Модели термоупругости для пористых материалов с учетом наличия трещин Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2017. Том 24, № 3

УДК 519.63

МОДЕЛИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ПОРИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ С УЧЕТОМ НАЛИЧИЯ ТРЕЩИН

В. Н. Алексеев, М. В. Васильева, Г. А. Прокопьев, А. А. Тырылгин

Аннотация. Предложены математическая модель и вычислительный алгоритм для решения задач термоупругости в трещиноватых пористых средах. Для моделирования теплопереноса в пористых средах строится математическая модель с использованием моделей двойной диффузии. Учет теплопереноса в трещинах проводится посредством задания интерфейсного условия, позволяющего моделировать скачок температуры на границе трещин. Для расчета напряженно-деформированного состояния используется модель линейной упругости с дополнительным условием на трещине. Для численного решения задачи строится аппроксимация с использованием разрывного метода Галеркина, позволяющего учитывать интерфейсное условие в вариационной постановке. Приводятся результаты численного решения модельной задачи с использованием предложенной модели термоупругости.

Б01 10.25587/8УРи.2018.3.10888 Ключевые слова: термоупругость, трещина, пористая среда, тепловыделяющий элемент, модель двойной диффузии, интерфейсное условие, разрывный метод Галеркина, численное моделирование.

Введение

Задачи теплопереноса в пористых средах обладают рядом особенностей, связанных с их структурой. При моделировании теплопереноса в пористых материалах тепловой поток проходит как через само вещество материала, так и через вмещающие их пористые среды, насыщенные газом или жидкостью. Поскольку газы (в частности воздух) обладают существенно меньшей теплопроводностью, их наличие в порах может значительно сказываться на протекающих процессах теплопереноса и, следовательно, они могут отличаться от процессов, происходящих в плотных материалах. Теплопроводность пористого материала также зависит от размеров и связности пор, поскольку в связанных порах большого размера происходит конвективный перенос тепла. Процессы тепло-массопереноса в порах могут при этом происходить посредством естественной или вынужденной конвекции. Такие процессы приводят к более сложным моделям, а также к необходимости расчета задач течения воздуха или жидкости.

Работа Васильевой М. В. выполнена при поддержке гранта РНФ 17—71—20055 (практическая часть) и гранта Президента РФ МК-9613.2016. Работа Алексеева В. Н. выполнена при поддержке гранта Президента РФ МК—9613.2016.1. Работа Прокопьева Г. А., Тырылги-на А. А. выполнена при поддержке Мегагранта Правительства РФ № 14.Y26.31.0013.

© 2017 Алексеев В. Н., Васильева М. В., Прокопьев Г. А., Тырылгин А. А.

Одними из ситуаций, в которых тело рассматривается как пористая среда, явлются задачи теплопереноса в топливной таблетке атомного реактора [1], в которых необходимо учитывать динамические неоднородности, возникающие при выделении пузырьков газа (продуктов деления) в процессе облучения. При этом количество продуктов деления возрастает со временем в зависимости от температуры и с увеличением выгорания топлива. Такие продукты деления в топливе образуют газовые пузырьки и преобразуют область в пористую среду. Наличие в материале пор, заполненных газом, значительно ухудшает теплопроводность среды, поскольку они содержат слабопроводящие газы [2].

При рассмотрении задач теплопроводности в пористых материалах можно выделить два основных подхода, используемых при их моделировании. Первый основан на локальном термодинамическом равновесии и предполагает, что температура в порах и в среде постоянна. Второй подход основывается на моделях двойной диффузии [3-6] и строится в предположении отсутствия локального термодинамического равновесия, т. е. температура в порах и в среде считается различной, а также происходит перенос тепла между подобластями. Модель аналогична модели двойной пористости, используемой при моделировании задач фильтрации в трещиновато-пористых средах [7-11]. Модели термоупругости для моделей двойной диффузии описываются аналогичной системой уравнений, как и для случая пороупругой среды с учетом двойной пористости [12-16].

Процессы теплопереноса в пористых материалах также усложняются наличием дефектов. Крупномасштабные дефекты можно разрешать сеточно и моделировать посредством задания неоднородных коэффициентов. Наличие дефектов в пористой среде, таких как разрывы и трещины, приводит к возникновению тепловых неоднородностей, которые необходимо учитывать в процессе расчета задач теплопереноса [17], поскольку подобные тепловые неоднородности существенно сказываются на напряженно-деформированном состоянии тела [18-20].

