CC BY
277
Ионосферно-магнитосферные потоки
8. Vickrey J. F., Swartz W. E., Farley D. T. Incoherent scatter measurement of ion counter streaming // J. Geophys. Res. Lett. 1979. V. 3. N. 1. P. 217 — 226.
9. Bailey G. J., Moffet R. J., Murphy J. A. Relative flow of H+ and O+ ions in the topside ionosphere at middle latitude / / Planet. Space Sci. 1977. V. 25. N. 5. P. 967—978.
10. Murphy J. A., Bailey G. J., Moffett R. J. Calculated variations of O+ and H+ at middle latitude. I. Protonospheric replenishment and F-region behaviour at sunspot minimum // J. Atmos. Terr. Phys. 1976. V. 38. N. 3. P. 351—365.
11. Ишанов С. А., Леванов Е. И., Медведев В. В., Залесская В. А. Магнитосферно — ионосферные изменения, вызванные полетами космических аппаратов / / ИФЖ. 2006. Т. 79. №. 6. С. 11 — 15.
12. Ишанов С. А., Медведев В. В., Новикова Е. И., Жаркова Ю. С. Влияние магни-тосферно-ионосферных потоков плазмы на F область ионосферы // Вестник Российского государственного университета им. Канта. 2007. Вып. 10. С. 15 — 18.
Об авторах
Л. П. Захаров — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.
С. А. Ишанов — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.
В. В. Медведев — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.
УДК 533.9.09
М. С. Богомолова, И. Б. Петров
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В МЕДИЦИНЕ НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
Рассматриваются принципы численного моделирования биомеханических процессов в медицинской практике.
Basic principles of computational modeling for biomechanical processes in medicine are considered.
Ключевые слова: численное моделирование, биомеханический процесс, медицинская практика, механика сплошной среды.
Рассматривается численное моделирование биомеханических процессов в медицинской практике на основе моделей механики сплошных сред и численных методов решения соответствующих систем дифференциальных уравнений частных производных. Математическое моделирование как нормальных физиологических, так и патологических процессов — одно из самых актуальных направлений в научных исследованиях. Дело в том, что современная медицина представляет собой в основном экспериментальную науку с огромным эмпирическим опытом воздействия на ход тех или иных болезней различными средствами. В то же время экспериментальное исследование процессов
Вестник РГУ им. И. Канта. 2008. Вып. 10. Физико-математические науки. С. 37—46.
в биосредах ограничено. Наиболее эффективным аппаратом их исследования представляется математическое моделирование.
Разработка этого аппарата предполагает:
— построение замкнутой механико-математической модели, описывающей поведение биологической среды на основе системы уравнений в частных производных механики сплошных сред (МСС);
— разработку замыкающих систему МСС реологических соотношений, описывающих поведение той или иной среды (для гидродинамики это уравнения состояния, для механики деформируемого твердого тела (МДТТ) — соотношения между компонентами тензоров напряжений и деформаций);
— корректную математическую постановку задачи, т. е. представление замкнутой системы МСС и необходимых начальных и граничных условий и условий на контактных границах (если они есть);
— разработку или реализацию вычислительных методов, адаптированных к специфике решения конкретной задачи;
— разработку алгоритма численного решения задачи и его программную реализацию;
— численное решение задачи и визуализацию результатов.
Разумеется, при исследовании биомедицинских проблем встречаются процессы, для математического описания которых используются аппараты обыкновенных дифференцированных уравнений (ОДУ), систем алгебраических нелинейных уравнений, разностные отображения, теории бифуркций, хаоса и порядка. Примеры успешного использования таких математических аппаратов представлены в [1] для прогнозирования развития болезни, в [2 — 5] — для решения задач нелинейной динамики в биологии, химической кинетике и др. Кроме того, при изучении решений некоторых медицинских процессов необходимо численно решать жесткие системы ОДУ, например при моделировании химических реакций, что представляет собой самостоятельную проблему с обширной литературой (см., например, [6 — 8]).
