CC BY
20
УДК 532.685
А. С. Волошин
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Обобщенное уравнение неравновесной пропитки матричных блоков в усредненной модели двойной пористости Кондаурова
В работе рассмотрена усредненная модель двойной пористости Кондаурова, описывающая неравновесную двухфазную фильтрацию несмешивающихся жидкостей в трещиновато-пористых средах в случае, когда неравновесность возникает только в матричных блоках. Строго математически показано, что усредненная модель может быть представлена обычными уравнениями двухфазной фильтрации несжимаемых несмеши-вающихся жидкостей с добавлением двух источниковых членов, полученных с помощью решения локальной краевой задачи для уравнения неравновесной пропитки, которое записывается в терминах насыщенности и неравновесного параметра Кондаурова. Уравнение получено для произвольных времен релаксации, что позволяет изучить предельные случаи, когда время релаксации стремится к нулю либо бесконечности. Представлены результаты численного моделирования.
Ключевые слова: пористая среда, двойная пористость, усреднение, двухфазное течение, неравновесная модель.
A.S. Voloshin
Moscow Institute of Physics and Technology (State University)
General non-equilibrium matrix imbibition equation for the homogenized Kondaurov double porosity model
In this paper, we study the homogenized Kondaurov double porosity model describing a nonequilibrium two-phase immiscible flow in fractured-porous reservoirs when nonequilibrium phenomena occur in the matrix blocks only. In a mathematically rigorous way we show that the homogenized model can be presented as usual equations of a two-phase incompressible immiscible flow except for the addition of two source terms calculated by a solution to a local problem being a boundary value problem for a nonequilibrium imbibition equation given in terms of the real saturation and the Kondaurov nonequilibrium parameter. This equation obtained for arbitrary relaxation times enables us to study the limit cases when the relaxation time goes to zero or infinity. The results of the numerical simulation are also given.
Key words: porous media, double porosity, homogenization, two-phase flow, non-equilibrium model.
1. Введение
В данной работе рассматривается усредненная модель двойной пористости Кондаурова [22,23], описывающая неравновесную двухфазную фильтрацию несмешивающихся жидкостей в трещиновато-пористых средах. Двухфазная фильтрация находит важное применение в решении задач нефтяного инжиниринга, почвоведения и других практических областей. Аналитическое и численное моделирование двухфазной фильтрации в пористой среде играют важную роль в создании экономичных, надежных и пригодных в использовании инструментариев. С помощью таких моделей можно сократить число лабораторных и полевых экспериментов, помочь выявить существенные механизмы, оптимизировать существующие стратегии и показать возможные риски. В имеющейся физико-математической
литературе авторами описаны преимущественно равновесные модели, однако такой подход не подтверждается экспериментальными исследованиями (см., например, [8]). Модель, рассмотренная в данной работе, соответствует неравновесной фильтрации несмешивающихся несжимаемых жидкостей через трещиновато-пористую среду. Важной особенностью пористой среды, насыщенной несмешивающимися жидкостями, является зависимость процесса от скорости и направления изменения состояния. Наиболее изученными и часто обсуждаемыми проявлениями являются релаксация капиллярного давления, кривая гистерезиса «капиллярное давление - насыщенность» и зависимости фазовых проницаемостей и значения капиллярного прилипания от скорости и направления изменения насыщенности. Общепринятым объяснением этих явлений является неравновесность совместного движения жидкостей (см. [14]).
Усреднение многофазной фильтрации в неоднородных пористых средах и численное моделирование данного процесса уже многие годы представляют большой интерес. Разработаны многочисленные методы и существует обширная литература (см., например, [16,24,25]). Недавний обзор математических методов усреднения, разработанных для описания двухфазной фильтрации в пористой среде, приведен в [1,3]. Необходимо отметить, что рассматриваемые в этих работах микроскопические модели многофазной фильтрации в пористой среде являются равновесными даже в том случае, когда процесс усреднения для одно- и двухфазной фильтрации в среде с двойной пористостью ведет к появлению дополнительного источникового члена, указывающего на общее неравновесное поведение модели (см. [3,9,24,26]). К тому же в [2,10] показано, что процедура усреднения ведет к появлению неравновесного капиллярного давления в общей модели. Однако имеется несколько работ, рассматривающих усреднение неравновесной двухфазной фильтрации в пористой среде. Например, в работе [25] авторы рассматривают задачи об усреднении такой фильтрации в вертикально-пористых нефтяных пластах. Процесс усреднения производится для моделей фильтрации Баренблатта (ВагепЫай) и Хассанизаде (Назза^аёеЬ) (см. [6,18]). Строгие математические результаты, описывающие неравновесную двухфазную фильтрацию, содержатся в небольшом числе работ и касаются только вопросов существования и единственности соответствующих задач (см. [12,19]).