Одним из методов учета теплопереноса в трещинах является построение математической модели уменьшенной размерности на трещине с учетом взаимодействия с окружающей пористой средой [12,21,22]. При моделировании теплопереноса в трещине поскольку коэффициент теплопроводности существенно меньше коэффициента теплопроводности самой среды, можно задавать интерфейсное условие для возникающего скачка температур [21,23]. Подобный скачок температур приводит к существенному изменению напряженно-деформированного состояния среды, которое необходимо учитывать [24,25]. При моделировании термоупругого состояния материала с трещиной задается скачок перемещений на интерфейсе (трещине) [26].

В данной работе представлена математическая модель, описывающая процесс термоупругости в пористых материалах с учетом трещин. Она основана на моделях мультиконтинуума для описания теплопереноса в пористом материале, где поры и/или границы структуры (зерен) представлены в виде второго континуума. В отличие от работы [2], где приводится усреднение коэффици-

ентов теплопроводности для топливного элемента, в данной работе строится модель двойной диффузии. Описание теплопереноса в материале при наличии слабопроводящей трещины задается в виде интерфейсного условия. С учетом рассмотренных явлений приводится модель термоупругости для моделирования напряженно-деформированного состояния в материале с учетом трещины. Наиболее естественным методом аппроксимации подобных задач с интерфейсным условием является разрывный метод Галеркина [27-29]. Он позволяет задавать интерфейсное условие в вариационной постановке задачи [30, 31].

Работа состоит из трех разделов. В разд. 1 представлена математическая модель термоупругости с учетом наличия трещины, также приводится вычислительный алгоритм с использованием разрывного метода Галеркина. В разд. 2 приводится математическая модель термоупругости, описывающая процессы в пористых средах с учетом наличия трещин. Математическая модель основана на модели двойной диффузии и описывается системой уравнений для температуры и перемещений. В разд. 3 представлены результаты решения модельной задачи и приводится обсуждение результатов.

1. Модель термоупругости с учетом наличия трещины

Рассмотрим математическую модель, описывающую термоупругое состояние тела с учетом наличия дефектов (трещин). Стандартным способом учета трещин является модель, основанная на построении расчетной сетки с разрешением трещины посредством нескольких ячеек и заданием неоднородных коэффициентов. Поскольку в практике толщина трещин является достаточно малой относительно размеров области, ее сеточное разрешение приводит к существенному возрастанию неизвестных. Другим вариантом является построение математической модели, которая описывает теплоперенос в трещине посредством модели уменьшенной размерности. В случае, когда толщина трещины мала и теплопроводность существенно меньше теплопроводности среды, можно задавать интерфейсное условие (поток тепла, равный скачку температуры) на трещине.

Наличие трещины в материале приводит к возникновению тепловых неод-нородностей, которые существенно влияют на напряженно-деформированное состояние среды. Приведем математическую модель для стационарной задачи термоупругости.

1.1. Теплоперенос с учетом трещины. Теплоперенос в области О описывается следующей системой уравнений:

дТ

д = —к grad Т, х € О,

где Т — температура, д — тепловой поток, к — коэффициент теплопроводности, С — объемный коэффициент теплоемкости и / — объемные источники (стоки).

Область O может содержать дефекты (разрывы и трещины) на крупном масштабе, которые удается разрешить сеточно. Для таких дефектов можно построить область, содержащую подобласть дефекта (например, заполненную газом) и подобласть среды. Пусть область O состоит из двух подобластей, т. е. O = Om U Of, где Om — подобласть материала и Of — подобласть дефекта (трещины). Тогда неоднородные коэффициенты уравнения запишем следующим образом:

, f Cm 7 x G Om > , - , f km i x G Om >

C (x) = < k(x) = <

\Cf, x G Of, Uf, x G Of,

p/ \ J fm, x G Om7

f I ff, x G Of,

где предполагается, что трещина заполнена слабопроводящим газом, kf ^ km.

На границе раздела двух сред 7 = Om П Of будем предполагать условия

непрерывности температуры и теплового потока

[T] = 0, x G 7, [q • n] = 0, x G 7,

где [T] = Tm — Tf и [q • n] = qm • n — qf • n — скачок температуры и потока при переходе границы 7. Эти условия являются условиями идеального теплового контакта и естественны для уравнения (1). Они включены в само уравнение и нет необходимости каждый раз формулировать их отдельно [32]. Полученное уравнение для температуры

С§ - div(A; grad T) = /, ж G О, (3)

дополним начальным условием T = T0(x) при t = 0 и граничным условием

dT

-k— = i1{x){T-Tout), хедо, (4)

здесь п = 0 для IN, п = const для Гд, где dO = IN U Гд и Tout — температура окружающей среды.

