т), фк = О{ккк + т)
к=1 к=1 к=1
р
ф±к = О(1), ф±к = 0.5кк ф±к + ф±к, ф±к = О(кк + т), уф±к = 0.
к=1
10. Устойчивость Л ОС
Для решения схемы (8.10), (8.11) получим априорную оценку в сеточной норме С, для чего (8.10), (8.11) перепишем в виде
£ з+* -
р щ р + -
- р + к * 5 V
=ХМ акУхк р )
а ^ п + к_8
е р — е
а + к — " + 1
)
У(
+ ъ+а(к1)ухкр + К акУхкр - АкУ3+р + ч>к
3 + к
с/ I р
3 + р р
,з+к ^, ¿+к
х< е шНк
хк
£ з+р -
-А°р + -
- р + к р5 V
а 1+ к — Я а 1+ к — Я + 1 I р
е р - е р | ур°
)
ак Ухк- А-ку° - В-ку° + а-к
0.5кк
р3+к / _1.
,.'<■ к —Я а1; + к —8 + 1
£ з+к -р
Уш +
р + к £
5=1 4
а п+ к—8 а п+ к
р р
0.5кк
Я
у?!
)
з+р р
акМк)у'х+к + А+кУмкр + В+ку!кр , а+к
+
(10.1)
(10.2)
(10.3)
0.5кк ' 0.5кк
у(х, 0)=и°(х). (Ю.4)
Исследование устойчивости разностной схемы (10,1)-(10,4) будем проводить с помощью принципа максимума [21, глава V, дополнение, §2, п. 2]. Получим априорную оценку для (10,1)-(10,4), для этого решение задачи (10,1)-(10,4) представим в виде суммы у = у + V,
р
где у — решение однородных уравнений (10,1) с неоднородными краевыми условиями (10,2)-(10,3) и однородными начальными условиями (10,4):
£ з+к 1
- а р + -
р3+к / 1, 1, \ з
у I е 7+ р - е р ут 8=1 ^ ' ( 3 | к ^ / \ 3 | к ^ + к
=Хк1 акУтк Ч + Чак+ Ухк р + КакУхк р - «ка
хк
(10.5)
'3+р, хк ешНк,
неоднородными начальными условиями (10.4):
е з+к
1
+ -
Хк
р + к 8=1 4
__1 у. __1 у.
а17+ к— а 7+ к — з+1
р р
)
+ Ь+ак+^у,.
3 + к
р
3 + р
р
- ■> 1 7+к
хк + Ъ- акУтк р - «кV' р + (к
3 + р
р
(10.6)
хк е шНк.
хк
Получим оценку для у. Для этого граничные условия уравнения (10.5) приведем теперь к каноническому виду в точках Р = Р(х0, к), Р = Р(х-к, ti+ к) и проверим, учитывая положительность выражений, стоящих в круглых скобках, выполнимость условий теоремы 3 [21, глава V, дополнение, §2, п. 2].
В точке Р = Р(хгк, к) имеем:
А( Р)
1 (£ +1 - е - Ь р ) + Хгкак,г к+1 + Хгк ак,г к + К ак,г к + 1 _ к +
г' / кк кк кк к к к
В(Р Q) =\ Хгкак,гк+1 , к+1 . Х^Мк ^^гк ,
\ кк
+
к
к
кк
к к
1 1
е+^1 - е ир^
-
е а р - 2е а р + е
- ^2
а 2
-
а 3 р
1
- Т.1, , к —2
7 + к
^ -2е
- , к —1
7 + к
р + е
--1 к
а 7+1
1
--^ к—1 -
а 7+ к—1 а 7 +
е 7+ р — е 7+
--Ь к
р
0(Р) = «к > С0 > 0, а в точке Р = Р(х0, к) имеем:
> 0,
}
> 0,
А( Р)
В (Р^)
-[£ + 1 - е "
1 — а р
+
он
0.5кк
+
- е а р ^
Р-к
0. 5к к
+«к0)
> 0,
(1 к) 1_к_.
