Численное моделирование релаксационных автоколебаний в двухмассовой системе с трением при периодическом характере нагружения Текст научной статьи по специальности «Физика»

Литература

1. Безухов Н.И. Теория упругости и пластичности. М., Гостехизд, 1953, 420 с.

2. Бодунов Д.М. Течение тонкого слоя идеально-пластического материала по деформируемым поверхностям // Дис. канд. физ.-мат.н. - М.: МГТУ МАМИ, 2004, 163 с.

3. Ильюшин А.А. Некоторые вопросы пластического течения. // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. №2. с. 64-68.

4. Ильюшин А.А. Полная пластичность в процессах течения между жёсткими поверхностями, аналогия с песчаной насыпью и некоторые приложения // Прикл. матем. и мех. 1955, т. 19, № 6. с. 693-713.

5. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука. 1969, 420 с.

6. Кийко И. А. Теория пластического течения. М.: Изд-во МГУ, 1978, с. 50-57.

7. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М.: Изд. ИЛ, 1960, 300 с.

8. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Изд. Наука, 1969, т. 2., 800 с.

Численное моделирование релаксационных автоколебаний в двухмассовой системе с трением при периодическом характере нагружения

Михайлова В. Л. МГТУ «МАМИ»

Рассматривается двухмассовая система с двумя источниками кулоновского трения под действием периодически изменяющейся нагрузки. Решение соответствующей задачи динамики осуществляется на основе пошаговой вычислительной процедуры с регуляризацией и итерациями на каждом временном шаге. Сравниваются результаты моделирования, обусловленных трением автоколебаний, для гармонического и линейного законов нагружения.

Для различного рода технических устройств, машин и их элементов характерна работа в условиях действия сил трения. Сочетание таких факторов, как упругость и трение, может при определенных условиях привести к возникновению фрикционных автоколебаний в процессе работы соответствующего устройства и нарушить его нормальное функционирование. В режимах медленно изменяющихся нагрузок такие фрикционные автоколебания носят релаксационный характер, когда этап относительного движения сменяется этапом относительного застоя.

При исследовании фрикционных автоколебаний релаксационного типа во многих случаях допустимо использование кулоновской модели трения со скачкообразным падением значения силы трения при переходе от покоя к скольжению [1]. На основе такой модели в [2] выполнено численное исследование релаксационных автоколебаний в двухмассовой системе с двумя источниками трения при постоянной скорости нагружения (случай линейной зависимости приложенной нагрузки от времени). В настоящей статье аналогичное исследование осуществляется для закона нагружения периодического типа, характерного для многих технических систем.

Расчетная схема рассматриваемой системы представлена на рис. 1. Здесь т -

массы, с1, с2 - жесткости упругих элементов, Ь1, - коэффициенты вязкости, Рт1, Рт2 -значения сил трения в состоянии скольжения. Предполагается, что непосредственно перед

началом скольжения силы трения покоя тп1, 'тп2 превышают соответствующие силы т1, т2 при скольжении так, что

Ртл1 = (1+ /т1)Рг1 , Ртп2 = (1 + /т2)Рг2 , (1)

где безразмерные параметры ?т1, ?12 характеризуют степень указанного превышения.

Уравнения движения рассматриваемой системы под действием изменяющейся во времени силы Р( *) могут быть записаны в виде:

М\

т2

2

d xi dx\ dx\

+ b\--+ Fji —

dt

2

dt

2

d X2 dx2 dx2

+ b2~T + FT2 —

dt

2

dt

+ cx(x 1 - x2) = P(t),

+ C2x2 -cj(xj -x2) = 0.

(2)

Осуществляемые ниже исследования предполагают два типа периодических зависимостей нагрузки от времени. Во-первых, это кусочно-линейная периодическая зависимость (с

периодом Т и частотой o = 2п / T ), формулируемая в виде

" t " 12 - J sign(sin ot)dt

P =

nP2

2t 2

(3)

и соответствующая случаю постоянной по модулю скорости нагружения. Здесь t2 = Г/4, а ве-

пр / 2

личина 2 представляет собой максимальное значение силы Р. Во-вторых, это гармонический аналог кусочно-линейной периодической зависимости (3), записываемый в виде

.2

П

P =— P2 cos at.

8

(4)

P(t)

X,

Х2

Рис. 1.

Коэффициент п 2 / 8 в записи (4) подобран таким образом, чтобы импульсы сил (интегралы по времени), вычисляемые на интервале 0 — 1 — т /4 с использованием зависимостей (3) и (4), были одинаковы.

