CC BY
9ЧИСЛЕННОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ МОДОВОГО СОСТАВА ИОНООБМЕННЫХ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ
Прохоров В.П., Яковенко Н.А.
ФГБОУ ВО «Кубанский государственный университет», г. Краснодар
Аннотация
Рассмотрено получение полуэмпирического соотношения связи между ключевыми параметрами технологического процесса ионного обмена и модовым составом {m} получаемых градиентных волноводов F(C0, T, t, X, m) = 0 (С0 -концентрация ионов диффузанта в солевом расплаве, t и T - время и температура ионообменной диффузии, X - длина волны используемого излучения), позволяющего прогнозировать технологические параметры изготовления одномодовых или маломодовых ионообменных волноводов в стеклах.
Ключевые слова: волноводная фотоника, ионообменные оптические волноводы, градиентный профиль показателя преломления, эффективная глубина волновода, поверхностное значение показателя преломления волновода, время и температура ионообменной диффузии, волноводные моды.
В монографии [1] была представлена структурная схема проектирования технологических условий изготовления ионообменных оптических волноводов с требуемыми параметрами. В работах [2, 3] были последовательно рассмотрены результаты практической реализации следующих задач:
- получение полуэмпирической зависимости An(C0) - максимального приращения показателя преломления волновода An от концентрации ионов диффузанта С0 в солевом расплаве [2],
- численная аппроксимация температурной зависимости D(T) -коэффициента диффузии активных внедряющихся в подложку ионов D от температуры T технологического процесса ионного обмена [3].
В данной работе рассмотрено получение весьма удобного с точки зрения проектирования полуэмпирического соотношения, связывающего непосредственные параметры ионного обмена (Со, t, T) с модовым составом {m} планарного градиентного волновода
F(Co, T, t, X, m) = 0.
Данное уравнение связи позволяет эффективно подобрать необходимые диапазоны изменения технологических параметров (Со, t, T) для достижения требуемого модового состава {m} ионообменного волновода в стеклянных подложках с учетом используемой длины волны излучения X.
Планарный ионообменный волновод характеризуется следующими основными волноводными параметрами:
1) количеством направляемых мод {m},
2) значениями {Nm} соответствующих эффективных показателей преломления волноводных мод;
3) распределениями {Em(x, y, z)} полей собственных мод.
Перечисленные передаточные характеристики, в свою очередь
определяются следующими технологическими параметрами волновода:
1) показателями преломления подложки (ns) и покровного слоя (nc);
2) значением показателя преломления на поверхности волновода (ns + An), т.е. максимальным приращением An;
3) значением эффективной глубины волновода
d = 2^J~Dt,
являющейся характеристической глубиной профильной функции n(x). Здесь D - коэффициент диффузии внедряемых активных ионов (коэффициент самодиффузии); t - время ионного обмена;
4) видом ионнообменного профиля показателя преломления
n(x) = ns +Anfx) или n(a) = ns +Anf a),
где a = x/d - нормированная глубина волновода, а fa) - профильная функция волновода.
Для расчета эффективных показателей преломления волноводных мод {Nm} используется дисперсионное ВКБ-уравнение
ko JVn2(x)
N dx
Г
1
m + —
v 4 у
л + arctg
1
N2 - п2
1У m ,lc
(ns +An) - N
2
m у
x
m
r
0
где k0 = 2n/X = ю/c - длина волны в вакууме, xm - точка поворота волноводной моды m-го порядка, а множитель ra определяет различие между модами ТЕ и ТМ поляризации: ra = 1 для ТЕ-мод и ra = (ns + An)2/nc2 для ТМ-мод.
Для планарного волновода с градиентным профилем n(a) в нормированных переменных дисперсионное уравнение принимает следующий вид:
am ___________ /
V J у] f (a) - bm da= m + — л + arctg J v 4 у
\a+_bm 1 - b_
(1)
0
где нормированная частота V волновода, с учетом условия слабой волноводности An << ns, определяется выражением
V = k0dyl(п + An)2 - n2s = 2k()yj2nsAnDt; (2)
am = xm/d - нормированная точка поворота; нормированная постоянная распространения для m-й моды ионообменного волновода выражается через эффективный показатель преломления этой моды следующим образом:
b
N2 - n 2
An • (2ns + An) ’
показатель асимметрии волновода a для мод ТЕ- и ТМ-типа равен
2 2 П„ - n
aTE
An(2ns + An)
aTM
f , л V П + An
n
a
TE
Для технологических процессов ионного обмена (и твердотельной диффузии) эффективная глубина d градиентного волновода определяется следующим образом [2]:
d = 2^D(T) • t, (3)
где D(T) - коэффициент диффузии активных внедряемых ионов (атомов), t -время ионого обмена (диффузии).