0.5кк.
_^ ар
1 А 2 , Р-к
а р | +
0.5к к
_1 ^ 2
1-е а р
- е и
2
+
Р-
0. 5к к
к -1— ( -1 — \ '
е ар (1 - е ар 1
1 - ^
—е
к—2 р
1 -1Л2 , Р-к -Н+к—2
1 - е а М + -тг^-,—е 7+ р
0. 5к к
1--^ к — 1
-1- а 7+ к—1 _ 3 1 р
1 -1Л2 . Р-
1-е ар) +
0. 5к к
--£ к — 1
а 7+ к—1
| р
1
1
.1 ^ 2
а р
.1 ^ 2
а р
}
> 0,
р
1
1
1 т
D(P )
ru
> r-k
2 со
0.5hkœp 0.5hkœp lkp
в точке P = P(xNk, tj+k ) имеем:
A(P )
В (P, Q)
1/ ч âkNk )
rh1 — e-a 0+ôkf
( -
+ ( 1 — e a p
r,(Nk ) l_k_.
0.5hk.
e 1 / -1 2 r+k
t t V / 0.5hkr
r+k + ANk ) 0.5hkr + ûk
_1 2'
1-е a p
0.5hkr
1 - / -\2 r+k - ( -\2
—e a p 1 — e +--e a p 1 — e a p
t \ ) 0.5hkT V )
1 - ati+ k—2 —e p
1 — e a M +
r+k -ati+ k— e p
0.5hkr
1-е ap
1 - kt
—e
— t k — 1
a ,+ k—1 p
1 -1 Л 2 I r+k a-j + 1 — e a p + тт^;—e p
D( P)
r+k
+ d
( Nk)
>
Г+k
0.5hkr
2 c0 > > 0.
- a-i,,k—i / _i-N2
1 a p
î
> 0,
0.5hkap ' k 0.5hkap lkp
Таким образом, иа основании теоремы 3 [21, глава V, дополнение, §2, п, 2] для у получаем оценку:
У+1 Ile ^ M max (I\â-k (x,t')\\Cl + \\â+k (x,t')\\Cl ) , (10.7)
0 i i,
где M = const > 0, h = max hk, \\y\\C = max lyl, ЦуЦс:,, = max lyl.
Таким образом из оценок (5.14) и (10.7) следует окончательная оценка У+1 \\с ^\\«0\\c + M max (\\â-k(x,t')\\n + \\â+k(x,t')\\n
0<t %jT
p
+ > - } max \\^k
j'=0 1 k=1
■E
j'+p
(10.8)
C.
Таким образом справедлива
Теорема 10.1. Пусть выполнены условия (2-4), тогда локально-одномерная, схема (8.10), (8.11) устойчива по начальным данным и правой части, так что для, решения задачи (8.10), (8.11) справедлива, оценка (10.8).
11. Равномерная сходимость ЛОС Представим решение задачи для погрешности (9.4), (9.5) в виде суммы
j+k
Z(k) = V(k) + V(k), Z(k) = Z-где rj(k) определяется условиями (6.1), a функция V(k) определяется условиями
e j+p ~vt
+ -P
p + k
a ^ , + k_£
e p — e
a S-+ k—+
)
v^ = Л k v(k) + Ф, xk euhk
0.5hk£ j+k , 0.5hkP+
+
=
-it -1t
a ,+ k — s a ,+ k — £+1
p p
)
Л- V(k) + Ф-k, xk = 0,
(11.1)
(11.2) (11.3)
2
2
\
p
v,_,p + е-_ е-И+^ vf = к+кЧк) + ф+fc, = h, (1L4)
P S=1 ^ '
p 1 p
v(x, 0) = 0, (11.5)
где
Ф±к = Л±Щ) + Ф±к, Фк = Ф + ЛкЩк), Ф = 0 {h2k + г) , Ф±к = 0 {h2k + г) .