В данной работе мы изучаем неравновесную двухфазную фильтрацию несмешивающих-ся жидкостей в среде с двойной пористостью в рамках термодинамически согласованной модели Кондаурова [20,21], которая является интегро-дифференциальной вследствие того, что функции мобильности и капиллярное давление зависят от неравновесного параметра Кондаурова, удовлетворяющего кинетическому уравнению (см. раздел 2). Подробное сравнение модели Кондаурова с моделями неравновесной фильтрации Баренблатта и Хассанизаде содержится в работах [21,22]. В данной работе мы рассматриваем усредненную неравновесную модель двойной пористости, полученную в [22]. Эта модель имеет довольно сложный вид с точки зрения численного моделирования. С другой стороны, известно, что численные методы чувствительны к выбору вида определяющих уравнений. Первая попытка упростить усредненную модель двойной пористости Кондаурова была проделана в [23]. Было показано, что для малых времен релаксации усредненная задача может быть представлена в виде обыкновенных уравнений двухфазной фильтрации несжимающихся жидкостей с двумя источниковыми членами, полученных с помощью решения локальной задачи в матричных блоках, которая является краевой задачей для уравнения неравновесной пропитки. Целью данной работы является обобщение результатов [23] на произвольные времена релаксации. В частности, этот результат позволит получить уравнение матричной пропитки в случае, когда время релаксации стремится к бесконечности или нулю. Вывод этого уравнения основан преимущественно на введении неравновесного глобального давления, которое обобщает запись хорошо известной функции глобального давления (см. [4, 13, 15]), широко используемой в математическом анализе многофазной фильтрации в пористых средах.
Дальнейшая часть работы построена следующим образом. В разделе 2, следуя [22,23], описывается математически строгая безразмерная неравновесная модель Кондаурова. В разделе 3, опираясь на [22], вводится общая модель двойной пористости Кондаурова. В разделе 4 мы выводим уравнение неравновесной матричной пропитки в случае произвольных времен релаксации. Вводя понятие неравновесного глобального давления, мы сводим локальную задачу, сформулированную в терминах фазовых давлений, к уравнению неравновесной пропитки, которое является интегро-дифференциальным по отношению к насыщенности. В разделе 5 представлены результаты численного моделирования. Работа завершается заключительными замечаниями.
2. Безразмерная неравновесная модель Кондаурова
В данном разделе описывается безразмерная модель неравновесной фильтрации Кондаурова, предложенная в [20] и впоследствии развитая в [21]. Она также изучалась в работе [22], которой мы будем далее придерживаться. Уравнения этой модели имеют вид
Ф + ё1у Wк = 0, где Wк = -К(к = ш,п). (1)
оъ
Здесь нижние индексы ш, п соответствуют смачивающей и несмачивающей жидкостям; Бк - насыщенность соответствующей жидкости; 0 < Ф < 1 - функция пористости; К - абсолютный тензор проницаемости; рк - давление смачивающей (несмачивающей) жидкости; /к = /к(<5к, £) обозначает относительную проницаемость смачивающей либо несмачивающей жидкости, определяемую следующим образом:
Шо,, 0= /: (2^ + - 1) и /га(5га, 0 = (2 (1 -Р£/а),
где верхний индекс соответствует равновесным относительным фазовым проницаемостям в законе Дарси-Маскета (см. [13]); а, Р > 0 являются определяющими параметрами модели; - вязкость смачивающей (несмачивающей) жидкости; £ обозначает неравновесный параметр Кондаурова, удовлетворяющий кинетическому уравнению
§ = 1 Л(^, О, где Л(5га, О = а/Р [1 - ^] - £.
Здесь > 0 - время релаксации. Модель замыкается следующим образом. Согласно определению насыщенностей, имеем + Бга = 1 при Бга ^ 0. Закон капиллярного давления имеет вид Рс(Бт, £) = Рга - рш, где
ФРс(^, О =7 + М (1 - ^) - а£.
Здесь М, 7 > 0 - определяющие параметры модели. Далее, вводятся функции мобильности Ак, определяемые как АК(5К, £) = /К(5К, (к = ш,п).
Обсудим подробнее определения и свойства капиллярного давления и функций мобильности и сформулируем условия на определяющие параметры модели. Начнем анализ с установления точной зависимости неравновесного параметра от функции насыщенности смачивающей жидкости. Обозначив 5 = , получим
£ = £1п*(х) е- г + — Г^ (1 -5(х, 0)^, где ^п*(х) = £(х, 0) > 0. ТР Уо
Рассмотрим функцию капиллярного давления. Начально-краевая задача двухфазной фильтрации является корректно поставленной только в том случае, если капиллярное давление Рс является убывающей функцией от насыщенности 5. Обозначим == (х, 0) и будем считать, для определенности, = (х, 0) ^ 0 в О, где О - интересующая нас область. В [23] было показано, что если ^ 0 удовлетворяет условию шахжеп (х, 0) < в О и М > 2 а2/Р, то функция Рс является убывающей функцией от 5.
Перейдем к математически строгому определению и свойствам функций мобильности Аад,\п для неравновесного случая. Напомним, что для равновесной двухфазной фильтрации в пористой среде (см., например, [1,2]) стандартные предположения на функции мобильности имеют вид: 0 ^ А® (5),А®(1 — 5) ^ 1 для 5 € [0,1] и А® (5 = 0) = 0, \еш(Б = 1) = 1, \еп(Б = 0) = 1, \еп(Б = 1) = 0. Здесь Б означает насыщенность смачивающей фазы в равновесном случае. Нашей целью является установление аналогичных свойств функций мобильности, которые в неравновесном случае зависят как от насыщенности 5, так и от неравновесного параметра £. Введем новый неравновесный параметр 0=' 2 5 + ¡З^/а — 1 и рассмотрим свойства функций мобильности по отношению к этому параметру. Как функции от функции мобильности принимают вид: Хш (Б, £) = \еш ($) и = А®(1 — $). В работе [23] было показано, что если 0 < шахп(,б/а:{т11(ж)) < 1 в О, то: (1) существуют значения насыщенности 5, обозначенные как Б$=0 и 5^=1, такие,
что # = 0 для ^=о= 0.5 е-2Р (1 — р/а ) и # = 1 для 1 — р/2а (1п*(х) е-2?;
(И) 0 < Б$=0 < 5^=1 < 1 и Б$=0 ^ 0, 5#=1 ^ 1 при £ ^
Изучим зависимость параметра § от насыщенности 5. Вследствие положительности функции , § является возрастающей функцией от 5. Таким образом, можно заключить, что при следующих предположениях на определяющие параметры: (х, 0) ^ 0, М > 2 а2/Р, и 0 < шахп(^/а{1п11(ж)) < 1 в О, получим, что: (1) капиллярное давление является убывающей функцией от насыщенности 5; (И) параметр § равен 0 и 1 при Б$=о и 5^=1, определенных выше; (ш) параметр § является возрастающей функцией от 5.
