CC BY
129
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 517.9
И.Б. Петров
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В СЛОЖНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ ПРИ ИХ ИНТЕНСИВНОМ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ
Проводится численное решение задач о поведении технических и жилищных конструкций при интенсивном динамическом воздействии.
Numerical study of problems of a behaviour of technical and housing constructions under an intensive dynamical coercion is realized.
Этот класс задач представляется актуальным при решении проблем минимизации разрушительных последствий террористических актов, землетрясений, техногенных катастроф, высокоскоростных взаимодействий. Численное решение подобных задач позволяет давать количественные оценки стойкости жилищных, промышленных и оборонных сооружений, т. е. прогнозировать расположение и размер областей возможных разрушений в зависимости от интенсивности воздействия, места приложения нагрузки, геометрических характеристик конструкции, механических свойств конструкционных материалов. Численное решение подобных задач связано с такими проблемами, как построение адекватных математических моделей при моделировании процессов в широком диапазоне изменений давления, температуры, деформаций, а также адекватное описание поведения численного решения в областях больших его градиентов.
Используется полная динамическая система дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа механики деформируемых сред. Для численного ее решения используется сеточно-характеристический метод, приспособленный к расчету процессов, имеющих ярко выраженный волновой характер, его гибридные вариации [11; 12] и метод гладких частиц, с помощью которого можно моделировать процессы разлета и разрушения конструкционных материалов.
Примеры численного моделирования процессов динамического деформирования можно найти в работах [1 — 7]. В [8 — 10] для решения подобных задач использовался метод гладких частиц. Примерам использования сеточно-характеристических методов для численного решения рассматриваемых динамических процессов посвящены работы [11 — 36]. В [11] сеточно-характеристический метод разработан для решения двух-
Вестник РГУ им. И. Канта. 2006. Вып. 10. Физико-математические науки. С. 36—49.
мерных задач динамики упругих и упругопластических сред, в [20; 24; 28] — для решения трехмерных задач; в [20] рассматривались трехмерные задачи обтекания полостей в грунтовых средах, в [24; 28] — задачи косого соударения. В [12; 13] для численного моделирования ударно-волновых процессов разработаны гибридные и гибридизированные сеточно-характеристические разностные методы для двух- и трехмерных задач соответственно. Изучению волновых процессов в слоистых конструкциях посвящены работы [14—17]. Отметим, что именно методы, учитывающие характеристические свойства систем дифференциальных уравнений в частных производных, к которым сводятся определяющие уравнения механики деформируемых сред, позволяют строить корректные алгоритмы в точках, принадлежащих границам области интегрирования и контактным границам, а также в определенной степени учитывать область зависимости решения (учет направления характеристик) и физику задачи (распространение разрывов вдоль характеристик). Вязкоупругие и упруговязкопластические модели Максвелла и Кукуджанова соответственно рассматривались в [25; 30; 31], причем в двух последних работах предложен расчетный метод для изучения волновых процессов в наследственных средах (модели Работнова). Воздействие энергетических динамических нагрузок, инициируемых рентгеновским лазером и потоками заряженных частиц на металлические плиты и оболочки летательных аппаратов, исследовались в [18; 21; 22; 26; 33]. Численному решению совместных задач аэродинамики и динамики плазмы посвящены работы [19; 29; 34], моделирование процессов деформирования и разрушения метеороидов в атмосфере планет проводилось в [36].
При решении задач динамического деформирования возникают проблемы, связанные с большими деформациями расчетных сеток, образованием неодносвязных областей интегрирования при разлете частиц разрушенных или перешедших в другое фазовое состояние материалов. Для преодоления этих вычислительных трудностей в работах [11; 17; 18; 25; 32] использовались подвижные и лагранжевы расчетные сетки, причем в [25; 35] в ходе численного решения динамических задач производились периодические построения новых расчетных сеток, приемлемых для продолжения проведения расчетов по методу, предложенному в [37]. Кроме этого, в [27] разработан сеточно-характеристический метод на нерегулярных расчетных сетках. Для учета разлета частиц разрушенного материала в работе [10] метод гладких частиц был адаптирован для численного решения задач об ударном нагружении деформируемых тел.