Поскольку толщина трещин на несколько порядков меньше чем все другие пространственные параметры области, учет их на сеточном уровне может приводить к задачам большой размерности. Рассмотрим далее второй, альтернативный подход, используемый для постановки задачи теплопроводности в трещиноватых средах. Он основан на представлении трещины в виде интерфейсного условия на некоторой внутренней границе 7 области O С К", где n = 2, 3. Для вывода данного условия запишем уравнение для переноса тепла в трещине:

dT

Cf~dt +dlvq = f> (5) q = —kf grad T, x G Of,

где Of С O и O = Om U Of.

Как правило, трещина Of является очень тонкой и, следуя [21,22], мы можем заменить n-размерное уравнение в Of С К" (n — 1)-размерным уравнением

на поверхности 7 С К" 1 посредством интегрирования уравнений (5) по толщине трещины. Пусть трещина имеет толщину й = ¿(в) и

О/ = {х € О : х = в + еп/, в € 7, — й/2 < е < й/2},

где 7 — гладкая поверхность и п/ — нормаль к 7. Проинтегрируем по толщине первое уравнение из (5) и запишем его в виде уравнения на поверхности 7:

и/ 2 и/ 2 и/2

I Cf-g^dnf+ I (Нутqdnf+ I

и/2 и/2 и/2

+

-и/ 2 -и/ 2 -и/ 2

где divт и divn/ — оператор тангенциальной и нормальной дивергенций на 7. Пусть Т/ и д/ — средние температура и поток тепла вдоль трещины 7:

и/2 и/2

= ^ / тв>п}> = /

-и/2 -и/2

где д/ = д/,П/ + д/,т, д/,П/ и д/,т — нормальная и тангенциальная компоненты потока. Поскольку

и/2

J дйп/ = [дп/], [дп/]= д+п/ — д-п/,

-и/2

где д+ и д- — значения потока тепла слева и справа от поверхности 7, получим следующее уравнение на поверхности 7:

д!>

С/й-^- + сИут д/ + [дп/] = 0, ж € 7. (6)

Второе уравнение из (5) запишем следующим образом:

д/,т = — к/,т gradт Т/, д/,п/ = — к/,п/ grad„/ Т/,

где к/,и/ и к/,т — нормальная и тангенциальная компоненты коэффициента теплопроводности к/. Проинтегрируем по толщине трещины:

д/ = —к/,тй gradт Т/, х € 7, (7)

и

{?«/} = -^т, ^т, (8)

где [Т] = (Т + —Т-) — скачок температуры и {дп/} = (д+п/ + д-п/)/2 — средний поток тепла.

В общем случае для определения средней температуры вдоль трещины можно использовать линейное приближение следующего вида:

^ = {^ + (2^-1)-^—^], 7, (9)

4к/,п/

где £ е (0.5,1].

Таким образом, получили связанную систему уравнений для температуры и потока (T, q), состоящую из n-размерного (где n = 2, 3) уравнения для температуры в области О:

dT

+ div q = f, х £ П, q = -krn gradT, x G ft, (10)

и (n — 1)-размерного уравнения для температуры и потока в трещине (Tf , qf) (в общем случае Yj, j = 1, 2,...) с внутренним источником, которое зависит от q (потока в области О):

dTf

Cfd-^ + divTqf = —{qnf], ж G 7, qf = — fc/jTiigradT Tf, x G 7. (11)

Уравнения (10) и (11) связаны посредством интерфейсного условия

4

{qnf} = -af{T], х G 7, \qnf] = -af _ ^(Ш - Tf), x G 7, (12) где а/ = -jJ-,

Поскольку рассматриваем случай трещины, теплопроводность которой существенно меньше теплопроводности самой среды, т. е. kf ^ km, далее будем предполагать, что [qnf] = 0 и {T} = Tf вдоль 7. Тогда на интерфейсе для потока тепла получим следующие условия:

{qnf} = —af [T], x е 7, [qnf] = 0, x е 7. (13)

Таким образом на поверхности трещины имеем непрерывность потока тепла и скачок температуры. Отметим, что данное условие существенно упрощает систему уравнений, поскольку отпадает необходимость расчета температуры в трещине.