Для оценки решения задачи (11,2)-(11,5) воспользуемся Теоремой 10.1 с учетом rf+f =0( ), к = 1, 2,...,р, 3 = 0, 1,..., Зо _ 1:
К+1||с ^ М max \W'+р ||с7 + V —V max ||Ф'"+f ||с. (11.6)
j p^j 1 у=0 1 к=1
Если существуют непрерывные в замкнутой области Qт, производные д2и д4и д3и д2f ]_ < д. <
dt2) дх2кдх2) дхкдЬ' дх2к ^ ' ^ ' '
то
ЛкЧк) = _ j+^акЛк (фк+1 + ... + ФР) = ^) , Л±Щк) = 0 (^) ,
где ак — известные постоянные,
Тогда из (11.6) получим ll^+Mlc ^ М (--+ --— | , h = max h.. Следовательно,
\т + £ (т + е)2) ЫЫР
h
+
Р*+Чс < h*+Чс + Ь3+1 ||с = о(
\т + £
Т + £ (Т + £)2
Итак, справедлива
Теорема 11.1. Пусть задача (2.6), (2.8), (1-4) имеет единственное непрерывное решение и(х, г) в QT при всех значениях £ и существуют непрерывные в Qт производные
д 2и д 4и д3и д2!
дt2) дх2дх1' дхкдЬ' дхк'
1 ^ к, v ^ р, к = и, а > 0,
и выполнены условия (2-4), (7.2), тогда решение схемы (8.10), (8.11) равномерно сходится к решению задачи (2.6), (2.8), (1-4) со скоростью
о(4- + , h = о(т + £), т = 0((т + £)2),
\т + £ (т + £)2 J
а > 0
=
а > 0 с учетом (2.24), (7.6) равномерно сходится к решению соответствующей исходной за,дани со скоростью О ^^ + т1-2& + где 0 < 8 <
Замечание 11.1. Полученные результаты справедливы, и для, случая, когда, G представляет собой область сложной формы, удовлетворяющую 2-м, условиям из [20, глава IX, §3, п. 5], тогда, оценки (5.14) и (10.8) соответственно будут принимать вид:
ь *+Чс ^||ио||си^х,*
О <. ь ь j
^И с v- г ^ „Л f,, (11J)
+ max--+ у - > max тк f ||с,
j 1 з'=о 1 к=1
+1 \\с ^\М\с + М тах {\\а-к (х, 1')\\с, + \\а+к (х, ¿)\\с,)
°<1 ^ут
+ тах -- + У-V тах \\ф'к р \\с,
(11.8)
] 1 у=° 1 к=1
0з+к * 3+-
где фк р, фк р определяются условиями
03+к = {Фк, х е МЬ: * з+к = (фк, х е ШН,
Фк |0, х е шЬ, Фк |0, х е шЬ,
так, что фк + фк = фк при х е т.е. фк отлична от нуля только в приграничных узлах, со — некоторое связное подмножество множества ш, а со — дополнение со до ш, где
к = тах кк, \\У\\с = тах \УI \\у\\с1 =тах \у1 \\ф\\ с = тах\ф1 \\ф\\ с = тах\ф\.
ым~р хешн хе~(Н с хешк хеши
г
1,
Замечание 11.2. Оператор Ви = 1/е а( О щА^ при а = 1-1 переходит в дробную производную Капуто-Фабриция [30]:
К1„и е-*('- 0 <у< 1.