В механике к настоящему времени накоплен значительный экспериментальный опыт и предложено значительное количество моделей деформирования и разрушения материалов. Однако расчеты на стойкость жилищных и промышленных сооружений проводятся в основном в статическом приближении. Что касается динамической прочности пористых конструкций, которыми являются рассматриваемые объекты, то характер механических процессов, возникающих при интенсивных воздействиях, существенно отличается от статистического случая. Эти
38
процессы имеют в первую очередь волновой характер, и разрушения рассматриваемых объектов являются, как правило, следствием волновых воздействий на конструкционные материалы. В работе проводится численное исследование динамических процессов, как во всей конструкции, так в и ее частях, изучаются особенности волновых процессов в пористых средах. Использование сеточно-характеристического метода позволило получить волновой фронт, аналогичный конусу Маха, в пористой твердотельной деформируемой среде. Кроме того, получены такие локальные динамические эффекты, как образование изгибных волн (их гидродинамический аналог — вихри) в балочных перекрытиях, динамические сдвиговые разрушения, обусловленные наличием многочисленных свободных границ в существенно неодносвязной области интегрирования, которой является пористая конструкция жилого дома или промышленного сооружения.
Для математического моделирования волновых процессов в деформируемом твердом теле использовалась система динамических уравнений, представленная в виде
рт& = V- а— (два уравнения движения), ^
а — = Ч—шг е и + Щ (четыре реологических соотношения),
где р — плотность среды; V — компоненты скорости; а—, е— — компоненты тензоров напряжения и деформаций; V- — ковариантная производная по j-й координате; Щ — правая часть.
Вид компонент тензора 4-го порядка определяется реологией среды. Для линейно-упругого тела (см., например, [1])
ЧуШ = Х8— 8к1 + ц(8гк 8 — +8 п 8 -к )■ где X и ц — параметры Ляме, а 8 ■ ■ — символ Кронекера.
В случае упругопластического тела (модель Прандтля — Рейса с условиями пластичности Мизеса и Мизеса — Шлейхера) к компонентам добавляется величина г—ке при выполнении условия пластического течения, ноль — в другом случае:
гук1 = ‘ к
0.
где = а- + р — компоненты девиатора тензора напряжений;
р = —3 ^3=1акк — давление; к (р) — предел текучести (прочности) на сдвиг.
Условие пластического течения Мизеса имеет вид
-у-у = -Л + 2—2 + -22 + -33 ^ 2к2. (2)
Для модели вязкоупругой среды со временем релаксации т0 Щ = —— .
То
Для модели упруговязкопластической среды полагаем
То
Г----2ц-—, г = Л— Л к .
Л—
Во всех случаях плотность среды задается уравнением состояния р = р0 ехр 1 где К = X + -2 ц — коэффициент всестороннего сжатия.
Перечисленные модели допускают запись уравнений (1) в виде
5ц . 5ц . ди
— + Л!----+ А 2---= f.
дґ дхі дх2
(3)
где и = (VI, V2, Стц, СТі2, СТ22, СТзз)Г — вектор искомых функций; і — вектор правых частей той же размерности; А; — матрицы размера 6 х 6, явный вид которых приведен в работе [11]; хі, х2 — независимые пространственные переменные; £ — время.
Предполагается, что система (3) является гиперболической, то есть матрицы А имеют шесть вещественных собственных значений и базис из собственных векторов. Для широкого диапазона значений параметров перечисленных моделей, покрывающего почти все физически значимые случаи, это предположение выполняется.
Задачи решаются численно в подвижной системе координат (ґ, £і, §2), частным случаем которой является лагранжиева система. При
этом производится замена переменных, после чего вид матриц меняется, поскольку в них будут входить компоненты матриц Якоби [11]:
і 0 0
J = Сі дхі / дєі дхі / оЄ2
С2 дх2 / дєі дх2 / оЄ2
не°С°беннЫХ при Д = J = хіЕіх2є2 - ХіЄ2Х2Єі Ф 0. Здесь Ск ( §2 ) =
= дхк / дґ І ^2 =оошг — компоненты локальной скорости движения точек подвижной системы координат Ск = 0 относительно фиксированной эйлеровой системы координат, в лагранжевой — скорости узлов сетки и точек тела совпадают: Ск = у к . Положение расчетных узлов в каждый
момент времени определяется интегрированием:
ґ
Хк (ґ, Єі, Є2) = Хк (0, Єі, Є2) + | Ск (т, Єі,&2)ії Т, к = 1,2, Хз =83.