Объясним теперь, как надо понимать функции мобильности Хш,\п в дальнейшем анализе. Обозначая интересующий нас интервал через 1$ = [5^=0,5^=1], полагаем:
при 5 > 5^=1; |1 при 5 < Б$=0;
при 5 € Хп(Б, £) := < Л® (1 — §) при 5 €
при Б < Б$=0, [0 при Б > Б$=1.
3. Глобальная модель двойной пористости Кондаурова
В данном разделе формулируются мезоскопические уравнения фильтрации модели Кондаурова и затем вводится полученная ранее в [22] усредненная модель. Полагаем среду О С М^ (й = 2, 3) ограниченной связной областью с периодической структурой (см. рис. 1). Масштабируем периодическую структуру параметром е, представляющим собой отношение размера ячейки ко всей области О, и полагаем е 0. Пусть У = (0,1)^ - элементарная ячейка периодичности трещиновато-пористой среды. Предположим, что У состоит из двух однородных пористых сред Ут и У(, соответствующих частям мезоскопической области, занятых матричным блоком и трещиной соответственно. Тогда У = Ут и У[ и Г^, где Г^ обозначает поверхность раздела между двумя средами. Пусть О| с I = «^» или «т» обозначает открытое множество, соответствующее пористой среде с индексом I. Тогда О = От и Г^т и О^, где Гт =' дО^ П 9От П О и нижние индексы «т», «^» относятся к матрице и трещинам соответственно.
Перед тем как описывать уравнения модели (1) для неоднородной пористой среды О с периодической структурой, дадим соответствующие обозначения и определим функцию пористости и тензор глобальной проницаемости применительно к среде с двойной пористостью О. Получим: Ф£(ж) = Ф (- пористость среды О, являющаяся К-периодической
функцией: Ф£(х) Фf 1^(ж) + Фт 1£т(х), где 1^, 1т - характеристические функции среды О^, От, а константы 0 < Фf, Фт < 1 не зависят от е; Ке(х) = К (|) - тензор абсолютной проницаемости О определенный как: К£(х) ^ 1^(ж) + е2Кт 1т, где 0 < Kf, Кт <
- положительные константы, не зависящие от е; Б^ = (ж,£), Б^п = Б1^п(х,Ь) - насыщенности смачивающей и несмачивающей жидкостей в О|; = (ж,£), = р|п(ж,£)
- давления смачивающей и несмачивающей жидкостей в О|; ^ = £|(ж,£) - неравновесный параметр среды О|; А^, т, Хе,п - мобильности смачивающей и несмачивающей жидкостей
^ (ЗД :=
1
0
в О|; п - время релаксации в О|; од,Дг, 71, М1 > 0 - определяющие параметры в О|, не
зависящие от е. Обозначая = , получаем следующие уравнения фильтрации:
>(Я)дБ - ^у {к(ж)Лад (р Б£, г) Урад}
д Б£
0
в От;
- ^ {^£(ж)Лп(!, Б£, Г) Ур4 =0 в От;
(2)
Рс£ (р Б£, е) = р£ - рад; Ф£(ж)Рс£ (|, Б£, е) == 7£(Ж) + М£(ж) (1 - Б£) - а£(ж)
где От =О х (0, Т) (Т > 0 фиксировано); мобильности , определены как
(5|, С!) = Л^(2 - 1 + & М) и Л1,га(5|, С!) = Л*,га(2 (1 - 5|) - & а М)
и каждая из функций -и£ := Б£, р^, р£, как и кусочно-постоянные функции Ф£, К, 7е, М£, а£, определена как -и£ (ж)+-ит1т(ж). Система (2) дополняется соответствующими
граничным и начальным условиями, опущенными для краткости.
О^
О^
г£
1 fm
к—
Ут У
Л-
Гт
(а)
( )
1
1
Рис. 1. (а) Область О с мезоструктурой (б) Элементарная ячейка У
Введем усредненную модель неравновесной фильтрации Кондаурова, полученную методом двухмасштабных асимптотических разложений (см. [5, 7, 10]) в разделе 4.2 работы [22]. Здесь мы также ограничимся частным случаем усредненной модели. Как и в [25], мы рассматриваем неравновесные эффекты только для матричной части, но не для системы трещин благодаря тому, что неравновесными эффектами трещин, вследствие их высоких проницаемостей и, соответственно, малых капиллярных сил, можно пренебречь. Введем обозначения: 5, , Рга - усредненные насыщенность смачивающей жидкости и давления смачивающей и несмачивающей жидкостей соответственно; Ф* - эффективная пористость, определяемая как Ф* = Фf, где |У| - мера множества У (I = f, т); К* -усредненный тензор с элементами
к г Г-А«0 = 0 вУ;
== Тк"7 + • (У0 +6;,') где < УУ0 • Р = -е; • Р на Гfm;
|Ут| ^ I , ,
{у ^ (у) У - периодическая.
