CC BY
28
УДК 539.3
Р. А. Каюмов, А. Т. Мухаметшин, И. З. Мухамедова, Д. Е. Страхов
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ПОЛИМЕРНОЙ МУФТЫ С ЭФФЕКТОМ ПАМЯТИ ФОРМЫ
Ключевые слова: полимер, память формы, наследственная упругость.
Рассмотрена задача о деформировании полимерной муфты, обладающей эффектом памяти формы и наследственной упругостью, применяемой для соединения труб обжатием. Для численного решения задачи использован метод конечных элементов. Выполнено сравнение различных вариантов определяющих соотношений для материала с эффектом памяти формы. Результаты представлены в виде графиков.
Keywords: composite materials, polymers, shape memory effect, viscoelasticity.
It is considered the problem of deformation under internal pressure sleeve made of a viscoelasticity material having a shape memory effect. The technique of genetic algorithm for elastic and shape memory materials have been tested on the problem of the tension rod. The method of finite elements with spatial finite elements was used to determine the stress-strain state. The Euler method was used to solve the Cauchy problem. The comparison of different variants of constitutive relations was made for the material with shape memory effect.
Введение
Исследованиями последних десятилетий установлено, что существует обширный класс материалов (например, никелид титана), у которых элементарный акт условно необратимой деформации осуществляется за счет обратимого мартенситного превращения, упругого
двойникования и ряда других процессов, коренным образом изменяющих закономерности неупругого деформирования [8]. На сегодня обнаружены не только сплавы, но и полимеры, обладающие эффектом памяти формы, однако, в них деформации памяти формы сопровождаются и деформациями ползучести [1]. На сегодня они используются для соединения труб с помощью муфт, изготовленных из этих материалов [11]. При этом технологам важно знать силу обжатия трубы после осадки муфты. Отметим, что в отличие от случая сплавов с эффектом памяти формы определить все механические характеристики полимера
непосредственно из каких-либо частных экспериментов достаточно трудная задача. Поэтому для отыскания функций, входящих в определяющие соотношения нужно применять методы идентификации (см. обзор, например, в [15]). При этом необходимо иметь модели деформирования материала и численные методики расчета НДС конструкций или образцов из этого материала.
В данной работе модель поведения материала с памятью формы использована применительно к полимерам, обладающим наследственной упругостью (вязкоупругстью).
Здесь и далее используется векторно-матричные обозначения. В частности,
М = {£п>£22>£33>£12>£23>£13} , Ы= [СТ11, СТ22, СТ33, СТ12, СТ23, СТ13} -
векторы, образованные из компонент тензоров деформаций и напряжений, индекс «'» означает операцию транспонирования. Согласно [1] полная деформация складывается из упругой деформации
^е деформации наследственной упругости |еес | и
деформации памяти формы
Ввиду того, что упругая часть деформации в рассматриваемых процессах мала, то будем закон упругости считать линейным:
[а} = [Б][8е} (1).
Будем считать, что зависимость матрицы упругих характеристик [Б] является монотонно убывающей при повышении температуры и аппроксимировать эту зависимость соотношением: [Б] = [Б] м +
+ ([D] a -[D] M) ( 2"e°
(Т-TN)/TM
(2)
)
где [Б]м - матрица упругих характеристик в холодном состоянии, [Б]а - в высокоэластическом
Т Т
состоянии, 1 - текущая температура, ^ -
е Т
начальная температура, и 1ы - константы материала.
Для большинства полимерных материалов характерна наследственная упругость
(вязкоупругстью). Принцип наследственности состоит в том, что реакция рассматриваемого тела или системы определяется не только значением воздействия в данный момент времени ^, но и всей историей изменения параметров процесса. В данной
работе деформация наследственной упругости ес} в зависимости от времени описывалась соотношением:
{*ec} = { H [(t-r),(a(r)}](a(r)}dr
(3)
Здесь [Н] - ядро ползучести, для которого примем следующее соотношение [13,14]:
H = H0Cf) (-TJ,
1 - 0.5 - 0.5 0 0 0 0.5 0 0 0 1
-0.5 -0.5 0 0 0
1
- 0.5 0 0 0
000 3 0 0 0 3 0 0 0 3
В расчетах применялась гипотеза о том, что С зависит только от температуры Т, причем, в численных расчетах использовалась следующая аппроксимация:
1 e (Т - TN )/T M С = С 0 / ( 21 e° )
(4)
Эта зависимость предполагает увеличение С
при повышении температуры
T
Следуя общепринятому подходу [2], введем параметр q - параметр процесса конформаций [1]. Дифференциальное уравнение, описывающее изменение q примем в виде, аналогичном для обычных сплавов с памятью формы [2], а именно:
dq/dT =
-(1-q)/(T -M2) приТ < 0,M2 < T <M1
-q/(A2 -T) прuT > 0, A1 < T < A2
(5)
где T - температура; M1, M2 - температура начала и окончания прямого процесса конформаций при охлаждении полимера под напряжением, A1, A2 - температура начала и окончания обратного превращения. В остальных случаях q = const.
