Численная аппроксимация зависимости коэффициента диффузии от температуры при изготовлении ионообменных оптических волноводов Текст научной статьи по специальности «Физика»

I. ФИЗИКА И АСТРОФИЗИКА

ЧИСЛЕННАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА ДИФФУЗИИ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ ПРИ ИЗГОТОВЛЕНИИ ИОНООБМЕННЫХ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ

Асланов Д.М., Комник В.В., Прохоров В.П., Сидоркин Ф.А., Хотнянская Е.Б.

ФГБОУ ВО «Кубанский государственный университет», г. Краснодар

Аннотация

Рассмотрена методика численной аппроксимации зависимости коэффициента диффузии О активных диффундирующих ионов из солевого расплава от температурного режима Т изготовления ионообменных оптических волноводов. Представлены результаты численной аппроксимации полуэмпирической зависимости О(Т) для ионообменных Л§+:К8-волноводов.

Ключевые слова: волноводная фотоника, ионообменные интегрально-оптические волноводы, градиентный профиль показателя преломления, эффективная глубина волновода, поверхностное значение показателя преломления волновода, коэффициент ионообменной диффузии, температура ионообменной диффузии.

Теоретическое моделирование параметров технологического процесса ионного обмена имеет большое значение прежде всего для проектирования технологических условий изготовления волноводных структур с требуемыми характеристиками, а также для проектирования различных элементов интегрально-оптических схем и оптимизации их волноводных характеристик.

Процесс формирования планарных градиентных волноводов путем ионного обмена из расплавов солей и используемое оборудование подробно рассмотрены в предшествующей монографии [1].

Планарный ионообменный волновод характеризуется следующими основными волноводными параметрами:

1) количеством направляемых мод {т},

2) значениями соответствующих эффективных показателей преломления {Ыт} волноводных мод:

Nт = РтАо , (1)

где рт - постоянная распространения данной моды; к0 = 2л/А - волновое число в вакууме.

3) распределениями {Ет(х, у, г)} полей собственных мод. Перечисленные передаточные характеристики, в свою очередь

определяются следующими параметрами волновода:

1) показателями преломления подложки (п3) и покровного слоя (пс);

2) значением показателя преломления на поверхности волновода (п + Ап), т.е. максимальным приращением Ап;

3) видом диффузионного или ионообменного профиля п(х):

п( х) = п + Ап • / (х / й) = п + Ап • / (а).

4) значением эффективной глубины волновода

й = 14вг, (3)

являющейся характеристической глубиной профильной функции и(х). Здесь В - коэффициент диффузии внедряемых активных ионов (коэффициент самодиффузии); ? - время диффузии или ионного обмена.

Для теоретического моделирования технологических параметров ионообменного процесса в предшествующих работах [1, 2] был разработан алгоритм создания управляемого технологического процесса формирования волноводов с прогнозируемыми или требуемыми характеристиками.

Указанный алгоритм состоит из следующих последовательно выполняемых этапов работы.

1. Численная аппроксимация профиля показателя преломления исследуемых градиентных волноводов n(x) [3].

2. Численная аппроксимация максимального приращения показателя преломления An и эффективной глубины d. для данных волноводов [4].

3. Численная аппроксимация различных полуэмпирических соотношений связи между волноводными (An, d, m, X) и технологическими (С0, t, T) параметрами, где C0 - молярная концентрации активных ионов диффузанта в солевом расплаве, t - время ионообменной диффузии, T -температура ионообменной диффузии [1].

С этой целью необходимо изготовить и экспериментально исследовать следующие серии опытных образцов градиентных волноводов, полученных:

1) при различном молярном составе C0 расплава, но одинаковых времени t и температуре T ионообменной диффузии (C0 ф const, T = const, t = const);

2) при различном времени t ионообменной диффузии, но при одинаковых молярной концентрации активных ионов диффузанта C0 в солевом расплаве и температуре T ионообменной диффузии (C0 = const, T = const, t ф const);

3) при различной температуре T ионообменной диффузии, но одинаковых молярном составе расплава C0 и времени t ионного обмена (C0 = const, T ф const, t = const).