Рассмотрим аппроксимацию задачи (10)—(13) с использованием разрывного метода Галеркина (IPDG, interior penalty discontinious Galerkin). Пусть ¿Ph — триангуляция области О, Г — моножество всех внутренних граней, e — грань между двумя элементами сетки Ki и K2 (треугольниками или тетраэдрами). Определим функцию скачка и среднего для функции T следующим образом:

{Т}=Пк1+2Пк\ \T] = T\Kl-T\K2. (14)

Вариационную постановку задачи запишем следующим образом:

тот (T, r) + ат (T, r) = It (r),

(15)

(16)

где

ат(Т,г) = ^ / кУТ -Уг^ж — ^ /{кУТ ■ п}[г] ¿в

ке^ н К еег/7е

- ^ [{кЧг • п}[Т] + |

еег/7е еег/7е

+ ^^ / а/ [Т] [г] ¿в + / пТг^в,

еет; ееэое

^т(г) =(/, г)+тот(Т, г) + [г] Tov.tr йв, тт{Т,г) = -(Т,г).

ееэое Т

Данная аппроксимация естественным образом позволяет учитывать интерфейсные условия (13) в вариационной постановке задачи.

1.2. Напряженно-деформированное состояние упругого тела с трещиной. Напряженно-деформированное состояние материала с учетом влияния температуры описывается следующими уравнениями:

- а1у(ст(и))+ в ягаа Т = д, ж е О, = А 1г(е)^ + 2уе, ж е О, (17)

где А и у — параметры Ламе, в = ат(3А + 2«), ат — температурный коэффициент линейного расширения, <г — тензор напряжений и е(и) = (Уи + (Уи)т)/2 — тензор перемещений.

На трещине поле перемещений будет иметь разрыв, а напряжения будут непрерывны по нормали:

[<гп/] = 0, ж е 7, {<7«/} = —в[Т]п/, ж е 7. (18)

Для аппроксимации по пространству также будем использовать разрывный метод Галеркина:

а„(и,у) + д(Т, V) = ¿„(-у), (19)

где

(и,-)= £ /(^(и),е(-)) ¿ж — £ /{т(«)}[-] ¿в — £ /{Т(-)}[«] ¿в

+ £ £ +МММ^+Е//*Р>/М

ееГ/7 е ее7

д(Т,-)=в (8гаа(Т),-), 1и(у) = (д,у),

где т(и) = ст(и)п.

2. Модель термоупругости для трещиноватой пористой среды

В данной части работы рассмотрим математическую модель, которая описывает процесс распространения тепла в пористой среде с использованием моделей двойной диффузии, а затем обобщим предложенную модель термоупругости на случай трещиноватых и пористых сред.

2.1. Модель двойной диффузии для задач теплопереноса в пористой среде. Рассмотрим пористый материал, поры которого заполнены слабо проводящим тепло газом. Базовая модель теплопереноса в такой среде строится в предположении наличия локального термодинамического равновесия, т. е. предполагается, что температура в порах и в среде постоянна: Тд = Тр = Т, где Тд — температура газа в порах и Т — температура среды (твердого скелета пористой среды). При предположении отсутствия переноса тепла между подобластями пор и скелета пористой среды математическая модель в области О записывается следующим образом:

С^- -<&у(кдгаЛТ) = /, ж € П, (21)

где к — усредненный коэффициент теплопроводности, С — коэффициент объемной теплоемкости, ф — пористость материала и / — объемные источники (стоки). Отметим, что в общем случае необходимо учитывать конвективный перенос тепла, который может присутствовать в порах. В данной модели, для простоты, мы не учитываем данный эффект.

В качестве усредненных коэффициентов теплопроводности и объемной теплоемкости можно использовать взвешенное средне-арифметическое значение

к = (1 — ф)к8 + фкд, С =(1 — ф)Ся + фСд, д =(1 — ф)д8 + фдд, (22)

где С^ д8 — коэффициенты теплопроводности и теплоемкости и источники для скелета пористой среды, кд, Сд, дд соответственно коэффициенты теплопроводности и объемной теплоемкости и источники порового пространства (подобласти, заполненной газом).

В качестве усредненных коэффициентов уравнения (21) можно также использовать взвешенное средне-гармоническое значение

\ кд / \ Сз Сд /

или средне-геометрическое

к = к^1-ф)кф, С = С1-ф)Сф. (24)

При этом взвешенное средне-арифметическое и взвешенное средне-гармоническое значения являются верхней и нижней оценками для соответствующих коэффициентов. Отметим, что аналогичные соотношения можно построить и для усреднения внутренних источников тепла.