Деформации памяти формы, вообще говоря, должны зависеть от всех параметров процесса. Однако, следуя работам [1-2], во-первых, принимаем гипотезу о том, что ее скорость зависит только от напряжений, самой деформации памяти формы и параметра q, зависящего в свою очередь от температуры T:
(6)
Во-вторых, предполагаем, что функция F представима в виде:
d )dq = Fl ) (7)
Функцию F2 разложим в ряд Маклорена, а F1 аппроксимируем степенной функцией:
dph\dq= X+afl+a2q2 +..Л Q+c^y
+*И+»^И"^---) (8)
Путем выбора в (8) констант можно получить различные модели материала с памятью формы. В частности, если в выражениях в круглых скобках ограничиться линейными слагаемыми, то получим модель, изложенную в [2], [3]. Ниже для выражений в круглых скобках в соотношениях (8) также ограничимся линейными функциями.
Для процесса охлаждения рассматривались 2
варианта разложения функции F2 . Если принять
Ь =0, то в этом случае получается вариант определяющих соотношений, приведенный в [2]:
Я2( мЬИ} (9)
Принимая Ь=а=0, получим соотношения, использованные в [3]:
М М (Ю)
При нагреве в сплавах скорость изменения деформаций памяти формы мало зависит от приложенных напряжений [2]. Принимая эту же гипотезу, рассмотрим следующие варианты
F2({4}, {вph }).
разложения функции
И)=Ь+аИ, (11)
М })= ь, (12)
«}>( * }. (13)
Для выбора коэффициентов а, Ь можно использовать различные соображения. В [2] для определения коэффициентов выражения (11) используется условие параллельности графиков зависимости деформаций памяти формы от температуры для прямого и обратного превращения. Для обратного превращения ниже рассматривался также вариант, использованный в [3], в котором скорость изменения деформаций памяти формы не
зависела от параметра q :
/2 м ь. (14)
Методика, алгоритм для наследственной упругости и теории материалов с памятью формы в виде [2] были протестированы на задаче о растяжении бруса. При определении НДС использовался МКЭ с восьмиузловым изопараметрическим пространственным конечным элементом. Для решения задачи Коши применялся метод Эйлера. В начальный момент времени считаем, что напряжения и деформации равняются
нулю. Далее задаем приращение нагрузки АР по некоторому заданному закону. С помощью МКЭ находим приращение перемещений Аи, далее находим приращение полных деформаций А{е} = А{ее } + А{еес } + А{^ } (на первом шаге А{еес } = А{^ } = 0).
Далее умножая упругие деформации А{ее } = А{е} - А{еес } } на матрицу упругих
характеристик находим приращение
напряжений А{м}. По А{м} на основе уравнений (3), (6) находим А{еес} и А{ерЛ}. Затем делаем следующий шаг.
При решении задачи по модели наследственно-упругого тела хранение всей истории изменения напряжений достаточно сложная задача. Поэтому в (3) выполнялась аппроксимация закона изменения напряжений во времени с помощью ломаных линий, поскольку это позволяет аналитически вычислить интеграл в (3). Количество ломаных варьировалось. Анализ результатов тестовых задач показал, что при
количестве шагов по времен п > 150 при использовании 4 ломаных отклонение от точных решений составляет не более 5%.
При тестировании алгоритма решения задачи о деформировании материалов с памятью формы считалось, что ползучесть отсутствует, приложены постоянные напряжения. В этом случае при применении [2] задача имеет аналитическое решение. Значения деформаций памяти формы сравнивались в конце прямого мартенситного превращения, а так же в конце обратного превращения. Анализ результатов показал, что при количестве шагов по времени п > 200 отклонение составляет не более 3%.