Имея соответствующие образцы, можно выполнить численную аппроксимацию различных полуэмпирических соотношений связи между волноводными (An, d, m, X) и технологическими (C0, t, T) параметрами, позволяющих эффективно прогнозировать технологические параметры процесса изготовления градиентных ионообменных волноводов с требуемыми волноводными характеристиками.

В предшествующей работе [2] был реализован первый этап работы -численная аппроксимация полуэмпирической зависимости An(C0) -максимального приращения показателя преломления волновода от концентрации ионов диффузанта в солевом расплаве. С этой целью использовалась первая серия волноводных образцов, сформированных при различной концентрации диффузанта C0 ф const, но одинаковых температуре T = const и времени t = const с последующей численной обработкой результатов их исследования. Экспериментально была получена и исследована серия ионообменных волноводных образцов в стеклянных подложках К8 и КФ4

Для измерения эффективных показателей преломления волноводных мод использовался метод призменного возбуждения волноводов на экспериментальной установке, собранной на основе гониометра ГС-5. При этом углы падения пучка He-Ne-лазера на призму 0m (для возбуждения определенной моды m-го порядка) измерялись с точностью до 15 угловых секунд, что обеспечивало точность измерения показателя преломления величиной 10-4 на длине волны X = 0,6328 мкм. В результате измерений получались экспериментальные значения эффективных показателей

дгэксп

преломления волноводных мод m .

В итоге были получены полуэмпирические формулы

An = f (Со), (4)

обеспечивающая весьма существенную для технолога связь между волноводным параметром An и технологическим параметром C0.

Следующая задача - установление полуэмпирического соотношения связи между волноводным параметром d (эффективная глубина волновода) и технологическим параметром t (время ионообменной диффузии). При этом непосредственная аппроксимация зависимости d(t) по данным численной

реконструкции параметров (An, d) является достаточно грубым приближением.

Действительно, согласно (3), эффективная глубина градиентного волновода d функционально определяется коэффициентом диффузии D диффундирующих ионов, а последний, как эмпирически установлено [1], зависит от температурного режима изготовления образцов. Следовательно, для определения полуэмпирического соотношения d(t) необходимо прежде рассмотреть влияние температуры T ионообменной диффузии на величину коэффициента диффузии D.

С этой целью использовалась вторая серия волноводных образцов, изготовленных при различной температуре T технологического процесса (T ф const, C0 = const, t = const). Для Ag+:К8-волноводов результаты исследования их волноводных характеристик приводятся в табл. 1.

Была выполнена численная аппроксимация градиентного профиля показателя преломления полученных ионообменных волноводов на основе модифицированного метода модельной функции эффективного показателя преломления волноводных мод [3]. Наилучшую аппроксимацию для ионообменных Ag :К8- и Ag+:K04 -волноводов обеспечивает erfc(x)-профиль (дополнительная функция ошибок).

Для каждого волновода серии выполнена численная аппроксимация максимального приращения показателя преломления An и эффективной глубины d на основе оптимизации точек пересечения дисперсионных модовых кривых в координатах (An, d) (алгоритм транспортной задачи) [4].

Далее, для каждого образца численно рассчитывался по установленной эффективной глубине d коэффициент диффузии D:

D = *

4. (5)

Сам по себе функциональный характер зависимости D(T) определяется соотношением Аррениуса [1]:

Б(Т) = Б0 • ехр(-АН / ЯТ), (6)

где Д0 - диффузионная постоянная; АН - энергия активации; Я -универсальная газовая постоянная.