В работе [2] была исследована серия волноводных образцов, изготовленных при различной температуре T технологического процесса (T ф const, С0 = const, t = const), что позволило установить функциональный характер температурной зависимости D(T):
D(T) = D • exp(-AH / RT), (4)
где D0 - диффузионная постоянная; AH - энергия активации; R -универсальная газовая постоянная.
Выполненный полуэмпирический анализ температурной зависимости коэффициента диффузии позволяет установить очень важное полуэмпирическое соотношение d(t) между эффективной глубиной волновода d и временем ионообменной диффузии t. С учетом (1) и (2) данная функциональная зависимость отображается степенной аппроксимацией
d(t) = c*Jt,
где постоянная c определяется зависимостью
c = 2ylD0 exp(-AH / RT).
Можно также получить полуэмпирическую формулу зависимости эффективной глубины волновода d от температуры ионного обмена T при фиксированном времени t процесса. Из уравнений (3) и (4) получаем
d(T) = 2^JD e Ш/RT t = C ' exP
f
V
(5)
где постоянные
C = 2ylD0 • t, C = AH /2R.
Нелинейная регрессионная функция, наилучшим образом аппроксимирующая полученные полуэмпирические данные D(T), имеет следующий вид:
D(T) = 6828.1337 • exp
3672.5651 ^ J
T
(6)
В работе [2] были получены полуэмпирические формулы
Ап = /(С0),
обеспечивающая весьма существенную для технолога связь между волноводным параметром An и технологическим параметром Со.
Соответствие различных способов выражения молярных концентраций компонентов солевого расплава AgNO3+NaNO3 приводится в табл. 1.
Табл. 1. Соответствие молярных концентраций компонентов
расплава AgNO3+NaNO3
Относительная молярная концентрация компонентов расплава Относительная молярная концентрация ионов диффузанта Ag+ в расплаве Относительная молярная концентрация AgNO3 в расплаве Относительная молярная концентрация NaNO3 в расплаве
20 : 1 0,6195 0,9756 0,0244
10 : 1 0,6047 0,9524 0,0476
5 1 0,5772 0,9091 0,0909
1 1 0,4232 0,6667 0,3333
1 5 0,1813 0,2857 0,7143
1 : 10 0,1058 0,1667 0,8333
1 : 20 0,0577 0,0909 0,9091
Экспериментально была получена и исследована серия ионообменных волноводных образцов в стеклянных подложках К8 и КФ4 с различной молярной концентрацией С0 соли AgNO3 в солевом расплаве AgNO3 + NaNO3, но одинаковых температуре T и времени t ионного обмена (C0 Ф const, T = const, t = const).
Наилучшее регрессионное приближение в данном случае дает дробнорациональная функция. Полуэмпирическая формула An(C0) для стекла К8 имеет вид
An =
C
о
10,323 • C0 + 0,352
(7)
а для стекла КФ-4:
An =
11,8 • C0 + 0,467
(8)
_3
Соответствующие среднеквадратичные погрешности aK8 = 2,7-10 ,
__-5
qKF4 = 1,1-10 и коэффициенты корреляции yK8 = 0,974, yKF4 = 0,996.
Исходное дисперсионное ВКБ-уравнение для планарного волновода с градиентным профилем n(a) в нормированных переменных имеет вид (1). В условиях отсечки m-й моды, когда ат ^ да, bm ^ 0, данное уравнение упрощается:
да
V f (a) d а
0
( 1 ^ m + —
l 4)
п + arc
Используя выражение для нормированной частоты (2), в итоге получаем:
да
2k0yj 2ns AnDt f (a) d a
0
( 1 ^ m + —
l 4)
n + arc
Учитывая температурную зависимость коэффициента диффузии (6) и полуэмпирическую формулу An(C0) для стекол К8 (7) и КФ-4 (8) имеем следующую оценочную формулу:
Zk0nsD0e
-AH / RT
An(C0) t
f 1 >
m + — n + arctg
l 4)
2 2 П - nc
2ns An(Co)
-i2
jyj f (a) d a
(9)
где An(C0) - полученное ранее полуэмпирическое соотношение связи между An на поверхности градиентного волновода и концентрацией С0 диффузанта в солевом расплаве.