Введем в рассмотрение константу V , характеризующую масштаб скоростей в процессе движения системы, а именно:

V = Р2® / С\

Введем, кроме того, обозначения:

л/с1 / т\ , ®2

(5)

(0\

: ^С2 / т2 , й~21 = ®2 / ®i, т~12 = mi / т2, т = a>it , qi= xi&i / v , q2 = x2^/ v,

(6)

Гт1 = Гт1 / ) , = ®21 / (т2®2v) ,

¿1 = ^ / №1), ¿2 = <~2162®2 / (с2-~т2 ), Р = / X

с помощью которых приведем уравнения движения (2) и законы нагружения (3), (4) к безразмерному виду. При этом для уравнений движения получаем соответствующий безразмерный аналог вида:

С2 Ст2

¿1

Ст

т1

С 2#2 С#2

-+ ¿2 РТ2 -

Ст

Ст

+ РТ

Т2

С#2

Ст,

С#1 Ст

Сд2

Сд\

Ст

- #2 = Р(т)

Ст

(7)

+ <~21#2 -т12(#1 - ^2) =

Входящая в (7) зависимость безразмерного параметра нагрузки от безразмерного времени имеет вид:

Р = п - I •"ёМ^п От)Ст

т

или

~ п

Р = —— 008 От. 8О

(8)

(9)

Параметр О в (8) и (9) представляет собой относительную частоту изменения нагрузки и определяется формулой:

а = а/ щ. (10)

Уl, У2, У3, У4

такие,

что

Вводя новые переменные

у1 = #1, У2 = С#1 / Ст, У3 = #2, У4 = С#2 / Ст, а также обозначения 01, °2 для входящих в формулировку (7) безразмерных сил трения, приведем уравнения движения (7) к системе дифференциальных уравнений вида:

СУ1

Ст

СУ 2 Ст СУ3 Ст Су 4 Ст

= У 2,

= Р (т) Рт1 У 2 - °1(У 2 ) - У1 + У 3,

= У 4,

= -6Рт2У4 - °2(У4 ) -®21 У3 + т12(У1 - У3).

(11)

Здесь обозначения °1(у 2), °2( У 4) указывают на зависимость сил трения от скоростей У 2, У 4 .

Численное моделирование с использованием системы (11) осуществлялось на основе вычислительной процедуры, описанной в статье [2]. Такая процедура включает регуляризацию зависимостей сил трения от скорости, применение неявной схемы Эйлера на шаге интегрирования по времени в сочетании с итерационными процессами, обеспечивающими выполнение условий по трению на каждом таком шаге.

Представленные ниже результаты численного моделирования двухмассовой системы с двумя источниками трения относятся к случаю

Л = /т2 = 01■ т12 =12. <~21 = 1 ¿2 / ¿1 = 1 Рт2 / Рт 1 = 0,8

У/, л. у у

При этом периоды собственных колебаний рассматриваемой системы оцениваются ве-

Т ~ 10 Т ~ 3 личинами 1 и 2 .

Прежде чем перейти к анализу результатов численного моделирования, отметим, что для поведения рассматриваемой системы под действием периодически изменяющейся нагрузки в условиях низких значений частоты О (медленного протекания процесса нагруже-ния) характерно наличие зоны продолжительного застоя на каждом полупериоде изменения нагрузки. Параметры такого застоя могут быть оценены на основе квазистатического расчета (пренебрегая инерционными и вязкими факторами).

Поскольку периодическая зависимость (8) содержит линейные участки, результаты по

параметрам релаксационных автоколебаний, полученные в [2] для линейного закона нагру-жения, могут быть непосредственно перенесены на случай кусочно-линейного периодического закона нагружения (8). При этом имеется в виду колебательный процесс, устанавливающийся на каждом полупериоде изменения нагрузки (на промежутке между двумя соседними продолжительными застоями). Соответствующие результаты оформлены в виде табл. 1 и приводятся здесь для сравнения со случаем гармонического закона нагружения.

Таблица 1.

Диапазоны значений параметра ]т1, обеспечивающие реализацию соответствующих

типов колебаний, в зависимости от величины (случай линейного закона нагружения).

