Численное прогнозирование огнестойкости предварительно напряженных железобетонных конструкций Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

I

BADANIA I ROZWÓJ

dr inz. Szymon Ser$gaa)*

aPolitechnika Krakowska / Cracow University of Technology

*Autor korespondencyjny / Corresponding author: szymon.serega@pk.edu.pl

Numeryczna predykcja odpornosci ogniowej elementow strunobetonowych

Numerical Prediction of the Fire Resistance of Pretensioned Structural Elements

Численное прогнозирование огнестойкости предварительно напряженных железобетонных конструкций

ABSTRAKT

Cel: Glównym celem artykulu jest przedstawienie modelu obliczeniowego elementów strunobetonowych poddanych oddzialywaniu obciqzert mecha-nicznych oraz temperatury pozarowej. W pracy skupiono si? na porównaniu wyników obliczert przeprowadzonych z zastosowaniem róznych podejsc do modelowania efektów reologicznych wywolanych oddzialywaniem wysokiej temperatury. Przeanalizowano dwie metody opisu pelzania betonu w niestacjonarnym polu termicznym oraz pelzania stali zbrojeniowej zwyklej i spr?zaj^cej: bezposredni^ oraz posredni^. Zaproponowano prosty sposób wyodr?bnienia odksztalcenia pelzania ze zwiqzków konstytutywnych stali spr?zajqcej rekomendowanych w Eurokodzie 2. Przeprowadzono symulacje obliczeniowe dwóch typów konstrukcji: strunobetonowych plyt stropowych ogrzewanych od spodu oraz strunobetonowych belek ogrze-wanych z trzech stron.

Metody: W analizie konstrukcji wykorzystano podejscie obliczeniowe obejmujqce jedno- lub dwuwymiarowq analiz? termicznq na poziomie przekroju poprzecznego oraz jednowymiarowq analiz? mechanicznq (element belkowy) na poziomie konstrukcji - model 2D6+1DM. Symulacje obliczeniowe uwzgl?dnialy zmiany sztywnosci konstrukcji w wyniku degradacji termicznej parametrów materialowych oraz rozwoju odksztalcert reologicznych z wykorzystaniem podejscia opartego na siecznych sztywnosciach. Pola temperatury oraz pola sil mechanicznych obliczono metodq elementów skortczonych.

Wyniki: Uzyskane wyniki obliczert porównano z dost?pnymi w literaturze rezultatami badart eksperymentalnych. Zaobserwowano, ze modele materialu opisujqce pelzanie stali w sposób bezposredni prowadzq do wyników bardziej zgodnych z eksperymentem niz modele typu posredniego. Analiza wykresów maksymalne ugi?cie prz?sla - czas trwania pozaru pokazuje, ze model stali typu posredniego prowadzi do bardziej sztywnej odpowiedzi konstrukcji w porównaniu z modelami typu bezposredniego.

Wnioski: Przedstawiona analiza obliczeniowa oparta na siecznej sztywnosci dobrze odtwarza zachowanie si? elementów strunobetonowych w sytuacji jednoczesnego obciqzenia mechanicznego i obciqzenia wysokq temperatura W zakresie deformacji modele pelzania stali zbrojeniowej i spr?zajqcej typu bezposredniego prowadzq do rezultatów bardziej zgodnych z eksperymentem niz modele opisujqce to zjawisko w sposób posredni. Model pelzania stali typu posredniego prowadzi do niekonserwatywnego oszacowania odpornosci ogniowej, jednakze uzyskane przeszacowanie odpornosci ogniowej nie jest istotne z praktycznego punktu widzenia.

Stowa kluczowe: niestacjonarne pelzanie betonu, pelzanie stali, odpornosc ogniowa, strunobeton Typ artykutu: oryginalny artykul naukowy

Przyj?ty: 26.062018; Zrecenzowany: 24.09.2018; Zatwierdzony: 05.11.2018; Identyfikator ORCID: 0000-0002-1040-6077;

Prosz? cytowac: BiTP Vol. 51 Issue 3, 2018, pp. 40-59, doi: 10.12845/bitp.51.3.2018.3; Artykul udost?pniany na licencji CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/).

ABSTRACT

Aim: The main aim of this paper is to present a computational approach to modelling pretensioned concrete structures subjected to mechanical loads and fire temperature. The work focuses on the comparison between results of calculations obtained for explicit and implicit approaches to the modelling of high temperature rheological effects, i.e. transient creep of concrete and creep of reinforcing and prestressing steel. A simple method for the extraction of creep strains from Eurocode 2 stress-strain relations is proposed. Numerical simulations of two types of structures were performed: the pretensioned one-way slab heated from below and pretensioned three-face heated beams.

Methods: The presented approach includes one- and two-dimensional thermal analyses at the cross-section level and a one-dimensional mechanical analysis (beam element) at the structural level - 2D6+1DM model. The secant stiffness approach was applied in the numerical simulations in order to take into account changes in the stiffness of the structure resulting from the thermal degradation of material parameters and development of rheological deformations. Thermal and mechanical fields were calculated using the finite element method.

Results: The results of calculations were compared with the experiments available in the literature. It was observed that a better agreement between calculations and tests was obtained if the creep of steel was modelled using the explicit approach. The analysis of the heating time / maximum deflection diagrams shows that the implicit model of steel leads to a more rigid response of the structure in comparison to the explicit approach. Conclusions: The presented numerical analysis based on the secant stiffness approach is able to reproduce the behaviour of pretensioned concrete elements subjected to mechanical and thermal loads. The explicit high temperature creep models provide results that are in a better agreement with experiments than the outcomes of the implicit approach. The implicit creep model of prestressing steel also overestimates the fire resistance of the analysed structures. It should be noted, however, that this overestimation is not very important from the practical point of view. Keywords: transient creep of concrete, creep of steel, fire resistance, pretensioned concrete Type of article: original scientific article

Received: 26.06.2018; Reviewed: 24.09.2018; Accepted: 05.11.2018; Author's ORCID ID: 0000-0002-1040-6077;

Please cite as: BiTP Vol. 51 Issue 3, 2018, pp. 40-59, doi: 10.12845/bitp.51.3.2018.3;

This is an open access article under the CC BY-SA 4.0 license (https://creativec0mm0ns.0rg/licenses/by-sa/4.0/).

АННОТАЦИЯ

Цель: Основная цель статьи - представить вычислительную модель предварительно напряженных бетонных элементов, подверженных механическим нагрузкам и температуре огня при пожаре. В статье основное внимание уделяется сравнению результатов расчетов, проведенных с использованием различных подходов к моделированию реологических эффектов, вызванных воздействием высоких температур. Были исследованы два метода описания бетонной ползучести в нестационарном тепловом поле, а также ползучести обычной и предварительно напряженной арматурной стали: прямой и косвенный. Предложен простой способ выделения деформации ползучести из составных соединений предварительно напряженной стали, рекомендованный в Еврокоде 2. Были проведены компьютерные моделирования двух типов конструкций: предварительно напряженных бетонных перекрытий, нагретых снизу, и предварительно напряженных балок, нагретых с трех сторон.

Методы: В анализе конструкции был использован вычислительный подход, включающий одно- или двумерный термический анализ на уровне поперечного сечения и одномерный механический анализ (балочный элемент) на уровне конструкции - модель 2D6 + ЮМ. В вычислительных симуляциях учтены изменения жесткости структуры в результате термической деградации параметров материала и развития реологических деформаций с использованием подхода, основанного на секущей жесткости. Температурные поля и поля механической силы были рассчитаны с использованием метода конечных элементов.

Результаты: Полученные результаты расчетов были сопоставлены с результатами экспериментальных исследований, доступных в литературе. Было замечено, что модели материала, описывающие ползучесть стали прямым способом, приводят к более совместимым с экспериментом результатам, чем модели косвенного типа. Графический анализ максимальное отклонение пролета - продолжительность пожара показывает, что модель стали косвенного типа приводит к более жесткой реакции конструкции по сравнению с моделями прямого типа.

Выводы: Представленный вычислительный анализ, основанный на секущей жесткости, хорошо воспроизводит поведение предварительно напряженных бетонных элементов в ситуации одновременной механической нагрузки и высокотемпературной нагрузки. В области деформации модели ползучести арматурной и предварительно напряженной стали прямого типа приводят к результатам, более совместимым с экспериментом, чем модели, описывающие это явление косвенно. Модель ползучести сталей косвенного типа приводит к неконсервативной оценке огнестойкости, однако полученная переоценка огнестойкости не имеет практического значения. Ключевые слова: нестационарная ползучесть бетона, ползучесть стали, огнестойкость и предварительно напряженный бетон Тип статьи:оригинальная научная статья

Принята: 26.06.2018; Рецензирована: 24.09.2018; Одобрена: 05.11.2018; Идентификатор ORCID автора: 0000-0002-1040-6077;

Просим ссылаться на статью следующим образом: BiTP Vol. 51 Issue 3, 2018, pp. 40-59, doi: 10.12845/bitp.51.3.2018.3;

Настоящая статья находится в открытом доступе и распространяется в соответствии с лицензией CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/ licenses/by-sa/4.0/).

Wprowadzenie

Spetnienie kryteriow dla odpowiedniej klasy odpornosci po-zarowej, obok nosnosci, trwatosci i uzytkowalnosci, to podsta-wowy wymog stawiany budynkom w Prawie budowlanym [1]. Rozporz^dzenie Ministra Infrastruktury w sprawie warunkow technicznych, jakim powinny odpowiadac budynki i ich usy-tuowanie [2] precyzuje klasy odpornosci pozarowej budynkow w zaleznosci od przeznaczenia obiektu, jego wysokosci, katego-rii zagrozenia ludzi lub gçstosci obcigzenia ogniowego. W czasie

Background

Meeting the criteria for the appropriate fire resistance class, in addition to load capacity, durability and serviceability, is the basic requirement for buildings specified in the Construction Law [1]. The Regulation of the Minister of Infrastructure on technical conditions to be met by buildings and their location [2] specifies fire resistance classes for buildings depending on their purpose, height, fire hazard category and fire load density. In the time required for a specific fire resistance class, structural

wymaganym przez danq klasç odpornosci pozarowej elementy konstrukcji muszq wykazac siç odpowiedniq nosnosciq ogniowq (R), a jezeli jest to konieczne (np. w przypadku stropow), spetnic takze wymagania izolacyjnosci (I) i szczelnosci ogniowej (E).

W obowiqzujqcych przepisach normowych dotyczqcych konstrukcji z betonu [3] okreslono szereg metod pozwalajqcych na zaprojektowanie elementow konstrukcji budowli pod wzglç-dem spetnienia kryterium nosnosci ogniowej. Metody te mozna podzielic na cztery kategorie. Pierwszq z nich stanowiq metody deskryptywne - tablicowe. W ich przypadku nalezy wykazac, ze dany element konstrukcyjny spetnia warunki geometryczne (mi-nimalny wymiar przekroju, minimalna otulina) odpowiadajqce wymaganemu kryterium R. Do kategorii drugiej mozna zaliczyc wszystkie metody uproszczone analizy nosnosci na poziomie lokalnym (przekroju) - np. metodç zredukowanego przekroju (zob. np. [4], [5]). Kategoria trzecia obejmuje swoim zakresem zaawansowane modelowanie konstrukcji uwzglçdniajqce sprzç-zone ze sobq zagadnienia termiczno-wilgotnosciowo-mecha-niczne (np. [6]). Do ostatniej kategorii mozna zaliczyc okresla-nie odpornosci ogniowej w oparciu o badania eksperymentalne konstrukcji lub jej elementow (np. [7]).

W praktyce projektowej konstruktorzy najczçsciej wykorzy-stujq metody tablicowe, pozwalajqce szybko ocenic popraw-nosc wymiarow konstrukcji z uwagi na odpornosc ogniowq. Nalezy miec na uwadze, ze metody tablicowe charakteryzu-jq siç szeregiem ograniczen. Miçdzy innymi nie uwzglçdniajq parametrow, takich jak: scenariusz pozaru, ksztatt przekroju poprzecznego, konfiguracja rozmieszczenia prçtow zbrojenia w przekroju. Odpornosc ogniowa ustalona z wykorzystaniem metody tablicowej jest z natury rzeczy zgrubnym oszacowa-niem rzeczywistej zdolnosci konstrukcji do zachowania funkcji nosnej w sytuacji pozaru.