Различные варианты определяющих соотношений (8) сравнивались на задаче о
6 ООЕ-01 5 00Е-01 4 00Е-С11 3ООЕ-01 2 РОЕ-СИ 1 00Е-Э1 О.ЗОЕ+00 -1 ООЕ-И
к
/
/ \ ч
-- /
: ; о да : ] ; 0 [ 0 7 0 ( 0 1 0 1
-Р1
-. 13) -(12) -И
Рис. 1 - Деформации памяти формы
растяжения бруса. При этом считалось, что деформации наследственной упругости
отсутствуют.
На рис. 1 представлены зависимости деформаций памяти формы от времени для разных случаев определяющих соотношений. До времени 1=50 к материалу прикладывается нагрузка и параллельно происходит охлаждение материала со значения температуры М1 до Л^2. Далее при 1 > 50
приращение нагрузки АР считается равно нулю, а материал нагревается со значения температуры А1
до А2 (обратное превращение). На рис. 1а для процесса охлаждения использовано соотношение (9), а на рис. 1б соотношение (10). Для обратного превращения использованы соотношения (11) - (14).
Как видно из рис. 1, соотношение (12) дает нелогичное и сильно отличающееся от других
значение ].
Далее рассматривалась задача о деформировании под внутренним давлением муфты, сделанной из материала, обладающего эффектом памяти формы и наследственной упругостью. Цель задачи состояла в том, чтобы смоделировать процесс обжатия жестких труб, соединяемых полимерной муфтой с эффектом памяти формы. Для технологов важно, чтобы для выдавливания клея из под муфты обжатие было достаточно большим. Поэтому изготавливают муфту меньшего радиуса, нагревают и дорнируют, остужают на дорне, снимают с дорна и надевают на одну из труб. Концы двух труб намазывают клеем, муфту продвигают к месту стыка и нагревают. После этого происходит обжатие двух труб и их соединение. Промоделируем этот процесс.
2,50Е-01
200Е-01
1.50Е-01
1СЕ-С1
5.00Е-02
О.ООЕ+ОО
/ / ч
/ / \ \ —-- /
1 ,7 V \ 1 /
•У \ \ ! /
<$> £
Рис. 2 - Перемещения в радиальном направлении и сила обжатия
Деформации
1,40Е+00 -1,20Е+00 -1,00Е+00 -8,00Е-01 -6,00Е-01 -4,00Е-01 -
2,00Е-01
- ,
/ Ч \
> \ —
/
(/ \
// • . — — - — - "
* ✓ 4
*
■ памяти формы
Рис. 3 - Деформации в окружном направлении
В виду симметрии рассмотрим только четверть трубы. Исследовались зависимости силы обжатия трубы при усадке муфты на трубы и остаточных неупругих деформаций от времени и температуры (деформацией труб пренебрегали). На рис. 2 приведены перемещения в радиальном направлении внутренней точки муфты (сплошная линия на рис. 2).
упругие
ползучее ти
суммарн ые
-2,00Е-01
Видно, что после t > 73 , муфта осаживается на трубу. Это вызывает эффект появления силы обжатия трубы, что хорошо видно на рис. 2 (пунктирная линия).
Деформации упругости, ползучести и памяти формы в окружном направлении представлены на рис. 3.
Заключение
Для отыскания функций
D(T), C(T), a(T), Fl, F2 нужно применять методы
идентификации с использованием различных моделей (8) деформирования полимерного материала, обладающего эффектом памяти формы из условия наилучшего согласования с экспериментом.
Литература
1. Белошенко В.А., Варюхин В.Н. Эффект памяти формы в полимерах и его применение // Киев: Наукова думка, 2005.-189с.
2. МовчанА.А. Микромеханический подход к описанию деформации мартенситных превращений в сплавах с памятью формы // Изв. РАН. Механика твердого тела. -1995. - №1. - с. 197-205.
3. Irie M. Shape memory polymers / Eds. K. Otsuka, C.M. Wayman // Shape Memory Materials. - Cambridge: Cambridge University Press.- 1998. - P. 203-219.