°
12. Алгоритм численного решения
Для численного решения дифференциальной задачи (2.1), (7.1), (2.3) выпишем расчетные формулы (0 < хк < 1к, к = -, 2, р = 2), для чего перепишем задачу (2.1), (7.1), (2.3)
ди д / . . ди \ д / . , ди
Ъ(хъхк, г)—)+—(вк(
дЬ дх
(ди \ д ( ди \
в1(х1,хк,ш,) + дхкУ вк(х1,хк,дххк)
д2 / ди \ д2 ( ди \ ди
+ашх; [в1(х1,х2, $ ^+аЖд^2 {вк(х1,х*, $ +Г1(х1,х*,дх; т)
д2 . . ди \ д2 ( , ди \ , ди
1(х1,х2, г)— I в2(
^ дх1) дЬдх2\ их2,
ди
+ Г2(х1,х2, --д1(х1 ,х2, 1)и(х1,х2, ^ - д2(х1,х2, Ь~)и(х1, х2, Ь) + /(х1,х2,1),
ох 2
^ ди д (в1их1) „ . .ди . ^
в1^~ + а у ' 1 =3-1(х,I)— -а-1(х,г), х1 = 0, 0 ^¿^т,
дх1 от оЬ
ди д (в1их )\ ^ . .ди , , ^
- (в! д— + а д, ) =3+1 (х, I)— -а+1(х, I), х1 = 1Ъ 0 ^Т,
^ х1 ' (12.2) ди д(в2их2) Й , лди , .ч п п^ + ^Т
в2 + а——— = 3-2(х, г)— - а-2(х, ь), х2 = 0, 0 ^¿^Т,
ди д (в2их2 )\ ^ . .ди . , ^
- 1в2+ а ^ х ) =3+2(х,г) — -а+2(х,г), х2 = к, 0 ^¿^т,
и(х1,х2, 0) = и°(х1,х2). (12.3)
Рассмотрим сетку
Т
хкк:к) = 1к кк, к =-, 2, =] т, %к = 0,-,..., Мк, кк = , 3 = 0,-,...,т, т = —.
Вводится один дробный шаг 1 = + 0.5т. Обозначим через у^ ¿р сеточную функцию
3+-р
3+-
р
Уч/2 = У3+р = У(ггЬ, г2к2, (] + 0.5к)т), к = 1, 2. Напишем локально-одномерную схему
3+
1,
з 1 2з+г
2 - у , 1 ^ ( --2—* -—2 -е
8 = 1
3+1
у3+ 2
1
+ 2
(■
2 +2 8=1 У
2 ^ Ут = л 1У3+2 + <Р1,
- м.
3+2
- м.,
^ у! =л 2У3+г + Р2,
(12.4)
3+2 У0,г 2
з+2
1, 2
3 +1
К11 (12к2, 1) Уг ¿22 + Дц(ъ 2к2, 1)
Ум_
3+1
= К12(г 2^2, 1 ) УМ1-1^2 +Д12(г 2^2, 1), К21(г 1Ы, гз+1)у3+1 + Д21(г 1Ы, Ьз+1), = К22(г 1Ы, гз+1)у3^- +Д22(г 1Ы, 13+1), ио(г 1Ы, %2,Ь,2),
+1 =
У ¿1,0 = +1 {У Ч, N2
1, 2
(12.5)
(12.6)
где
Аку3+р = кк(аку^+р) + Ь+а(к+1}уХ+- + Ь-аку + - ¿ку3+-, к = 1, 2,
V / с
х-
Рк
23+к-1
+ к- 1 =1
-М.
з+к——* _
-М.
з+
к —з + 1
)
/2 - е
- м
з+к
( 3+1 3+к—1 \
[У Х1Х1 + Ух2х2 ) .