Усредненная система имеет вид
( д5 Г 1 Ф
Ф* — - ё1уж| К* Л f= /Ут § (ж, 2/, в ОТ;
-Ф* ^ - <Цу,{ К* Л f,ra(1 -5 )УРга} = /Ут § (ж, у, ¿)^у в ОТ; (3)
[Рс(5) = - при Фf Рс(5) == af,l 5 + af,3 в ОТ,
где константы э^- (,] = 1, 2, 3) определены как
31,1 = - {М£ - 2а|/&) < 0, 31,2 = п (Ме - 2а\/Ре) > 0, э*,з = ^г + М£ - а}/^ > 0.
Замечание 1. Заметим, что функции 5, Рт, Рп в (3) являются членами нулевого порядка в асимптотических разложениях для насыщенностей и фазовых давлений р^ т, р^ п в области трещин (более подробно см. формулы (3.3) - (3.4) и начало раздела 3.2 в работе [22]). Аналогичным образом вводятся функции в,рт,рп для матричного блока.
Уравнения фильтрации в матричном блоке имеют вид
( „ Ш
т
Фт^ - |Кт А т ,ш=0 в Ут х ПТ;
дв ( }
- ^У-^ Кт А т ,п(8,^т)УуРп> =0 в Ут X ПТ;
т Цт/ у уРп ^ — " ° ^ т х ^ 1 (4)
Рс(в, £т) = Рп - Р'ш при Фт Рс(&, £т) == 7т + Мт (1 - «) - Йт £т в Ут X ПТ; (х, у, г) = рт(х, г) и рп(х, у, г) = рп(х, г) на Гfm х пт.
Здесь использованы следующие обозначения: в, р.ш, рп - насыщенность смачивающей жидкости и давления смачивающей и несмачивающей жидкостей в матричном блоке Ут соответственно; £т - локальный неравновесный параметр в матричном блоке, определяемый как решение следующего кинетического уравнения:
^ = -Л(*,ет), где ЛМт) = ^ (1 - «) - Ст. (5)
ОТ Т"т Рт
Замечание 2. Заметим, что в случае равновесной фильтрации из (5) получаем, что £т = ат/@т (1 - при тт = 0. В этом случае в рамках модели Кондаурова макроскопическая модель (3)-(5) является (при заданном капиллярном давлении) хорошо известной усредненной моделью двойной пористости для двухфазной фильтрации несмешивающихся несжимаемых жидкостей в пористой среде, изученной многими авторами (см. [10,17,26] и библиографию в данных работах).
4. Уравнение неравновесной пропитки матричных блоков для произвольных времен релаксации
В этом разделе обобщаются результаты статьи [23] для получения уравнения неравновесной матричной пропитки в случае произвольных времен релаксации. Целью данного раздела является сведение задачи (4), сформулированной в терминах фазовых давлений и насыщенности, к новой задаче на уравнение неравновесной пропитки, заданном в терминах насыщенности 8 и параметра £т, представляющем собой функционал от 8. Идея заключается в том, чтобы представить аргументы функций мобильности Л т,ад ,А т,ад и капиллярное давление как функции от нового вспомогательного неравновесного параметра и затем применить идеи работы [23]. С этой целью введем параметры:
¿еГ л /х\ д^т ае£ „ „ ¿еГ 2 Рт Тт —Т^ ¿еГ »
Шт = кт(^) и Шт = ^т(^) "т, где кт(£) = -е 2Тт , Шт = в2Тт {т.
оъ ат
Далее, в терминах этих новых вспомогательных неравновесных параметров мобильности и функция капиллярного давления принимают вид
А т,га(5,{т) = А т,га (гот) и А т,м (5,£т) = А т,м (1 - ;
Мт -
_______. Мт -^^"т / \ ______/г~л / \ 1
Фт Рс (Шт, ГОт) = -7— ГОт + 7т + "ТТ" Ст(г) Шт где €т(х) =
2 т ' "" ' 2 -'"V/"'— V/ 2 Тт М„
2 а2т
Запишем теперь задачу (4) в терминах параметров отт,Сс>т. Получим д
Фт ^ - Кт Л (1 - 'т^/Рад ^ =0 в Ут X ОТ;
д
-Фт ^ - ^У// "{ Кт Л т,п(ГОт)У//Р^ = 0
в Ут X ОТ;
Рс (ГОт,Шт) = Рп - Рад при Фт Рс (®т,Шт) = % 'т + 7т + % Ст(г)Ыт;
(6)
2 ^т ^ /т п 2 ^т^/^ти
Рад (ж, у, ¿) = Рад (ж, ¿) и Р„(ж,у, £) = Рп(ж, ¿) на Г^ х ОТ; ^(ж, 0) = 8 1пй(ж) в Ут X ОТ. Функция капиллярного давления в терминах параметров отт, с2т определяется как
Рс (ГОт,с2т)=^о ('т) + Сз,т(т)£т, (7)
где ^е ('т) = С1,тГОт + С2,т, С1,т = Мт/2Фт, С2,т = 7т/Фт, Сз,т(т) = Мт/(2Фт) Ст(т).