W przypadku konstrukcji sprçzonych, zwtaszcza katalogo-wych konstrukcji prefabrykowanych, do ktorych mozna zaliczyc przede wszystkim elementy strunobetonowe, racjonalne jest okreslanie odpornosci ogniowej w oparciu o obliczenia. Pozwala to na uwzglçdnienie wszystkich aspektow konstruk-cyjnych oraz, jezeli zajdzie taka potrzeba, mozliwie realnych scenariuszy pozaru. Wiarygodna metoda okreslania odpornosci ogniowej konstrukcji zelbetowych i sprçzonych jest rowniez istotna w przypadkach dziatalnosci eksperckiej, np. przy ada-ptacji istniejqcych obiektow do nowej funkcji zmieniajqcej kla-sç odpornosci pozarowej obiektu lub wydzielonych w obiekcie stref pozarowych.

Majqc na uwadze powyzsze spostrzezenia, w artykule przedstawiono metodç obliczeniowq odpornosci ogniowej belek lub jednokierunkowo pracujqcych ptyt sprçzonych. Zaprezento-wane podejscie obliczeniowe obejmuje jedno- lub dwuwymiaro-wq analizç termicznq na poziomie przekroju poprzecznego konstrukcji oraz jednowymiarowq analizç mechanicznq (element belkowy) [8-10]. Stqd podejscie obliczeniowe moze byc nazwa-ne 2D8+1DM [11]. Prezentowana metoda uwzglçdnia degradacjç wtasciwosci mechanicznych betonu oraz stali zwyktej i sprçza-jqcej w wyniku oddziatywania pozaru. W artykule opröcz zagad-nien algorytmicznych metody 2D8+1 DM przedyskutowano takze wptyw sposobu modelowania petzania betonu w niestacjonar-nych warunkach termicznych oraz wysokotemperaturowego

elements must fulfil the required fire load capacity (R) and, when necessary (e.g. in the case of ceilings), they must also meet insulation (I) and integrity (E) requirements.

The currently binding codes referring to concrete structures [3] specify a number of methods for designing elements of structures to ensure that they meet the fire load capacity criterion. These methods can be divided into four categories. The first category includes descriptive (tabular) methods. In their case it is necessary to demonstrate that a given structural element meets the geometric conditions (minimum dimension of a cross-section, minimum concrete cover) for the relevant R criterion. The second category includes all simplified load capacity analyses at the local (cross-section) level, e.g. the reduced cross-section method (see e.g. [4], [5]). The third category covers advanced structure modelling taking into account the copuled temperature, humidity and mechanical fields (e.g. [6]). The last category includes the determination of fire resistance on the basis of the experimental tests of structures or their elements (e.g. [7]).

In the design practice structural engineers most often use tabular methods enabling fast assessment of structure dimensions with regard to their fire resistance. It should be borne in mind that tabular methods have numerous limitations. Among others, they do not take into consideration such parameters as the fire scenario, the shape of the cross-section or the arrangement of reinforcing bars in the cross-section. Fire resistance determined with the use of tabular methods is generally a rough estimate of the actual structure's ability to maintain its load-capacity properties in the case of fire.

For prestressed structures, especially prefabricated catalogue structures, which include primarily pretensioned concrete elements, it is reasonable to determine fire resistance on the basis of calculations. This makes it possible to consider all structural aspects and, when necessary, realistic fire scenarios. A reliable method for determining the fire resistance of reinforced concrete and prestressed structures is also crucial in expert projects, e.g. during the adaptation of an existing building to a new function changing the fire resistance class of the building or fire zones identified in the building.

Taking the above into consideration, the article presents a calculation method for the fire resistance of beams or one-way prestressed slabs. The presented calculation approach covers one- or two-dimensional thermal analysis at the level of the structure's cross-section and one-dimensional mechanical analysis (the beam element) [8-10]. Therefore, the calculation approach can be referred to as 2D8+1DM [11]. The presented method takes into consideration the degradation of the mechanical properties of concrete, reinforcing and prestressing steel. In addition to the algorithmic aspects of the 2D8+1DM method, the article discusses the influence of modeling method of transient creep of concrete and high temperature creep of reinforcing and prestressing steel on the mechanical response and fire resistance of the structure. The paper examines an approach which takes into account creep strains according to an explicit (EM method) and through stress-strain physical relationships formulated on the basis of tests in transient thermal conditions (implicit method - IM).

petzania stali spr?zajqcej i zwyktej na odpowiedz mechanicz-nq i odpornosc ogniowq konstrukcji. Rozpatrzono podejscie uwzgl?dniajqce odksztatcenia petzania w sposób bezposredni - metoda explicit (EM) oraz posredni - implicit (IM) - poprzez skonstruowane na podstawie badan w niestacjonarnych warunkach termicznych zwiqzki fizyczne napr?zenie - odksztatcenie. Podejscie posrednie (IM) stanowi podstaw? zwiqzków fizycz-nych w Eurokodzie 2-1-2 [3]. Wyniki obliczen zostaty porównane z dost?pnymi rezultatami badan doswiadczalnych. Przedsta-wiona analiza obliczeniowa pozwolita na ocen? modeli mate-riatowych zaproponowanych w przepisach normowych [3] w od-niesieniu do strunobetonowych elementów konstrukcyjnych.

The indirect approach (IM) forms the basis for physical relationships in Eurocode 2-1-2 [3]. Calculation results were compared with the available results of experimental tests. The presented computational analysis made it possible to assess material models proposed in standards [3] in relation to pre-tensioned structural elements.

Analiza obliczeniowa konstrukcji pr^towych w sytuacji pozaru Zatozenia metody obliczeniowej 2D9+1DM

Elementy strunobetonowe sq to zazwyczaj konstrukcje pr?towe lub jednokierunkowo pracujqce elementy ptytowe. Mozna wi?c przyjqc zatozenie, ze prawdziwa jest hipoteza pta-skich przekrojów w catym procesie obciqzenia mechaniczne-go i ogrzania. Pole odksztatcen catkowitych, normalnych do przekroju poprzecznego elementu, wyraza si? zatem wzorem:

s[z) = KZ + £0 (1)

Gdzie: k oznacza krzywizn?, s0 - odksztatcenie w srodku ci?zkosci przekroju betonowego, z jest osiq przekroju prosto-padtq do wektora momentu zginajqcego. Element konstrukcyj-ny redukowany jest zatem do linii srodkowej oraz do przekroju poprzecznego. Efektywna analiza termiczno-mechaniczna wy-maga dodatkowych, nast?pujqcych zatozen upraszczajqcych:

1) Pola mechaniczne i termiczne sq rozprz?zone;

2) Istnieje petna kompatybilnosc pomi?dzy odksztatcenia-mi betonu, stali zbrojeniowej i spr?zajqcej;

3) Pomija si? wptyw usztywnienia betonu pomi?dzy ry-sami;

4) Pomija si? zaburzenia w polach termicznych spowodo-wane zbrojeniem poprzecznym;

5) Zaniedbany jest wptyw pól wilgotnosciowych na warto-sci temperatury w rozpatrywanych miejscach przekroju poprzecznego, jak równiez oddziatywanie cisnienia po-rowego na szkielet betonu;

6) Przeptyw ciepta w przekroju poprzecznym obliczany jest z pomini?ciem stali zbrojeniowej; temperatura wktadek zbrojeniowych i splotów jest równa temperaturze betonu w miejscu potozenia srodka ci?zkosci wktadki zbro-jeniowej lub splotu;

7) Wptyw samorównowazqcych si? napr?zen o kierunkach normalnych do osi podtuznej elementu, b?dqcych wyni-kiem gradientu temperatury jest pomini?ty;

8) Wptyw skr?powania elementu w kierunku podtuznym jest pomijalnie maty;

9) W obliczeniach przyjmuje si?, ze beton jest zabezpieczo-ny przed mozliwosciq eksplozyjnego odpryskiwania.

W oparciu o powyzsze zatozenia uogólnione wielkosci kine-matyczne k i s0 wyznacza si? z równan równowagi dla kazdej

Computational analysis of beam structures in the case of fire Assumptions for the 2D8+1 DM computational method

Pretensioned concrete elements usually comprise beam structures and one-way slab elements. It is possible to assume that the plane section hypothesis is true for the whole process of mechanical and thermal load. The total strains field normal to the cross-section of the element is calculated with the following formula:

s{z) =KZ + s0 (1)

Where: k means the curvature, s0 - strain in the centre of gravity of the cross-section, and z is the section axis perpendicular to the vector of the bending moment. The structural element is therefore reduced to the central axis and to the cross-section. An effective thermal and mechanical analysis requires the following additional simplifying assumptions:

1) The mechanical and thermal fields are uncoupled;

2) The strains of concrete and reinforcing and prestressing steel are fully compatible;

3) The effect of concrete tension stiffening between cracks is disregarded;

4) Disruptions in thermal fields caused by transverse reinforcement are disregarded;

5) The influence of humidity fields on temperature values in the considered cross-section points is disregarded, and so is the influence of pore pressure on the concrete skeleton;

6) The flow of heat in the cross-section is calculated without taking reinforcing steel into consideration; the temperature of reinforcing bars and strands is equal to the temperature of concrete in the point where the centre of gravity of the reinforcing bar or strand is placed;

7) The effect of self-balancing stresses with directions normal to the longitudinal axis of the element resulting from the temperature gradient is not taken into account;

8) The effect of the element's constrainment in the longitudinal direction is negligible;

9) In the calculations it is assumed that concrete is protected from explosive spalling.

Based on the above assumptions, generalised kinematic values k and s0 are determined using balance equations for

chwili czasowej. Deformacje obliczane sq na podstawie siecz-nych sztywnosci wyznaczanych z zaleznosci moment zgina-jqcy - krzywizna.

each moment in time. Deformations are calculated on the basis of secant stiffness values obtained from the bending moment - curvature relationship.

Analiza termiczna

Przyjçte zatozenia obliczeniowe dotyczqce rozprzçzenia pol termicznych i mechanicznych pozwalajq na sekwencyjnq analizç termiczno-mechanicznq. Efekt ogrzewania w wyniku pozaru opisany jest gçstosciq strumienia cieplnego o kierun-ku normalnym do powierzchni elementu konstrukcji narazonej na oddziatywanie wysokiej temperatury. Gçstosc strumienia ciepta opisuje wymianç ciepta pomiçdzy pomieszczeniem ob-jçtym pozarem a konstrukcjq w wyniku unoszenia gorqcych ga-zow (czçsc konwekcyjna) oraz w wyniku promieniowania zrodta pozaru. W przekroju poprzecznym transport ciepta odbywa siç poprzez przewodzenie zgodnie z prawem Fouriera. Zmienne w czasie pola temperatury wyznacza siç poprzez rozwiqzanie rownania bilansu ciepta:

oPc(e)cp(e)=v((0)v0), v=[£,f] (2)

Gdzie: pc jest zaleznq od temperatury gçstosciq betonu, cp jest cieptem wtasciwym, \ jest zaleznym od temperatury wspotczynnikiem przewodzenia ciepta, Q oznacza temperature Do rozwiqzania rownania (2) nalezy okreslic warunek poczqt-kowy 0(t = O) = 0o oraz wspomniane wyzej warunki brzegowe:

qk =ak (0f-0s )

qr =0ss£f&SB

(of + 273)4 -(os + 273)4

(3)

Thermal analysis

The adopted computational assumptions referring to the decoupling of thermal and mechanical fields make it possible to perform a sequential thermal and mechanical analysis. The heating effect resulting from fire is described by the heat flux with a direction normal to the surface of the structural element exposed to high temperature. The heat flux describes the heat exchange between the room covered with fire and the structure as a result of the upward movement of hot gases (the convection part) and as a result of the fire source radiation. In the cross-section the transport of heat is by conduction according to Fourier's law. The transient temperature field are determined by solving the heat balance equation:

epc(e)cp(e)=v((e)ve), v=[f,%] (2)

Where: pc is temperature-dependent concrete density, cp is specific heat, Xc is temperature-dependent thermal conductivity, and Q means temperature. In order to solve the equation (2), the initial condition Q(t = O) = 0o and the aforementioned boundary conditions must be defined:

:=«k (-O )

qr =fasSf&SB

(of + 273)4 -(Os + 273)4

(3)

W rownaniu (3) qk, qr sq gçstosciami strumienia ciepta przekazywanego odpowiednio przez konwekcjç i promieniowa-nie, Qf jest temperaturq pozaru (gazow i zrodta promieniowania), Qs jest temperaturq powierzchni, ak jest wspotczynnikiem przekazywania ciepta przez konwekcjç, $ jest wspotczynni-kiem konfiguracji (zacienienia), a ss, sf , aSB to odpowiednio emisyjnosc powierzchni elementow konstrukcji, emisyjnosc pozaru oraz stata Stefana-Boltzmana.