Приведем расчетные формулы для решения задачи (12,4)-(12,6),
На первом этапе находим решение у3+£. Для этого при каждом значепии г2 решается следующая задача:
1,М2- 1
Л 3+1 3+2 | О 3+2 _ ТР3 + 2
Л1(г 1,12) У^-1, ¿2 — 1, ¿2) Уп, ¿2 + В1^ 1, ¿2) Уп + 1, Í2 = —
2, 1^1, Í2) ,
у0+2 = ки(г2h2, ¿7+1)уУ2 +Ди(г2h2, Ъ+1),
У+ъ = К12(г 2h2, 13+1 ) У^!-1^2 +Д12 (г 2h2, 13+1),
0 < Н < м1,
(12.7)
где
А
1^1,Í2)
(к1) 2 (а 0
¿1, ¿2
(Ь-)2 (а1)
1, 2
в
1, Í2)
(к1)ЧА2 (а1)Ч+1А2 , (¿1 А2 (а0¿1+1
+
2
h
1
£ 1 Т 1
1,¿2) = А1(г 1,¿2) + в1(г 1А2) +---+ ~ ^ - е-^Т^) + 22^
Т Т 2
1(Í1,¿2) ,
Г3+1 = —V
1( 1, 2) 1, 2
2
+ 1 (1 - е - Ж* 2 -
2 =1
-А ^ * е а ] 2 — е
- 1-ГХ - _ 1
у! 2),
кп(г 2к2,1) К12(г 2к2,1)
(«1)1,1
(«1)1, ¿2 + °.5Ь>1+13—1> ¿2
+ т
(- - е-£) +0.5к1 А+г2 +
°.5к1£
(«1) Ы1, г2
Ь1
(«1) Ы-
Ь1
+ а^у+м2 ^ - е -^ + o.5кlА+!;^2 + ^
ап(г 2к2,11+1)
а 12 2к2, 1 )
И-1(12к2, 1) + (- - е 2а) ^
^^ + а5Ь1+/_^2 (- - е -2а) + 0.5к1 А3+% +
2
1
-, 1_Я 2
Г12 Е ( е 2 -е а 3 =1
ч,°
(«1)1 ,
* + °.5Ь1+^—1,2 (- - е -2а) + 0.5^% +
Ь1 I т V- ^ 2а) 1 0.5к1А-1
0++1(г2к2, 1) + ^^ + ^ (- - е-£)
°.5Ь1£
1 ,г 2
(«1) 2 + °.5^1+0+1, ¿2
Ь1 + т
2.}
(- - е-2а) +0.5к1 (+% +
°.5Ь1£
^+^2 £ ( е-а2 -е а1—Я =1
ч, щ1
+ °.5Ь1+^2 - е-2а) + 0.5кгА3+% +
Для вычисления правых частей ап(2г2н2у а'т+(12^) на 3 + 1 -м слое необходимо учи-
тывать значения искомой функции у? 2з на всех предыдущих (нижних) слоях из-за елагае-
з+2
.3+2
2
=1
мого 2 ^ ( е а ^ я - е
-М.
У 2 ^ чт0 значительн0 увеличивает объем вычислений, даже
при малых разбиениях сетки. Во избежания этого, предлагается рекуррентная формула для быстрого счета, которая позволяет хранить на предыдущем слое значение указанной суммы, что по количеству операций не уступает двухслойной схеме.
Таким образом, при р = 2 па ] + 1 -м слое рекуррентная формула для быстрого счета,
например, для вычисления г1(2Д^ имеет вид
5+2
- (- - е 2а) ^+1 - у^ + е ,
где
5° = 0, 5+2 = ^ ВтУ'+
-
2
е 1 Ь3_ 2 _ е 11з+1_
)
ур
На втором этапе находим решение у{+12. Для этого, как и в первом случае, при каждом значении 11 = -,— - - решается задача
А2(21,22)У£+2-1 - С2(21,22)У1+2 + В2(21,г2)у£,1 + 1 = - ^2+1,22у 0 < ^ < — 'у1+° = К21 (г 1к1, к+1)У1+~,1 + а21(г 1къ tj+l), Х+12 = К22(г к+1)у3+2-1 +а22(г 1къ tj+l),
(12.8)
0
2
2
1 8
где
А
2(i i,i 2)
(■K2)i 1 ,i2 (a2)i h2
(b2 )г1,12 (a.2) i
h2
_ (к2)г!,i2 (a2)i!,i2+1 (b+)i 1,i2 (a>2)i 1,i2+1 B2(i 1,12) — -7Ъ--+
а
2(i!,i2)
h22
A2(i !,i2) + B
2(i !,i 2)
h2
£ 1 1 ,
+ - + -{1 -e 2 +2d2(tUi2),
TT" 2
F2+1 г 2) — ^ + 1 (1 CI +
M 3+1 1
e 2 1) ^ „-2 . 2
2 +1
8=1
2 — e
2 H/f + ьг2),
(a2)i Ь1 h2
K2l(lhlt]+l] ^ + °.5h2+T^ (1 - e-£) + 0.5h2diti, +
K22(ilhi, tj+i) —
(«2)i ь N2 h2
+ °.5h2+ß+2n ^ - e+ 0.5h2d+2]n + ^ ' TT (i h + ) + -.5h2£„j I ß-2
f. , , 4 ß~2(11h1, tj+1) +--
ß2l(l1h1, tJ+1) — {a2) -.5h2+ß-2,
ß-2(11h1, t+) + ^yiu- + ^ (1 - e"£) yl-
h2
1Д +
(1 -e"£) +0.5h2 d% 1 + ^
2
2 +1 2 +1