0
В расчетах применялась перестройка расчетной сетки по методу, основанном на подходе Иваненко —Чарахчьяна [37] и на построении итерационного процесса минимизации функционала вида
\2 / \2 / \2 / \2'
Ф=! +Ує21.Хі.Х! =чі5ідґ[(|і) +(|2) +(|) +(|
где 0( х) и ЗД§) — область интегрирования в переменных {хі, х2 } и {§і, §2}.
Замена исходной деформированной сетки, соответствующей времени Ї, на перестроенную проводится одновременно с интегрированием системы (3) до времени £ + т. Узлы сетки приобретают необходимую скорость в направлении оптимального положения, чтобы занять его. Это позволяет снизить аппроксимационные ошибки переинтерполя-ции искомых функций на новую расчетную сетку и численного интегрирования от £ до £ + т на лагранжевой сетке.
39
40
Сеточно-характеристическая разностная схема для численного решения этой системы уравнений в частных производных имеет вид;
"+1
lml
ml ml b1ml b2ml •
J1ml
2ml
(<-1,l - Uh )
'(П-1Л-Й1 іг
(Um+1,l - Uh )
(п-1л+^2 l-
(Um,l-1 - U"ml ) h
2
-(-4-q, );,
«J+1 - U)
Л + = Л k + І Л k k 2
Л - = Л k 1 Л k k 2
где Л±, Лк — диагональные матрицы; т, й1, й2 — шаг по времени и координатам; Хк (к = і, 2, і = і ^ 6) — собственные значения матриц Ак, определяемые из характеристических уравнений ёе1:(Ак - ХкI) = 0, 0.к = {ю^} — не особенные матрицы, строками которых являются линейно независимые левые собственные векторы ®к матриц А, определяемые с точностью до постоянного множителя из совокупности ли-однородных систем уравнений
неиных det(A£ -XkI)®k =0,
к = 1,2, i = 1^6, Q- — матрицы, обратные к Qk, Ak — матрицы, транспонированные по отношению к Ak. Вид матРиЦ A^ Л±, л^ % приведен в [11].
( 2 ^
Условие устойчивости схемы имеет вид Т < ^ к-1
v к=1
Эта схема имеет первый порядок точности при р = 1 (монотонная разностная схема Куранта —Изаксона —Риса, обладающая минимальным коэффициентом аппроксимационной вязкости среди явных двухслойных схем); при р = 2 схема имеет второй порядок аппроксимации. Преимущество первой схемы — монотонность, второй — меньшее «размывание» фронтов разрывов. Недостатком первой схемы является растущая со временем зона «размыва» фронта, второй — наличие не-физичных осцилляций вблизи решений с большими градиентами.
Запишем представленную схему в виде
u”+1 = < --Й-ЛЙАи +а — Й-1 | Л | ЙА2u + (1 -а)(-
m m к h V й„
При а = 1 имеем схему первого порядка аппроксимации, при а = 0 — второго. Полагая, что 0 < а = const < 1, получим промежуточную схему, имеющую формальный первый порядок аппроксимации, причем при надлежащем выборе коэффициента а она позволит нам существенно улучшить численное описание фронтов разрывов.
Расчетные формулы для узлов, принадлежащих поверхностям раздела сред (контактных границ), составлялись в соответствии с [15]. Как известно из исследования характеристических свойств используемой системы уравнений [11], на каждой границе области интегрирования необходимо поставить дополнительно по два условия. Здесь система
й-
| Л |2 ЙА2u .
уравнений, решаемая на верхней и нижней границах = const с полулинейными граничными условиями, принимает следующий общий виц:
i = 1 ^ 4,
mi+кт1) ± h (^2);;; (®2)mmi (urn,/mi - urn), h
n n n \ n+1 _ /.n
Uml, Xml )uml = <?i (t
U
mb ml
), г = 1,2
(4)
или, вводя линейный оператор Ц^, ип, хп) и вектор g(íп, ип, хп):
ь<1 = §.