In the equation (3), qk and qr are heat fluxes due to convection and radiation, respectively, Qf is the temperature of the fire (gases and radiation source), Qs is the surface temperature, ak is the coefficient of heat transfer by convection, $ is the configuration (shading) coefficient, and ss, sf and aSB are respectively the emissivity of structural elements' surface, emissivity of the fire, and Stefan-Boltzman's constant.

Analiza mechaniczna Zwiqzki konstytutywne betonu

W sytuacji incydentalnego oddziatywania pozaru beton w konstrukcji jest zazwyczaj ogrzewany po raz pierwszy. Wow-czas catkowite odksztatcenie mozna przedstawic jako sumç swobodnego odksztatcenia termicznego sthc, odksztatcenia mechanicznego sm (zarowno sprçzystego, jak i plastyczne-go), odksztatcenia petzania w niestacjonarnych warunkach termicznych strc oraz bazowego odksztatcenia petzania screepc:

Odksztatcenie petzania w warunkach stacjonarnych sa

(4)

ma stosunkowo niewielkq wartosc w porownaniu z pozostatymi sktadowymi rownania (4) i moze byc pominiçte w analizie konstrukcji w sytuacji pozaru.

Mechanical analysis Constitutive relations of concrete

In the case of fire, concrete in a structure is usually heated for the first time. The total strain can then be presented as a sum of free thermal strain sthc, mechanical strain sm (both elastic and plastic), transient creep strain strc and the basic

creep strain screePcc:

s=£th.c (0) + tm + {^>0) + screepc ( .Ot)

(4)

Basic creep strain srrepc has a relatively low value in comparison with other constituents of the equation (4) and can be disregarded in the structure analysis in the case of fire.

W podejsciu przyjçtym w przepisach normowych [3] od-ksztatcenia petzania strc modelowane sq posrednio (IM) poprzez odpowiedniq konstrukcjç zwiqzkow fizycznych naprçze-nie - odksztatcenie na podstawie testow petzania betonu w nie-stacjonarnym polu termicznym przy statym naprçzeniu. Sposob konstrukcji zwiqzkow naprçzenie - odksztatcenie tego typu jest analogiczny do budowy izochronicznych krzywych a ~ s w teorii reologii. Oznacza to, ze odksztatcenie srrc w podejsciu IM jest zawarte w odksztatceniu em. Zwiqzek fizyczny betonu w podejsciu IM opisany jest krzywq Popovic'a i ma postac (ryc. 1a) [3]:

'(m>0) = fc (б)

^l(^) , I Cm n -1 + 1

C 1(0)

(5)

gdzie fc(9) jest zaleznq od temperatury wytrzymatosciq betonu na sciskanie - ryc. 1b, sc1(0) jest odksztatceniem, przy ktorym osiqgana jest wartosc fc(9) - ryc. 1b, n jest rowny 3,0.

W podejsciu EM odksztatcenie petzania w niestacjonarnych warunkach termicznych wystçpuje w sposob jawny. Odksztatcenie strc wyraza siç powszechnie akceptowanq formutq (np.: [12], [13]), w ktorej prçdkosc (przyrost) odksztatcen srrc jest wprost proporcjonalna do aktualnego stanu naprçzenia a oraz do prçdkosci (przyrostu) temperatury 9 :

r. c (ев) = а(а)К (вf в

Je

(6)

к (0)=0.01

2A-(0? ) + B 0<0o

2C.((00C) + 2A-(g-) + B 0>0o

(7)

gdzie: A = 0,03% , B = 0,025%, C = 0,65%, 60 = 440°C . W mo-delu EM wykorzystane sq zaleznosci naprçzenie - odksztatcenie w postaci rownania (5) z parametrem n = 2 . Odksztatcenie sc1(0) w modelu EM przyjçte jest rowne dolnym wartosciom we-dtug prenormy [15] - ryc. 1b.

Beton w obszarze naprçzen rozciqgajqcych opisany jest zaleznosciq wielomianowo-wyktadniczq wedtug [16]. Wzglçd-na wytrzymatosc betonu na rozciqganie zostata przyjçta zgod-nie z [3], natomiast energia pçkania betonu zostata dobrana w oparciu o pracç [17].

In the approach adopted in standards [3], creep strains £trx are modelled indirectly (IM) through construction of stressstrain physical relationships on the basis of concrete creep tests in a transient thermal field with constant stress. The way of constructing the stress-strain physical relationships corresponds to constructing isochronic curves g ~s in the rheolo-gy. This means that strain strc in the IM approach is included in strain sm. The physical relationship of concrete in the IM approach is described by Popovic's curve and takes the form of (Fig. 1a) [3]:

^m0) = fc (0>

^(0) , I Cm

n -1 + 1

eJW

(5)

where fc(0) is temperature-dependent compressive strength of concrete - Fig. 1b, sc1(0) is strain at which value fc(0) is reached - Fig. 1b, and n is equal to 3.0.

In the EM approach, transient creep strain is explicit. Strain strc is expressed by a commonly accepted formula (e.g. [12], [13]), in which the rate (increase) of strains srrc is proportional to the current stress level a and the rate (increase) of temperature 0 :

£(r.c (о,в) = т(о% (вf в

Je

(6)

gdzie: fc oznacza wytrzymatosc betonu na Sciskanie w tempe-raturze zwyktej. Wspotczynnik proporcjonalnosci ktr zalezy od temperatury, a jego wartosc jest ustalana doswiadczalnie. Pa-rametr ю(ст) przyjmuje wartosc 1,0 w przypadku naprçzen sci-skajqcych oraz wartosc 0 dla rozciqgania. Odksztatcenie str c ma charakter trwaty, tzn. pozostaje po zdjçciu obciqzenia oraz nie zmniejsza siç w sytuacji, gdy 0 <0 (chtodzenie).

W celu umozliwienia porownania wptywu podejscia do mo-delowania odksztatcen petzania betonu w niestacjonarnych warunkach termicznych metodq EM oraz IM konieczne jest przyjç-cie statych materiatowych w oparciu o tç samq rodzinç badan doswiadczalnych. Prawa fizyczne w modelu IM zostaty zaczerp-niçte wprost z Eurokodu 2-1-2 [3], stanowiq zatem wypadkowq wielu badan doswiadczalnych bçdqcych podstawq przepisow normowych. W pracy [14] podano metodç wyodrçbnienia od-ksztatcenia strc ze zwiqzkow fizycznych typu IM. Pozwala to na ustalenie parametru k we wzorze (6) w nastçpujqcej postaci:

where: fc means the compressive strength of concrete at normal temperature. The proportionality coefficient ktr depends on temperature, and its value is determined experimentally. Parameter ffl(cr) takes the value of 1.0 in the case of compressive stresses, and the 0 value for tension. Strain s is irreversible,

tr c

i.e., it is present after removing the load and is not reduced when 0 < 0 (cooling).

In order to enable a comparison of the impact of the approach to modelling concrete creep strain in transient thermal conditions using the EM and IM methods it is necessary to adopt material constants on the basis of the same family of experimental tests. Physical laws in the IM model were derived directly from Eurocode 2-1-2 [3], so they are a product of numerous experimental studies forming the basis of standards. The study [14] presents a method of isolating strain str c from type IM physical relationships. This makes it possible to determine parameter ktr in formula (6) as follows:

(2A-f^W B 0<00

kt(0) = 0.01J 100 V / 0 (7)

^ > [2C-((00) + 2A)B 0>00 ()

where: A = 0.03%, B = 0.025% , C = 0.65% , 00 = 440°C . In EM model relationships in the form of equation (5) are used with parameter n = 2 . Strain £c1(0) in the EM model is equal to the lower values according to prenorm [15] - Fig. 1b.

In tension, concrete is described with a polynomial-exponential relationship according to [16]. The relative tensile strength of concrete was adopted according to [3], while fracture energy of concrete was determined on the basis of [17].

n

n

n

n

Swobodne odksztatcenie termiczne sthc jest funkcjq temperatury i rodzaju kruszywa grubego. W dalszych obliczeniach przyjçto zaleznosc zgodnie z [3] jak dla betonu na kruszywie krzemianowym.

fc (в

Free thermal strain sth c is a function of temperature and coarse aggregate type. In further calculations the dependence was adopted in line with [3] as for concrete on siliceous aggregate.

Rycina 1. a) jednoosiowe zwigzki napr^zenie - odksztatcenie betonu, podejscie EM i IM, b) zalezne odtemperatury parametry mechaniczne Figure 1. a) uniaxial stress-strain relationships for concrete, EM and IM approach, b) temperature-dependent mechanical parameters Zrodto: Opracowanie wtasne. Source: Own elaboration.

0

Na ryc. 2 przedstawiono porownanie wynikow symulacji prob petzania w niestacjonarnym polu termicznym wyznaczo-nych w oparciu o modele typu EM i IM. Rezultaty obliczen od-niesiono do eksperymentu [18] (za pracq [19]). W podejsciu EM rownanie (6) tqcznie z (4) i (5) catkowano metodq wstecznq Eu-lera. Pomimo generycznej formy zwiqzki fizyczne EM jak i IM prowadzq do dobrej zgodnosci predykcji numerycznej i doswiad-czenia. Najwiçksze roznice mozna zaobserwowac w przypadku temperatury powyzej 500°C.

Figure 2 presents a comparison of creep test simulation results in a transient thermal field determined on the basis of the EM and IM models. The results of the calculations were compared with experiment [18] (after [19]). In the EM approach, equation (6) with equations (4) and (5) were integrated using the backward Euler method. Despite their generic form, EM and IM - type physical relationships lead to reasonable agreement between numerical predictions and experiments. The greatest differences can be observed for temperatures above 500°C.

-T -0.008 -

M -0.012 -

"1 1 I 1 Г

200 300 400 Temperature [°C]

— -0.008 -

"1 1 Г

200 300 400 Temperature [°C]

Rycina 2. Proba petzania w niestacjonarnym polu termicznym - porownanie z eksperymentem [18]: a) podejscie EM, b) podejscie IM Figure 2. Transient creep test - comparison with experiments [18]: a) EM approach, b) IM approach Zrodto: Opracowanie wtasne. Source: Own elaboration.

0

500

0

500

600

Nalezy podkreslic, ze zgodnosc odpowiedzi mechanicz-nej betonu otrzymana z wykorzystaniem podejscc EM i IM jest mozliwa jedynie w ograniczonych sytuacjach termiczno-mecha-nicznych. Model IM ma istotne ograniczenie - jest niewrazliwy na sekwencjç obciqzenie - ogrzanie. Oznacza to identycznq odpowiedz materiatu, ktory jest najpierw ogrzany, a nastçpnie obciqzony oraz materiatu ogrzewanego pod obciqzeniem. Do-datkowym ograniczeniem podejscia IM jest niewtasciwy opis za-chowania siç betonu w procesie odciqzenia, gdzie odksztatcenie

It should be emphasised that the consistence of the mechanical responses of concrete obtained with the EM and IM approaches is possible only in a limited number of thermo-me-chanical situations. The IM model has a major limitation - it is insensitive to the loading-heating sequence. This means identical responses of the material which is first heated and then loaded and the material heated under load. An additional limitation of the IM approach is the inaccurate description of concrete behaviour during the unloading process, where the concrete

petzania betonu jest w petni odwracalne, co nie znajduje po-twierdzenia w obserwacjach doswiadczalnych.

creep strain is fully reversible, which is not confirmed in experimental observations.

Zwiqzki konstytutywne stali zwyktej i splotow sprçzajqcych

W ogolnym przypadku catkowite odksztatcenie stali zbroje-niowej oraz stali sprçzajqcej wyraza siç w nastçpujqcej postaci:

°tM p)

{0) + Sm (<y>0) + screep.s ( p) { ,0,t)

(8)

creep. s( p)

= Zs(p) c0th2

creep. s( p) V£c„.s(p) M

■ exp

AH

s( p)

R ■O(t)

(9)

■ Acr (S creep.s(p) )

gdzie AHs( p) oznacza wyznaczanq doswiadczalnie energiç ak-tywacji, R jest uniwersalnq statq gazowq, a Zs(p), scos(p) sq pa-rametrami modelu, ktorych interpretacjç pokazano na ryc. 3b.