Введем понятие неравновесного глобального давления Р, которое является обобщением понятия глобального давления, использованного ранее многими авторами (см., например, [4,13,15,23]):
Рад = Р + Сад(етт) + Сз,т(т) Рад (ГОт,Шт) и Р„ = Р + Сга(ГОт) + Сз,т(т) Рга (ГОт,Шт) ,
где функции Сад, Сга, Рад, Рга будут определены позже с помощью некоторых условий. Сначала определим функции Сад, Сп. Функцию Сга('т) выберем следующим образом:
Сга(ГОт) = / Л т,ад ^ ^ (0^, где Лт('т) == Л т,ад (ГОт) + Л т,га('т). (8)
70 Лт(<?)
Здесь и далее Л т,ад(етт) := Л т,ад (1-етт) и п'с обозначает производную функции по своему аргументу. Заметим, что стандартное предположение относительно функции Лт заключается в том, что существует строго положительная константа ¿о такая, что Лт(<^) ^ Ьо > 0 при е [0,1]. Теперь, учитывая, что п'с(О = С1,т > 0, из (8) получим
г / \ [ т Л т,ад (0 7 г / \ Л т,ад ('т) ^
Сга('т) = С1,т ——--—— с V/Сп(ГОт) = С1,т ——-— У/ГОт.
]о Лт(?) Лт(ГОт)
Определим функцию Сад по формуле Сад(етт) =Сга(етт) - (етт). Тогда
Сад (ГОт) = - -
Л т,га('"т) /
('т) V/ГОт = -С1,
Л т,п('т) ^ \ \ 'т.
Лт('т)
Лт('т)
Отсюда Л т,ад ('т)У/Сад('т) = -а('т)Уу'т, Л т,п('т)УуСга(ГОт) = а(ГОт)У/ГОт, где
/ \ <1 е£ Л т,га('т) Л т,ад ('т)
а('т) = С1,т, —
Лт('т)
Введем функцию
Г ГОт Р ГОт
Ь(ГОт) ==/ = С1,ш / Л т
Jо Jо
Л т,га(0 Л т,ад (0
Л^
С?
Теперь, принимая во внимание определение функции Ь, имеем
Л т,ад('т)У/Рад = Л т,ад('т)У/Р - V/Ь(ГОт) + Сз,т Л т,ад ('т) V/Рад (ГОт,Шт) ; Л т,га('т)У/Рп = Л т,га('т)У/Р + V/Ь(ГОт) + Сз,т Л т,га('т) V/Рга ('т,^) .
(9)
(10)
(11) (12)
Перейдем теперь к функциям Рад, Рп. Соотношение (7) вместе с предыдущими предположениями относительно функций Сад, приводит к следующему условию:
Рп (ГОт)^т) - Рад (ГОт)^т) = ^т.
Перепишем (6)1,2 в терминах неравновесного глобально давления Р, насыщенности и неравновесных параметров тт,шт. Из (11) - (12) получим
Фт ^Г - Кт А т,т (^т)^у Р - Vy Ь(ГОт) + С3,т, Л т,ад (ГОт) Vy(®т,Шт^ = 0; (13)
-Фт ^ - Кт А т,п(ГОт^уР + VyЬ(ГОт) + Сз,т А т,п(ГОт) Vy Рп (ГОт, ^т) }> = 0. (14)
Суммируя (13) и (14), получаем
Ат(ГОт)^Р + Сз,т [А т,ад (ГОт) Vy Рад (ГОт,Шт) + А т,п(^т) Vy Рп (ГОт,Шт)^ = 0.
(15)
Наложим теперь второе условие на функции Рад, Рга:
А т,ад (Гот) Vy Рад (ГОт,Шт) + А т,га(ГОт) Vy Рп (ГОт,Шт) = 0.
Таким образом, мы имеем два уравнения, позволяющие определить градиенты функций Рад, Р п. Нетрудно показать, что
х-7 г / \ ^ т,га(гот) ^ ^ ^ г / \ ^ т,ад (ГОт) ^ ^ глп\
Уу(ГОт,Шт) =--:-Т-^ VyWm и УуРп (ГОт,Шт)^-Т-Г" УуШт. (16)
А т(ГОт) А т(ГОт)
Результат (16) означает, что (15) принимает вид
-ё1уу{ Ат^т)^ Р} = 0.
Тогда, из (6)4 следует, что граничные условия на насыщенность в, как и функция Р на Г^, не зависят от переменной у. Данный факт позволяет доказать, что функция Р не зависит от переменной у, т.е. VyР = 0 в Ут х Пт. Принимая во внимание независимость функции Р от переменной у, из уравнений (13), (16), (9) и (10) получим
Яч Г , . , - ч! п ,-/ \ ¿еГ А т,га(ГОт) А т,ад (ГОт)
Фт ТТГ + кт ШУ^ Г(ГОт) Vу'[)с (ГОт,ШтП = 0, где Г(ГОт) = -!-^-Т-.
ОЪ У ) Ат(ГОт)
Возвращаясь к начальным неизвестным функциям в, £т, получаем искомую краевую задачу для уравнения неравновесной пропитки в матричном блоке:
д,в ( 1 Фт + Кт Г (в, {т) VyPc (в, (тП = 0 в Ут X ПТ;
Рс (в, Ст) = Рс(Я) на Гfm X ПТ; з(х, 0) = в1пй(ж) в Ут X ПТ,
(17)
где
,-/■/- \ ¿еГ А т,п(8, ^т) А т,ад(5, ^т) /ю\
Г(^,4т) = -. (а р )-. (18)
Ат(« , 4т)
Замечание 3. Заметим, что уравнение (17) является интегро-дифференциальным. Данный факт явно показывает влияние капиллярной неравновесности на массообмен между системой трещин и блоками через источниковые члены в (3).
