Численное моделирование фильтрации в трещиновато-пористой среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.63

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ В ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТОЙ СРЕДЕ*)

А. В, Григорьев

Большинство реальных грунтовых пород отличаются трегципова-то-пористым строением. Эти особенности строения трегциповато-по-ристых сред отражены в соответствующих моделях теории фильтрации, которые часто называют моделями двойной пористости.

Математическое моделирование таких сред основано на идее взаимопроникающих пористых континуумов. Совокупность элементов каждого пористого континуума рассматривается как отдельная гомогенная среда, для которой записывается уравнение фильтрации, но с дополнительными слагаемыми, отвечающими обменному потоку между составляющими средами. В 1960 г. Г. И. Баренблатт, И. П. Желтов и И. Н. Кочина [1] предложили базовую модель теории фильтрации жидкостей в трещиновато-пористых породах. Трещиновато-пористая порода понимается как среда, содержащая поровые блоки, разделенные между собой системой трещин. Такие математические модели традиционно широко исследуются на основе метода конечных элементов. В этой связи можно отметить типичные работы [2,3].

В данной работе рассмотрены классические модели двойной пористости. Мы получили из базовой модели Баренблатта упрощенную псевдопараболическую модель, которая соответствует тому, что основные фильтрационные потоки идут по трещинам, а основные запасы флюида находятся в пористых блоках. Проведено численное исследование фильтрации в трещиновато-пористых средах.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 13-01ЧЮ719А).

© 2013 Григорьев А. В.

1. Постановка задачи

Обобщенная модель двойной пористости [4, 5] описывается следующей системой уравнений:

du du

cii(x)-^ + ci2(x)-^-div(iZi(x)gradwi) + r(x)(wi-u2) = /i(x,t), (1) du du

c2i(x)-^- + c22(x)-^:1 -div (d2(x) gradw2) + r(x)(w2-щ) = /2(x,i), (2)

в области П при О <t < T с коэффициентами da = ka/^, а = 1, 2. Здесь ua — удаление, ka — проницаемость среды, ^ — вязкость жидкости, caß — коэффициенты пороемкости, г(х) — обменный переток между средами. Индекс а = 1 означает принадлежность трещиноватой среде, а = 2 — пористой.

Рассмотрим базовые допущения. Переток характеризуется тем,

что

r(x) > О, х е 0.

Для коэффициентов при производных по времени имеют место соотношения

ci2(x) = c2i(x), 2 2

caß(x )Са Zß > Zl, X € 0, ¿с = ТОП St > 0.

a:ß=l a=l

cc du

Ci(x)-^- - div(cii (x) grad «i) +r(x)(wi - w2) = /i(x,t), (3) du

сгМ-г-1 — div(ci2(x) grad w2) +r(x)(w2 — = /2(x,i). (4) dt

Начально-краевая задача ставится в ограниченной области Л при t е (0,Т]. Положим, например,

r(x) >0, di(x)>0, d2(x)>0, хеП,

граничные условия возьмем в виде

ua(x,t) = ffa(x,t), xerD,t е(о ,Т], (5)

¿а(х)-^(х,*) = <£(х,*), хеГдг, (0,Т], (6)

где дП = Гд и ГN п — внешняя нормаль к границе. Возьмем начальное условие в виде

иа(х ,0) = м°(х), хеП , а=1,2. (7)

Более подробно рассмотрим случай постоянных коэффициентов, а также потребуем выполнения следующих условий для правых частей:

/а(х,*) = 0, хеп, t е(0,Т], а =1,2.

Тип трегциноватости, при котором линейные размеры раскрытости трещин значительно превосходят характерные размеры диаметров пор, является наиболее распространенным. Так что проницаемость трещин значительно больше проницамости пористых блоков. Объем пустотного пространства, приходящегося на трещины, значительно меньше объема, представленного порами. Поэтому коэффициент пористости трещин (отношение объема, занятого трещинами, к общему объему породы) существенно меньше коэффициента пористости блоков. Тем самым основные фильтрационные потоки идут по трещинам, а основные запасы флюида находятся в пористых блоках:

¿1 ^ ¿2, С1 ^ с2-

Сделаем систему уравнений (3), (4) безразмерной с учетом выше принятых допущений следующим образом:

С\ = С, ¿1 = 1, С2 = 1, ¿2 =

В таком случае система примет вид ди

с—--<1п^гас1м1 + г (и 1 — м2) = 0, (8)

оЬ

ди

— <МЬ^гас1г(2 + г(и2 — щ) = 0 (9)

с малыми параметрами с, ¿.

В предельном случае можно пренебречь данными параметрами. Тогда

— Ш\^гас1и1 + г(и — и2) = 0, (10)

г2

Г1

Г3

Г4

Рис. 1. Расчетная область П.

^+г(и2-и1) = 0. (11)

Из уравнений (10), (11) получаем дщ д

—— - 7— (НУ grad щ - (НУ grad щ = 0, (12)

дЬ дЬ

где 7 = К Таким образом, получаем упрощенную модель двойной пористости, которая описывается одним псевдопараболическим уравнением (12).