ß-2,ijL^ I 1tj-*
=1
Lt.. . 1 2 — e
a tj-1-f 1 у 2
t,i 1,0
(«2)
h2
i (1 - e -21) + 0.5h2d%1 + -
0.5h2s
T
ß22(i 1h1, tj+1) — J~j
ß+2(l 1h1, t+) + ^+
ß+2,i 1
(1 - e 2«) y:
h, N2
h2
1, N2 + 0.5h2+ß+2, i 1
(1 -e+0.5h2d++1 1 + ^
ß 2j+W lt 1 ^ £ ( e"äVf - e
--t . 1 — f
t,i 1, n2
^ -.5h2+ß+2„ 1 - e+ 0.5h2d++1,1 +
+--^-" I1 - е 2 а) + °.5И2и*-+2
На ] + 1-м слое рекуррентная формула для быстрого счета имеет вид:
1
&+1 — - е"21) (У+1 - у3+2 ) + е~2äS3+
где
SJ+1 — - Вт у^1 — -2 у 2
2 +1 =0
--1 . 1 —* --1 . 2—f
t
Каждая из задач (12,7), (12,8) решается методом прогонки [20, Глава I, §2, п.5].
13. Заключение
Настоящая работа посвящена исследованию начально-краевых задач для многомерного псевдопараболического уравнения с граничными условиями первого рода и специального вида. Для приближенного решения поставленных задач многомерное псевдопараболическое уравнение сводится к интегро-дифференциальному уравнению с малым параметром. Показано, что при стремлении малого параметра к нулю решение соответствующей модифицированной задачи сходится к решению исходной задачи. Для каждой из задач построена локально-одномерная схема A.A. Самарского, основная идея которой состоит в
1
1
2
сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению ряда одномерных задач по каждому из координатных направлений, С помощью принципа максимума для каждой задачи получена априорная оценка решения локально-одномерной схемы в равномерной метрике, доказаны устойчивость и сходимость решения. Построен алгоритм численного решения модифицированной задачи с граничными условиями специального вида, В виду того, что для определения решения на каком-либо временном слое необходимо учитывать значения искомой функции на всех предыдущих (нижних) слоях (при этом значительно увеличивается объем вычислений), предлагается рекуррентная формула для быстрого счета в многомерном случае.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Г.И. Баренблат, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина. Об основных представлениях т,еории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // ПММ. 24:5, 852-864 (1960).
2. Н.Н. Кочина. Вопросы регулирования уровня грунтовых вод при поливах // ДАН СССР. 213:1, 51-54 (1973).
3. Е.С. Дзекцер. Уравнения движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах // ДАН СССР. 220:3, 540-543 (1975).
4. М. Hallaire. Le potentiel efficace de I'eau dans le sol en regime de dessechement // L'Eau et la Production Vegetale. Paris: Institut National de la Recherche Agronomique. 9, 27-62 (1964).
5. R.E. Showalter, T.W. Ting. Pseudoparabolic partial differential equations // SIAM J. Math. Anal. 1:1, 1-26 (1970).
6. А.Ф. Чудновский. Теплофизика почв. M.: Наука. 1976.
7. P.J. Chen, M.I-'.. Curtin. On a theory of heat conduction involving two temperatures //J- Angew. Math. Phvs. 19, 614-627 (1968).