X 1 2 3 4 5 6

0 К < 7 7 < ]Т1 < 16 16 < ]Т1 < 28 ]~Т1 > 28 - -

0,002 ] < 17 17 < ]Т1 < 21 21 < ]Т1 < 34 34 < ]Т1 < 309 309 < ]Т1 < 398 ]Т1 > 398

0,003 ] < 27 - 27 < ]Т1 < 35 35 < ]Т1 < 174 174 < ]Т1 < 221 ] > 221

0,004 ] < 35 - 35 < ]Т1 < 44 44 < ]Т1 < 109 109 < ]Т1 < 129 ] > 129

0,0045 ] < 60 - - 60 < ]Т1 < 63 63 < ]Т1 < 99 ]Т1 > 99

0,0047 ] < 64 - - - 64 < ]Т1 < 89 ]Т1 > 89

0,0048 ] < 66 - - - 66 < ]Т1 < 71 ]Т1 > 71

В каждой из строк табл. 1 при фиксированном значении коэффициента вязкости У ука-

] 1

заны граничные значения параметра трения т1, выход за которые ведет к качественному

]

изменению картины автоколебаний. Соответствующие диапазоны параметра т1 с качественно различной ситуацией по режиму автоколебаний расположены в столбцах 1-6

таблицы 1. Прочерк означает, что при заданном значении ^ соответствующий режим из набора 1-6 не реализуется.

]

Попадание значений параметра т1 в столбцы 1 и 6 рассматриваемой таблицы соответствует ситуации отсутствия релаксационных автоколебаний. Типичные картины скоростей установившихся автоколебаний для столбцов 2-5 приведены в [2] с указанием значений параметров ]т1 и , для которых эти графики построены.

В картину релаксационных автоколебаний типа 2 (по номеру соответствующего столбца в табл. 1) наибольший вклад вносит гармоника с периодом. При этом вклад гармоники с

периодом Т2 наблюдается в виде локальных всплесков в картине скоростей. Такой тип автоколебаний устанавливается при небольших значениях параметра трения ]т1.

]

При увеличении параметра т1 увеличивается и вклад гармоники с большей частотой

(с периодом ^2). Затем наступает ситуация, когда гармоника с периодом Т2 начинает играть определяющую роль в формировании картины релаксационных автоколебаний (тип 3).

Особенностью колебаний типа 3 является их релаксационный характер по координате

и квазигармонический характер по координате Дальнейшее увеличение параметра

трения ]т1 ведет к установлению релаксационных колебаний и по координате ^ (тип 4). Характерным при этом является наличие локальных всплесков в зоне пиков скоростей.

Наконец при повышенных значениях коэффициента вязкости ^ картина колебаний

(тип 5) по координате ^ теряет релаксационный характер (несмотря на достаточно большие

р

значения параметра трения т1). При этом сохраняются локальные всплески в картине скоростей, типичные для больших значений Рт1.

Таблица 1 дает представление о том, как по мере роста параметра ¿1 становится невозможной реализация форм автоколебаний типа 2, затем типов 3 и 4. При ¿1 =0,0048 возможно установление автоколебаний (с формой типа 5) лишь для очень узкого диапазона значений

параметра трения Рт1. Вязкое сопротивление при ¿1 ~ 0,0049 полностью гасит автоколеба-

р

ния (при любых значениях т1) сЛу, / сЗт

3250.О 33

НО. О 3350. О 3 400. О 3 45О. О 3500.0 3550.0

/йГг

3250.□

ззоо.□

3350.□

3400.О

3 45О.О

3500.О

3550.О

Рис. 2. Установившиеся колебания в двухмассовой системе при гармоническом

нагружении. Картина скоростей при О =0,005, =25 и ¿1 =0,002.

В случае гармонического закона (9) скорость нагружения на части полупериода между двумя продолжительными застоями существенно изменяется. Поэтому картина устанавливающихся автоколебаний неоднородна (в отличие от рассмотренного выше случая с постоянной скоростью нагружения на полупериоде). С поправкой на отмеченную неоднородность здесь зафиксированы те же типы 2, 3, 4 автоколебаний, что и в предыдущем случае. Уста-

новлено также и наличие колебаний смешанного типа на части полупериода изменения нагрузки, когда в окрестности продолжительных застоев имеют место релаксационные колебания, а на остальной его части определяющую роль играют собственные колебания (затухающие при наличии вязкости). Такой тип устанавливающихся колебаний иллюстрирует рис. 2.

Качественные и количественные эффекты, связанные с влиянием частоты О приложенной нагрузки, параметра трения и коэффициента вязкости ¿1 на режим автоколебаний в рассматриваемой двухмассовой системе, обнаруживаются из анализа результатов расчетов, приведенных в таблицах 2, 3, 4. Столбец с номером 1 у каждой из таблиц соответствует ситуации отсутствия автоколебаний. Номера столбцов, отличные от единицы, соответствуют отмеченным типам колебаний в системе, а диапазоны значений параметра трения в

столбцах указывают величины Рт1, которые обеспечивают реализацию соответствующего типа колебаний. Каждая из строк таблиц содержит результаты, полученные при фиксированном значении параметра, указанного в крайнем левом столбце. При анализе неравенств в

столбце 4 следует иметь в виду требования к величине параметра т1 , а именно, значения

р

т1 должны быть такими, чтобы длительность зоны колебаний на полупериоде изменения нагрузки существенно превышала длительность продолжительного застоя.