Parametry Zs ( p), sco s ( p) wyrazone sq w postaci prawa potçgo-wo-wyktadniczego i potçgowego ([20], [21], [22]):

Z(p) И =

Zl. s(p^ ^0.s(p)j

гз,(p)eXp(s(p) OO))

a <at

t.s( p)

a >at

t. s( p)

°co.s ( p)

И = £М p ) (^ f

(10)

(11)

Constitutive relations of reinforcing steel and prestressing strands

In general, the total strain of reinforcing steel and prestressing steel is expressed as follows:

£ = Ztk.s(p) {в) + £т M ) + £ creep.s(p) {>t)

(8)

gdzie sth s( p) oznacza swobodne odksztatcenie termiczne, screep s( p) jest odksztatceniem petzania odpowiednio stali zbrojeniowej (s) oraz stali splotow (p), sm jest odksztatceniem mechanicz-nym sprçzystym oraz plastycznym. Analogicznie jak w przypadku betonu odksztatcenie petzania screeps ( p) jest uwzglçdniane w sposob jawny jak w rownaniu (8) - podejscie EM lub w sposob posredni poprzez uwzglçdnienie tego odksztatcenia wsm - podejscie IM. Z wiqzki fizyczne naprçzenie - odksztatcenie w nor-mie [3] (ryc. 3a) uwzglçdniajq posrednio odksztatcenie screp s ( p), majq zatem charakter IM. W tym przypadku do kompletnego opisu zachowania siç stali zwyktej i sprçzajqcej wystarczy pra-wo naprçzenie - odksztatcenie oraz zaleznosc swobodnego odksztatcenia termicznego od temperatury [3].

W przypadku podejscia EM kompletny opis zachowania siç materiatu wymaga okreslenia wolnych od wptywow petzania zwiqzkow naprçzenie - odksztatcenie oraz jawnej postaci odksztatcenia petzania.

Petzanie stali konstrukcyjnych w wysokiej temperaturze byto przedmiotem wielu badan - np.: [20], [21], [22], [23], [24]. Typowy przebieg odksztatcen petzania stali w warunkach izo-termicznych oraz przy statym naprçzeniu pokazano na ryc. 3b. Wyroznic mozna trzy okresy petzania. Okres I z malejqcq prçd-kosciq petzania, gdzie obserwowane jest umocnienie odksztat-ceniowe, nastçpnie okres II ze statq prçdkosciq petzania i osta-tecznie okres III, w ktorym nastçpuje zwiçkszenie prçdkosci petzania prowadzqce w fazie koncowej do dekohezji i zniszcze-nia. Powszechnie przyjçty model petzania stali konstrukcyjnych oparty na teorii umocnienia odksztatceniowego zostat przedsta-wiony w pracy [20]. Model ten opisuje petzanie w okresie I i II. W artykule [24] propozycja [20] zostata zmodyfikowana tak, aby uwzglçdnic petzanie trzeciookresowe. Prçdkosc (przyrost) odksztatcen petzania stali w wysokiej temperaturze ma postac:

where sths(p) means free thermal strain screeps(p) is the creep strain of, respectively, reinforcing steel (s) and prestressing steel (p), sm is the elastic and plastic mechanical strain. As in the case of concrete, s „ ,„, is taken into consideration

' creep.s (p)

explicitly, as in equation (8) - the EM approach, or implicitly by including this strain in sm - the IM approach. Stressstrain physical relationships in code [3] Fig. 3a) implicitly take into consideration strain screeps(p), i.e., they fall within the IM approach. In this case, in order to describe the behaviour of ordinary and prestressing steel, it is sufficient to apply the stress-strain law and the dependence of free thermal strain on temperature [3].

In the case of the EM approach, a complete description of material behaviour makes it necessary to determine stressstrain relationships free of the effects of creep and an explicit form of creep strain.

Structural steel creep at high temperatures was the subject of numerous studies, e.g., [20], [21], [22], [23], [24]. A typical course of steel creep strain in isothermic conditions and with constant stress is shown in Fig. 3b. Three stages of creep can be identified. Stage I with a decreasing creep rate, where strain hardening is observed, followed by stage II with a constant creep rate, and stage III, with an increased creep rate leading in its final stage to decohesion and failure. The generally accepted structural steel creep model based on the strain hardening theory was presented in [20]. The model describes creep during stages I and II. In article [24] proposal [20] was modified so as to take into consideration the third stage of creep. The rate (increase) of steel creep strain at high temperatures is calculated as follows:

creep.s( p)

= (p) (^ COth2

creep. s( p) V£co.s(p) M

■ exp

AH

s ( p)

R ■O(t )

(9)

■Acr (S creep.s(p) )

where AHs(p) means the experimentally determined activation

energy, R is the universal gas constant, and Zs(p) and s

co.s(p) '

the parameters of the model, whose interpretation is shown in Fig. 3b.

Parametres Zs(p) and scos(p) are expressed in the form of the power and exponential law and the power law ([20], [21], [22]):

Zs ( p) (a) =

Zl.s(p^ ao.s(p,j

гз, ( p)exp( 4 s ( p) aa) )

a <at

t.s( p)

a > a,

t.s( p)

°co.s ( p)

H = *1.s(p) ((p)f

(10)

(11)

w ktÖI*ych state ZL s(p) do Z4. s(py eLs(py S2.s(p), стмp), s(p) usta|a siç na podstawie doswiadczalnych pröb petzania w stacjonar-nych warunkach termicznych. Funkcja uwzglçdniajqca petzanie w okresie III przedstawiona jest wzorem:

^cr creep.s(p) )

10

S ^ S

creep. s ( p) lim . s ( p)

(12)

where constants zL s(p) to z4 s(p), eLs(p), e2.s(p), ct, s(p), CT0.s(p) are determined on the basis of experimental creep tests in transient thermal conditions. The function taking into consideration creep at stage III is expressed by the following equation:

Д is

c^ creep. s( p )

H1

S ^ s

creep. s ( p) lim. s ( p)

(12)

gdzie slm s ( p) jest statq materiatowq. Badania doswiadczalne stali zwyktych [20] i sprçzajqcych [24] wskazujq, ze petzanie w trze-cim okresie zaczyna siç, gdy screep s( p) przekroczy 0,02. Przy tak duzych odksztatceniach konstrukcje zelbetowe i sprçzone sq bliskie fazy zniszczenia. Stqd petzanie w trzecim okresie za-zwyczaj nie jest istotne w analizie zachowania siç konstrukcji zelbetowych i sprçzonych w pozarze.

where s

lim. s( p)

is a material constant. Experimental tests of ordinary steel [20] and prestressing steel [24] show that creep in stage III begins when screep s( p) exceeds 0.02. With such high strains, reinforced concrete and prestressed structures are close to failure. Therefore, creep in stage III is usually irrelevant for the analysis of the behaviour of reinforced concrete and prestressed structures in a fire.

a)

fy (ß)-

fel ß)

b)

~r

80 120 t [min]

Rycina 3. a) zwigzki fizyczne napr^zenie - odksztatcenie stali zbrojeniowej oraz stali spr^zajgcej; b) petzanie stali konstrukcyjnych w wysokiej temperaturze

Figure 3. a) stress-strain relationships for reinforcing and prestressing steels, b) creep of structural steel at high temperatures Zrodto: Opracowanie wtasne. Source: Own elaboration.

Om.si p)

lim.si p)

200

Problemem w ustaleniu modelu EM stali zwyktej i sprçzajq-cej jest okreslenie generycznej zaleznosci naprçzenie - odksztatcenie pozbawionej posredniego wptywu petzania wbudowane-go w odksztatcenie sm. W pracy [23] zaproponowano metodç wyodrçbnienia odksztatcenia petzania z krzywych naprçzenie -odksztatcenie typu IM. Autorzy [23] zauwazyli, ze zadowalajqca zgodnosc z eksperymentem jest otrzymana, jezeli zostanie zre-dukowana wartosc odksztatcenia sy(0), przy ktörym osiqgana jest granica plastycznosci - ryc. 3a. W przypadku zwyktej stali konstrukcyjnej wartosc redukcji odksztatcenia wynosi 0,01 [23]. W analogiczny sposöb zredukowano odksztatcenie sy(0) stali sprçzajqcej. Przyjçta wartosc redukcji wynosi 0.0075. Popraw-nosc tej redukcji zostata sprawdzona w oparciu o eksperymenty [25], [26] przytoczone za pracq [27]. Doswiadczenia te polegaty na pröbach petzania w niestacjonarnym, monotonicznie rosnq-cym polu termicznym. Do obliczen zatozono zwiqzki fizyczne naprçzenie - odksztatcenie wedtug [3] z wprowadzonq redukcjq odksztatcenia sy(0) o 0.0075. State w röwnaniu (9) zostaty za-czerpniçte z pracy [21] jak dla stali ASTM A 421-65.

W przypadku testu [25] otrzymano bardzo dobrq zgodnosc symulacji obliczeniowej z eksperymentem - ryc. 4a. Mniejszq zgodnosc uzyskano dla serii doswiadczalnej [26] - ryc. 4b, co jest spowodowane wczesniejszym osiqganiem granicy plastycznosci wedtug modelu [3] niz to miato miejsce w przypadku konkretnej stali badanej w eksperymencie. Pomimo tych

The problem with specifying the EM model for ordinary and prestressed structures lies in determining the stressstrain relationship without the implicit impact of creep built into strain sm. The authors of work [23] suggest a method for separating creep strain from IM-type stress-strain curves. The authors of [23] noticed that an acceptable agreement with the experiment is achieved through the reduction of strain value sy(0) for which the yield stress is reached - Fig. 3a. For ordinary structural steel the strain reduction value is 0.01 [23]. Strain sy(0) of prestressing steel was reduced in a similar way. The adopted reduction value amounts to 0.0075. The accuracy of the reduction was checked on the basis of experiments [25], [26] as cited in [27]. These experiments consisted of creep tests in a transient, monotonically increasing thermal field. The calculations were based on the stress-strain physical relationships according to [3] with the introduced strain sy(0) reduction of 0.0075. Constants in equation (9) (were taken from [21] as for steel ASTM A 421-65.

Test [25] resulted in a very good agreement between the computational simulation with the experiment - Fig. 4a. A lower level of concordance was achieved for the experimental series [26] - Fig. 4b. This was caused by an earlier reaching of the yield stress according to model [3] than in the case of the specific type of steel tested in the experiment. Despite these discrepancies, model [3] modified in a simple way, with an explicit description

rozbieznosci zmodyfikowany w prosty sposob model [3] wraz z jawnym opisem odksztatcenia petzania wedtug rownania wy-starczajqco doktadnie opisuje proces petzania stali sprçzajqcej.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

Creep and mechancal strain [-]

of creep strain based on equation (9), provides a sufficiently accurate description of the creep process of prestressing steel.

400 300

О

Ü 200 (D

E

CD I—

100 0

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

Total strain [-]

Rycina 4. Petzanie stali w zmiennej temperaturze: a) eksperyment [25], b) eksperyment [26] Figure 4. Creep test at transient temperature: a) experiment [25], b) experiment [26] Zrodto: Opracowanie wtasne. Source: Own elaboration.

Algorytm obliczeniowy

W analizie obliczeniowej konstrukcji wprowadzona jest dyskretyzacja na dwoch poziomach: lokalnym - przekroju po-przecznego oraz globalnym, czyli catej konstrukcji - ryc. 5 a, d. W kazdej chwili czasu t pozaru w przekroju wyznaczane sq temperatury metodq elementow skonczonych. Nastçpnie pola temperatury wykorzystywane sq do analizy stanu mechanicz-nego w przekroju - wyznaczenia pol odksztatcen i naprçzen oraz uogolnionych wielkosci kinematycznych krzywizny к i odksztatcenia e0 - ryc. 5 c. Nastçpny krok analizy polega na wy-znaczeniu siecznych sztywnosci wedtug definicji pokazanej na ryc. 5b oraz wyznaczeniu przemieszczen i sit wewnçtrznych w konstrukcji metodq elementow skonczonych. W obliczeniach przyjçto liniowq zmiennosc sztywnosci giçtnej pomiçdzy wç-ztami - ryc. 5a.

a)

■thiw+1 1

Computational algorithm

The computational analysis of structures, introduces discretisation at two levels: local, i.e. at the cross-section level, and global - for the whole structure -Fig. 5 a, d. At any time t during the fire, temperatures at the cross-section are determined using the finite element method. After that, temperature fields are used to analyse the mechanical state at the cross-section - to determine strain and stress fields and generalised kinematic variables: curvature k and strain s0 - Fig. 5 c. The next step of the analysis consists of determining secant stiffness according to the definition shown in Fig. 5b, and determining displacements and internal forces in the structure using the finite element method. A linear dependence of flexural stiffness between the nodes was adopted for the calculations - Fig. 5a.

b) m §

Mit)

Rycina 5.a) dyskretyzacja MES na poziomie konstrukcji, b) definicja siecznych sztywnosci, c) uogolnione sity i wielkosci kinematyczne na poziomie przekroju, d) dyskretyzacja przekroju

Figure 5. a) FEM discretisation at the structural level, b) definition of the secant stiffness, c) generalised kinematic variables and forces at the cross-section level, d) discretisation of the cross-section Zrodto: Opracowanie wtasne. Source: Own elaboration.