Альтернативный подход основывается на использовании моделей двойного континуума (двойной диффузии), которые строятся в предположении отсутствия локального термодинамического равновесия, т. е. Тд = Тв. Математическая модель с учетом теплообмена между скелетом пористой среды и поровым пространством записывается следующим образом:

т

дЬ

~ ёгасИ;) - ((Тд - Т3) = же о,

дТ

Лд-^ - <Ьу(ЬдёГШ1Тд) + С(Тд ~ Т3) = /д, Ж € О,

где 4 = (1 - ф)С, Ьа = (1 - ф)кв, ¿д = фСд, Ьд = фкд, / = (1 - ф)дз, /д = фдд и £ — функция переноса тепла между подобластями.

Математическую модель можно обобщить и записать в общем виде для случая п-континуумов (мульти-континуума)

дТ

с1г(х)-^-д.1у(Ь1(х)ёга<1Т1)+р1(Т1,...,Тп) = Мх), í = l,2,...,n, х £ П, (26) где функции перетока в в простейшем случае являются линейными функциями вг(ть..., т„) = а(т - т,), а = а(х).

3=г

Функции перетока между континуумами в данной модели могут иметь более сложный характер и нелинейный характер переноса.

Модели двойного континуума широко используются при моделировании задач фильтрации в естественно-трещиноватых пористых средах. Данная модель впервые развита в [8], где была введена концепция двойной пористи. Основной идеей, на которой базируются модели двойной пористости, является раздельный расчет течения жидкостей в поровых блоках и в трещинах с заданием перетока между ними. Модели двойной пористости являются широко распро-странненными моделями и рассмотрены во многих работах [9—11]. Позднее в [7] модель двойной пористости была построена с использованием процедуры усреднения.

Для задач теплопереноса строятся аналогичные модели для неоднородных сред, называемые моделями двойной диффузии [3-6]. Такие модели позволяют моделировать тепропроводность в средах с различной диффузией на крупном масштабе, когда неоднородности невозможно разрешить сеточно.

2.2. Напряженно-деформированное состояние. Пористая среда также может содержать дефекты (разрывы и трещины), для которых будем использовать математическую модель, предложенную в разд. 1. Для случая модели двойной диффузии в предположении, что трещина находится в материале, запишем связанную математическую модель термоупругого состояния следующим образом:

т 81

_ п-т-сА ^ _1_ /-(Т _ГГ\—Г „ а О (27)

31

- а1у(ст(и)) + вз ягаатз + вд ягаатд = д, х е о,

где с(и) = Л^е)^ + 2^е. Здесь предполагается, что внутренний источник находится в скелете пористой среды и влияет на температуру Тз. Отметим, что в данной модели мы пренебрегаем влиянием механических сил на теплоперенос.

На поверхности трещины зададим соотношения

дТ8

- сИу(Ья &&<1Тя) + С(Т3 - Тд) = /я, ж € П,

дТ

йд—^ - <Ьу(Ьд&Ы1Тд) + ((Тд ~ Т3) = /д, Х£ П,

0, х е 7, (28)

и

[an/] = 0, x G y, (an/} = -&№/, x G 7- (29)

Полученную систему уравнений (27) дополним начальными условиями Ts = Ts0(x), Tg = Tg0(x) при t = 0, x G O = U Og.

и граничными условиями для температуры и перемещений

dTs dT

-ks-rj^ = Vs(Ts-Tout), -kg-^-= rig(Tg-Tout), x G

= 0, ay = 0, x G IL, = 0, ax = 0, x G Гв, an = 0, x G Гт U Гд, где dO = Гь U Гя U Гв U Гт.