В уравнение (6) входят две неизвестные величины: Д0 и АН. Для их

определения зависимость (6) необходимо отобразить в логарифмическом масштабе. Логарифмируя (6), получаем

1п Б = 1п Б0-АН / ЯТ

Табл. 1. Волноводные характеристики образцов, изготовленных на подложках стекла К8 (и8 = 1,5136) при одинаковых молярном составе

расплава

Л§КО3+№КО3 = 1:10 и времени t = 20 мин ионообменной диффузии

(7)

Температура ионообменной диффузии т, 0С Порядок моды т Эффективные показатели { ыте } преломления 1 т > волноводных мод ТЕ-типа Эффективные показатели {мтм} преломления 1 т ' волноводных мод ТМ-типа

300 0 1,5502 1,5493

1 1,5237 1,5196

315 0 1,5545 1,5538

1 1,5313 1,5300

0 1,5577 1,5574

330 1 1,5361 1,5355

2 1,5157 1,5151

0 1,5635 1,5629

345 1 1,5469 1,5463

2 1,5307 1,5301

3 1,5153 1,5149

0 1,5656 1,5654

1 1,5521 1,5518

360 2 1,5395 1,5392

3 1,5267 1,5264

4 1,5147 1,5143

Из соотношения (7) следует, что тангенс угла наклона кривой 1п Д относительно аргумента 1/Т и дает значение АН/Я. На рис. 1 приведены

экспериментальные точки зависимости логарифма коэффициента диффузии ln D от обратной температуры T1 для Л§+:К8-волноводов. Выполнив линейную регрессию эмпирических данных, получаем прямую, угловой коэффициент которой позволяет оценить параметр SHIR, а пересечение с ординатой - параметр ln D0.

о

0.5

— 4-

1.5x10" 3 1.6x10" 3 1.7x10" 3 1.8x10" 3

XI,I

Обратная температура 1,Т: К

Рис. 1. Определение параметров (АЯ, Д) по логарифмической кривой 1п О(ИТ) (• • • - полуэмпирические данные)

Оценка, основанная на анализе кривой ln D(1/T) (рис. 1), дает

AH/R = 10705,336 (K-моль), (8)

откуда для энергии активации рассчитывается значение АН = 8,9-10 Дж, а значение температурной постоянной диффузии принимает вид

Д = 5,283-106 (мкм2/с) = 3,17-108 (мкм2/мин). (9)

Размерность (9) обусловлена тем обстоятельством, что при изготовлении волноводов в стеклянных подложках время ионообменной диффузии обычно составляет десятки минут, а эффективная глубина получающихся волноводов имеет величину порядка нескольких микрометров.

Аппроксимирующая линейная зависимость (рис. 1) имеет вид

1пВ = 15.4805642 -10705.336 - -

Т

(9)

Эффективность линейной регрессии оценивается путем вычисления коэффициента корреляции

п

I

I=1

п ^

X.

X -

I

3 = 1

з

п

У

I У]

3 = 1

п

I

х -

п

I

3 = 1

X,

п

I

г = 1

У

п

I У]

3 = 1

п

удовлетворяющего соотношению

-1 < г < 1

, (10) Чем ближе абсолютная

величина | г | к 1, тем ближе к линии регрессии располагаются экспериментальные точки.

В нашем случае линейной регрессии коэффициент корреляции | г | = 0.97634, а сумма квадратов отклонений для аппроксимирующей линейной зависимости (среднеквадратичное отклонение) а = 0.3101.

В целом температурный диапазон ограничивается условиями существования агрегатного состояния расплава №N0 (307 ^ 380 °С). С учетом найденных значений АН/Я (8) и Д (9) можно построить искомую

г

зависимость коэффициента диффузии от температуры О(Т) (6). Соответствующая кривая приведена на рис. 2.

