CC BY
15
УДК 539.4
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ИЗДЕЛИЙ ИЗ СПЛАВОВ С ЭФФЕКТОМ ПАМЯТИ ФОРМЫ
НОЗДРИН М.А., канд. техн. наук, ЗАРУБИН З.В., асп.
Рассматриваются вопросы математического моделирования поведения материалов с эффектом памяти формы в случае сложного термомеханического нагружения.
Ключевые слова: эффект памяти формы, метод конечных элементов, упругость, пластичность.
STRESS CONDITION OF SHAPE MEMORY ALLOY CONSTRUCTION
M.A. NOSDRIN, Candidates of Engineering, Z.V. ZARUBIN, Post-Graduate Student
Mathematical modeling of shape memory alloys behavior under complex thermomechanical loading are considered.
Keywords: shape memory effect, finite element method, elasticity, plasticity.
Сплавы с эффектом памяти формы - это класс материалов, способных в процессе нагрева восстанавливать большие предварительно заданные деформации. Такое поведение и получило название эффекта памяти формы, а сами сплавы были отнесены к классу функциональных. Название феномена подчеркивает особенность деформирования, когда тело изменяет свою форму не под действием механической силы, а в результате изменения температуры, преобразуя таким образом тепловую энергию в механическую.
В материалах с эффектом памяти формы механизмом деформации служит обратимое термоупругое мартенситное превращение, заключающееся в том, что в процессе охлаждения материал из одного состояния, называемого аустенитом, переходит в другое -мартенсит (прямое превращение) [1]. При нагреве происходит обратное превращение. Переход характеризуется перестройкой кристаллической решетки, сопровождающейся ее деформацией. Обратимость превращения обеспечивает обратимость деформации, достигающей 8-10 %. Свойствами памяти формы обладают сплавы (более двухсот) Т1-Ы1, Си-А!-Ы1, Си-2п-А!, Аи^ и др.
Температуры мартенситных превращений сильно зависят от химического состава сплавов, их термической и механической обработки и могут находиться в районе как комнатной температуры, так и температуры жидкого азота или достигать 150°С и выше. Сплавы с эффектом памяти формы обладают не только этим функциональным свойством, но и другими, также связанными с обратимыми мартенситными превращениями, среди которых следует назвать сверхупругость, сверхпластичность, способность генерировать реактивные напряжения, двустороннюю память формы (рис. 1).
Возможности широкого применения изделий из сплавов с эффектом памяти формы
(ЭПФ) существенно ограничиваются из-за отсутствия универсальных и достоверных методов их теоретического расчета. Это приводит к неопти-мизированному использованию изделий с ЭПФ.
£,%
Рис. 1. Диаграмма, иллюстрирующая эффект двусторонней памяти формы в никелиде титана
Предлагается развитие методики расчета напряженно-деформированного состояния произвольной конструкции из сплава с ЭПФ [2-5]. Сплав с ЭПФ моделируется как двухфазный материал, в котором соотношение мартенсит-ной и аустенитной фаз определяется коэффициентом Ф [6]. Данный коэффициент изменяется в пределах от нуля до единицы и описывает температурный гистерезис, проявляемый сплавами с ЭПФ (рис. 2). Нагрев сплава происходит по линии м-1-2-3-4-5-а, а охлаждение по линии а-5-6-7-8-1-м.
При изменении нагрева на охлаждение в интервале температур Т-|<Т<Т4 поведение материала описывается петлей гистерезиса м-1-2-3-8-1-м. При смене охлаждения нагревом в интервале температур Т1<Т<Т4 поведение материала описывается петлей гистерезиса а-5-6-7-4-5-а.
Рис. 2. Зависимость относительного количества мартенсита (Ф) от температуры: Т1 - температура окончательного превращения аустенита в мартенсит при охлаждении; Т4 -температура окончательного превращения мартенсита в аустенит при нагреве.