Развитие численных методов решения задач МСС началось с проблем газодинамики (обтекание тел, спускаемых в плотных слоях атмосферы, точечного взрыва). Затем при помощи этих методов решались задачи физики плазмы, МДТТ и многие другие. Известно, что некоторые математические методы развивались под влиянием биомедицинских проблем, например методы математической статистики, уравнение Вольтерра, нелинейные разностные отображения, теория хаоса и порядка, конечные автоматы, нейросети, методы решения жестких ОДУ.
Постановки биологических и медицинских задач, допускающих численное решение систем уравнений в частных производных (МСС, уравнения параболического и эллиптического типа), появились относительно недавно. Они представлены в работах [9 — 11]. Для их численного решения использовались методы, ранее применявшиеся для решения задач газогидродинамики [12 — 16]. Реологи-
ческие соотношения для биологических сплошных сред разрабатывались в работах [17—19].
Круг рассматриваемых задач их этой области достаточно широк.
Механическая (в рамках МСС) модель сердца рассматривалась в работах [20 — 22], что представляет большой интерес для клинической практики, так как изучение работы сердечной мышцы в условиях частичного изменения ее механических характеристик позволит понять, как изменится функционирование всего сердца и кровеносной системы в условиях частичного некроза. Однако разработка полной физико-математической трехмерной модели, учитывающей электрохимические эффекты, их связь с напряжениями в сердечной мышце и численное решение соответствующей динамической пространственной задачи в рамках МСС, по-видимому, является перспективной проблемой.
Исследование распространения импульсов Пуркинье (структуры кабельного типа, проводящие импульсы от предсердий до желудочков в сердце) проводится в работах [23; 24]. Основываясь на численном эксперименте с использованием математической модели МакАллистера — Нобла — Тасена, описывающей динамику распространения импульсов в волокнах Пуркинье, авторы этих работ обнаружили различные режимы распространения этих импульсов. В частности, оказалось, что при различных режимах возбуждения возможно появление таких явлений, как отражения, автоколебания, аннигиляция, солитоноподобные режимы. Интересно, что подобные явления имеют место в нервных волокнах, возбуждение импульсов в которых описывается в рамках известной математической модели Ходжкина — Хаксли [25; 26].
Описание простейших математических моделей работы систем кровообращения и сердца можно найти, например, в [27; 28]. Функции кровеносной системы человека, которая состоит из малого и большого кругов кровообращения, очень важны и разнообразны, поэтому их моделирование как в нормальных, так и в патологических условиях представляет одну из важнейших задач медицины.
Другой пример — моделирование офтальмологической операции экстракции (удаления) катаракты. Суть операции в том, чтобы с помощью лазера или ультразвукового факоэмульсификатора разрушить помутневший хрусталик (точнее, его плотное ядро) так, чтобы не повредить сетчатку и роговицу глаза и вывести мутные хрусталиковые массы. Эта задача условно подразделяется на три части: первая — расчет импульсного воздействия на хрусталик, вторая — распространение акустического импульса в стекловидном теле до сетчатки и расчет динамического воздействия на нее (поскольку в результате взаимодействия импульса с сетчаткой последняя может расслоиться), третья
— вымывание мутных хрусталиковых масс из передней камеры глаза. Численное решение последней задачи, которое сводится к решению уравнения Пуассона, в двухмерном случае рассматривалось в работе [29], причем с использованием как прямоугольных, так и треугольных
расчетных сеток. Расчеты проводились с целью определения застойных зон в передней камере глаза при вымывании мутных масс и оптимизации рабочих режимов хирургических инструментов. Проблема распространения импульса через хрусталик и стекловидное тело к сетчатке представляет сложную динамическую задачу, поскольку глаз представляет собой неоднородную механическую систему с рядом поверхностей раздела сред. Численное ее решение представлено в работе [30]. Моделирование этого процесса сводится к решению динамической системы уравнений гиперболического типа (уравнений МДТТ). Эти работы выполнялись в тесном контакте с сотрудниками Центра микрохирургии глаза им. академика С. Н. Федорова, который является соавтором этих работ.
