CC BY
89
А.В. Карпов, Е.И. Васильев, 2005
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
УДК 519.6:533.7
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИСТЕЧЕНИЯ ПЕРЕРАСШИРЕННОЙ СТРУИ ГАЗА ИЗ КОРОТКОГО ОСЕСИММЕТРИЧНОГО СОПЛА
А. В. Карпов, Е.И. Васильев
Рассматривается истечение перерасширенной струи газа из короткого осесимметричного сопла с прямолинейными образующими. Особенностью течения в таких соплах является наличие в сверхзвуковой части сопла за критическим сечением слабого висячего скачка. Точка пересечения скачка с осью симметрии может выходить за срез сопла. При некотором значении давления в пространстве возможно взаимодействие этого скачка и присутствующего в струе фронта Маха. В рамках модели идеального газа проводится численное исследование закономерностей этого взаимодействия при циклическом изменении давления в пространстве 1,5 -» 0,8 —> 1,5 атм. Обнаружены близкие к периодическим пульсации волновых конфигураций и эффект гистерезиса, связанный с их перестройкой, проанализированы причины возникновения пульсаций.
Введение
Особенностью течения внутри сопла с прямолинейными образующими является так называемый висячий скачок вблизи критического сечения, вызываемый переразгоном потока около стенки. Для осесимметричного случая вблизи точки пересечения этого слабого скачка с осью симметрии имеет место локальное значительное повышение давления [3]. Для коротких осесимметричных сопел, привлекательных на практике с технологической точки зрения, эта точка может выходить за срез сопла и попадать в область струи. В сверхзвуковой струе за соплом присутствует серия ударных волн (боковые скачки, диск Маха и др.). В существенно перерасширенной струе диск Маха может располагаться достаточно близко к соплу и взаимодействовать с висячим скачком.
Впервые возможность существования таких конфигураций обнаружена с помощью численного моделирования в [1], [4]. Там же отмечена пульсирующая нестабильность волновой конфигурации, проявлявшаяся в невыходе численного решения на стационарный режим. Однако детального изучения закономерностей течения в этих работах не проводилось.
1. Постановка задачи
Камера высокого давления (КВД) рассматриваемого осесимметричного сопла представляет © собой полубесконечный цилиндрический канал, а расширяющаяся часть (камера низкого дав-
ления — КНД) имеет выход в неограниченное пространство. Перед стартом существенно различные подавлению покоящиеся газы в КВД и КНД разделены диафрагмой, установленной в критическом сечении сопла (см. рис. 1). При разрыве диафрагмы в момент времени ?0 начинается процесс запуска сопла: влево по КВД распространяется волна разрежения, а вправо по КНД движется ударная волна, выходящая в пространство. Через какое-то время внутри сопла формируется стационарное течение, а за соплом формируется сверхзвуковая струя.
Геометрические характеристики 1РЬ-сопла идентичны использованным в [1], [6]. В качестве математической модели использовались нестационарные уравнения Эйлера для осесимметричных течений идеального газа. Отношение теплоемкостей газа у = 1,4.
2. Методика численного моделирования
Длина моделируемого сопла равна 0,4 м, длина входной цилиндрической части — 0,2 м. Область пространства в расчетной области представляла собой четверть круга радиусом 0,5 м (рис. 2). Использовалась ограниченная расчетная область (420 х 90 ячеек внутри сопла и 120 х 150 в пространстве) и криволинейная расчетная сетка, структура которой приведена на рисунке 2. В качестве граничных условий на стенках выставлялись условия непротекания. На оси симметрии выставлялись условия симметрии параметров, а на границах 1 и 3 выставлялись условия с использованием соотношений на характеристиках. На входной границе 1 поддерживалось постоянство энтропии и правого инварианта Римана. На границах 3 выставлялись условия сноса в случае сверхзвукового течения на границе и неотражающие граничные условия с привлечением соотношений на характеристиках в случае дозвукового течения. Вертикальная часть границы 3 сдвинута для уменьшения влияния граничных условий. Для ускорения формирования течения в пространстве задан слабый поток в положительном направлении оси х. ихг- 0,1 а , и^— 0. Для повышения качества расчетов в области пульсирующих ударных волн был применен метод вибрирующей сетки, подробно рассмотренный в [2]. Численное моделирование для разных рт осуществлялось в рамках единого расчета с изменением рг по времени аналогично работе [5], Р'р) циклически изменялось в диапазоне 1,54 -» 0,8 -> 1,54 атм с длительным периодом установления для каждого варианта значения и непрерывным переходом между вариантами, различающимися на Ар - 0,03 атм.