4.1. Предельные случаи системы (17)
В этом разделе исследуется неравновесное уравнение (17) в равновесном случае и в случае больших времен релаксации.
(1) Равновесный случай. Этому случаю соответствует тт = 0. Тогда, согласно замечанию 2, система (17) принимает вид
?т ^ -дт Ь°(в) = 0 вУт X ; < 5 = А° т (^ - 1) + В° т на Гт X ; ^ в(ж, 0) = 8 1п*(ж) вУт X ,
где
° / \ а е^ / ,, , а е1 (Мт ^т^т) А т,га(5) А т,ад (5)
г>5
Ь°(5 ) = при э°(в) =
/° Фт Ат(«)
л° ае1 ^т Л2„ ае1 1 I я,
Af,m = -¡— Т7-о /о и В',т = 1 + Ф
° ае1 Фт М - а2М с° ае1 , . . 7т/Фт -
''т Ф' Мт - «2т//?т ^ + т Мт - ^//т '
(И) Сильно неравновесный случай. Этому случаю соответствует тт ^ Тогда из кинетического уравнения (5) имеем, что £т(ж,у, ¿) ^ при гт ^ В этом случае
Ат,п(5т) становится А~)П(ж, 8) = А^>п (2(1 - 8) -/т/ат С-Чж)) ; (19)
Ат(«,Ст) становится (ж, 8) = А^(2з + /т/ат С-1 (ж) - 1) . (20)
Аналогичным образом получаем соотношение для капиллярной функции:
Фт г£°(ж, 5 ) = 7т + Мт (1 - 5) - ат Сй(ж) и 5) = -^ . (21)
Из (19) - (21) получаем следующую краевую задачу на уравнение пропитки:
т
8 = А^ (^ - 1) + В^(Ж) + 'т на ' X ; (22)
^в(ж, 0) = 8 1пй(ж) вУт X ,
Фт^Т - Кт ЬЖ(ж, 8 )=0 в Ут X ;
где
Кт=Дт и Ь~(Ж, в)=/ Г~(С, ж)
Фт 7°
в) = А"'га^5) при АЖ(ж,^А^ж,+ (ж,в);
(ММ^_
лж ае1 Фт V / рж ае1 гж , Фт ( 7т '
АЖт = Ф Мт , ВЖ'т(ж) = -Щ; ^ (ж), ' = 1 + ^ - ЖТ 5. Результаты численного расчета
( ^
\ Фт Ф^ .
В этом разделе представлены результаты численного моделирования задачи (17).
Использована численная схема второго порядка точности для расчета распределения насыщенности в фиксированный момент времени. Результаты численного моделирования представлены на рис. 2-4. Поверхности на рис. 2 и 3 показывают распределение насыщенности в блоке Ут для равновесного и неравновесного (г = 1) случаев. Рис. 4 показывает источники «матрица-трещины» для различных значений времени релаксации, включая равновесный случай = 0.
Численное моделирование показывает, что интенсивность взаимодействия «матрица-трещины» увеличивается с ростом времени релаксации т, а пропитка протекает быстрее. Также можно заметить, что скорость пропитки конечна даже в предельном случае т = те.
Рис. 2. Распределение насыщенности при т = 0
Рис. 3. Распределение насыщенности при т = 1
т= О т= 0.2
0_I_I_I_I_I_I_I_I_I_
О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
I
Рис. 4. Источники «матрица-трещины» в равновесном и различных неравновесных случаях Заключение
В рамках Кондауровского формализма [20] неравновесная двухфазная фильтрация в пористой среде описывается зависимостью термодинамического потенциала от определяющих параметров. Использование соотношений, гарантирующих согласованность термодинамической модели, делает возможным вычисление функции капиллярного давления и правой части кинетического уравнения, где первая определяет капиллярные потоки, а вторая описывает процессы капиллярной релаксации. Этот подход обладает рядом преимуществ перед моделью Баренблатта (см. [6]), применение которой ограничивается слабо неравновесной фильтрацией. Возвращаясь к модели, рассмотренной в данной работе, заме-
тим, что на практике трещиновато-пористая среда обычно моделируется двумя наложенными друг на друга континуумами - связной системой трещин и системой топологически несвязных матричных блоков. Полагая, что неравновесность происходит только в матрице, мы сталкиваемся с проблемой описания сильно неоднородных сред, где фильтрация в каждом блоке описывается в рамках модели Кондаурова. Характерной особенностью этой модели является возможность учета влияния капиллярной неравновесности на массооб-мен между системой трещин и блоками. Проведенный в данной работе анализ усредненной системы указывает на некоторые новые аспекты. Мы обращаем наше внимание на численные аспекты модели Кондаурова. С математической точки зрения, модели двойной пористости, рассмотренные в этой работе, являются довольно сложными системами уравнений в частных производных с (2 й + 1) неизвестными (х, у, ¿) вместо (й + 1)-й для начальной мезоскопической системы. Однако известно (см. главу 10 в книге [16]), что модель двойной пористости, в отличие от мезоскопической, не требует масштаба размера блока для сеточной разрешимости. Это позволяет нам численно решать макроскопические задачи и обосновывать важность процесса усреднения при изучении неравновесной фильтрации в среде с двойной пористостью. Следующий шаг данной работы заключается в переходе от задачи на матричном блоке, сформулированной в терминах фазовых давлений, к уравнению неравновесной пропитки. Очевидно, новая формулировка усредненной задачи гораздо проще для численных расчетов, поскольку количество неизвестных функций, а следовательно, и уравнений меньше, чем в задаче, сформулированной в терминах фазовых давлений. Заметим, что в случае равновесной двухфазной фильтрации в среде с двойной пористостью (см. [9,16,26]) численный анализ общей модели можно упростить линеаризацией нелинейного уравнения равновесной пропитки в случае среды с двойной пористостью с тонкими трещинами (см. [2] или [17]). В этом случае усредненная система становится полностью усредненной (т.е. независимой от задачи на матричные блоки) и численные расчеты существенно упрощаются без потери точности. Таким образом, наша дальнейшая задача будем заключаться в том, чтобы применить данный подход для анализа общей модели Кондаурова (3) - (18).