Качественные и количественные эффекты, связанные с влиянием частоты О приложенной нагрузки, параметра трения и коэффициента вязкости ¿1 на режим автоколебаний в рассматриваемой двухмассовой системе, обнаруживаются из анализа результатов расчетов, приведенных в таблицах 2, 3, 4.

Столбец с номером 1 у каждой из таблиц соответствует ситуации отсутствия автоколебаний. Номера столбцов, отличные от единицы, соответствуют отмеченным типам колебаний в системе, а диапазоны значений параметра трения ^т1 в столбцах указывают величины

р

т1 , которые обеспечивают реализацию соответствующего типа колебаний. Каждая из строк таблиц содержит результаты, полученные при фиксированном значении параметра, указанного в крайнем левом столбце. При анализе неравенств в столбце 4 следует иметь в виду

р р

требования к величине параметра т1 , а именно, значения т1 должны быть такими, чтобы длительность зоны колебаний на полупериоде изменения нагрузки существенно превышала длительность продолжительного застоя.

Таблица 2 демонстрирует влияние частоты О приложенной нагрузки на режимы колебаний в отсутствие вязкого сопротивления (¿=0). Сравнение с аналогичными результатами, полученными для случая постоянной скорости нагружения, показывает, что в случае гармонического закона нагружения значения параметра трения Рт1, обеспечивающие установление режима релаксационных автоколебаний (в форме смешанных колебаний типа 2, когда основной вклад в колебания вносит низкочастотная составляющая собственных колебаний с

периодом Т1 ), в два и более раз меньше, чем в случае постоянной скорости нагружения. (Отметим, что при формировании таблиц 2, 3, 4 использовался критерий, согласно которому колебания относились к типу смешанных, если продолжительность релаксационной фазы в них составляла не менее 5% полупериода п / О изменения нагрузки).

Сравнивая с использованием данных таблицы 2 условия реализации автоколебаний типов 2 и 3 при ° = 0,003 (соответственно 9 - Рт1 <17 и 17- Рт1 - 34) и при ° = 0,005 (соответственно 10 - ^т1 < 26 и 26 - - 34 ), приходим к выводу о существенном влиянии частоты О изменения нагрузки на установление того или иного из указанных режимов автоколебаний. В данной конкретном случае эффект влияния частоты О изменения нагрузки наблю-

дается в виде двукратного (при переходе от О 0,003 к О 0,005) расширения диапазона

р

значений параметра трения т1, обеспечивающих реализацию режима автоколебаний типа 2 и, соответственно, двукратного сокращения аналогичного диапазона применительно к режиму автоколебаний типа 3.

Таблица 2.

р

Диапазоны значений параметра Т1, обеспечивающие реализацию соответствующих типов колебаний, в зависимости от величины О в случае гармонического закона

\№ 1 2 2 3 4

0,003 < 4 4 < РТ1 < 9 9 < РТ1 < 17 17 < РТ1 < 34 Р > 34

0,004 Р < 3 3 < Р < 8 8 < РТ1 < 21 21 < РТ1 < 34 Р > 34

0,005 р < 3 3 < РТ1 < 10 10 < РТ1 < 26 26 < РТ1 < 34 р > 34

0,01 р < 1 1 < р < 11 11 < РТ1 < 23 23 < РТ1 < 34 р > 34

Таблица 3.

р

Диапазоны значений параметра Т1 , обеспечивающие реализацию соответствующих

типов колебаний, в зависимости от величины & (случай гармонического закона ___нагружения при О = 0,003).. __

1к 1 2 2 3 4 4

0 Р < 4 4 < РТ1 < 9 9 < РТ1 < 17 17 < РТ1 < 34 - Р > 34

0,001 р < 6 6 < РТ1 < 17 17 < РТ1 < 20 20 < РТ1 < 37 - Р, > 37

0,002 р, < 10 10 < РТ1 < 20 - 20 < РТ1 < 40 - Р, > 40

0,003 Р^Т! < 12 12 < РТ1 < 19 - 19 < РТ1 < 45 - РТ1 > 45

0,0032 Р, < 19 - - 19 < РТ1 < 40 40 < РТ1 < 46 РТ1 > 46

Таблица 4.