2. Модельная задача

Рассмотрим двумерную задачу в области П, которая отображена на рис. 1. В рассмотренном случае граничные условия заданы в виде

иа(х,Ь) = 1 — ехр(—6Ь), х е Г1, иа(х,Ь) = 0, х е Гз, (13) ди

Йа(х)-^(х,*) = 0, хеГ2иГ4, Ъ е (0,Т], (14)

гдеГд = Г 1иГ3, Г* = Г2иГ4.

Уравнение (12) дополняется простейшим начальным условием, соответствующим отсутствию движения в трещиноватой и пористой средах:

иа(х, 0) = 0, х е П, а = 1, 2. (15)

В поставленной задаче (12)—(15) на части границы Г1 производится процесс нагнетания (повышается давление от 0 до 1). Скорость подъема давления зависит от параметра 6.

(Ь)

Рис. 2. Расчетные сетки: (а) — сетка 1, 206 узлов, 358 треугольников;

(6) — сетка 2, 700 узлов, 1294 треугольника.

3. Вычислительный алгоритм

При поиске приближенного решения нестационарной задачи фильтрации для простоты введем равномерную сетку по времени с шагом т:

шт= и {Т} = {Ьп = пт, п = ОД,..., N тЖ = т},

и обозначим уп = у(£п), £п = пт. По пространству используем конечно-элементную аппроксимацию, состоящую из стандартных лагранжевых конечных элементов [3,8] степени 2. В области О проводится триангуляция. На этой расчетной сетке определим пространство конечных элементов V С Н2(0). При этом расчетная сетка сгущена к участкам с наибольшими градиентами решения.

- 7=0.0

-- 7=0.5 ..... 7=1.0

(а)

(Ь)

Рис. 3. Расчеты на сетке 1 с шагом т — 0.06: (а) — £!(£), (Ь) —

(а (6)

Рис. 4. Расчеты на сетке 1 с шагом т — 0.03: (а) — £!(*), (Ь) —

а

(6)

Рис. 5. Расчеты на сетке 2 с шагом т — 0.06: (а) — £1(£), (Ь) —

Запишем чисто неявную схему [6] по времени для псевдопараболического уравнения (12). Приближенное решение определяется как решение следующей вариационной задачи:

f Vi+1 ~ Vi , ^ [ gradVi+1 ~ gradVi А n+i А , / -vdx + 7 / -gradw т grad г; ах

п п

+ J grad y^+1 grad vdx = 0, v е V, п = 0,1,... ,N - 1. (16) п

Найдя у\, имеем возможность вычислить у2:

Г У2+1 -V2vdx+ Г yn+lvdx= [ y^vdx,

J т J J (17)

n пп K '

v е V, n = 0,l,...,N - 1. Уравнения (16), (17) дополним начальными условиями

Jylvdx = 0, а =1,2, v е V. (18)

fi

В дальнейшем можно переходить к численной реализации данного вычислительного алгоритма.

4. Результаты расчетов

Приведем результаты численных расчетов, которые выполнены на сетках, приведенных на рис. 2. Для оценки точности приближенного решения используется эталонное (квазиточное) решение ua, а = 1,2, которое будет представлять решение на очень подробной сетке (т = .

мента). Контроль приближенного решения (зависимость от параметров задачи) будем проводить путем сравнения с эталонным. На рис. 3-5 показаны зависимости нормы приближенного решения

£a(t) = \\ua - Wa||, (19)

где

\\ua — Ua\ = j(ua — Ua)2 d,x, а = 1, 2.

(6)

Рис. 7. Решения в момент времени £

= 3: (а) — (Ь) —

На рис. 6 и 7 отображены решения в моменты времени t = 1 и t = 3 соответственно.

На основе анализа проведенных расчетов можно сделать следующие выводы.

• Норма погрешности решения затухает при достаточно больших t. При этом решение в трещинах щ устанавливается быстрее, нежели

решение в порах щ-

•

как по пространству (со вторым порядком), так и по времени (с первым порядком).

псевдопараболичностн 7 и является максимальной при 7 = 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Barenblatt G. L, Zheltov I. P., Kocbina I. N. Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks [Strata] //J. Appl. Math. Mech. 1960. V. 24. P. 1286-1303.

2. Callari C., FBderico F. Fem validation of a double porosity elastic model for consolidation of structurally complex clayey soils, International journal for numerical and analytical methods in geomechanics // 2000. V. 24. P. 367-402.

3. Gallagher R. H. Finite element analysis: fundamentals. Prentice-Hall: Englewood Cliffs, 1975.

4. Lewallen К. Т., Wang H. F. Consolidation of a double-porosity medium // Intern. J. Solids and Structures. 1998. V. 35. P. 4845-4867.

5. Maryska J., Severyn O., Taucbman M., Tondr D. Modelling of processes in fractured rock using fem/fvm on multidimensional domains //J. Comput. Appl. Math. 2008. V. 215. P. 495-502.

6. Samarskii A. A. The theory of difference schemes. CRC, 2001.

7. Wang H. Theory of linear poroelasticity: with applications to geomechanics and hydrogeology. Princeton: Princeton Univ. Press, 2000.

8. Zienkiewicz О. C., Morgan K. Finite elements and approximation, Courier Dover Publications, 2006.

г. Якутск

6 августа 2013 г.