+1

c)

d)

Na poziomie przekroju poprzecznego uogölnione prze-mieszczenia к i s0 wyznacza siç rozwiqzujqc röwnanie:

i fN\_ f _JN = 01 ext 1 M(t)

t., =

f

J ffli

(13)

¿m, («0, У, Z't ) = «-«th.c ~£tr.c =

= KZ + S0 - ¿th.c (0 (y, Z,t )) - ¿tr.c (y, Z,t )

(15)

W sposöb analogiczny wyznaczamy odksztatcenia mecha-niczne w prçcie zbrojeniowym (j) i w splocie (к ):

«m.s Уу,Zj,t) = £~£th.s '«creeps =

= KZi +«0 ~«,hs ((Уj, Zj ,t ) ) «creep.s ( Уу ,Z; ,У)

^m.p («0^ , Ук, Zk ,t ) =

(16)

= KZk +«0 - Sth.p (в (Ук , Zk ,t)) - £creep.p (Ук, Zk, 0 + £

(17)

p0!

At the cross-section level generalised kinematic variables k and e0 are determined by solving the equation:

1 fN 1_ f _JN = 0]

^ I M(t) I

f =

f■

J m

(13)

gdzie:

fN = JJ4 S ,0)dA + ^ (Sms ,ö) Asj +^*p (smp ,в) Apk

fM = JJ4 (Sm.c ,ö) ZdA + (Sms ,в) Zj^p (Sm.p ¿) ZkApk

A i k

(14)

Odksztatcenia mechaniczne poszczegölnych wtökien przekroju betonowego oraz pr^töw zbrojenia zwyktego i sprçzajq-cego obliczane sq z wykorzystaniem zwiqzköw fizycznych (4) i (8). Wstawiajqc röwnanie (1) do röwnania (4), otrzymujemy:

where:

fN - JJ^ ,0)dA + (^.s,e)Aij + X°p (,o)Apk

A j к

f M = Я ^ c (£m.c ,0)ZdA + {Sms ^Z A + X°p (m.p ^Ap,

A j k

(14)

Mechanical strains of each fibre of the concrete section and the reinforcing and prestressing steel bars are calculated with the use of physical relations (4) and (8). By inserting equation (1) to equation (4), the following is obtained:

t) (t У,Z,t )=t"tth.c -tr.c =

--KZ +1 - tth.c (( Z,t )) - ttr.c (У,Z,t )

(15)

Similarly, mechanical strains in reinforcing bar (j) and strand (fc) are determined as follows:

Zm.s (, •Z 0, y, Zj,t) = Z - Zth.s - Z creep.s =

= Kzj +So - Sth.s ( {(, zj,t)) ^ Zcreep.s {yj > Zj >t)

«^(«o'Spo. >yfc>>t) =

(16)

--KZk +£0 -£th. p ((У к , Zk ,t ))-£creep. p (Ук, Zk ,t ) + '£

(17)

gdzie sp0 jest odksztatceniem od sprçzenia w splocie к w chwili rozpoczçcia oddziatywania wysokiej temperatury. Wek-tor sit wewnçtrznych tini oblicza siç w sposöb przyblizony z wykorzystaniem dyskretyzacji przekroju poprzecznego - ryc. 5d.

Krzywizna wymuszona Kth wykorzystywana do wyznacze-nia siecznej sztywnosci B przekroju w wçzle obliczana jest z röwnania (13), przyjmujqc fM = 0. W zwiqzkach fizycznych wykorzystywanych do wyznaczenia Kth uwzglçdnia siç istnie-jqce uszkodzenia (historic odksztatcen mechanicznych), ktöre miaty miejsce w przekroju obciqzonym oraz osiqgniçte do chwili t trwate odksztatcenia petzania betonu w niestacjonarnym polu termicznym, a takze odksztatcenia petzania stali zbrojeniowej i sprçzajqcej. Sieczna sztywnosc B moze bye zatem interpre-towana jako liniowa aproksymacja sciezki odciqzenia w ukta-dzie M ~ к na poziomie przekroju poprzecznego - ryc. 5b. Al-gorytm obliczeniowy przedstawia siç nastçpujqco:

1. W chwili t w kazdym wçzle konstrukcji znany jest stan termiczno-mechaniczny konstrukcji.

2. W chwili t +At wyznaczamy: nowe wartosci temperatury 0t+At, swobodne odksztatcenia termiczne sh'f, et/Tf, st;Â; oraz ewentualnq zmianç sit wewnçtrznych Afext wynikajqcq ze zmiany obciqzenia mechanicznego, ob-liczonq dla sztywnosci Bt.

3. Przyjmujemy nowe wartosci sit wewnçtrznych ft+At = ft +Af

lext ext ext '

4. Dla sit wewnçtrznych f^ obliczane sq metodq Newto-na-Raphsona krzywizny к!+ы , . W przypadku mo-deli EM iteracyjnie obliczane sq odksztatcenia petzania na poziomie kazdego wçzta i wtökna betonowego oraz stali zbrojeniowej i sprçzajqcej: s|r

where ep0 is the prestressing strain in strand k at the beginning of heating. Internal forces vector fint is calculated in an approximate manner, using cross-section discretisation - Fig. 5d.

Thermal curvature Kth used to determine secant stiffness B of the cross-section at the node, is calculated from equation (13), assuming fM = 0. The physical relationships used to calculate Kth, take into accountthe existing damage (the history of mechanical strains) in a loaded cross-section and transient concrete creep strains obtained until time t together with reinforcing and prestressing steel creep strains. Secant stiffness B can thus be interpreted as a linear approximation of the unloading path in the M ~ к relations at the cross-section level - Fig. 5b. The computational algorithm is as follows:

1. At time t in each node of the structure, the thermo-me-chanical condition of the structure is known.

2. At time t +At the following are determined: new values of temperature 0t+At, free thermal strains e^f, s^f, e^ and the possible change of internal forces Afext resulting from the change in the mechanical load calculated for stiffness Bt.

3. New internal force values f'*tAt = i'ext +Afext are adopted.

4. For internal forces f'e*At curvatures kt+At and к,Цм are calculated with the use of the Newton-Raphson method. For EM models, creep strains are calculated itera-tively at the level of each node and concrete fibre and reinforcing and prestressing steel: =strc +Astrc,

„t+At

£ = £ + Ag ^

creep. s creep.s creep. s' creep,

t+At , £ e p =

creep. p + A£ creep.p . ObliCZa-

ne sq napr^zenia s[+At, <At, S;At .

5. Obliczamy sztywnosci Bt+At i metodq elementow skon-czonych wyznaczamy ponownie fete+tAt.

6. Przyjmujemy nowq wartosc f^ i powtarzamy procedure z punktu 4 i 5 az do uzyskania satysfakcjonujqcej zbieznosci.

Powyzszy algorytm zostat zaimplementowany w progra-mie MathCAD. Obliczenia termiczne na poziomie przekroju po-przecznego zostaty przeprowadzone w programie DIANA.

t+At t , a t+At

8 — £ + AS 8

creep.s creep.s creep.s ' creeps

es Sr+At, S+At, and stpAt are calculated

8t + A8

creep. p creep. p

. Stress-

5. Stiffness Bt+At is calculated and f'e*At is again determined using the finite element method.

6. New value feXAt is adopted and the procedure from points 4 and 5 is repeated until a satisfactory level of convergence is achieved.

The above algorithm was implemented in MathCAD. Thermal calculations at the cross-section level were performed in the DIANA program.

Peine ptyty strunobetonowe - porownanie z eksperymentem

W pierwszym przyktadzie obliczeniowym przedstawiono zachowanie si? trzech strunobetonowych ptyt petnych ogrze-wanych od spodu. Ptyty byty przedmiotem badan eksperymen-talnych [28]. Schemat statyczny ptyt zostat przedstawiony na ryc. 6. Majq one grubosc 16,5 cm, nie majq zbrojenia zwyktego. Spr?zenie stanowi 5 splotow o srednicy 11,1 mm (7/16 cala). Zastosowano trzy rozne grubosci otulenia: 2,54 cm, 5,08 cm, 7,62 cm odpowiednio dla ptyty nr 1, nr 2 i nr 3. Obciqzenie sku-pione, uwzgl?dniajqce ci?zar wtasny konstrukcji zostato do-brane w taki sposob, aby zapewnic takie samo wyt?zenie konstrukcji na poczqtku nagrzewu. Sity te wynoszq 8.98 kN dla ptyty nr 1, 7,56 kN w przypadku elementu nr 2 i 6,07 kN w przy-padku ptyty nr 3.

Full pretensioned concrete slabs - a comparison with the experiment

The first calculation example presents the behaviour of three pretensioned concrete slabs heated from below. The slabs were the subject of experimental tests [28]. The static scheme of the slabs is presented in Fig. 6. Their thickness was 16.5 cm, and reinforcement consisted of 5 strands with a diameter of 11.1 mm (7/16 inch). Three various thicknesses of the concrete cover were applied: 2.54 cm, 5.08 cm, 7.62 cm respectively for slabs 1, 2 and 3. Concentrated load, taking into account the structure's dead load, was selected in such a way as to ensure the same stress intensity level of the structure at the onset of heating. The forces were 8.98 kN for slab 1, 7.56 kN for slab 2 and 6.07 kN in the case of slab 3.

Rycina 6. Schemat statyczny analizowanych ptyt - eksperyment [28] Figure 6. Static diagram of the analysed slabs - the experiment [28] Zrodto: Opracowanie wtasne. Source: Own elaboration.

Ptyty zostaty wykonane z roznych mieszanek betonowych. Jednoosiowa wytrzymatosc na sciskanie w chwili przeprowa-dzania testu wynosita dla ptyty nr 1 - 37,2 MPa, nr 2 - 34,5 MPa, nr 3 - 43,4 MPa. Wytrzymatosc na rozciqganie splotow wyniosta 1806 MPa, a modut spr^zystosci byt rowny 195 GPa. Napr^zenie w splotach przed rozpocz^ciem nagrzewu wynosito 1030 MPa.

Parametry mechaniczne betonu w wysokiej temperaturze zostaty okreslone jak dla betonu na kruszywie krzemianowym zgodnie z zaleceniami [3]. Obliczenia zostaty przeprowadzone dla podejscia EM oraz IM, zarowno w odniesieniu do betonu, jak i stali spr^zajqcej z zastosowaniem opisanych wczesniej zwiqzkow fizycznych. W przypadku podejscia EM wtasciwosci reologiczne stali w wysokiej temperaturze przyj^to na podsta-wie pracy [21] jak dla stali ASTM A 421-65.

Przyj^to nast^pujqcq dyskretyzaj konstrukcji: prz^sto zostato podzielone na 20 elementow skonczonych o rownej dtugosci. Wymiar elementu skonczonego przekroju poprzecz-nego wyniost 0,5 cm.

The slabs were made of various concrete mixtures. The uniaxial compressive strength at the time of performing the test was as follows: for No. 1 - 37.2 MPa, for No. 2 - 34.5 MPa, and for No. 3 - 43.4 MPa. The tensile strength of strands amounted to 1806 MPa, and the elasticity modulus was equal to 195 GPa. Stress in strands before heating was 1030 MPa.

The mechanical parameters of concrete at high temperature were determined in the same way as for concrete on silicate aggregate, in line with [3]. Calculations were performed for the EM and IM approaches, both for concrete and prestressing steel, using the previously described physical relationships. In the case of the EM approach, the rheological properties of steel at high temperature were adopted on the basis of [21], as for steel ASTM A 421-65.

The discretisation of the structure was as follows: the span was divided into 20 finite elements of equal length. The dimension of a finite element of the cross-section was 0.5 cm.

Obliczenia przeprowadzono dla nastçpujqcych sytuacji. W sytuacji l wykorzystano podejscie EM zarówno w przypadku stali sprçzajqcej, jak i betonu. W sytuacji 2 zwiqzki fizyczne betonu i stali sq typu IM. Sq to zatem obliczenia prowadzone wedtug rekomendacji Eurokodu 2-l-2 [3]. Sytuacja 3 jest przypadkiem mieszanym - zwiqzki fizyczne betonu sq typu EM, natomiast stal jest opisana modelem typu IM.