Благодарности. Работа профинансирована проектом РНФ N 15-11-00015 и выполнена в лаборатории флюидодинамики и сейсмоакустики Московского физико-технического института (государственного университета) (RAEP 5-100). Автор благодарен А. В. Конюхову и Л. С. Панкратову за постановку задачи и плодотворные дискуссии.
Литература
1. Amaziane B., Antontsev S., Pankratov L., Piatnitski A. Homogenization of immiscible compressible two-phase flow in porous media: application to gas migration in a nuclear waste repository // SIAM MMS. 2010. V. 8. P. 2023-2047.
2. Amaziane B., Milisic J.P., Panfilov M., Pankratov L. Generalized nonequilibrium capillary relations for two-phase flow through heterogeneous media // Phys. Rev. E. 2012. V. 85, I. 1. P. 1-18.
3. Amaziane B., Pankratov L. Homogenization of a model for water-gas ow through double-porosity media // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2016 V. 39, I. 3. P. 425451.
4. Antontsev S.N., Kazhikhov A.V. and Monakhov V.N. Boundary Value Problems in Mechanics of Nonhomogeneous Fluids. Amsterdam: North-Holland, 1990.
5. Bakhvalov N., Panasenko G. Homogenisation: averaging processes in periodic media. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1989.
6. Barenblatt G.I., Patzek T.W. and Silin D.B. The mathematical model of non-equilibrium effects in water-oil displacement // SPE Journal. 2003. V. 8. P. 409-416.
7. Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G. Asymptotic analysis for periodic structures. Amsterdam: North-Holland, 1978.
8. Bottero S., Hassanizadeh S.M., Kleingeld P.J., Heimovaara T. Nonequilibrium capillarity effects in two-phase flow through porous media at different scales // Water Resour. Res.
2011. V. 47. P. 1-11.
9. Bourgeat A., Luckhaus S., Mikelic A. Convergence of the homogenization process for a double-porosity model of immicible two-phase flow // SIAM J. Math. Anal. 1996. V. 27. P. 1520-1543.
10. Bourgeat A., Panfilov M. Effective two-phase flow through highly heterogeneous porous media: capillary nonequilibrium effects // Computational Geosciences. 1998. V. 2. P. 191215.
11. Cao X., Pop I.S. Two-phase porous media flows with dynamic capillary effects and hysteresis: Uniqueness of weak solutions // Computers and Mathematics with Applications. 2015. V. 69. P. 688-695.
12. Cao X., Pop I.S. Degenerate two-phase porous media flow model with dynamic capillarity // Journal of Differential Equations. 2016. V. 260, I. 3. P. 2418-2456.
13. Chavent G., Jaffre J. Mathematical Models and Finite Elements for Reservoir Simulation. Amsterdam: North-Holland, 1986.
14. Coussy O. Poromechanics. New-York: Wiley, 2004.
15. Galusinski C. and Saad M. Weak solutions for immiscible compressible multifluid flows in porous media // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I. 2009. V. 347. P. 249-254.
16. Hornung U. Homogenization and porous media. New-York: Springer-Verlag, 1997.
17. Jurak M., Pankratov L., Vrbaski A. A fully homogenized model for incompressible two-phase flow in double porosity media // Applicable Analysis. 2015. DOI: 10.1080/00036811.2015.1031221.
18. Hassanizadeh S.M., Gray W.G. Thermodynamic basis of capillary pressure in porous media // Water Resour. Res. 1993. V. 29, I. 10. P. 3389-3405.
19. Koch J., Ratz A., Schweizer B. Two-phase flow equations with a dynamic capillary pressure // Eur. J. Appl. Math. 2013. V. 24, I. 1. P. 49-75.
20. Kondaurov V.I. A non-equilibrium model of a porous medium saturated with immiscible fluids // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2009. V. 73, I. 1. P. 88-102.
21. Konyukhov A., Tarakanov A. On two approaches in investigation of non-equilibrium effects of filtration in a porous medium // Poromechanics V: Proceedings of the Fifth Biot Conference on Poromechanics ASCE. 2013. P. 2307-2316.
22. Konyukhov A., Pankratov L. Upscaling of an immiscible non-equilibrium two-phase flow in double porosity media // Applicable Analysis. 2015. DOI 10.1080/00036811.2015.1064524.