Численно-математический аппарат для решения рассматриваемого класса биомедицинских задач является аппаратом решения уравнений в частных производных эллиптического, параболического и гиперболического типов, в основном нелинейных. Кроме того, использовались системы уравнений МСС, в частности гидродинамики несжимаемой идеальной или вязкой жидкости и МДТТ; чаще всего это линейно и нелинейно-упругие, а также вязкоупругие среды (модель Максвелла).
Для решения задач гидродинамики используются уравнения Эйлера или Навье — Стокса, для задач МДТТ — система уравнений Ламэ (в напряжениях или деформациях). Эти системы можно найти, например, в монографиях [31 — 33].
В данной статье не делается подробный анализ методов численного решения рассматриваемых уравнений в частных производных, поскольку такой обзор является темой отдельной работы. Речь пойдет о методах, которые оказались или могут оказаться наиболее употребимы для численного моделирования в медицине.
Численные методы решения эллиптических уравнений (уравнения Лапласа или Пуассона) подробно рассматриваются в известных монографиях [35 — 38]. Среди методов, представленных в литературе для решения этого класса задач, отметим наиболее широко используемые в вычислительной практике: верхней релаксации, трехслойный метод Чебышева, метод Дугласа — Ренфорда, попеременно-треугольный метод, многосеточный метод Р. П. Федоренко. В работе [39] предлагаются монотонные разностные схемы для численного решения этого типа уравнений на нерегулярных сетках. С использованием данного подхода рассматривалась задача о гидродинамическом течении в передней стенке глаза при экстракции катаракты.
Широкий класс процессов в биологии и медицине моделируется нелинейными уравнениями параболического типа (реакция-диффузия). Исследованию свойств решений уравнений этого типа посвящены работы [4; 40; 41 и др.]. Для численного решения таких уравнений обычно используются двух- и трехслойные разностные схемы типа Кранка — Никольсона, Нумерова, Толстых с последующим проведением итераций по нелинейности, описанные в [12; 37; 38].
По-видимому, наибольшие трудности при численном решении рассматриваемых задач вызывают системы уравнений в частных производных гиперболического типа (МСС). Разработке вычислительных методов решения систем этого типа посвящены работы [42 — 46; 48; 49]. Наиболее эффективными для численного решения этого класса задач являются сеточно-характеристические методы [44 — 46; 48; 49]. Эти методы оказываются не только самыми точными, но и позволяют наиболее корректно строить вычислительные алгоритмы на границах области интегрирования и границах раздела сред. Одним из наиболее важных показателей качества численного решения является его близость к точному вблизи областей с большими градиентами решений. Это вызвано немонотонным, в одномерном случае, поведением численных решений, получаемых с помощью так называемых немонотонных схем (в линейном случае это, в соответствии с теоремой С. К. Годунова, схемы порядка точности выше первого) и «размыванием» разрывов схемами первого порядка точности. По этой причине многие работы, посвященные этой теме, направлены на регуляризацию решений уравнений гиперболического типа (см., например, [38; 39; 45; 49]). В работе [49] приводятся определения и критерии монотонности разностных схем для этого типа уравнений в частных производных. В приложении к задачам медицины эти методы применялись при изучении процессов литот-рипсии, офтальмологических операциях, черепно-мозговых травм, деформации сердечной мышцы [22; 37; 43; 44; 45].
Численное изучение биомедицинских процессов, о которых шла речь, показали эффективность использования численного моделирования для решения задач этой области науки. Приведем результаты численного решения некоторых биомедицинских задач на основе системы уравнений МСС и методов, учитывающих характеристические свойства систем уравнений гиперболического типа.