Wyniki obliczen zostaty zilustrowane na ryc. 7 - 9. Na ryc. 7 przedstawiono porównanie zmierzonych w eksperymencie [28] przemieszczen w srodku rozpiçtosci ptyt z wynikami obliczen wy-konanych dla powyzszych sytuacji obliczeniowych. Dobrq zgod-nosc pomiçdzy obliczeniami i eksperymentem w catym okresie nagrzewu uzyskano w przypadku podejscia EM - sytuacja l. W po-czqtkowej fazie ogrzania konstrukcji modele EM i IM prowadzq do identycznych wyników. W tej fazie deformacja wynika przede wszystkim z duzego przyrostu gradientu temperatury i ze stowa-rzyszonej z tym gradientem krzywizny termicznej. W fazie drugiej, wyraznie zaakcentowanej w przypadku ptyt nr 2 i nr 3, nastçpuje stabilizacja prçdkosci deformacji. W tej fazie wystçpujq wyrazne róznice w przypadku sytuacji obliczeniowej 2 (modele IM betonu i stali). Deformacje w ostatniej fazie ogrzania wynikajq przede wszystkim z duzych przyrostów odksztatcen petzania i odksztatcen mechanicznych stali sprçzajqcej. Model typu IM niewtasci-wie opisuje tç fazç ogrzania, duze odksztatcenia stali pojawiajq siç z kilkunasto- do kilkudziesiçcio- minutowym opóznieniem.

The calculations were carried out for the situations described below. In case 1, the EM approach was used for both prestress-ing steel and concrete. In case 2, the physical relationships of concrete and steel were of IM type. The calculations were thus performed in line with the recommendations of Eurocode 2-1-2 [3]. Case 3 was mixed - the physical relationships of concrete were of EM type, while steel was described using the IM model.

Results of the calculations are presented in Figs. 7 - 9. Fig. 7 shows a comparison of displacements in the midspan of slabs measured in experiment [28] with the results of calculations performed for the above computational cases. A good agreement between the calculations and the experiment throughout the heating period was obtained for the EM approach - case 1. In the initial phase of structure heating, EM and IM models lead to identical results. In this phase, the deformation results primarily from a large increase in the temperature gradient and the related thermal curvature. In the second phase, clearly marked in the case of slabs 2 and 3, the displacement rate stabilises. In this phase, clear differences are observed for computational case 2 (the IM models of concrete and steel). Deformations in the last heating phase result primarily from large increases in creep strains and mechanical strains of prestressing steel. The IM model inaccurately describes this heating phase. Considerable steel strains appear with a delay of several to several dozen minutes.

a)

, 200 ion З00 400 ■ 500 ■ 600 ■ 700

b)

Slab 2 - experiment Slab 2 - explicit model Slab 2 - implicit steel Slab 2 - implicit steel & concrete

i 40

Fire

-1-1-1-1-1-1-Г-

0 20 40 60

Fire duration [min]

Rycina 7. Porownanie obliczen z eksperymentem [28] Figure 7. Comparison of calculations with experiment [28] Zrodto: Opracowanie wtasne. Source: Own elaboration.

Na ryc. 8 przedstawiono obliczone profile temperatury, naprç-zen oraz poszczegolnych odksztatcen w betonie ptyty nr 1. Profile termiczne majq nieliniowy przebieg wzdtuz wysokosci przekroju z duzym gradientem w dolnej potowie wysokosci - ryc. 8a. Implikuje to duze odksztatcenia termiczne w tej strefie (ryc. 8d) nieznacznie redukowane przez odksztatcenia petzania betonu w niestacjonarnych warunkach termicznych - ryc. 8e. Zakres wystçpowania odksztatcen petzania betonu jest stosunkowo niewielki i kumuluje siç w otuleniu splotow. Na ryc. 8b pokaza-no zmianç rozktadu naprçzen w przekroju. W poczqtkowej fazie nagrzewu wystçpujq dwa obszary naprçzen sciskajqcych - przy krawçdzi dolnej i gornej. W strefie srodkowej dominujq rozciqga-nia i beton jest tu zarysowany. Jest to wynik duzego, nieliniowego gradientu temperatury i zwiqzanym z tym uktadem samorowno-wazqcych siç naprçzen od odksztatcen wymuszonych. W ostatniej fazie ogrzania sciskane sq tylko gorne wtokna przekroju.

г 80

duration [min]

c) 0

100 ■

m] 200 [m

tion 300 f 400 ■

d

an 500 Mid 600

700 800

V ... Slab 3 experiment

\ — Slab 3 explicit model

\ — Slab 3 - implicit steel

Slab 3 - implicit steel

& concrete

\

SS \

\

\

\\ \ \L t \ v V V "

|. 67 j!'/" '") \ \

80 120 160 Fire duration [min]

Fig. 8 shows the calculated profiles of temperature, stress and the respective strains in the concrete of slab 1. Thermal profiles are non-linear and run along the height of the section with a high gradient in the lower half of the height - Fig. 8a. This implies considerable thermal strains in this area (Fig. 8d), slightly reduced by the concrete transient creep strains - Fig. 8e. The range of the occurrence of concrete creep strains is relatively small and accumulated in the strands cover. Fig. 8b shows changes in the distribution of stresses at the cross-section. In the initial heating phase, two compressive stress areas are identified - at the lower and upper edges. In the central area, tension is dominant and concrete is cracked. This results from a high non-linear temperature gradient and the related system of self-balanced stresses from thermal strains. In the last heating phase, only the upper fibres of the section are compressed.

100

40

200

240

i 1 г

400 600 Temperature [°C]

8

% M

_ ^ о -

tfj = 15min tfj = 30min tfj = 45min tfj = 59min

T

"1 1 Г

-20 -1 ac [MPa]

- о -

1 Г - tfj = 15min

----tfj = 30min

----tfj = 45min

- tfj = 59min

T

Rycina 8. Ptyta nr 1 - obliczone profile temperatury, napr^zen i odksztatcen w przekroju Figure 8. Slab 1 - calculated temperature, stress and strain profiles at the cross-section Zrodto: Opracowanie wtasne. Source: Own elaboration.

1 1 I 1 Г

10 20 30 40

^ot = eth + ^mech + ^r 1%°!

~1 Г Г

20 40

ßmech РЧ

a)

э)

c)

0.08

0.08

J.08

10

800 1000

d)

e)

f)

0.08

16

Fins duration [min]

Rycina 9. Historia naprçzeri w splotach: a) ptyta 1, b) ptyta 2 Figure 9. Stress history in strands: a) slab 1, b) slab 2 Zrodto: Opracowanie wtasne. Source: Own elaboration.

Ryc. 9 przedstawia zmiany naprçzenia w splotach ptyt nr 1 i nr 2. W poczqtkowej fazie nagrzewu naprçzenia wyraznie wzra-stajq do poziomu 1130 MPa (ptyta nr 1) - 1250 MPa (ptyta nr 2). Jest to efekt duzej röznicy temperatury pomiçdzy skrajnym, na-grzewanym wtöknem przekroju a wtöknem na poziomie splotöw. Sciskanie w strefie otuliny jest röwnowazone przez przyrost na-prçzenia w splotach. Po osiqgniçciu ekstremum naprçzenia spa-dajq do wartosci ok. 800 MPa. W poczqtkowym okresie spadek ten jest wynikiem wyröwnywania siç odksztatceri termicznych, a nastçpnie rozwojem odksztatceri petzania stali.

Pomimo istotnych röznic w deformacji analizowanych konstrukcji otrzymane wartosci odpornosci ogniowej w poszczegölnych

0 30 60 90 120 150

Fire duration [min]

Fig. 9 presents changes of stress in strands for slabs 1 and 2. In the initial heating phase, stresses substantially increase to the level of 1130 MPa (slab 1) - 1250MPa (slab 2). This results from a high temperature difference between the outermost heated fibre of the section and the fibre at the level of the strands. The compression in the cover is balanced by the stress increase in strands. After reaching the peak, the stresses drop to approx. 800 MPa. In the initial stage, the drop results from the equalizing of thermal strains, and later from the development of steel creep strains.

Despite the significant differences in the deformations of the analysed structures, the obtained fire resistance values in

sytuacjach obliczeniowych sq zblizone. Modele IM dostarczajq nieznacznie mniej konserwatywnej (okoto 10%) informacji o od-pornosci ogniowej analizowanych konstrukcji w porownaniu z po-dejsciami EM.

the specific computational cases are similar. The IM models provide slightly less conservative (approx. 10%) information on the fire resistance of the analysed structures in comparison to the EM approach.

Elementy belkowe - studium parametryczne Beam elements - a parametric study

Analizowane elementy majq przekroj prostokqtny o wymia-rach przedstawionych na ryc. 10a i b. Elementy sq wolnopodpar-te, catkowita ich rozpi^tosc wynosi 9,0 m - ryc. 10c. Obciqzenie konstrukcji jest rownomiernie roztozone, w chwili rozpocz?-cia nagrzewu wynosi 15 kN/m, co stanowi okoto 50% obciqze-nia niszczqcego. Rozpatrzono dwa typy konfiguracji splotow - ryc. 10a i b. Napr^zenie w splotach (wst^pne po stratach oraz od obciqzenia) w chwili rozpocz^cia nagrzewu wynosi 1103 MPa (typ 1) i 1094-1109 MPa (typ 2). a)

Я\

im

b)

Л

«8

3012.5

H-

9 9

ТгГ\

ZD л

Y1860S7

<2012

4

S\

2012

The analysed elements have a rectangular cross-section with dimensions presented in Figs. 10a and b. The elements are simply supported, with a total span of 9.0 m - Fig. 10c. The load is evenly distributed, and at the moment of starting the heating it amounts to 15 kN/m, which accounts for approx. 50% of the failure load. Two types of strand configuration were considered - Fig. 10a and b. The stress in the strands (initial stress after losses and from the load) at the heating onset amounts to 1103 MPa (type 1) and 1094-1109 MPa (type 2). c)

л

«8

3012.5

Y1860S7 42*12

g

irt

Rycina 10. a) przekroj poprzeczny - element typu 1, b) przekroj poprzeczny - element typu 2, c) schemat statyczny i model MES analizowanego elementu Figure 10. a) cross-section - type 1 element, b) cross-section - type 2 element, c) static diagram and FEM model of the analysed structure Zrodto: Opracowanie wtasne. Source: Own elaboration.

Parametry mechaniczne betonu w temperaturze zwyktej i wy-sokiej przyj^to jak dla klasy C45/55. Zbrojenie spr^zajqce stano-wiq sploty siedmiodrutowe ze stali gatunku Y1860S7 o wytrzyma-tosci na rozciqganie 1860 MPa i umownej granicy plastycznosci 1600 MPa. W podejsciu EM wtasciwosci reologiczne stali splotow w wysokiej temperaturze przyj^to na podstawie pracy [22] jak dla stali BS 5896. Granica plastycznosci stali zbrojeniowej zwyktej wynosi 500 MPa, a ciqgliwosc odpowiada klasie C. Parametry mechaniczne w wysokiej temperaturze tej stali dobrano na podstawie [3] jak dla klasy N. Parametry reologiczne w podejsciu EM ustalono na podstawie pracy [21] jak dla stali ASTM A 36-66.

Dyskretyzacja konstrukcji pokazana jest na ryc. 10c. Na po-ziomie przekroju poprzecznego wymiar elementu skonczonego wynosi 1,25 cm x 1,5 cm, a prz^sto podzielono na 20 elementow skonczonych. Program nagrzewu belek prowadzony byt wedtug standardowej krzywej temperatura-czas ISO 834 [29]. Ogrze-wano spod belki i powierzchnie boczne zaktadajqc radiacyjng i konwekcyjnq sktadowq g^stosci strumien ciepta w kierunkach normalnych do tych powierzchni.

Wyniki obliczen belek zostaty przedstawione na ryc. 11-13. Na ryc. 11a pokazano rezultaty otrzymane dla roznych mode-li efektow petzania stali zbrojeniowej i spr^zajqcej (podejscia IM i EM) oraz wptyw konfiguracji splotow na przebieg krzy-wych ugi^cie - czas trwania pozaru. Bez wzgl^du na spo-sob uwzgl^dniania petzania stali zbrojeniowej w przebiegu

The mechanical parameters of concrete at normal and high temperature were adopted as for class C45/55. The pre-stressing reinforcement consists of seven-wire strands made of steel Y1860S7 with a tensile strength of 1860 MPa and the 0.1% proof-stres of 1600 MPa. In the EM approach, the rheolog-ical properties of prestressing steel at high temperature were adopted on the basis of [22], as for steel BS 5896. The yield stress for reinforcing steel is 500 MPa, and its ductility corresponds to class C. The mechanical parameters of this type of steel at high temperatures were selected on the basis of [3] as for class N. The rheological parameters in the EM approach were determined on the basis of [21], as for steel ASTM A 36-66.