р

Диапазоны значений параметра Т1 , обеспечивающие реализацию соответствующих

типов колебаний, в зависимости от величины (случай гармонического закона ___нагружения при О = 0,005)..___

Ж 1 2 2 3 4 4

0 РТ1 < 3 3 < РТ1 < 10 10 < РТ1 < 26 26 < РТ1 < 34 - Р~Т1 > 34

0,001 Р~Т1 < 11 11 < РТ1 < 14 14 < РТ1 < 30 30 < РТ1 < 40 - Р, > 40

0,002 Р, < 18 18 < РТ1 < 26 26 < РТ1 < 29 29 < РТ1 < 41 - Р, > 41

0,003 Р, < 28 - - 28 < РТ1 < 34 34 < РТ1 < 47 Р~Т1 > 47

Данные таблиц 3 и 4 позволяют дать оценку влияния параметра вязкости У на условия реализации рассматриваемых типов релаксационных автоколебаний в исследуемой двухмас-совой системе при различных значениях параметра частоты изменения нагрузки (при О = 0,003 и О = 0,005)

Столбец с номером 4 каждой из таблиц соответствует режиму смешанных колебаний (релаксационные колебания в сочетании с затухающими собственными колебаниями), осТ ~ 3

новной вклад в которые вносит высокочастотная составляющая (с периодом 2 ~ ). При

достаточно малых значениях коэффициента вязкости Я релаксационные колебания типа 3 с

р ~

увеличением параметра трения т1 преобразуются в тип 4, минуя смешанную форму 4 . Соответствующий диапазон значений параметра трения при этом зависит от частоты ^ изменения нагрузки. Как видно из таблиц 3 и 4, увеличение параметра ¿1 ведет к ситуации, когда становится невозможной реализация режима релаксационных автоколебаний типа 2 (подобные автоколебания сохраняются лишь в форме 2). Дальнейшее увеличение параметра ¿1

приводит к полному гашению релаксационных автоколебаний типов 2 и 2 , основанных на низкочастотной составляющей собственных колебаний системы. Значения параметра трения

р

т1 , которые способны при этом обеспечить реализацию релаксационных автоколебаний типа 3, основанных на высокочастотной составляющей собственных колебаний системы, суще-

_ р

ственно зависят от величины параметра ". Сравнивая подобные значения параметра т1 для

случаев 0,003 и ^ = 0,005 (соответственно Рт1=19 и Рт1=28), приходим к выводу, что указанная существенная зависимость выражается в почти пятидесятипроцентном при переходе от ^ = 0,003 к ^ = 0,005 увеличении значений параметра трения , способных обеспечить реализацию релаксационных автоколебаний типа 3 (в ситуации, когда колебания типа

2 и 2 гасятся вязким сопротивлением). К аналогичной оценке приводит и сравнение ситуации с 0,003 и случаем постоянной скорости нагружения рассматриваемой двухмассовой системы.

Выводы

1. На основе вычислительной процедуры, включающей регуляризацию зависимостей сил трения от скорости, неявную схему Эйлера численного интегрирования и итерации на каждом шаге по времени, выполнено исследование релаксационных автоколебаний в двух-массовой упругой системе с двумя источниками трения, находящейся под действием периодически изменяющейся нагрузки.

2. Представленные результаты демонстрируют эффекты влияния параметров исследуемой механической системы на типы устанавливающихся релаксационных автоколебаний.

Литература

3. Геккер Ф.Р. Динамика машин, работающих без смазочных материалов в узлах трения. М.: Машиностроение, 1983. 167 с.

4. Михайлова В. Л. Вычислительная модель для исследования релаксационных автоколебаний в двухмассовых упругих системах с двумя источниками трения // Известия вузов. Машиностроение. 2003. №10. с.16-25.

Применение метода конечных элементов для определения технологических параметров в операциях растяжения металлического листа

Сухомлинов Л.Г., Швая А.П.

МГТУ «МАМИ»

Представлена модификация разработанной ранее жесткопластической конеч-ноэлементной модели формоизменения листовых металлов на случай учета орто-тропии пластических свойств листового материала. Приведены результаты расчетных и экспериментальных исследований растяжения прямоугольных образцов из листовой стали 08ю и латуни Л68 при больших пластических деформациях.

В листовой штамповке растяжение металлического листа является довольно распространенной технологической операцией. Подобная операция используется, например, в целях устранения незначительных дефектов типа исходного коробления листа, а также для предварительного растяжения листа с целью рационального использования металла и повы-