Покажем схему глаза человека моделирования динамических процессов при офтальмологических операциях по экстракции катаракты лазером или фа-коэмульсификатором (рис. 1) и расчетные сетки, поля скоростей и области возможных поражений глаза при лазерном разрушении хрусталика (сеточно-характеристический метод) (рис. 2).
41
Рис. 1. Схема глаза человека
42
Рис. 2. Расчетные сетки, поля скоростей и области возможных поражений глаза при лазерном разрушении хрусталика
Расчет давления в хрусталике глаза при лазерном воздействии и расчетная сетка при использовании метода конечных элементов приведен на рисунке 3. Схематичное изображение сердца человека (в разрезе) представлено на рисунке 4. Расчетная сетка, используемая при моделировании процесса начала сжатия сердца (систолы) и начального выталкивания крови, а также поля скоростей в сердце, дана на рисунке 5.
и+и
Рис. 3. Расчет давления в хрусталике глаза при лазерном воздействии и расчетная сетка при использовании метода конечных элементов
Рис. 4. Схематичное изображение сердца человека (в разрезе)
Рис. 5. Расчетная сетка моделирования процесса начала сжатия сердца (систолы) и начального выталкивания крови, а также поля скоростей в сердце
Столкновение двух импульсов в волокнах Пуркинье в автоколебательном режиме в четыре момента времени показаны на рисунке 6 (в расчетах были получены также режимы аннигиляции и солитонопо-добные режимы).
44
Рис. 6. Столкновение двух импульсов в волокнах Пуркинье в автоколебательном режиме в четыре момента времени (сверху вниз)
Отметим, что данная статья имеет обзорный характер, подробные постановки задач, численные методы, определяющие уравнения, и обсуждения результатов расчетов приводятся в указанной литературе.
Список литературы
1. Марчук Г. И. Математические модели в иммунологии. М., 1985.
2. Лоскутов А. Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику. М., 1990.
3. Резниченко Г. Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Ч. 1. М.; Ижевск, 2002.
4. Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М., 1992.
5. Малинецкий Г. Г., Курдюмов С. П. Новое в синергетике. Взгляд в третье тысячелетие. М., 2002.
6. Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Г. Численные методы решения жестких систем. М., 1979.
7. Федоренко Р. П. Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Вычислит. процессы и системы. Вып. 8. М., 1991.
8. Хайер Э., Винер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-гиперболические задачи. М., 1999.
9. Макаров И. М. Информатика и медицина. М., 1997.
10. Белоцерковский О. М., Холодов А. С. Компьютерные модели и прогресс медицины. М., 2001.
11. Белоцерковский О. М. Компьютер и мозг. Новые технологии. М., 2005.
12. Самарский А. А. Теория разностных схем. М., 1977.
13. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. М., 1978.
14. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М., 1973.
15. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М., 1994.
16. Магомедов К. М., Холодов А. С. Сеточно-характеристические методы. М., 1988.
17. Регирер С. А. Лекции по биологической механике. М., 1980.
18. Кондауров В. И., Никитин А. В. Конечные деформации вязкоупругих мышечных тканей // Прикл. матем. и механ. 1987. Т. 51. Вып. 3. С. 443 — 452.
19. Кондауров В. И., Никитин Л. В. Модель биологически активного вязкоупругого тела // Методы расчета изделий из высокоэластичных материалов. Рига, 1986. С. 107—108.
20. Gosfa K. D., Hunter P. J., Pogers J. M., Gussione G. M., Waldmen L. K., Waldmen A. D. A three-dimensional limited elements method for large elastic deformations of ventricular myocardium // Part I. ASME J. Biomech. Eng. 1996. 118 (4). P. 452—463.
21. Panda S. C., Natarajon R. Finite-element method of stress analysis in the human left ventricular layered wull structure / / Med. Biol. Eng. Comp. 1977. 15. P. 67 — 71.