С помощью коэффициента Ф выражаются зависимости модуля упругости Е и предела текучести ат сплава с ЭПФ от температуры, гистере-зисный характер которых подтверждается экспериментальными исследованиями (рис. 3):
Е(Ф) = Еа - (Еа - Ем)Ф,
Ст(Ф) =ата - К -СТм )Ф, где Еа - модуль упругости материала в аусте-нитном состоянии; Ем - модуль упругости материала в мартенситном состоянии; стта - предел текучести материала в аустенитном состоянии; ст-тм - предел текучести материала в мартенситном состоянии.
Рис. 3. Экспериментальная кривая зависимости модуля Юнга от температуры
Диаграмма растяжения-сжатия материала представима в качестве реологической функции, которая зависит от коэффициента Ф и максимального за цикл нагружения напряжения (атах):
Р(СТ сттах ■ Ф) =
— при СТ < стт,
ПРи сттах < стт■
I +— при СТ > СТт Е *) Е * т
+ - пРи стт <сттах <СТ■
Е * 1 + Е* при СТ < сттах ■
Строятся реологические модели линейной деформации от напряжения в материале и напряжения от деформации. При этом при изменении свойств материала возможен переход от пластичного состояния, в котором возможны остаточные деформации, к упругому. Функция зависимости деформаций от напряжений представляется в виде суммы функции упругой деформации и функции остаточной пластической деформации:
є(ст, сттах) -є1(ст, сттах) + є2(ст, сттах)’
где єі(ст, сттах) - функция остаточной пластической деформации; є2(ст, сттах) - функция упругой деформации, вызванной нагрузкой:
J___1
Е * Е,
1
є1(ст, сттах) =
(сттах стт)
(сттах +стт )
є2(ст, сттах) -
_1_
Е*
Е *
Е *
Е
СТ
Е*
Е*
При СТтах > 0, пРи сттах < 0, ПРи ст<-|сттах| |сттах|,
ПРи ст>-|сттах|
Максимальное напряжение сттах определяется исходя из интенсивности напряжений в точке образца при сложном напряженном состоянии.
Переменный коэффициент демпфирования моделируется следующим образом:
Ь(Ф) = Ьа - (Ьа - Ьм)Ф,
где Ьа - коэффициент демпфирования материала в аустенитном состоянии; Ьм - коэффициент демпфирования материала в мартен-ситном состоянии.
Далее рассмотрим плоскую задачу деформации балочной конструкции из сплава с ЭПФ в изменяющемся температурном поле. Для этого запишем систему дифференциальных уравнений для упругих деформаций в точке стержня:
d ,,_,_du. ,_д2и
Т-(EF~Г) -РГ^2 дх дх dt2
д2 . d2w. ,_d2w
TT(EJ ТГ) -PF + Ь2 = -с?2(хt )■
дх дх дt дt
ь iu=~д1(х, t),
Tw
Решение этой системы проводится с помощью метода конечных элементов (МКЭ).
Заменим распределенные параметры сосредоточенными по концам стержня (в узлах) и запишем систему уравнений для балочного конечного элемента:
EJ [k ]
d2w1 , . dw1
dt2 b1 dt
"w1" 0 0 "FT '
01 d2u1 , „ du1 M1'
u1 pFl dt2 _i_ b2 dt N1
w 2 2 d2w 2 ,.dw 2 b1 F 2'
02 dt2 dt M 2'
u 2 0 0 N 2'
d2u2 b2 —
dt2 _ dt _
В дальнейшем будем вести расчет для отрезков времени через интервал At. Заменим множество значений переменных перемещений и углов прогибов массивами размерностью n(t):
n = — - 1,
At
{w1n },{01n} ,{u1n },{w 2n },{02n},{u 2n},
где t - время эксперимента.
Определим значение первой и второй производных поперечного перемещения:
dwi
~вТ'
Aw1
Awl
n при n = 0,
At
Aw1n - Aw1n-1
At
обозначим lw1 = Aw1n
иначе
dt
d2w1
dt2
A
Aw1
~ÄT
At
Aw1
2n при n = 0,
(At)
Aw1n - 2Aw1
(At) Aw1„ - 2Aw1,
n-1 при n = 1, и Aw1„
'n-1
'n-2
(At )2
иначе
обозначим
d2w1
dt
2 =A2w1n ■
Значения производных для остальных массивов определяются аналогично.