Рис. 1. Схема сопла
2
Рис. 2. Структура расчетной сетки
3. Результаты численного моделирования
Параметры газа в КВД взяты из работ [1], [4]. Во всем диапазоне изменения рх струя за соплом перерасширена (в выходном сечении сопла давление от 0,25 атм на оси до 0,5 атм на стенке). Параметры газа в КВД брались следующими: Т0 = 3200°К, р0 = 1 кг/м3, р0 = 9,32 атм. Параметры газа за соплом: рх = 1 кг/м3; Тх вычислялась из уравнения состояния газа.
Результаты численных расчетов при = 1,54 атм приведены на рисунке 3. Главной особенностью течения внутри струи является необычность ударно-волновой конфигурации. Взаимодействие висячего скачка 51 с диском Маха приводит к расщеплению последнего: нижняя часть фронта Р} выдвинута против потока относительно верхней части Р2. Позади фронта возникает отрывная область возвратного течения 7Г Ниже по течению видна еще одна сильная ударная волна торможения Ру Выделяются три дозвуковые зоны: одна протяженная в приосевой части струи и две за фронтами Р2 и Ру Видно, что линии тока, проходящие через фронт Маха Рх, попадают в область дозвукового течения и вихревую зону Zl. Таким образом, главной особенностью рассматриваемого течения является возникновение на выходе из сопла отрывной циркуляционной области на оси симметрии с зоной интенсивного возвратного вихревого течения. Далее изучалась трансформация этой вихревой зоны и всей струи в целом при изменении рх.
На рисунке 4 представлена эволюция максимального числа Маха Л/тах(г) обратного течения в зоне Zl как функция времени для 12 изменений ру. При рх= 1,51 атм после переходного процесса устанавливается стационарное течение. При дальнейшем уменьшении ря возникающие на стадии перехода флуктуации не затухают.
Рис. 3. Фрагмент течения при рх = 1,54 атм в виде изолиний числа Маха (М> 1) с наложенными линиями тока
1.6
м,
тах
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
|(ЫЬ
/2.=151
^.= 148 &= 1.45
р =\А2
Я,= 139
/> = 1.36
*оо
Рис. 4. Изменение по времени максимума числа Маха обратного течения в зоне при снижении рг с 1,54 атм до 1,36 атм
Колебания числа Маха приобретают почти периодический характер. Главным отличием от стационарного течения является вторая область возвратного течения (см. рис. 5, между С и О). Ее появление можно объяснить следующим образом: при прохождении через сильный фронт ^ давление в газе увеличивается, однако полное давление торможения из-за необратимых потерь уменьшается. Ударные волны, расположенные выше скачка Б, существенно слабее. В результате складывается ситуация, при которой давление газа в дозвуковой области за фронтом Ръ выше, чем полное давление на оси симметрии струи, то есть даже полное торможение газа на оси струи не может выровнять давление. Такая ситуация в стационарном течении существовать не может. Возникает пульсирующий режим течения, при котором стадия торможения, накопления газа и возникновения области возвратного течения сменяется стадией выноса этой массы вниз по потоку.
Рис. 5. Распределение числа Маха вдоль оси симметрии: а — для стационарной струи при р = 1,54 атм; б — для пульсирующей струи р = 1,45 атм на протяжении периода колебания Т.
А и В — границы зоны Си/) — Зоны 2,
Рис. 6. Изолинии плотности в пульсирующей струе в моменты максимального (а) и минимального (б) размеров циркуляционной зоны 2Х при ра = 1,36 атм
Пульсации близки к периодическим. При уменьшении с 1,45 атм до 1,36 атм увеличивается амплитуда колебаний (см. рис. 4) и время «жизни» зоны 2г достигает половины периода пульсации. Увеличение интенсивности колебаний и влияния зон друг на друга приводит к возникновению в зоне 2Х локальных сверхзвуковых областей. Это временно блокирует распространение возмущений вверх по потоку и тем самым изолирует зону 2Х от дозвукового течения в зоне Zr На рисунке 6 для рг = 1,36 атм приведены две различные конфигурации решения. Видно, что максимальный размер области 2Х соответствует отсутствию возвратного течения в зоне 2Т а минимальный размер зоны 2Х — размеру зоны Z2, близкому к максимальному.
Таким образом, на этапе уменьшения зоны 2Х газ накапливается в зоне 2г, а на этапе увеличения зоны 2Х происходит процесс сноса массы из зоны 2г вниз по потоку. В итоге перенос массы в ядре пульсирующей струи осуществляется по своеобразной эстафете с образованием зон возвратного течения.
