CC BY
9ЧИСЛЕННАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ СВЯЗИ МЕЖДУ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ ИОНООБМЕННЫХ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ
Комник В.В., Прохоров В.П., Сидоркин Ф.А., Хотнянская Е.Б., Яковенко Н.А.
ФГБОУ ВО «Кубанский государственный университет», г. Краснодар
Аннотация
Представлены результаты численной аппроксимации функциональной связи между технологическими параметрами ионообменных Ag+:K8- и Л§+:КФ4-волноводов следующего типа d(t), d(T), d(C0), An(t), An(T), где d и An - эффективная глубина волновода и максимальное приращение его показателя преломления, t и T - время и температура ионообменной диффузии, C0 - концентрации ионов диффузанта в солевом расплаве.
Ключевые слова: волноводная фотоника, ионообменные оптические волноводы, градиентный профиль показателя преломления, эффективная глубина волновода, поверхностное значение показателя преломления волновода, время и температура ионообменной диффузии.
В монографии [1] была рассмотрена структурная схема проектирования технологических условий формирования ионообменных волноводов с требуемыми параметрами. В последующих работах [2-5] были последовательно представлены результаты практической реализации для ионообменных оптических волноводов следующих задач:
- численного моделирования градиентного профиля показателя преломления n(x) [2],
- численной аппроксимации важнейших технологических параметров (d, An) - эффективной глубины волновода d и максимального приращения его показателя преломления An [3],
- получения полуэмпирической зависимости An(C0) - максимального приращения показателя преломления волновода An от концентрации ионов диффузанта C0 в солевом расплаве [4],
- численной аппроксимации температурной зависимости D(T) -коэффициента диффузии D от температуры T при изготовлении ионообменных оптических волноводов.
В данной работе представлены результаты численной аппроксимации функциональной связи между технологическими параметрами ионообменных Ag+:K8- и Ag+:КФ4-волноводов следующего типа d(t), d(T), d(C0), An(t), An(T), где d и An - эффективная глубина волновода и максимальное приращение его показателя преломления, t и T - время и температура ионообменной диффузии, C0 - концентрации ионов диффузанта в солевом расплаве.
Для технологических процессов твердотельной диффузии и ионного обмена эффективная глубина диффузии d градиентного волновода определяется следующим образом [1]:
d = 2yj D (T )-t , (1)
где D(T) - коэффициент диффузии активных внедряемых ионов (атомов), t -время ионого обмена (диффузии).
В работе [5] была исследована серия волноводных образцов, изготовленных при различной температуре T технологического процесса (T ф const, C0 = const, t = const), что позволило установить функциональный характер температурной зависимости D(T):
D (T) = D0 - exp (-A H / RT) , (2)
где D0 - диффузионная постоянная; AH - энергия активации; R -универсальная газовая постоянная.
Выполненный полуэмпирический анализ температурной зависимости коэффициента диффузии позволяет установить очень важное полуэмпирическое соотношение d(t) между эффективной глубиной волновода d и временем
ионообменной диффузии I. С учетом (1) и (2) данная функциональная зависимость отображается степенной аппроксимацией
а (I) = с«^, (3)
где постоянная с определяется зависимостью
с = 2^О0 ехр (-А Н / ЯТ ) . (4)
Можно также получить полуэмпирическую формулу зависимости эффективной глубины волновода й от температуры ионного обмена Т при фиксированном времени ? процесса. Из уравнений (1) и (2) получаем
а (Т) = 2^007^ = с • ехр ^ , (5)
где постоянные
с, = 2л/О0 • I ,
с2 = A H /2 R .
^ответственно полученным данным для оптимального температурного интервала AT [5] для аппроксимаций (3) и (5) использовались измерения серии волноводных образцов, изготовленных при одинаковых концентрации С0, и температуре T, но с различными временами ионообменной диффузии t (C0 = const, T = const, t Ф const).
Численная обработка результатов для данной волноводной серии дает возможность установить полуэмпирическое соотношение d(t) для Ag+:K8- (см. рис. 1) и Ag+:KФ4-волноводов (см. рис. 2). Данные численные аппроксимации функциональной связи представлены в качестве примера.