The structure's discretisation is presented in Fig. 10c. At the cross-section level, the finite element size is 1.25 cm x 1.5 cm, and the span was divided into 20 finite elements. The beam heating programme was executed according to the standard temperature-time curve in line with ISO 834 [29]. The bottom and lateral surfaces of the beam were heated, assuming the radiation and convection heat flux in directions normal to these surfaces.

Results of the calculations are presented in Figs. 11-13. Fig. 11a shows the results obtained for various models of the effects of reinforcing and prestressing steel creep (the IM and EM approaches) and shows the effect of strands configuration on the course of the deflection/ time of fire curves. Regardless

krzywych deformacje - czas nagrzewu mozna wyroznic trzy fazy. Pierwsza faza charakteryzuje si? duzym przyrostem de-formacji, nast?pna zblizona jest do liniowej zmiany przemiesz-czenia w czasie nagrzewu. Ostatnia faza to wyrazny rozwoj odksztatcen petzania z duzymi przyrostami deformacji pro-wadzqcymi do zniszczenia. Modele stali typu IM, podobnie jak w przypadku ptyt, prowadzq do zwi?kszenia odpornosci ognio-wej o okoto dziesi?c procent. Podobnego rz?du jest wptyw kon-figuracji splotow w przekroju.

Na ryc. 11b przeanalizowany zostat wptyw podejscia do modelowania odksztatcen petzania betonu w niestacjonarnym polu termicznym na odpowiedz konstrukcji. Obliczenia przepro-wadzono dla belki typu 2. Model betonu typu IM prowadzi do wi?kszych deformacji niz model EM dla danej chwili czasowej. Przyj?ty model petzania betonu ma niewielki wptyw na odpor-nosc ogniowq elementu. Wynika to z faktu, ze w okresie poprze-dzajqcym zniszczenie praktycznie caty przekroj jest zarysowany - ryc. 11d. Strefa sciskana zlokalizowana jest po nienagrzewa-nej stronie przekroju, zatem rozwoj odksztatcen petzania w niestacjonarnym polu termicznym jest ograniczony (ryc. 13c) i ma niewielki wptyw na osiqganq odpornosc ogniowq.

Na ryc. 12 przedstawiono pola temperatury i napr?zen po 40 i 83 minutach nagrzewu konstrukcji w srodku prz?sta elementu typu 1. Duzy gradient temperatury powoduje dodatkowy uktad samorownowazqcych si? napr?zen w przekroju. W efek-cie w strefie srodkowej rdzen przekroju jest rozciqgany, nato-miast przy ogrzewanych powierzchniach bocznych wyst?puje sciskanie. Uktad napr?zen zmienia si? dopiero bezposrednio przed zniszczeniem na przedstawiony na ryc. 12d. Wyst?puje tu wyrazna strefa sciskana przy kraw?dzi gornej, natomiast po-zostata cz?sc przekroju jest zarysowana. Na ryc. 13 pokazano przyktadowe rozktady poszczegolnych odksztatcen przekroju poprzecznego w srodku prz?sta dla podejscia EM po 83 minutach nagrzewu. Efekty petzania betonu w niestacjonarnym polu termicznym lokalizujq si? przy ogrzewanych kraw?dziach konstrukcji, gdzie zmiany temperatury w czasie sq najwi?ksze oraz wyst?pujq napr?zenia sciskajqce. Odksztatcenia petzania str majq przeciwny znak do odksztatcen termicznych i majq charakter tagodzqcy, relaksujqcy duzy gradient tych odksztatcen. a) 0

E 100 ■ E

300 -350 -400

Type 1: explicit concrete, explicit steel Type 1: explicit concrete, implicit steel Type 2: explicit concrete, explicit steel Type 2: explicit concrete, implicit steel

0

~~i—1—i—1—r

40 60 80

Fire duration [min]

of the manner of accounting for the reinforcing steel creep, three phases can be identified in the deflection/ time of fire curves. The first phase is characterised by a large strain increase, while the next phase is similar to a linear change of displacements during heating. The last phase marks the clear development of creep strains with large increases of deflection leading to failure. Similarly to the slabs the IM steel models lead to an increase in fire resistance by approx. 10%. The impact of strand configuration at the section is similar.

10%. The effect of strand configuration in the cross-section is similar. Fig. 11b illustrates the effect of the approach to concrete creep strain modelling of transient creep of concrete on the structure ' s mechanical response. The calculations were performed for a type 2 beam. The IM concrete model leads to greater deformations than the EM model for a specific time instant. The adopted concrete creep model has a limited inluence on the element's fire resistance. This results from the fact that in the period preceding the failure, cracks are presents throughout the section - Fig. 11d. The compressed area is located on the unheated side of the section, so the development of creep strains in the transient thermal field is limited (Fig. 13c) and has a marginal influence on the achieved fire resistance.

Fig. 12 presents temperature and stress fields after 40 and 83 minutes of heating the structure at the midspan of a type 1 element. A high temperature gradient results in an additional system of self-balancing stresses at the cross-section. As a result, at the midspan, the core of the section is subjected to tension whereas the heated lateral areas are compressed. The arrangement of stresses changes directly before failure to the one presented in Fig. 12d. There is a clearly visible compressed area at the upper edge, and the remaining part of the section is cracked. Fig. 13 demonstrates examples of the distribution of particular cross-section strains at the midspan for the EM approach after 83 minutes of heating. Concrete transient creep strains are located at the heated edges of the structure, where temperature changes in time are the highest and compressive stresses occur. Creep strains str have an opposite sign to thermal strains and have a relaxing effect on the high gradient of these strains. b) 0 ■

E 100 -E

300 -350 -400

Explicit concrete, explicit steel Explicit concrete, implicit steel Implicit concrete, explicit steel Implicit concrete, implicit steel (EC2 recommendation)

0

20

H 1 I 1 r

40 60 80

Fire duration [min]

I

100

Rycina 11. Zaleznosc czas nagrzewu - ugiçcie przçsta: a) wptyw konfiguracji splotow i podejscia do modelowania petzania stali (EM vs IM), b) efekt podejscia IM i EM do modelowania petzania betonu w niestacjonarnych warunkach termicznych

Figure 11. Time of heating - midspan deflection relations: a) the effect of strand configuration and the approach to the modelling of steel creep (EM vs. IM), b) the effects of the IM and EM approaches to modelling the transient creep of concrete Zrodto: Opracowanie wtasne. Source: Own elaboration.

50 —

50 -

150 —

150 -

== 200 —

>5 200 —

<0 250 —

ro 250 —

100

120

120

a) Q [°C]

b) U [MPa]

c) Q [°C]

d) U [MPa]

Rycina 12. Belka typu 1 - pola temperatury i napr^zen w przekroju po 40 i 83 min pozaru Figure 12. Type 1 beam - stresses and temperatures at the section after 40 and 83 min of fire Zrodto: Opracowanie wtasne. Source: Own elaboration.

t = 40 min

t = 40 min

t = 83 min

t = 83 min

d) E

Rycina 13. Belka typu 1- odksztatcenia w przekroju po 83 min pozaru (EM) Figure 13. Type 1 beam - strains at the section after 83 minutes of fire (EM) Zrodto: Opracowanie wtasne. Source: Own elaboration.

a)

b)

c)

th.c

tr.c

Uwagi ogolne i dyskusja wynikow

Zaprezentowane w poprzednich punktach symulacje obli-czeniowe dostarczajq szeregu informacji na temat zachowania si? elementow strunobetonowych w sytuacji pozaru. Wyniki ob-liczen stanowiq wazne uzupetnienie doswiadczen, mi?dzy in-nymi ze wzgl?du na duzq trudnosc lub wr?cz brak mozliwosci wykonania pomiaru eksperymentalnego wielu wielkosci me-chanicznych w trakcie pozaru (np. odksztatcen w przekroju).

Zarowno elementy ptytowe z jednowymiarowym przewodze-niem ciepta, jak i elementy belkowe z dwuwymiarowym polem temperatury zachowujq si? bardzo podobnie w procesie nagrze-wu. W przypadku elementow ptytowych mozna zaobserwowac, ze modele IM stali spr?zajqcej prowadzq w przypadku elemen-tow z grubszq otulinq zbrojenia do gorszych oszacowan odpor-

General notes and discussion of results

The computational simulations presented above provide a lot of information on the behaviour of pretensioned concrete elements in the case of fire. The results of calculations constitute a crucial addition to experiments, inter alia, due to the considerable difficulty, or even impossibility, of making experimental measurements of many mechanical values during a fire (e.g. strains at the section).

Both slab elements with a one-dimensional heat conduction and beam elements with a two-dimensional temperature field behave in a very similar way when heated. In the case of slab elements, it can be observed that the IM models of prestress-ing steel for elements with a thicker reinforcement cover lead to poor estimations of fire resistance. This evidently results from

nosci ogniowej. Jest to wyrazny efekt braku jawnej zaleznosci odksztatcen wysokotemperaturowego petzania stali od czasu. Modele typu EM sq w jawny sposób funkcjq czasu, stqd symula-cje obliczeniowe wykorzystujqce podejscie EM dla stali prowa-dzq do znacznie lepszej zgodnosci z eksperymentem.

Gtównq trudnosciq w stosowaniu modeli EM stali jest brak uniwersalnych wartosci statych materiatowych opisujqcych od-ksztatcenie petzania. Nawet w obrçbie jednego typu stali (np. stal sprçzajqca obrabiana na zimno o niskiej relaksacji [21], [22], [24]) state materiatowe w równaniach od (9) do (11) istotnie róz-niq siç w zaleznosci od jej gatunku. Intensywnosc petzania w wy-sokiej temperaturze i przebieg tego zjawiska obserwowany na poziomie makroskopowym jest miçdzy innymi wynikiem dyfu-zji pierwiastków chemicznych stanowiqcych dodatek (np. mangan, krzem, chrom) w sieci krystalicznej utworzonej przez zelazo i wçgiel. Dyfuzja tych pierwiastków prowadzi do powstania tzw. wakansów w sieci krystalicznej i przy jednoczesnym dziataniu naprçzenia zwiqzanych z tym dyslokacji w sieci krystalicznej stali [30]. Stqd istotna zaleznosc zjawiska petzania wysokotemperaturowego od sktadu chemicznego stali. Jednakze na etapie projektowania konstrukcji sktad chemiczny stali nie jest cechq istotnq i zwykle nie jest znany co utrudnia stosowanie modeli EM.

Duzy gradient temperatury w przekroju analizowanych ele-mentów prowadzi do powstania naprçzen sciskajqcych wzdtuz nagrzewanego brzegu przekroju. Wewnqtrz przekroju beton jest rozciqgany lub zarysowany. Klasyczny uktad naprçzen w przekroju (tzn. strefa sciskana przy wtóknach górnych i zarysowana strefa rozciqgana) powstaje na etapie nagrzewu bliskiemu znisz-czeniu. W tym przypadku elementy strunobetonowe zachowujq siç podobnie jak zwykte konstrukcje zelbetowe, które w poczqt-kowym etapie nagrzewu majq zdolnosc do domykania rys dziçki duzym przypowierzchniowym odksztatceniom termicznym [11]. W wyniku tego mechanizmu gazy o wysokiej temperaturze nie penetrujq w gtqb przekroju, nawet jezeli konstrukcja byta zarysowana przed rozpoczçciem nagrzewu.

the lack of an explicit correlation between high-temperature steel creep and time. The EM models are an explicit function of time, thus numerical simulations employing the EM approach for steel lead to a considerably higher agreement between simulation results of simulations and experiments.

The main difficulty in applying EM models for steel is the lack of universal material constants describing creep strain. Even within one type of steel (e.g. low-relaxation cold-rolled pre-stressing steel [21], [22], [24]) material constants in equations (9) to (11) differ significantly depending on its grade. The intensity of creep at high temperature and the course of this phenomenon observed at the macroscopic level is, inter alia, the result of the diffusion of chemical elements constituting additives (e.g. manganese, silicon, chrome) in the crystalline network formed by iron and carbon. The diffusion of these elements leads to the so-called vacancies in the crystalline network. The vacancies with a simultaneous stresses result in the dislocations in the crystalline network of steel [30]. Therefore, there is a significant correlation between high-temperature creep and the chemical composition of steel. However, at the structure design stage, the chemical composition of steel is not a crucial characteristic and is usually not known, which makes EM models difficult to apply.

High temperature gradients in the cross-sections of the analysed elements lead to compressive stresses along the heated edges of the sections. Inside the cross-section, concrete is in tension or cracked. The typical distribution of stresses in the section (i.e. compressed area at the upper fibres and the cracked tension area) is created at the heating stage close to failure. In this case, pretensioned concrete elements behave similarly to ordinary reinforced concrete structures, which at the initial heating stage have the crack-closing ability due to high surface thermal strains [11]. As a result of this mechanism, high-temperature gases do not penetrate deep into the section even if the structure was cracked before heating.