4. Trznadel M., Kryszewski M. Thermal shrinkage of oriented polymers // J.M.C. - 1992. - 32C, N 3, 4. - P. 259-300.
5. Lendlein A., Kelch S. Shape-memory polymers // Angew. Chem. Int. Ed. - 2002. - 41, N 12. - P. 2034-2057.
6. Белошенко В.А., Варюхин В.Н., Возняк Ю.В. Эффект памяти формы в полимерах // Успехи химии. - 2005. - Т. 74, № 3. - с. 285-306.
7. Мовчан А.А. Микромеханический подход к проблеме описания накопления анизотропных рассеянных повреждений // Изв. РАН. Механика твердого тела. -1990. - №1. - с. 115-123.
8. Лихачев В.А, Кузьмин С.Л., Каменцева З.П. Эффект памяти формы. Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. - 218 с.
9. Махутов Н.А., Кивилидзе А.А. Описание механического поведения сплавов с памятью формы // Заводская лаборатория. - 1995. - №6. - с. 123-128.
10. Мовчан А.А., Казарина С.А. Механика активных композитов, содержащих волокна или слои из сплава с памятью формы // Механика композиционных материалов и конструкций. - 1996. - Т.2, №2. - с. 29-47.
11. Алексеев К.П., Строганов В.Ф., Страхов Д.Е., Строганов И.В. Экспериментальное исследование механических характеристик муфто-клеевых соединений трубопроводов с термоусаживающимися муфтами из термореактивных материалов.// Труды. Двадцатой межд. конф. по теории оболочек и пластин. Нижний Новгород. - 2002. - с. 138 — 141.
12. Зайцев Ю.С., Кочергин Ю.С., Пактер М.К., Кучер Р.В. Эпоксидные олигомеры и клеевые композиции.// Киев: Наукова думка, 1990. -200 с..
13. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела.// Москва. Наука - 1979. - 774 с.
14. Терегулов И. Г. Изгиб и устойчивость тонких пластин и оболочек при ползучести.// Москва. Наука, 1969. - 206 с.
15. Каюмов Р.А., Нежданов Р.О., Тазюков Б.Ф. Определение характеристик волокнистых композитных материалов методами идентификации.// Казань. Изд-во КГУ, 2005. - 258с.
16. Уорден К. Новые интеллектуальные материалы и конструкции // Москва. Техносфера, 2006.-224с.
17. Артюх Е.В., Каюмов Р.А., Мухамедова И.З. Приближенное аналитическое решение одной плоской задачи наложения больших деформаций для некоторых моделей нелинейно-упругих материалов / Вестник Казанского технологического университета. - Казань: Изд-во КНИТУ, 2014. -т.17. -№9. - с.7-9.
18. Черпаков А.В., Каюмов Р.А., Косенко Е.Е., Мухамедова И.З. Моделирование балки с дефектами конечно-элементным методом / Вестник Казанского технологического университета. - Казань: Изд-во КНИТУ, 2014. -т.17. -№10. - с.182-184.
19. Прудников П.В., Медведева М.А., Каюмов Р.А., Мухамедова И.З.. Компьютерное моделирование критического поведения систем с дальнодействующей корреляцией дефектов / Вестник Казанского технологического университета. - Казань: Изд-во КНИТУ, 2014. -т.17. -№10. - с.229-233.
Работа выполнена при поддержке РФФИ,
проект № 15-08-06018.
© Р. А. Каюмов - д.ф.-м.н., профессор кафедры «Дизайн» КНИТУ, kayumov@rambler.ru, А. Т. Мухаметшин - ассистент кафедры Механика КГАСУ, И. З. Мухамедова - к.ф.-м.н., доцент. кафедры Механика КГАСУ , muhamedova-inzilija@mail.ru, Д. Е. Страхов - к.т.н., доцент кафедры Механика КГАСУ, strahovde@mail.ru
© R. A. Kayumov- doctor of physical and mathematical sciences, professor department of Design of KNRTU, kayumov@rambler.ru, A. T. Muhametshin - teaching assistant Kazan State University of Architecture and Enginieering, 1 Z. Muhamedova - candidate of physical and mathematical sciences, associate professor Kazan State University of Architecture and Enginieering, muhamedova-inzilija@mail.ru, D. E. Strahov - candidate of technical scinces, associate professor Kazan State University of Architecture and Enginieering strahovde@mail.ru.