Запишем аппроксимацию связанной системы уравнений с использованием разрывного метода Галеркина (IPDG)

J —Tsrs dx + J — div u rs dx + a^(Ts, rs) + J £(Ts—Tg)rs dx n n о

= f frsdx + f —Tsrs dx + f — div u rs dx + £ f r/s Toutrs ds, П П T П T ee9ne (30)

-"g i eg

TgVg d/X I - div U Vg (IX Clrp [l g , / g J I I ^ y.L g - J. g J I g V

I ^ dX +J TdWU Г° dX + ^ ^ + J ^ ~ ^ Г° dX

n n n

= j —Tgrgdx + j — div urg dx, + £ j rigT0utrg ds,

n n e£dn e

a„(u,v) + Ps J(grad(Ts), v)dx + fig J(grad(Tg),v)dx = J(g, v). n n n

десь

aT(T,r)= £ ibsVT •Vrdx - £ AbsVT • n}[r] ds

Ke^ h K eer/7e

- E /{bsvr.n}[T]dS + | E /{мти^

ееГ/7 e eer/7

+ ^^ / а/ [T] [r] ds + ^^ / ns Tr ds,

еет e eedne

(T,r)=£ i 6gVT •Vrdx ^E/(bgVT • n}[r] ds (31)

Ke^h K eere

- E /• n>[Tl ds + f E /{MP1M ds + £ f rjgTrds,

eere eere eedne

t(u,v)= E /(a(u),e(v)) dx - E / (t(u)}[v] ds - E / (t(v)}[u] ds

Keifh K eer/7e eer/Ye

+ ^ £ y"+ ЭДМН ds + Е/^PI'VM ds> где т(и) = a(u)n.

3. Численные результаты

Рассмотрим численное моделирование задачи термоупругости с использованием предложенных моделей. Геометрические области с расчетной сеткой представлены на рис. 1 для трех вариантов расположения трещин (геометрия 1, 2 и 3). Наряду с представленными геометрическими областями был также рассмотрен случай однородной области без трещины. Расчетная область О = [0,Ьх] х [0, Ьу] с Ьх = Ьу = 10-3. Расчетная сетка содержит около 6000 узлов и 12000 треугольных ячеек. Моделирование проводилось с начальным условием со = 100 при т = 0.1 и £тах = 3.0.

Для вычислений использовались следующие параметры:

• коэффициенты объемной теплоемкости для основной среды и пор: сз = 106 и сд = 102,

• коэффициенты теплопроводности основной среды и пор: кз = 10 и кд =

0.01,

• свойства трещины: kf = 0.01 (коэффициент теплопроводности), 6 = Ьх/300 (толщина трещины) и а/ = kf /6,

• правая часть /з = 108, /з = 0,

• коэффициент массообмена между континуумами ( = 106.

При проведении расчетов в качестве граничных условий задавались

дТ дТ

-к— =0, ж е Гв и Ть, -к— = а(Т - То), х е гт и Гд, дп дп

и

их = 0, <гу = 0, х е Гъ, ах = 0, иу = 0, х е Гв, ах = 0, ау =0, х е Гт и Гд,

где а = 1.0е3 — коэффициент конвективного теплообмена , Гт, Гв — верхняя и нижняя границы и Гд, Гъ — правая и левая границы.

Результаты расчетов в области с трещиной с использованием математической модели (10)-(13) (один континуум) представлены на рис. 2,3. На рис. 2 изображены распределения температуры и магнитуды перемещений на конечных момент времени для различных геометрических областей. Результаты иллюстрируют возникающий скачок температур на поверхности слабопроводящей трещины (см. рис. 3). Данный разрыв поля температур приводит к неоднородным деформациям области и иллюстрирует возможные деформации, которые могут возникнуть при наличии дефектов (трещин).

На рис. 4, 5 представлены результаты моделирования задачи термоупругости в трещиноватой и пористой средах с использованием модели двойной диффузии (27)-(29). Расчеты проведены для геометрической области 1 с горизонтальной трещиной и иллюстрируют распределения температуры для первого (основная среда) и второго (поры) континуума, а также перемещения на конечный момент времени. При моделировании трещина влияла на распределение температуры основной среды (первого континуума) и, следовательно, можно заметить скачок температуры на границе трещины. При моделировании функция

Рис. 1. Геометрическая область с расчетной сеткой для различных геометрических областей. Тестовая геометрия 1, 2 и 3 (слева направо)

Рис. 2. Распределение поля температур (сверху) и перемещений (снизу) на последний момент времени для различных геометрических областей. Тестовая геометрия без трещины и геометрии 1, 2 и 3 (слева направо)

переноса тепла между подобластями задавалась следующим образом: £ = х<, где < — параметр формы и х = к. Данная форма функции переноса является классической в теории двойной пористости, предложенной Баренблаттом [8]. На рис. 5 представлено сравнение моделей с одним и двумя континуумами. Рис. 5 иллюстрирует распеределение температуры на конечный момент времени вдоль линий х = Ьх/2 и у = Ьу/2 и показывают влияние пор на распределение