Индекс корреляции для нелинейной регрессионной функции
d(t) = о,8262156V7 для Ag+:K8-волноводов (рис. 1): у = 0,9470207.
Индекс корреляции для нелинейной регрессионной функции d(t) = о,608096 VT для Ag+:KФ4-волноводов (рис. 2): у = 0,9988.
Рис. 1. Зависимость d = const л/Г = 0,826215^V7 для Л§+:К8-волноводов (С0 = 1 : 10; T = 350oC; • • • - полуэмпирические точки)
На рис. 3 в качестве примера приводятся параметрическое по температуре Т семейство кривых ) для Л§+:К8-волноводов, а на рис. 4 -параметрическое по времени ? семейство кривых й(Т) для Л§+:К8-волноводов.
В целом полуэмпирически определенные соотношения (3), (5) устанавливают очень важную для задач проектирования связь между волноводно-технологическим (<$) и чисто технологическими (?, Т) параметрами градиентных волноводов.
Рис. 2. Зависимость d = const = о,608096 VT для Л§+:КФ4-волноводов (Co = 10 : 1; T = 300oC; • • • - полуэмпирические точки)
Полученные для Л§+:К8- и Л§+:КФ4-волноводов полуэмпирические расчетные данные приводятся в табл. 1.
Указанные зависимости могут быть дополнены численно аппроксимированными зависимостями следующего типа:
1) эффективной глубины волновода й от концентрации Со ионов диффузанта в солевом расплаве й(С0);
2) максимального приращения Ап показателя преломления волновода от времени ? ионообменной диффузии Ап(1);
3) максимального приращения Ап показателя преломления волновода от температуры Т ионообменной диффузии Ап(Т).
Перечисленные полуэмпирические соотношения были получены для ионообменных Л§+:К8- и Л§+:КФ4-волноводов. Результаты численных расчетов иллюстрируют графические зависимости, представленные на рис. 3-9 и
полученные путем нелинейной или линеинои регрессии соответствующих эмпирических данных.
Рис. 3. Параметрические по температуре Т семейства кривых для Лв+:К8-волноводов (Со = 1 : 10; Т = 310оС (1), 320оС (2), 330оС (3),
340оС (4), 3500С (5), 3600С (6))
Эффективность линейной (нелинейной) регрессии | г | (у) оценивалась путем вычисления коэффициента (индекса) корреляции, приведенного в предшествующей работе [5]. Чем ближе абсолютная величина | г | (у) к 1, тем ближе к линии регрессии располагаются экспериментальные точки.
Во всех выполненных исследованиях коэффициент корреляции линейной регрессии и индекс корреляции нелинейной регрессии получен в пределах | г |, у е 0,95 ^ 0.99.
Рис. 4. Параметрическое по времени t семейство кривых й(Т) для Л§+:К8-волноводов (С0 = 1 : 10; t = 10 мин (1), 20 мин (2), 30 мин (3),
40омин (4), 50 мин (5), 60 мин (6))
Рис. 5. Нелинейная регрессия й (С0) =
1
для Л§+:К8-
0,74774 _ 0,09991 • Сг
' '0
волноводов (Т = 3000С; t = 20 мин; • • • - полуэмпирические точки)
Рис. 6. Нелинейная регрессия й (со) =
с
0,41596 • С - 0,00855
для Л§+:КФ4-
волноводов (Т = 3000С; t = 20 мин; • • • - полуэмпирические точки)
Рис. 7. Линейная регрессия А п (г) = - 0,000041 • г + 0,074882 для Л§+:К8-волноводов (С0 = 1 : 10; Т = 3500С; • • • - полуэмпирические точки)
Рис. 8. Линейная регрессия Ап(г) = -0,0000037 • г + 0,081278 для Л§+:КФ4-волноводов (С0 = 10 : 1; Т = 3000С; • • • - полуэмпирические точки)
Рис. 9. Линейная регрессия ап(т) = 0,068877 + 0,000019 • т для Л§+:К8-волноводов (С0 = 1 : 10; t = 20 мин; • • • - полуэмпирические точки)
Полученные для Л§+:К8- и Л§+:КФ4-волноводов результаты численной аппроксимации зависимостей ^) приводятся в табл. 1.