23. Konyukhov A., Pankratov L. New non-equilibrium matrix imbibition equation for double porosity model // Comptes Rendus Mecanique. 2016. V. 344, I. 7. P. 510-520.
24. Panfilov M. Macroscale models of flow through highly heterogeneous porous media. London: Kluwer Academic Publishers, 2000.
25. Salimi H., Bruining J. Upscaling of fractured oil reservoirs using homogenization including non-equilibrium capillary pressure and relative permeability // Computational Geoscience.
2012. V. 16, I. 2. P. 367-389.
26. Yeh L.M. Homogenization of two-phase flow in fractured media // Math. Models and Methods in Appl. Sci. 2006. V. 16, I. 10. P. 1627-1651.
References
1. Amaziane B., Antontsev S., Pankratov L., Piatnitski A. Homogenization of immiscible compressible two-phase flow in porous media: application to gas migration in a nuclear waste repository. SIAM MMS. 2010. V. 8. P. 2023-2047.
2. Amaziane B., Milisié J.P., Panfilov M., Pankratov L. Generalized nonequilibrium capillary relations for two-phase flow through heterogeneous media. Phys. Rev. E. 2012. V. 85, I. 1. P. 1-18.
3. Amaziane B., Pankratov L. Homogenization of a model for water-gas ow through double-porosity media. Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2016 V. 39, I. 3. P. 425-451.
4. Antontsev S.N., Kazhikhov A.V. and Monakhov V.N. Boundary Value Problems in Mechanics of Nonhomogeneous Fluids. Amsterdam: North-Holland, 1990.
5. Bakhvalov N., Panasenko G. Homogenisation: averaging processes in periodic media. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1989.
6. Barenblatt G.I., Patzek T.W. and Silin D.B. The mathematical model of non-equilibrium effects in water-oil displacement. SPE Journal. 2003. V. 8. P. 409-416.
7. Bensoussan A, Lions J.L., Papanicolaou G. Asymptotic analysis for periodic structures. Amsterdam: North-Holland, 1978.
8. Bottero S., Hassanizadeh S.M., Kleingeld P. J., Heimovaara T. Nonequilibrium capillarity effects in two-phase flow through porous media at different scales. Water Resour. Res. 2011. V. 47. P. 1-11.
9. Bourgeat A, Luckhaus S., Mikelié A. Convergence of the homogenization process for a double-porosity model of immicible two-phase flow. SIAM J. Math. Anal. 1996. V. 27. P. 1520-1543.
10. Bourgeat A., Panfilov M. Effective two-phase flow through highly heterogeneous porous media: capillary nonequilibrium effects. Computational Geosciences. 1998. V. 2. P. 191215.
11. Cao X., Pop I.S. Two-phase porous media flows with dynamic capillary effects and hysteresis: Uniqueness of weak solutions. Computers and Mathematics with Applications. 2015. V. 69. P. 688-695.
12. Cao X., Pop I.S. Degenerate two-phase porous media flow model with dynamic capillarity. Journal of Differential Equations. 2016. V. 260, I. 3. P. 2418-2456.
13. Chavent G., Jaffré J. Mathematical Models and Finite Elements for Reservoir Simulation. Amsterdam: North-Holland, 1986.
14. Coussy O. Poromechanics. New-York: Wiley, 2004.
15. Galusinski C. and Saad M. Weak solutions for immiscible compressible multifluid flows in porous media. C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I. 2009. V. 347. P. 249-254.
16. Hornung U. Homogenization and porous media. New-York: Springer-Verlag, 1997.
17. Jurak M., Pankratov L., Vrbaski A. A fully homogenized model for incompressible two-phase flow in double porosity media. Applicable Analysis. 2015. DOI: 10.1080/00036811.2015.1031221.
18. Hassanizadeh S.M., Gray W.G. Thermodynamic basis of capillary pressure in porous media. Water Resour. Res. 1993. V. 29, I. 10. P. 3389-3405.
19. Koch J., Ratz A., Schweizer B. Two-phase flow equations with a dynamic capillary pressure. Eur. J. Appl. Math. 2013. V. 24, I. 1. P. 49-75.
20. Kondaurov V.I. A non-equilibrium model of a porous medium saturated with immiscible fluids. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2009. V. 73, I. 1. P. 88-102.
21. Konyukhov A, Tarakanov A. On two approaches in investigation of non-equilibrium effects of filtration in a porous medium. Poromechanics V: Proceedings of the Fifth Biot Conference on Poromechanics ASCE. 2013. P. 2307-2316.
22. Konyukhov A., Pankratov L. Upscaling of an immiscible non-equilibrium two-phase flow in double porosity media. Applicable Analysis. 2015. DOI 10.1080/00036811.2015.1064524.
23. Konyukhov A., Pankratov L. New non-equilibrium matrix imbibition equation for double porosity model. Comptes Rendus Mecanique. 2016. V. 344, I. 7. P. 510-520.
24. Panfilov M. Macroscale models of flow through highly heterogeneous porous media. London: Kluwer Academic Publishers, 2000.
25. Salimi H., Bruining J. Upscaling of fractured oil reservoirs using homogenization including non-equilibrium capillary pressure and relative permeability. Computational Geoscience. 2012. V. 16, I. 2. P. 367-389.
26. Yeh L.M. Homogenization of two-phase flow in fractured media. Math. Models and Methods in Appl. Sci. 2006. V. 16, I. 10. P. 1627-1651.
Поступила в редакцию 17.08.2016