Рис. 3. Распределение температуры на последний момент времени вдоль линии х = Ьх/2 (вверху) и у = Ьу/2 (внизу)

Рис. 4. Распределение поля температур на последний момент времени для тестовой геометрии 1 с использованием модели двойной диффузии. Распределение температуры для первого и второго континуумов и перемещения (слева направо)

Рис. 5. Распределение температуры на последний момент времени вдоль линии х = Ьх /2 (сверху) и у = Ьу /2 (снизу) для модели

с использованием одного и двух континуумов

температур. Наличие пор (см. рис. 5 сверху) дает немногим меньшие температуры на правой границе области.

Отметим, что в данной модели не учитывается влияние толщины трещины (которая является функцией от времени) на коэффициент теплопроводности трещины.

Заключение

В работе предложена математическая модель для расчета задач нестационарной теплопроводности в пористых средах с учетом наличия дефектов (трещин) . Математическая модель задает интерфейсные условия для учета трещины для температуры и перемещений, которая естественным образом аппроксимируется с использованием разрывного метода Галеркина. Для учета влияния

низкопроводящих пор предложена математическая модель, основанная на моделях двойной диффузии. Представлены результаты численных расчетов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Васильева М. В., Стальнов Д. А. Математическое моделирование термомеханического состояния тепловыделяющего элемента // Вестн. СВФУ. 2016. № 1. С. 45—59.

2. Hales J. D., Tonks M. R., Chockalingam K., Perez D. M. Novascone S. R., Spencer B. W., Williamson R. L. Asymptotic expansion homogenization for multiscale nuclear fuel analysis // Comput. Materials Sci. 2015. V. 99. P. 290-297.

3. Antic A., Hill J. M. The double-diffusivity heat transfer model for grain stores incorporating microwave heating // Appl. Math. Model. 2003. V. 27, N 8. P. 629-647.

4. Bai M., Elsworth D., Roegiers J.-C. Multiporosity/multipermeability approach to the simulation of naturally fractured reservoirs // Water Resources Research. 1993. V. 29, N 6. P. 1621-1634.

5. Lee A. I., Hill J. M. On the general linear coupled system for diffusion in media with two diffusivities // J. Math. Anal. Appl. 1982. V. 89, N 2. P. 530-557.

6. Showalter R. E., Visarraga D. B. Double-diffusion models from a highly-heterogeneous medium // J. Math. Anal. Appl. 2004. V. 295, N 1. P. 191-210.

7. Arbogast T., Douglas Jr J., Hornung U. Derivation of the double porosity model of single phase flow via homogenization theory // SIAM J. Math. Anal. 1990. V. 21, N 4. P. 823-836.

8. Barenblatt G. I., Zheltov Iu P., Kochina I. N. Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks [strata] //J. Appl. Math. Mech. 1960. V. 24, N 5. P. 1286-1303.

9. Kazemi H., Merrill Jr L. S., Porterfield K. L., Zeman P. R., a.o. Numerical simulation of water-oil flow in naturally fractured reservoirs // Soc. Petroleum Engin. J. 1976. V. 16, N 06. P. 317-326.

10. Warren J. E., Root P. J., a.o. The behavior of naturally fractured reservoirs // Soc. Petroleum Engin. J. 1963. V. 3, N 03. P. 245-255.

11. Вабищевич П. Н., Григорьев А. В. Численное моделирование фильтрации флюида в анизотропной трещиновато-пористой среде // Сиб. журн. вычисл. математики. 2016. Т. 19, № 1. С. 61-74.

12. Boal N., Gaspar F. J., Lisbona F., Vabishchevich P. Finite-difference analysis for the linear thermoporoelasticity problem and its numerical resolution by multigrid methods // Math. Modell. Anal. 2012. V. 17, N 2. P. 227-244.

13. Brown D. L., Vasilyeva M. A generalized multiscale finite element method for poroelasticity problems I: linear problems // J. Comput. Appl. Math. 2016. V. 294. P. 372-388.

14. Brown D. L., Vasilyeva M. A generalized multiscale finite element method for poroelasticity problems II: Nonlinear coupling // J. Comput. Appl. Math. 2016. V. 297. P. 132-146.

15. Kolesov A. E., Vabishchevich P. N., Vasilyeva M. V. Splitting schemes for poroelasticity and thermoelasticity problems // Comput & Math. Appl. 2014. V. 67, N 12. P. 2185-2198.