При дальнейшем уменьшении рт 1,33 -> 1,12 атм амплитуда колебаний несколько уменьшается. При рш = 1,09 атм формируется практически стационарное течение. При дальнейшем уменьшении /^пульсирующий режим отсутствует. На рисунке 7 проводится сравнение конфигураций для различных ра. Левая колонка рисунков сверху вниз соответствует режиму понижения рг. На всех, кроме последнего, отчетливо виден второй диск Маха на оси симметрии, свидетельствующий об отсутствии вихревой зоны 2Г С уменьшением рх высота фронта Рх перед зоной 2Х уменьшается. Критическим моментом является переход от р^ = 0,88 к 0,85 атм, при котором зона 2Х исчезает, и происходит переход к классической конфигурации ударных волн в перерас-ширенной струе, при которой отсутствует взаимодействие между диском Маха и висячим скачком 5, исходящим из сопла. Правая колонка кадров на рисунке 7 соответствует серии расчетов с повышением рл0,7 -» 1,5 атм. Видно, что для вариантов с одним значением р^, но с различной предысторией, имеет место двузначность решения. В режиме с повышением противодавления диск Маха приближается к точке отражения висячего скачка 5 от оси, однако, взаимодействие между ними достаточно слабое, и качественных изменений в волновой конфигурации не происходит. При изменении рх от 1,3 до 1,33 атм диск Маха достигает точки пересечения скачка Я с
осью симметрии и происходит перестройка течения: приосевая часть диска Маха резко выдвигается против потока и образуется зона 2у Одновременно с образованием этой зоны возникают пульсации, подробно описанные ранее. Таким образом, для ударно-волновой конфигурации в струе при вариации рю имеет место эффект гистерезиса в диапазоне ра е (0,85; 1,33) атм, причем на одной из ветвей петли гистерезиса в диапазоне рш е (1,12; 1,33) атм особенности структуры ударно-волновой конфигурации порождают самоподдерживающиеся пульсации в струе.
4. Эффективность процедуры вибрирующей сетки
Как правило, в пульсирующих течениях колебательные перемещения ударных волн около положения равновесия происходят со скоростями существенно меньшими, чем скорость набегающего потока. Хорошо известно, что сильные ударные волны при их «медленном» перемещении относительно расчетной сетки порождают побочные численные флуктуации. Эти численные артефакты присущи многим методам независимо от их порядка точности. В данных расчетах для погашения побочных численных артефактов применялась процедура вибрирующей сетки, подробно изложенная в [2].
На рисунке 8 (верхние кадры) демонстрируется эффективность применения процедуры вибрирующей сетки для расчета пульсирующих течений с ударными волнами. Показаны фрагменты решения в окрестности зоны 7Л в некоторые последовательные моменты времени, полученные с применением метода вибрирующей сетки. На нижней серии кадров на те же моменты времени изображены результаты расчетов на неподвижной сетке. Вибрация сетки отключалась за несколько десятков шагов до момента В момент отключения процедуры стабилизации фронт двигался вправо. Заметное проявление флуктуаций произошло через 1 ООО шагов метода по времени. На кадре tl на фронте ^ появились численные неоднородности. Причиной их появления является подстройка фронта к сеточным линиям. К моменту времени /2 накопившиеся искажения фронта привели к возникновению вихрей вблизи оси симметрии. Этот повторяющийся эффект может быть объяснен с физической точки зрения тем, что небольшие изменения угла наклона фронта сильной ударной волны вызывают большие отклонения проходящего через фронт потока газа. Это, в свою очередь, вызывает отрыв потока от оси симметрии с образованием возвратного течения.