к я

г

и"

ОЯ

а ш

ш

а

и »

Я О

я о

к к я

и Я

н

н я

ш Я ГГ

я -е--е-

Щ

о

м

о1-

290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390

Температура ионообменной диффузии Т, град. С

Рис. 2. Температурная зависимость коэффициента диффузии О(Т) для Л§+-волноводов (• • • - полуэмпирические данные)

Далее необходимо установить оптимальный температурный диапазон изготовления волноводов. Кривая полученной зависимости Б(Т) аппроксимируется линейными сегментами, из которых выбирается обладающий наименьшим углом наклона к температурной оси и характеризуемыф наименьшим влиянием температурных флуктуаций на эффективную глубину волновода d. Длина указанного линейного сегмента вдоль температурной шкалы и определяет оптимальный интервал температур АТ ионного обмена.

Из рис. 2 легко усматривается, что кривую Щ(Т) можно аппроксимировать двумя линейными сегментами с точкой излома при Т0 = 345 °С. В диапазоне Т > Т0 наблюдается резкий рост Щ по Т, так что температурные флуктуации в этой области повлекут за собой резкие перепады глубины диффузии Следовательно, более стабильные

результаты дает использование температурного диапазона 307 ^ 345 °С. Экспериментально установлено, что имеет место температурный градиент порядка 20 °С в самой диффузионной ванне, следовательно, оптимальный диапазон температуры ионообменной диффузии определяется величиной 310-330 °С.

Нелинейная регрессионная функция, наилучшим образом аппроксимирующая полученные полуэмпирические данные Щ(Т), имеет следующий вид:

г 3672.5651Л

О(Т) = 6828.1337 • ехр

Т

(11)

Эффективность нелинейной регрессии оценивается путем вычисления индекса корреляции:

у:

П

1 (Л - ^ )2

г=1

П

I

г=1

Уi

П

1 У}

]=1

п

(12)

где { У' } - экспериментальные значения; У1 - значения, найденные методом наименьших квадратов (0 < | у | < 1). При наличии функциональной зависимости индекс корреляции равен 1; в случае отсутствия связи у = 0.

Индекс корреляции для нелинейной регрессионной функции (11) | г | = 0.98563, а сумма квадратов отклонений для аппроксимирующей нелинейной зависимости (среднеквадратичное отклонение) а = 0.0294.

1

2

В целом проведенный полуэмпирический анализ температурной зависимости коэффициента диффузии, позволивший определить фундаментальные параметры (АН, А0) (см. (8) и (9)) данной зависимости, дает в последующем возможность установить очень важное полуэмпирическое соотношение d(t) между эффективной глубиной волновода d и временем ионообменной диффузии t.

Библиографический список

1. Прохоров В. П. Моделирование физико-технологических параметров оптических ионообменных волноводов: монография / В. П. Прохоров, Н. А. Яковенко. - Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 2014. 198 с.

2. Асланов Д. М. Методика получения полуэмпирических соотношений связи между технологическими параметрами ионообменных оптических волноводов / Д. М. Асланов, Я. А. Козлов, А. М. Мамонова, К. А. Машинских, В. П. Прохоров // Современные проблемы физики, биофизики и инфокоммуникационных технологий. Коллективная монография. Выпуск 7. - Краснодар: Краснодарский ЦНТИ - филиал ФГБУ «РЭА» Минэнерго РФ, 2018. - С. 15-25.

3. Мамонова А. М. Численная аппроксимация профиля показателя преломления ионообменных оптических волноводов / А. М. Мамонова,

B. П. Прохоров, Е. Б. Хотнянская, Н. А. Яковенко // Современные проблемы физики, биофизики и инфокоммуникационных технологий. Коллективная монография. Выпуск 6. - Краснодар: Центр научно-технической информации (ЦНТИ), 2017. С. 39-49.

4. Прохоров В. П. Численная аппроксимация технологических параметров ионообменных оптических волноводов / В. П. Прохоров,

C. С. Савицкий, Е. Б. Хотнянская, Н. А. Яковенко // Современные проблемы физики, биофизики и инфокоммуникационных технологий. Коллективная

монография. Выпуск 6. - Краснодар: Центр научно-технической информации (ЦНТИ), 2017. С. 50-61.