Соответственно, для аппроксимации уравнений на контактной границе необходимо задать четыре дополнительных условия. Эти условия в случаях полного слипания и свободного скольжения контактирующих поверхностей имеют следующий вид:
^1 = ^1 , ^2 = ^2 , ^пп = ^пп , ^пт = ^ пт , ^п = ^п , ^пп = ^пп , ^пт = ^ пт = 0,
где переменные без штрихов отвечают искомым функциям с одной стороны контакта, со штрихами — с другой; V,, стпп — нормальные компоненты скорости и напряжения соответственно; стпт — касательная составляющая напряжения.
Схема расчета узла на контактной границе требует решения линейной системы вдвое большей размерности, выраженной оператором
L(tn
, xn): R6 ^ R6 L
f ..n+1 Л
U
ml
U' n+1 V Umi J
= §2
однако может быть сведена и к решению ряда задач типа (4), что упрощает унификацию программного кода. Последнее становится возможным благодаря линейности уравнений (4). В случае термоупругой среды уравнений механики деформируемого твердого тела имеют вид [18; 19]:
Pvi = V j%ц ■.
& Y
Sij = qijke ' ^k + c q,
P
где p — плотность среды; v; (i = 1, 2) — скорости смещения среды; ¡¡;ij, 6fe— компоненты тензоров напряжений и деформации; V . — ковари-
антная производная по j-й координате; с — удельная теплоемкость материала; q = Q + div( v grad T);, Q — плотность объемных источников энергии; v — коэффициент теплопроводности; у = 3Kat, K = X +—ц
— коэффициент всестороннего сжатия; X и ц — упругие постоянные Ламэ; 9 = Т - Т0; Т, Т0 — текущая и начальная температуры соответст-
( *.2~- Л
венно;
qijke =
Х5У -^ рс
5ke + 2|o5ik5je, 8ij - символ Кр0неккера. Плот-
ность деформируемой среды находится с помощью уравнения состоя-
( з А '
ния вида р = р0 exp
“XCTkk/3-у0
k=1
K
Области откольных разрушений локализировались в тех областях, где одно из главных напряжений превыша ло предел прочности ст0. Области сдвиговых разрушений для хрупких сред локализовыпвались при
41
42
s^1 + 4 + ¿Зз + 2ст22 > стг, где Эу — девиатор тензора напряжений; стТ — предел прочности на сдвиг. В качестве начальных данных задавались условия, отвечающие невозмущенному состоянию материала конструкции.
Дискретные БРИ — уравнения динамики деформируемого твердого тела (метод гладких частиц) имеют вид
^Рі і х х \ ік
= -у тк ( а - и“)--------уравнение непрерывности;
к дхі
Ж
йиа
Л
(
=У
тк
ар
а
О і' + О к 2 2 V Р і Р к
йві
&
= У тк (и “-и “)
дхв
хрЛ
уравнение движения;
( “в О і + д к
2 2
Рі Рк
дхр
уравнение энергии;
а 8
ар
а
= 2ц( ¿ар--15ар£ а|^ + Ъ атЯ. Рт + Ъ трЯ.ат — реологические соотношения,
тк
• ар
£г = 2 У
2 к Рк
I а а\£^ + р ^ д№ік
( -и 'ЦТ+( -и 'іх^
^хр =1 утк 2 Рк
-■“і -( -ир)
cWk
Чр ‘'гха
В расчетах как «ядро сглаживания» ^к использовался сплайн вида
Ж(к,к) =
к
1 - 3 к2 + 3 к3 | / Ж, 2 4
3(2 - к 3)
0,
/ Ж,
к < 1,
2 > к > 1,
где к =-
, к — «радиус сглаживания», Ж =
к > 2, 1.5к,
а = 1,
0.7пк2, а = 2,
пк
а = з.