1 п £ р® = 1.33 атм.. •> ' . ■ 1 р» = 1.33 атм. т
) рг_ = 1.24 атм. р„ = 1.24 атм. т
'ч! р« = 0.88 атм. [ р» = 0.88 атм. г
1 я л рх = 0.85 атм. Ри = 0.85 атм. 1-
Рис. 7. Двузначность стационарных численных решений в режиме изменения рх = 1,33 —> 0,8 -> 1,33 атм для невязкого течения
Рис. 8. Сравнение картин эволюции течения в виде изолиний плотности при рх = 1,18 атм в зоне 2Х с применением (вверху) и без применения (внизу) процедуры
вибрирующей сетки
Хотя наблюдаемый эффект имеет физическое толкование, изначально он порожден нефизическими численными возмущениями на фронте сильной ударной волны. По существу, эти причины идентичны причинам, приводящим к возникновению в результатах численного моделирования газодинамических течений т. н. «карбункул»-эффекта, исследование причин возникновения которого и некоторые методы его подавления приведены в работе [7]. Вихри вносят возмущение в поток, искажая фронты ударных волн и контактных поверхностей, и могут привести к кардинальному изменению картины течения. На кадре ?3 приведены изолинии решения через длительный промежуток времени. Произошел переход регулярного взаимодействия в маховское, на верхней последовательности кадров не наблюдаемое. Вихревые возмущения на фронте порождают неустойчивость Кельвина-Гельмгольца на тангенциальном разрыве Т. Также на оси наблюдается нефизический эффект струи, являющийся характерным признаком неразвитого «карбункул»-эффекта. В целом нефизические флуктуации на фронте Рх разрушают периодический характер пульсаций основного фронта Маха и всего течения. Таким образом, в данной задаче процедура вибрирующей сетки является главным элементом численной методики, которая позволила избавиться от побочных нефизических флуктуаций и полностью проанализировать закономерности нестабильной пульсирующей струи.
Заключение
С помощью разработанной авторами методики устранения флуктуаций численного решения нефизического характера за фронтом сильной малоподвижной относительно расчетной сетки ударной волны проведено численное моделирование истечения перерасширенной струи идеального газа из короткого осесимметричного сопла при перепаде давления в пространстве 0,8— 1,5 атм. Анализ полученных результатов позволил получить более ясное представление о деталях и закономерностях рассматриваемого течения. Обнаружены волновые конфигурации течения с зоной возвратного течения внутри струи, образующейся в результате взаимодействия фронта Маха с висячим скачком. Обнаружен диапазон двузначности течения и эффект гистерезиса для ударно-волновой конфигурации в струе при вариации внешнего давления рг е (0,85; 1,33) атм. В области гистерезиса обнаружены режимы пульсирующих течений перерасширенной струи в диапазоне р_х е (1,12; 1,33) атм. Показано, что пульсирующие режимы струи связаны с образованием зон возвратного течения в струе и с трансзвуковым характером потока между зонами.
Summary
NUMERICAL SIMULATION OF GAS FLOW IN AN OVEREXPANDED JET AND A SHORT AXIS-SYMMETRIC NOZZLE
A. V Karpov, E.I. Vasiliev
The gas flow in an overexpanded jet and a short axis-symmetric nozzle with linear generatrix is studied. An important feature of such flows is a weak shock that is situated near the nozzle’s neck in a supersonic part of it. The point of intersection between this weak shock and the nozzle’s symmetry axis may be situated just after the nozzle’s outlet. Interaction between a Mach stem and the weak shock is possible for some range of the outer area’s pressures. This article is covered numerical study of such interaction’s features during periodically changes of outer area’s pressure in range of 0,8—1,5 atm. There was founded some near-periodically pulsations of wave’s configuration and pressure gysteresis effect; the source of this pulsations was investigated.
Список литературы
1. Васильев Е.И. Численное моделирование нестационарных сопловых и струйных течений запыленного газа // Вестник ВолГУ. Сер. 1.1996. № 1. С. 55—64.
2. Карпов А.В. Исследование эффективности применения метода вибрирующей сетки в 1 £>-задачах газовой динамики // Вестник ВолГУ. Сер. 9.2003—2004. Вып. 3. С. 20—23.
3. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Газовая динамика сопел. М.: Наука, 1990. 368 с.
4. Ben-Dor G., Elperin I., Igra О., Vasiliev E.I. Gas-Solid Suspension Flow in a Nozzle and the Overexpanded Free Jet // Proceedings of ASME Fluids Engineering Division. 1997. Vol. 244. P. 195-208.
5. Ben-Dor G., Elperin Т., Li H., Vasiliev E.I. Pressure Induced Hysteresis in the Regular Mach Reflection Transition in Steady Flows // Physics of Fluids. 1997. Vol. 9. № 10. P. 3096-3098.
6. Elperin I., Igra O., Ben-Dor G., Vasiliev E.I. Dusty Gas Flow in a Nozzle // Proceedings of 20-th Inter. Symposium on Shock Waves. Pasadena. USA. July 1995. P. 1303—1308.
7. Pandolphi М., D’Ambrosio D. Numerical instabilities in upwind methods: analysis and cures for the «carbuncle» phenomenon // J. Comp. Phys. 2001. Vol. 166. P. 271—301.