Если профиль волновода описывается erfc-функцией, то можно численно оценить величину интеграла в (9)
I = JV erfc(a) da = 0,9219; I2 = 0,85
0
и записать (9) в следующем виде:
D(T) -An(C0) -t
(4m + 1)n + 4arctg
i
-i2
n
n
2ns An(C0)
A 2
429,49 - n (A)
откуда получаем окончательную функцию t(m, С0, A), представляющую собой соотношение связи между параметрами (С0, T, t, A, m) для градиентных волноводов с erfc-профилем, записанное с учетом дисперсии ns(A) показателя преломления подложки.
t (m, Co, T, A)
(4m + 1)n + 4arctg
V
2 2 n „ - n „
2
2ns •An(Co)
A2
429,49 - D(T) -An(C0) - ns (A)
(10)
Входящие в (10) технологические параметры С0 и t отвечают таким значениям эффективной глубины d и An, которые обеспечивают режим отсечки m-й моды при фиксированной температуре T ионообменной диффузии.
Полученные ранее полуэмпирические данные D(T) (6), а также полуэмпирические соотношения связи An(C0) для стекол К8 (7) и КФ-4 (8) позволяют конкретизировать формулу (10) для ионообменных Ag+:K8-волноводов
-i2
(4m + 1)л + 4arctg
t (m, C0, T, X) =-
429,49 • 6828,1337 • exp
и ионообменных Ag+:KФ4-волноводов
1
2 2 П - nc
2ns (X)'
C
10,323 • C + 0,352
X2
3672,5651
T
C
10,323 • C + 0,352
•s (X)
t (m, C0, T, X) =
“i2
(4m + 1)л + 4arctg
22 n „ - n
Cp
11,8 • C + 0,467
X2
2ns (X)'
429,49 • 6828,1337 • exp
3672,5651
T
C0
11,8 • C0 + 0,467
• ns (X)
Последние два полученных уравнений связи позволяют эффективно подбирать необходимые диапазоны изменения технологических параметров (C0, T, t) для достижения требуемого модового состава {m} ионообменных волноводов в стеклянных подложках на используемой рабочей длине волны излучения.
Численные расчеты полученных полуэмпирических соотношений связи t(m, C0,T, X) выполнялись для Ag+:K8- и Ag+:KФ4-волноводов.
Соответствующие параметрические семейства отсечных кривых при температуре T = 320 °С для X = 0,6328 мкм приводятся на рис. 1 (Ag+:K8-волноводы) и рис. 2 (Ag+:KФ4-волноводы). Поскольку полученные уравнения
связи учитывают дисперсию ns(X) показателя преломления подложки, численный расчет отсечных m-кривых может быть выполнен и для других рабочих длин волн используемого излучения.
Температура Т= 320°С; Л =0,6328 мкм.
к
к
со
-©н
-©н
К
П
3S
О
ю
о
S
§
Он
m
Отношение молярной концентрации AgNO3 в расплаве, Со
1
Рис. 1. Семейство кривых t(m, C0) для Л§+:К8-волноводов
Температура Т= 320°С; Л =0,6328 мкм.
Отношение молярной концентрации AgNO3 в расплаве, Со
Рис. 2. Семейство кривых t(m, Co) для Л§+:КФ4-волноводов На рис. 3 и 4 приведены отсечные кривые для Л§+:К8-волноводов при температуре T = 320 °С для длин волн X = 1,3 и 1,55 мкм.
Рис. 3. Модовый состав для Л§+:К8-волноводов на X = 1,3 мкм.
Рис. 4. Модовый состав для Л§+:К8-волноводов на X = 1,55 мкм.
Очевидно, что с помощью приведенных кривых можно подобрать необходимые технологические параметры Со и t, позволяющие при фиксированной температуре T формировать градиентные волноводы с требуемым числом поддерживаемых направляемых мод.
Библиографический список
1. Прохоров В. П. Моделирование физико-технологических параметров оптических ионообменных волноводов: монография / В. П. Прохоров, Н. А. Яковенко. - Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 2014. 198 с.
2. Асланов Д. М. Методика получения полуэмпирических соотношений связи между технологическими параметрами ионообменных оптических волноводов / Д. М. Асланов, Я. А. Козлов, А. М. Мамонова, К. А. Машинских, В. П. Прохоров // Современные проблемы физики, биофизики и инфокоммуникационных технологий. Коллективная монография. Выпуск 7. -Краснодар: Центр научно-технической информации (ЦНТИ) - филиал ФГБУ «РЭА» Минэнерго РФ, 2018. - С. 15-25.
3. Асланов Д. М. Численная аппроксимация зависимости коэффициента диффузии от температуры при изготовлении ионообменных оптических волноводов / Д. М. Асланов, В. В. Комник, В. П. Прохоров, Ф. А. Сидоркин, Е. Б. Хотнянская // Современные проблемы физики, биофизики и инфокоммуникационных технологий. Коллективная монография. Выпуск 8. -Краснодар: Центр научно-технической информации (ЦНТИ) - филиал ФГБУ «РЭА» Минэнерго РФ, 2019. - С. 5-15.