8. C.B. Нерпин. Энерго- и массообмен в системе растение-почва-воздух. Л.: Гидрометеоиздат. 1975.
9. В.З. Канчукоев. Краевая задача для, уравнения третьего порядка, смешанного гиперболо-псевдопараболического типа // Дифференц. уравнения. 16:1, 177-178 (1980).
10. В.З. Канчукоев, М.Х. Шхануков. Краевые задачи для, уравнений тепломассаобмена и их аппроксимация, устойчивыми разностными схемами // В сб.: Краевые задачи для уравнений смешанного типа и родственные проблемы функционального анализа и прикладной математики. 2, 143-150 (1979).
11. D.L. Colton. Pseudoparabolic equations in one space variable //J- Diff. equat. 12, 559-565 (1972).
12. B.D. Coleman, R.J. Duffin, V.J. Mizel. Instability, uniqueness, and nonexistence theorems for the equation ut = uxx — uxxt on a strip // Arch. Rat. Mech. Anal. 19, 100-116 (1965).
13. М.Х. Шхануков. О некоторых кра,евы,х задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения. 18:4, 689-699 (1982).
14. T.W. Ting. Certain non-steady flows of second-order fluids // Arch. Ration Mech. Anal. 14:1, 1-26 (1963).
15. B.A. Водахова. Краевая задача, с нелокальным условием A.M. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения. 18:2, 280-285 (1982).
16. М.Х. Бештоков. Метод Римана для решения нелокальных кра,евы,х задач, для, псевдопараболических уравнений третьего порядка, // Вестник СамГТУ, Серия физ.-мат. науки. 4:33, 1-10 (2013).
17. А.А. Свешников, А.Б. Алынин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит. 2007.
18. А.П. Солдатов, М.Х. Шхануков. Краевые задачи с общим нелокальным условием Самарского А. А. для, псевдопараболических уравнений высокого порядка, // ДАН СССР. 297:3, 547-552 (1987).
19. A.A. Самарский. Об одном, экономичном разностном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области // Жури. выч. матем. и матем. физ. 2:5, 787-811 (1962).
20. A.A. Самарский. Теория разностных схем. М.: Наука. 1977.
21. A.A. Самарский, A.B. Гулин. Устойчивость разностных схем. М.: Наука. 1973.
22. М.Х. Бештоков. Разностный метод решения одной нелокальной краевой задачи для, псевдопараболического уравнения третьего порядка, // Дифференц. уравнения. 49:9, 1170-1177 (2013).
23. М.Х. Бештоков. О численном решении нелокальной краевой задачи для, вырождающегося псевдопараболического уравнения // Дифференц. уравнения. 52:10, 1393-1406 (2016).
24. М.Х. Бештоков. The third boundary value problem for loaded differential Sobolev type equation and grid methods of their numerical implementation // IOP Conf. Ser.: Mater. Sei. Eng. 158:1, 12-19 (2016).
25. М.Х. Бештоков. Краевые задачи для, вырождающихся, и невы,рождающихся, уравнений Соболевского типа с нелокальным источником в дифференциальной и разностной трактовках // Дифференц. уравнения. 54:2, 249-266 (2018).
26. М.Х. Бештоков. Численное исследование начально-краевых задач, для, уравнения Соболевского типа с дробной по времени производной // Журн. выч. матем. и матем. физ. 59:2, 185-202 (2019).
27. M.II. Вишик, Л.А. Люстерник. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 12:5, 3-122 (1967).
28. С.К. Годунов, B.C. Рябенький Разностные схемы. М.: Наука. 1973.
29. O.A. Ладыженская. Краевые задачи математической физики. М.:Наука. 1973.
30. M. Caputo, M. Fabrizio. A New Definition of Fractional Derivative without Singular Kernel // Progr. Fract. Differ. Appl. 1:2, 1-13 (2015).
Мурат Хамидбиевич Бештоков,
Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН,
ул.Шортанова, 89а,
360000, г. Нальчик, Россия
E-mail: beshtokov-muratSyandex.ru