22. Петров И. Б. О численном моделировании биомеханических процессов в медицинской практике // Информ. технологии и вычисл. системы. 2003. 1—2. С. 102—111.
23. Асланиди О. В., Морнев О. А. Эхо в возбудимых волокнах сердца // Мате-мат. моделир. 1999. Т. 11. № 9. С. 3 — 22.
24. Пашко Р. А., Петров И. Б. Моделирование распространения импульсов в волокнах Пуркинье // Обработка информации и моделир. М., 2002. С. 171—181
25. Асланиди О. В., Морнев О. А. Могут ли нервные импульсы отражаться? // Письма в ЖЭТФ. 1997. Т. 65. С. 553—558.
46
26. Асланиди О. В., Морнев О. А. Новые в пространственно-неоднородных возбудимых средах с рефракторностью: отражение сталкивающихся импульсов возбуждения // Биологические мембраны. 1997. Т. 14. С. 621—625.
27. Ремизов А. Н. Медицинская и биологическая физика. М., 1987.
28. Бегун П. И., Афонин П. Н. Моделирование в биомеханике. М., 2004.
29. Федоров С. Н., Егорова Э. В., Холодов А. С., Бубнов А. В. О численном моделировании процессов ирригации и аспирации при экстракапсулярной экстракции катаракты // Вопросы кибернетики. М., 1982. С. 99 — 114.
30. Балановский Н. Н., Бубнов А. В., Обухов А. С., Петров И. Б. Расчет динамических процессов в глазу при лазерной экстракции катаракты // Матем. моде-лир. 2003. Т. 15. № 11. С. 37—44.
31. Седов Л. И. Механика сплошной среды. М., 1976. Т. 1—2.
32. Работнов Ю. Н. Механика твердого деформируемого тела. М., 1979.
33. Годунов С. К., Роменский Е. И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск, 1998.
34. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы сеточных уравнений. М., 1978.
35. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М., 1989.
36. Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Матус П.П. Разностные методы с операторными множителями. Минск, 1998.
37. Петров И. Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике. М., 2006.
38. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. М., 1994.
39. Холодов А. С. Монотонные разностные схемы на нерегулярных сетках для эллиптических уравнений в области со многими несвязанными границами // Математическое моделирование. 1991. Т. 3. № 9. С. 104 — 113.
40. Самарский А. А. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. М., 1988.
41. Самарский А. А., Змитриенко Н. В., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Эффект метастабильностной локализации тепла в среде с нелинейной теплопроводностью // ДАН СССР. 1975. Т. 233. № 6. С. 1344 — 1347.
42. Годунов С. К., Забородин А. В., Иванов М. Я., Крайко А. Н., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М., 1976.
43. Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М., 2001.
44. Петров И. Б., Холодов А. С. Численное моделирование некоторых задач механики деформируемого твердого тела сеточно-характеристическим методом // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1984. Т. 24. № 5. С. 722 — 739.
45. Петров И. Б., Холодов А. С. О регуляризации разрывных численных решений уравнений гиперболического типа // Там же. № 8. С. 1172 — 1188.
46. Толстых А. И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэродинамики. М., 1990.
47. Смолянов В. В. Математические модели биологических тканей. М., 1980.
48. Головизин В. М., Карабасов С. А. Метод прыжкового переноса для численного решения гиперболических уравнений. Точный алгоритм для моделирования конвекции на эйлеровых сетках / / Препринт ИБРАЭ РАН №1БКАБ-2000-04. М., 2000.
49. Холодов А. С., Холодов А. Я.. О критериях монотонности разностных схем для уравнений гиперболического типа // Журн. вычисл. механ. и математ. физики. 2006. Т. 46. № 9. С. 1638—1667.
Об авторах
М. С. Богомолова — ст. преп., РГУ им. И. Канта, maria_ishanova@mail.ru. И. Б. Петров — д-р физ.-мат. наук, проф., МФТИ.