Podsumowanie i wnioski

W artykule przedstawiono metodç analizy obliczeniowej prçtowych, zginanych konstrukcji sprçzonych w sytuacji pozaru rozwiniçtego opartq na siecznej sztywnosci. Zaprezentowano algorytm obliczeniowy podejscia 2De+1DM. Przeprowadzono obliczenia strunobetonowych ptyt sprçzonych ogrzewanych od spodu i strunobetonowych belek ogrzewanych z trzech stron. Szczegótowej analizie poddano sposób uwzglçdniania odksztatcen petzania betonu w niestacjonarnych warunkach termicznych oraz petzania stali zbrojeniowej i sprçzajqcej. Na pod-stawie przeprowadzonych symulacji obliczeniowych mozna sformutowac nastçpujqce wnioski:

1. Analiza obliczeniowa oparta na siecznej sztywnosci do-brze odtwarza zachowanie siç elementów strunobetonowych w sytuacji jednoczesnego obciqzenia mechanicz-nego i obciqzenia wysokq temperaturq.

2. Sposób uwzglçdniania odksztatcen petzania betonu w niestacjonarnym polu termicznym nie ma wiçkszego

Summary and conclusions

The article presented the computational analysis method for prestressed beam structures in the case of a developed fire based on secant stiffness. It explored a calculation algorithm for the 2D8+1DM approach. Calculations were performed for pretensioned concrete slabs heated from below and three-face heated pretensioned concrete beams. The method of accounting for concrete transient creep strains, reinforcing and pre-stressing steel creep strains was discussed in details. Based on the computational simulations, the following conclusions can be formulated:

1. The computational analysis based on secant stiffness accurately reflects the behaviour of pretensioned concrete elements in a situation of simultaneous mechanical and high-temperature loads.

2. The method of accounting for concrete transient creep strains does not have any major influence on the

wptywu na zachowanie si? elementow strunobetonowych w sytuacji pozaru i nie prowadzi do istotnych roznic w ob-liczonej odpornosci ogniowej. Model uwzglçdniania efek-tow petzania betonu przyjçty w obowiqzujqcej normie do projektowania konstrukcji z betonu (Eurokod 2-1-2) jest zatem wystarczajqco poprawny.

3. Modele stali zbrojeniowej i sprçzajqcej, w ktorych petza-nie jest uwzglçdniane w sposob bezposredni, prowadzq do blizszych rzeczywistosci wynikow niz model typu IM. Generalnie model typu IM stali zbrojeniowej prowadzi do niedoszacowania ugi?c konstrukcji.

4. Gtowne ograniczenie w obliczaniu konstrukcji strunobetonowych metodq EM stanowi brak uniwersalnych statych materiatowych do opisu petzania stali zbroje-niowych i sprçzajqcych wykorzystywanych w praktyce. State te zalezq mi?dzy innymi od sktadu chemicznego stali, ktory jest rozny w zaleznosci od jej gatunku.

5. Wptyw podejscia EM i IM do modelowania efektow petzania stali zbrojeniowej na obliczeniowq odpornosc ogniowq jest niewielki. Model EM prowadzi do oszacowan bardziej zgodnych z eksperymentem niz podejscie IM. Roznica w uzyskanych w obliczeniach odpornosciach ogniowych wynosi okoto 10%. Wartosc ta w wiçkszosci przypadkow inzynierskich dotyczqcych elementow zginanych, strunobetonowych nie ma istotnego znaczenia z punktu widze-nia bezpieczenstwa pozarowego konstrukcji.

6. W przypadku analizowanych konstrukcji strunobetonowych odksztatcenia petzania betonu w niestacjonarnym polu termicznym (podejscie EM) osiqgajq niewielkie war-tosci. Jest to charakterystyczne w przypadku konstrukcji obciqzonych bez udziatu sciskajqcej sity podtuznej, ktorych strefy sciskane sq po stronie nienagrzewanej (zazwyczaj sq to elementy jednoprzçstowe, statycznie wyznaczalne). W przypadku konstrukcji tego typu odksztatcenia petzania w warunkach niestacjonarnych majq charakter relaksacyjny w odniesieniu do duzych odksztatcen termicznych i ich gradientow w obszarach poddanych bezposredniemu dziataniu ognia.

7. Przedstawione podejscie obliczeniowe moze byc z powo-dzeniem wykorzystane w rozwiqzywaniu praktycznych pro-blemow inzynierskich w procesie projektowania konstrukcji oraz w sytuacji eksperckiej oceny obiektow istniejqcych.

behaviour of pretensioned concrete elements in the case of fire and does not lead to any significant differences in the calculated fire resistance. The model for including concrete creep effects, as adopted in the currently binding standard for the design of concrete structures (Eurocode 2-1-2), is therefore sufficiently accurate.

3. Reinforcing and prestressing steel models in which creep is accounted for explicitly lead to more realistic results than the IM model. In general, the IM model of reinforcing steel leads to the underestimating of the deflection of structures.

4. The main limitation of the calculations for pretensioned concrete elements using the EM method is the lack of universal material constants to describe the creep of reinforcing and prestressing steel used in practice. These constants depend primarily on the chemical composition of steel, which differs depending on steel grade.

5. The effect of the EM and IM approaches to the modelling of reinforcing steel creep effects on the computed fire resistance is limited. The EM model leads to estimations which are more in line with experimental results than the IM approach. The difference in the calculated fire resistance amounts to approx. 10%. In most engineering cases referring to pretensioned concrete elements subjected to bending, this difference is not significant from the perspective of the structure's fire safety.

6. In the case of the analysed pretensioned concrete structures, transient creep strains of concrete (the EM approach) have low values. This is characteristic for structures loaded without any longitudinal compressive force, where compressed areas are on the unheated side (usually these are statically determined single-span elements). In the case of structures of this type, creep strains in transient conditions have a relaxing effect with reference to large thermal strains and their gradients in areas directly exposed to fire.

7. The presented computational approach can be successfully applied to solve practical engineering problems in the structure design process and for expert assessments of existing structures.

Literatura

[1] Ustawa z dnia 7 lipca 1994 r. - Prawo budowlane (Dz.U. 2007 nr 44, poz. 287).

[2] Rozporzgdzenie Ministra Infrastruktury w sprawie warunków tech-nicznych, jakim powinny odpowiadac budynki i ich usytuowanie z dnia 12 kwietnia 2002 r. (Dz.U. Nr 75, poz. 690).

[3] PN-EN 1992-1-2:2008 Eurokod 2: Projektowanie konstrukcji z betonu - Cz^sc 1-2: Reguty ogólne. Projektowanie z uwagi na warunki pozarowe.

[4] Ser^ga S., A new simplified method for determining fire resistance of reinforced concrete sections, w: Proceedings of 6th International Conference Analytical Models and New Concepts in Concrete and Masonry Structures, 383-384, CD, 2008.

[5] Meda A., Gambarova P.G., Bonomi M., High-performance concrete in fire-exposed reinforced concrete sections, "ACI Structural Journal" 2002, 99, 277-287.

[6] Gawin D., Pesavento F., Schrefler B.A., Modeling of hygro-thermal behaviour of concrete at high temperature with thermo-chemical and mechanical material degradation, "Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering" 2003,(192), 1731-1771.

[7] Ser^ga S., Effect of transverse reinforcement spacing on fire resistance of high strength concrete columns, "Fire Safety Journal" 2015, 71, 150-161.

[8] Bratina S., Planinc I., Saje M., Turk G., NNon-linear fire-resistance analysis of reinforced concrete beams, "Structural

Engineering and Mechanics" 2003, 16, 695-712, DOI: 10.12989/ sem.2003.16.6.695.

[9] Capua D.D., Mari A.R., Nonlinear analysis of reinforced concrete cross-sections exposed to fire, "Fire Safety Journal" 2007, 42, 139-149.

[10] Kodur V.K.R., Dwaikat M., A numerical model for predicting the fire resistance of reinforced concrete beams, "Cement and Concrete Composites" 2008, 30, 431-443.

[11] Ser?ga S., Wosatko A., Numerical prediction of fire resistance of RC beams, w: AIP Conference Proceedings, 2018, 130001-1-130001-10.

[12] Andenberg Y., Thelandersson S., Stress and Deformation Characteristics of Concrete at Elevated Temperatures, Lund Institute of Technology, Lundt1976.

[13] Nielsen C., Pearce C., Bicanic N., Improvedphenomenologicalmodelling of transient thermal strains for concreter at high temperatures, "Computers and Concrete" 2004, 1, 189-209.

[14] Gernay T., Franssen J.-M., A formulation of the Eurocode 2 concrete model at elevated temperature that includes an explicit term for transient creep, "Fire Safety Journal", 2012, 51, 1-9.

[15] ENV 1992-1-2:1995 Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1.2: General rules - Structural fire design.

[16] Hordijk D.A., Local Approach to Fatigue of Concrete, Delft University of Technology, 1991.

[17] Zhang B., Bicanic N., Fracture energy of high-performance concrete at high temperatures up to 450C: the effects of heating temperatures and testing conditions, "Magazine of Concrete Research" 2006, 58, 277-288.

[18] Weigler H., Fischer R., Concrete at Temperatures between 100°C and 750 °C, "Beton Herstellung und Verwedung" 1964, 33-46.

[19] Persson B., Self-compacting concrete at fire temperatures, "Tech. Rep. TVBM" 2003, 3110, Lund University.

[20] Harmathy T.Z., A comprehensive creep model, "Transactions of the ASME Journal of Basic Engineering" 1967, 89, 496-502.

[21] Harmathy T.Z., Stanzak W.W., Elevated temperature tensile creep properties of some structural and prestressing steels, "American Society for Testing and Materials" 1970, 464, 186-208.

[22] Gales J., Robertson L., Bisby L., Creep of prestressing steels in fire, "Fire and Materials" 2016, 40, 875-895.

[23] Toric N., Sun R.R., Burgess I.W., Creep-free fire analysis of steel structures with Eurocode 3 material model, "Journal of Structural Fire Engineering" 2016, 7, 234-248.

[24] Wei Y., Zhang L., Au F.T.K., Li J., Tsang N.C.M. , Thermal creep and relaxation of prestressing steel, "Construction and Building Materials" 2016, 128, 118-127.

[25] Ruge J., Winkelmann O., Method for the determination of a critical value in case of instationary heating when simulating the influence of fire on steel, "Materialpruf" 1977, 19.

[26] Voves B., Behaviour of prestressed concrete structures during fire,. Czech Technical University, Prague 1978.

[27] Anderberg Y., Properties of Materials at High Temperatures Steel, Tech. rep., Division of Building Fire Safety and Technology, Lund Institute of Technology, 1983.

[28] Gustaferro A., Selvaggio S. L., Fire endurance of simply supported prestressed concrete slabs, "PCI Journal" 1967, 12, 37-52.

[29] PN-EN 1991-1-2:2004 Oddziatywania na konstrukcje. Cz^sc 1-2: Oddziatywania ogolne - Oddziatywania na konstrukcje w warunkach pozaru.

[30] Poirier J.P., Creep of crystals: High-temperature deformation processes in metals, ceramics and minerals, Cambridge University Press, 1985.

DR INZ. SZYMON SERfGA - jest adiunktem w Zaktadzie Konstruk-cji Zelbetowych w Instytucie Materiatow i Konstrukcji Budowlanych na Wydziale Inzynierii Lgdowej Politechniki Krakowskiej. Jego zain-teresowania naukowo-badawcze dotyczg doswiadczalnych i obli-czeniowych metod oceny nosnosci i trwatosci konstrukcji z betonu, w szczegolnosci zachowania si^ konstrukcji zelbetowych i spr^zo-nych w sytuacji pozaru.

SZYMON SERfGA, PH.D. ENG. - Assistant Professor at the Department of Reinforced Concrete Structures, the Institute Building Materials and Engineering Structures, the Faculty of Civil Engineering, the Cracow University of Technology. His scientific and research interests focus on experimental and computational methods for assessing the capacity and durability of concrete structures, and in particular the behaviour of reinforced concrete and prestressed structures in fire.

Ministerctwo Nauki i Szkolnictwa Wyzszego

Stworzenie angloj^zycznych wersji oryginalnych artykutow naukowych wydawanych w kwartalniku „BITP. Bezpieczeristwo i Technika Pozarnicza" - zadanie finansowane w ramach umowy 658/P- DUN/2018 ze srodkow Ministra Nauki i Szkolnictwa Wyzszego przeznaczonych na dziatalnosc upowszechniaj^c^ nauk^.