Перенесем столбцы динамических сил в правую часть, умножим обе части на матрицу [к]-1 / Еи , в конечном итоге получим
C i A2w1n b1Aw1n F1' "
01n 0 0 M1'
u1n w 2n =—[f ] EJ1 j pFl 2 A2u1n A2w 2n - b2Au1n b1Aw 2n + N1' F 2'
02n 0 0 M 2'
u2n _ A2u2n b2Au2n N 2' _
где [/] - матрица податливости.
Матрица податливости, умноженная на столбец сил, позволяет определить напряжение по периметру стержня, исходя из которого при помощи реологической функции определяется линейная деформация. В дальнейшем осуществляется обратный переход к продольным и поперечным перемещениям. При этом расчет может вестись как в локальных, так и в глобальных координатах.
Для стержня из к узлов система уравнений имеет вид
" ( r r r r л
w1n A2w1n b1Aw1n FT
01n 0 0 M1'
u1n A2u1n b2Au1n N1'
w2n A2w2n b1Aw2n F2'
02n 0 0 M2'
u2n A2u2n b2Au2n N2'
* = Re l —[f ] EJ1 J pFl 2 * - * + *
W ( - 1)n A2w ( -1) b1Aw (k-1)n F ( -1)'
0( - 1)n 0 0 M ( -1)'
С 1 'üT A2u (k-1)n b2Au ( - 1)n N (k -1)'
wkn A2wkn b1Awkn Fk'
0kn 0 0 Mk'
ukn V A2ukn b2Aukn Nk' )
Для плоской стержневой системы накладываются дополнительные связи исходя из углов между элементами.
Для каждого шага вариации определяется столбец перемещений (левая часть системы). Исходя из квадратов разницы вариационных перемещений и перемещений, полученных при решении системы, определяется функция невязки системы, минимум которой соответствует наиболее точному решению для текущего момента времени. Аналогичным образом расчет ведется для каждого интервала времени.
При этом осуществляется возможность ввода определенных граничных условий (констант) по перемещениям, силам и моментам.
Рассмотренный метод расчета позволяет варьировать параметры изделий из сплавов с ЭПФ в целях оптимизации влияния этих параметров на деформацию изделий.
Список литературы
1. Otsuka K., Ren X. Physical metallurgy of Ti-Ni-based shape memory alloys // Progress in Materials Science. - 2005. - № 50. - Р. 511-678.
2. Беляков М.В., Зарубин З.В., Ноздрин М.А. Исследование свойств памяти формы материалов при проек-
тировании прецизионных изделий // Вестник ИГЭУ. - 2005. -Вып. 4. - С. 163.
3. Ноздрин М.А., Зарубин З.В. Исследование напряженно-деформированного состояния в материалах с памятью формы // Вестник ИГЭУ. - 2006. - Вып. 3. - С. 20-22.
4. Зарубин З.В., Ноздрин М.А. Применение метода конечных элементов к расчетам материалов с памятью формы: Мат-лы конф. XIV Туполевские чтения. Т. 1. - Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2006. - С. 117-118.
5. Ноздрин М.А., Зарубин З.В. Моделирование эффекта памяти формы в конструкционных материалах /
Новые материалы и технологии, НМТ - 2006 // Мат-лы Всеросс. науч.-техн. конф. В 3-х т. - М.: ИЦ МАТИ, 2006. -Т.1. - С. 89-90.
6. Александрович А.И., Кувшинов П.А. Решение трехмерной упругопластической задачи для конечного отрезка толстостенной трубы методом локальных функционалов // Известия РАН. МТТ. - № 4. - С. 74-85.
7. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975.
Ноздрин Михаил Александрович,
ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина», кандидат технических наук, доцент кафедры теоретической и прикладной механики, e-mail: nozdrin@tipm.ispu.ru
Зарубин Захар Викторович,
ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина», ассистент кафедры теоретической и прикладной механики, телефон (4932) 26-97-11.