Отметим, что аппроксимационные формулы метода БРИ получаются из приближения величины некоторой переменной а:
а(г) « { а (г ')ю(г - г', к )йТ',
я
где ю(г - г', к) — так называемая сглаживающая функция (или ядро аппроксимации), которая следует из очевидного соотношения
а (г ) = { а (г ' )5(г - г' )йТ ', причем |ю(и, к )и = 1, Ж (и, к) —к__— >5(м ). я я
Если рассматривается среда плотности р (г), то можно написать
(г - г )р(г’ )с1г'-
Далее для выгчисления этого интеграла полагаем, что рассматриваемая среда разбита на N элементов массами m2,...,mN и центрами
____ N
масс в точках г1,...,^ . В таком случае а (г) = ^тк—о(г -гк)к.
к=1 рк
к
к
к
Аналогичные выкладки для производной по координате xa дают
da (r) ^ ak - а (г) 9ю
— mk--------- —•
dX а k-1 Pk d X а
Каждой частице в SPH-методе должен соответствовать некий малый объем вещества, и частицы не должны проникать друг сквозь друга. Однако давление в самих частицах не всегда способно предотвратить проникание, особенно если частицы сталкиваются со сверхзвуковой скоростью. В этом случае дополнительная вязкость способствует дополнительному торможению частиц. Она вводится добавлением в («aß «aß Л aZ — + bZ2 _
2i___+ k члена вида s,k lk----------iiL, где cik — средняя скорость звука в
v P2 P2 J Pik
частицах i и k, pik — средняя плотность, а
z (ua- ua)( xa- xa) h
Zik
(ха- ха) + 0.01к2
Размер радиуса сглаживания может быть постоянным для всех частиц, что сильно упрощает расчеты и поиск соседей. Однако такой подход неприменим в случае больших деформаций. При сильном сжатии ухудшается точность счета, а при растяжении частицы теряют связь друг с другом. В некоторых задачах проблема решается изменением радиуса сглаживания во времени, например, когда части системы сжимаются с одинаковой скоростью. В общем случае необходимо поддерживать оптимальный радиус сглаживания в каждой частице. Так, например, условие постоянства количества соседей частицы может служить критерием выбора радиуса сглаживания для этой частицы. Но исследования порядка аппроксимации для произвольной функции показали, что более точным является другой алгоритм, при котором половина радиуса сглаживания частицы до ближайших соседей используется по шести направлениям в пространстве. Необходимость использования подобного алгоритма продиктована одним из недостатков аппроксимации в методе гладких частиц, а именно значительной потерей точности при отсутствии соседей с одной из сторон. В случае использования метода с постоянным количеством соседей такая ситуация возникает около фронта ударной волны, где сосредоточено большое количество частиц.
При использовании искусственной вязкости условием устойчивости в соответствии с работами [8; 9] является
(
8t, = 0,3 min
h h
#Г c, + l.2aci + 1.2b max qik
F = d V.
i dt i
Таким образом, шаг по времени будет следующим: т = тіп Ык .
к
На рисунках 1 — 12 приведены результаты численного решения задач о процессах, происходящих в деформируемых твердых телах при их погружении. На рисунке 1 — фронты упругопластической волны в трех точках мишени при соударении двух дисков из железа «армко» (пунктирные — экспериментальные [7], сплошные — расчетные кри-
43
44
вые). Видно распространение упругого предвестника перед фронтом пластической волны, движущегося со скоростью се = ^(Х + 2ц)/р, и упругая разгрузка этой же волны с другой стороны импульса. Скорость
пластической волны равна ср ^ р.
На рисунуке 2 представлена зависимость скорости тыльной поверхности от времени (реверберация откольного импульса) после реализации откола с тыльной стороны плиты (пунктирные линии — эксперимент [7], сплошные — расчет). Центральная пунктирная линия соответствует экспериментальному положению откола, пунктирные линии слева и справа — его расчетное положение.
Рис. 1 Рис. 2
На рисунке 3 представлено начало отлета алюминиевого диска от жесткой преграды, с которой произошло соударение. Вихревой характер поля скоростей в 5-слойной преграде при ударе по ней жестким шариком показан на рисунке 4. При ударе по слоистой плите в каждом слое генерируются вихревые поля скоростей, распространяющиеся по каждому слою с постоянной скоростью (толстые слои — стекло, тонкие — клей). Изоповерхности одной из компонент тензора напряжений (ст33) при
косом ударе по алюминиевой плите (трехмерная задача) видны на рисунке 5.