В табл. 2 представлены дополнительные полуэмпирические соотношения связи между технологическими параметрами d(С0), Ап(^, Ап(Т), полученные для Л§+:К8- и Л§+:КФ4-волноводов.
Заключительный этап исследований будет состоять в численном моделировании (на основе полученных результатов) удобных для технологического проектирования полуэмпирических соотношений, связывающих непосредственные параметры процесса ионного обмена (С0, t, Т) с модовым составом {т} планарного градиентного волновода, что позволяет эффективно прогнозировать технологические параметры процесса изготовления градиентных ионообменных волноводов с требуемыми волноводными характеристиками.
Табл. 1. Результаты численной аппроксимации зависимостей d(t) для Л§+:К8- и Л§+:КФ4-волноводов
Тип волновода Температура Т, оС Коэффициент диффузии О, мкм /мин Полуэмпирическая формула зависимости эффективной глубины градиентного волновода от времени d(t)
Лв+:К8 320 0,07636 а (г) = 0,5 527 у/г
325 0,08880 й (г) = 0,5 95^л/Т
330 0,10301 а (г) = 0,6419л/Т
350 0.15625 а (г) = 0,8262156>/7
Лв+:КФ4 300 0.092445 а (г) = 0,608096%/Т
Табл. 2. Дополнительные полуэмпирические соотношения связи между технологическими параметрами
Тип волновода Молярная концентра ция С0 Температура Т, ос Время t, мин Полуэмпирическое соотношение связи
Лв+:К8 - 300 20 1 й (С0) = 0,74774 - 0,09991 • С0
1 : 10 350 - Ап(г) = -0,0 00 041•г + 0,074 8 82
1 : 10 - 20 А п (Т ) = 0,068877 + 0,000019 • Т
Лв+:КФ4 - 300 20 с0 й (С 0) = 0 0,41596• С0 - 0,0085 5
10 : 1 - 300 Ап(г) = -0,0000037•г + 0,081278
Библиографический список
1. Прохоров В. П. Моделирование физико-технологических параметров оптических ионообменных волноводов: монография / В. П. Прохоров, Н. А. Яковенко. - Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 2014. 198 с.
2. Мамонова А. М. Численная аппроксимация профиля показателя преломления ионообменных оптических волноводов / А. М. Мамонова,
B. П. Прохоров, Е. Б. Хотнянская, Н. А. Яковенко // Современные проблемы физики, биофизики и инфокоммуникационных технологий. Коллективная монография. Выпуск 6. - Краснодар: Центр научно-технической информации (ЦНТИ), 2017. С. 39-49.
3. Прохоров В. П. Численная аппроксимация технологических параметров ионообменных оптических волноводов / В. П. Прохоров,
C. С. Савицкий, Е. Б. Хотнянская, Н. А. Яковенко // Современные проблемы физики, биофизики и инфокоммуникационных технологий. Коллективная
монография. Выпуск 6. - Краснодар: Центр научно-технической информации (ЦНТИ), 2017. С. 50-61.
4. Асланов Д. М. Методика получения полуэмпирических соотношений связи между технологическими параметрами ионообменных оптических волноводов / Д. М. Асланов, Я. А. Козлов, А. М. Мамонова, К. А. Машин-ских, В. П. Прохоров // Современные проблемы физики, биофизики и инфокоммуникационных технологий. Коллективная монография. Выпуск 7. -Краснодар: Центр научно-технической информации (ЦНТИ) - филиал ФГБУ «РЭА» Минэнерго РФ, 2018. - С. 15-25.
5. Асланов Д. М. Численная аппроксимация зависимости коэффициента диффузии от температуры при изготовлении ионообменных оптических волноводов / Д. М. Асланов, В. В. Комник, В. П. Прохоров, Ф. А. Сидоркин, Е. Б. Хотнянская // Современные проблемы физики, биофизики и инфокоммуникационных технологий. Коллективная монография. Выпуск 8. -Краснодар: Центр научно-технической информации (ЦНТИ) - филиал ФГБУ «РЭА» Минэнерго РФ, 2019. - С. 5-15.