Рис. 4 Рис. 5
Поля скоростей в артиллерийском орудии (график сжат по вертикальной оси), образовавшиеся при движении по нему артиллерийского снаряда, местоположение которого определяется из рисунка, и отражение упругой волны от края орудия (после скорости направлено вниз) представлены на рисунке 6. Рис. 6а показывает изоповерхности одной из компонент тензора напряжений (ст22), рисунок 6б — поле скоростей. Специфической областью в динамике деформируемых сред являются задачи о распространении упругих или упругопластических волн в твердых телах при воздействии на них лазерным или рентгеновским излучением, потоками заряженных частиц. Характерной особенностью таких процессов при наличии в задаче цилиндрической или сферической симметрии является наличие кумулятивного эффекта при «схождении» волн разгрузки, идущих от краев облучаемой зоны к оси или центру симметрии. На рисунке 7 виден ход распространения упругих волн в перпендикулярном направлении после погло-
-Б
Vі" щения кристаллом электронного потока.
Волны сжатия, идущие от облучаемой поверхности, взаимодействуют со свободной тыльной поверхностью кристалла, где из-за преобразования в положительные (растягивающие) волны могут образоваться трещины. В свою очередь, волны растяжения после взаимодействия со свободной лицевой облучаемой поверхностью преобразуются в волны сжатия, процесс повторяется, однако уже в частично разрушенном кристалле. Результаты решения задач о воздействии потока электронов на алюминиевую пластинку и рентгеновского лазера на композитную цилиндрическую оболочку представлены на рисунке 8. После облучения электронным пучком алюминиевой пластинки образуются: волна сжатия, распространяющая к свободной тыльной стороне, и волна, взаимодействующая с лицевой (облучаемой) поверхностью. Результат действия 1-й волны — разрушения снизу (тыльный откол), 2-й — движение материала (деформируемая среда и расплав) вверх. На рисунке 8б изображено движение среды, в которую входят упругий материал, расплав, газ после воздействия рентгеновского излучения на цилиндрическую композитную оболочку.
Рис. 7
45
46
Рис. 8
Сложные дифракционные волновые картины образуются в упругопластическом грунте, поведение которого полагается (модель Прандт-ля—Рейса с условием пластичности Мизеса — Шлейхера) при обтекании полости после действия взрыва на поверхности (верхняя граница области интегрирования); на трех оставшихся границах ставилось условие сноса (производные от искомых функций по соответствующим направлениям равны нулю). На рисунке 9 показаны изоповерхности si}-, si}- = const.
Рис. 9
Характер распространения упругих волн при ударе по решетчатой конструкции самолетом виден из рисунка 10. Задача решалась сеточнохарактеристическим методом в двумерной постановке. Волновой фронт имеет вид угла (в трехмерном случае — клина), что обусловлено многочисленными дифракционными явлениями (обтеканиями полостей упругими волнами). При отражении импульса сжатия (рис. 10я) от свободной тыльной поверхности конструкции волна сжатия преобразуется в волну растяжения, что может привести к реализации явления тыльного откола. Так было в торговом центре Нью-Йорка — разлет колонн с обратной стороны высотного сооружения был заснят видеокамерами.
□□□□□□□□□□□□а
□□□□□□□□□□□□а
□□□□□□□□□□□□а
ппппсюпнпаипп
□□□□□□□□□□□□а
!.□□□□□□□□□□□ ]□□□□□□□□ ]□□□□□□□□ ]□□(_)□□[_) LJU !□□□□□□□□□ ]□□□□□□□□□□ icriancoaoDGD
б
а
Рис. 10
Подобным образом распространяются волны в перфорированной конструкции, (рис. 11). В этом случае динамическая нагрузка приходилась в нижнюю часть конструкции; дальнейший ход распространения упругих волн аналогичен предыдущему случаю.
47
Рис. 11
а
На рисунке 12 представлена картина внедрения самолета, который моделировался упругопластическим цилиндром, в решетчатую конструкцию. Численное моделирование проводилось методом гладких частиц. Видно движение вправо перекрытия, в которое ударил самолет, разрушение внутренних перекрытий и самого самолета.
Рис. 12
Список литературы
1. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. С. 212 — 263.
2. Меньшиков Г.П., Одинцов В.А., Чудов Л.А. Внедрение цилиндрического ударника в конечную плиту // Изв. АН СССР. Сер. МТТ. 1977. № 1. С. 146 — 157.
3. Бураго Н.Т., Кукуджанов В.Н. Решение упругопластических задач методом конечных элементов; Пакет прикладных программ «Астра»: Препринт ИПМ АН СССР. 1988. № 280. 63 с.
4. Гулидов А.И., Фомин В.М., Шаболин И.И. Алгоритмы перестройки разностной сетки при численном решении задач соударения с образованием трещин // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Матер. 7-й всесоюз. конф. Новосибирск, 1982. С. 182—192.
5. Буланцев Г.М., Корнеев А.И., Николаев А.П. // Изв. АН СССР. Сер. МТТ. 1985. № 2. С. 138—143.
6. Горельский В.А., Хорев И.Е., Югов П.Т. Динамика трехмерного процесса несимметричного взаимодействия тел с жесткой стенкой // Журн. прикл. мех. и техн. физ. 1985. № 4. С. 112—118.
48
7. Сугак С.Г., Каннель Г.И., Фортов В.Е., Ни А.Л., Стельмах В.Г. Численное моделирование действия взрыва на плиту // Физика горения и взрыва. 1983. № 2. С. 121-128.
8. Monaghan J.J. On the problem of penetration of particle methods // J. of Comp. Physics. 1989. Vol. 82. P. 1-15.
9. Idem. An introduction to SPH // Comp. Phys. Communication. 1988. Vol. 48. P. 89-96.
10. Блажевич Ю.В., Иванов В.Д., Петров И.Б., Петвиашвили И.В. Моделирование высокоскоростного соударения методом гладких частиц // Мат. моделир. 1999. Т. 11. № 1. С. 88-100.
11. Петров И.Б., Холодов А.С. Численное исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твердого тела // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1984. Т. 24. № 5. С. 722-753.
12. Они же. О регуляризации разрывных численных решений уравнений гиперболического типа // Там же. № 8. С. 1172 — 1188.
13. Петров И.Б., Тормасов А.Г., Холодов А.С. Об использовании гибридизированных сеточно-характеристических схем для численного решения трехмерных задач динамики деформируемого твердого тела // Там же. № 8. 1990. С. 1237—1244.
14. Петров И.Б. Волновые и откольные явления в слоистых оболочках конечной толщины // Изв. АН СССР. Сер. МТТ. № 4. 1986. С. 118—124.
15. Петров И.Б., Тормасов А.Г., Холодов А.С. О численном изучении нестационарных процессов в деформируемых средах многослойной структуры // Там же. № 4. 1989. С. 89—95.
16. Жуков Д.С., Петров И.Б., Тормасов А.Г. Численное и экспериментальное изучение разрушения твердых тел в жидкости // Там же. 1991. № 3. С. 183 — 190.
17. Петров И.Б. Численное исследование волновых процессов в слоистой преграде при соударении с жестким телом вращения // Там же. 1985. № 4. С. 125 — 129.
18. Коротин П.Н., Петров И.Б., Холодов А.С. Численное решение некоторых задач о воздействии тепловых нагрузок на металлы // Там же. 1989. № 5. С. 63 — 69.
19. Коротин П.Н., Петров И.Б., Пирогов В.Б., Холодов А.С. О численном решении связанных задач сверхзвукового обтекания деформируемых оболочек конечной толщины // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. № 8. С. 1233 — 1243.
20. Петров И. Б., Тормасов А. Г. О численном исследовании трехмерных задач обтекания волнами сжатия препятствия или полости в упругопластическом полупространстве // ДАН СССР. 1990. Т. 314. № 4. 1990. С. 817—820.
21. Коротин П.Н., Острик А.В., Петров И.Б. Численное исследование волновых процессов при объемном энергопоглощении в мишенях конечной толщины // Там же. 1989. Т. 308. № 5. С. 1065—1070.
22. Кондауров В.И., Петров И.Б. Расчет процессов динамического деформирования упругопластических тел с учетом континуального разрушения // Там же. 1985. Т. 285. № 6. С. 1344—1347.
23. Коротин П.Н., Петров И.Б., Холодов А.С. Численное моделирование поведения упругих и упругопластических тел под воздействием мощных энергетических потоков // Мат. моделир. 1989. Т. 1. № 7. С. 1 — 12.
24. Петров И.Б., Тормасов А.Г. О численном решении пространственных задач соударения // Там же. 1990. Т. 2. № 2. С. 69 — 72.
25. Иванов В.Д., Кондауров В. И., Петров И.Б., Холодов А.С. Расчет динамического деформирования и разрушения упругопластических тел сеточно-характеристическими методами // Там же. № 11. С. 11 — 29.
26. Острик А.В., Петров И.Б., Петровский В.П. Расчет дифракции акустического импульса малой длительности на отверстии сложной формы в заполнителе, окруженном упругой оболочкой // Там же. № 8. С. 51 — 59.
27. Иванов В.Д., Петров И.Б., Тормасов А.Г. и др. Сеточно-характеристический метод расчета динамического деформирования на нерегулярных сетках // Там же. 1999. Т. 11. № 7. С. 116—127.
28. Петров И.Б., Тормасов А.Г. Численное исследование косого соударения жесткого шарика с двухслойной упругопластической плитой // Там же. 1992. Т. 4. № 3. С. 20—27.
29. Лобанов А.И., Петров И.Б. Численное решение совместной задачи о воздействии сжатой плазмы на электроды рельсотрона // Там же. 1993. Т. 5. № 10. С. 49 — 56.
30. Иванов В.Д., Петров И.Б., Суворова Ю.Д. Расчет волновых процессов в наследственных вязкоупругих средах // Мех. композит. матер. 1990. № 3. С. 447— 450.
31. Они же. Численное решение двухмерных динамических задач наследственной теории вязкоупругости // Там же. 1989. № 3. С. 419 —424.
32. Кондауров В.И., Петров И.Б., Холодов А.С. Численное моделирование процесса внедрения жесткого тела вращения в упругопластическую преграду // Журн. прикл. мех. и техн. физ. 1984. № 4. С. 132—139.
33. Богданкевич О.В., Костин Н.Н., Крюкова И.В. и др. // Физ. и хим. обр. матер. 1988. № 3. С. 32 — 38.
34. Коротин П. Н., Петров И. Б., Утюжников С. В. Расчет поведения деформируемых оболочек под действием аэродинамических и тепловых нагрузок // Моде-лир. в мех. АН СССР. Сиб. отд. ВЦ ИТИПМ. 1988. Т. 2 (19). № 6. С. 62—68.
35. Иванов В.Д., Петров И.Б. Моделирование деформаций и разрушений в мишенях под действием лазерного излучения // Тр. ИОФ РАН. 1992. Т. 36. С. 247—266.
36. Иванов В.Д., Кондауров В.И., Петров И.Б., Фортов В.Е. Моделирование процессов деформирования и разрушения метеороидов в атмосфере планет // Тематич. сб. тр. междунар. конф. «Современные проблемы теоретической астрономии». СПб., 1994. Т. 3. С. 41—42.
37. Иваненко С.А. Расчет течений в водоемах на криволинейных сетках. Сообщения по прикладной механике / ВЦ АН СССР. М, 1991.
Об авторе
И.Б. Петров — д-р физ.-мат. наук, проф., МФТИ.
УДК 550.388.02
Ю.С. Жаркова, С.А. Ишанов, В.В. Медведев, В.Г. Токарь
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ИОНОСФЕРЫ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ КВ-РАДИОТРАСС (РАДИОСИГНАЛОВ)
Математические модели ионосферы используются для моделирования распространения радиосигналов.
Mathematical models of ionosphere are used for simulation of radio waves propagation.
На основе приближения геометрической оптики [1] волновое уравнение, описывающее взаимодействие электромагнитной волны с ионосферой, сводится к системе уравнений для фазы (эйконала) и амплитуды (уравнение переноса) поля. Уравнение эйконала относится к классу
Вестник РГУ им. И. Канта. 2006. Вып. 10. Физико-математические науки. С. 49 — 54.