16. Вабищевич П. Н., Васильева М. В., Колесов А. Е. Схема расщепления для задач поро-упругости и термоупругости // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2014. Т. 54, No 8. С. 1345-1355.

17. Akkutlu I. Y., Efendiev Y., Vasilyeva M. Multiscale model reduction for shale gas transport in fractured media // Comput. Geosci. 2016. V. 20, N 5. P. 953-973.

18. Chen H.-Y., Teufel L. W. a. o. Coupling fluid-flow and geomechanics in dual-porosity modeling of naturally fractured reservoirs-model description and comparison // SPE International Petroleum Conference and Exhibition in Mexico; Society of Petroleum Engineers. 2000.

19. Garipov T. T., Karimi-Fard M., Tchelepi H. A. Discrete fracture model for coupled flow and geomechanics // Comput. Geosci. 2016. V. 20, N 1. P. 149-160.

20. Goltsev A.S. Using discontinuity method in plane thermoelastic problems of fracture mechanics // J. Thermal Stresses. 2012. V. 35, N 12. P. 1108-1118.

21. Hanowski K. K., Sander O. Simulation of deformation and flow in fractured, poroelastic materials // 2016. arXiv preprint arXiv:1606.05765.

22. Martin V., Jaffre J., Roberts J. E. Modeling fractures and barriers as interfaces for flow in porous media // SIAM J. Sci. Comput. 2005. V. 26, N 5. P. 1667-1691.

23. Duflot M. The extended finite element method in thermoelastic fracture mechanics // Intern. J. Numer. Meth. Engineering. 2008. V. 74, N 5. P. 827-847.

24. Sivtsev P. V., Vabishchevich P. N., Vasilyeva M. V. Numerical simulation of thermoelasticity problems on high performance computing systems // Intern. Conf. Finite Differ. Methods. Berlin e.a.: Springer-Verl., 2014. P. 364-370.

25. Вабищевич П. Н., Васильева М. В. Численное моделирование задач термоупругости // Вестн. СВФУ. 2013. Т. 10, No 3. С. 5-10.

26. Chung E. T., Efendiev Y., Gibson Jr R. L., Vasilyeva M. A generalized multiscale finite element method for elastic wave propagation in fractured media // GEM-Intern. J. Geomath. 2016. V. 7, N 2. P. 163-182.

27. Arnold D. N., Brezzi F., Cockburn B., Marini L. D. Unified analysis of discontinuous Galerkin methods for elliptic problems // SIAM J. Numer. Anal. 2002. V. 39, N 5. P. 1749-1779.

28. De Basabe J. D., Sen M. K., Wheeler M. F. The interior penalty discontinuous Galerkin method for elastic wave propagation: grid dispersion // Geophys. J. Intern. 2008. V. 175, N 1. P. 83-93.

29. Riviere B., Wheeler M. F., Girault V. Improved energy estimates for interior penalty, constrained and discontinuous Galerkin methods for elliptic problems. Part I // Comput. Geosci. 1999. V. 3, N 3-4. P. 337-360.

30. Brenner S., Scott R. The mathematical theory of finite element methods. New York: Springer Science & Business Media, 2007.

31. Riviere B. Discontinuous Galerkin methods for solving elliptic and parabolic equations: theory and implementation // Soc. Industr. Appl. Math. 2008.

32. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача. М.: Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2009.

Статья поступила 22 августа 2017 г.

Алексеев Валентин Николаевич, Васильева Мария Васильевна, Прокопьев Георгий Анатольевич, Тырылгин Алексей Афанасьевич Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Институт математики и информатики, ул. Кулаковского, 42, Якутск 677000

alekseev.valen@mail.ru, vasilyevadotmdotv@gmail.com, khloros@mail.ru, kocglk@mail.ru

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2017. Том 24, № 3

UDC 519.63

MODELS OF THERMOELASTICITY

FOR POROUS MATERIALS

WITH FRACTURES TAKEN INTO ACCOUNT

V. N. Alekseev, M. V. Vasilyeva, G. A. Prokopiev, and A. A. Tyrylgin

Abstract: We propose a mathematical model and a computational algorithm for solving thermoelasticity problems in fractured porous media. To simulate heat transfer in porous media, a mathematical model is constructed using double diffusion models. The heat transfer in the cracks is taken into account by setting the interface condition which allows modeling the temperature jump at the crack boundary. To calculate the stress-strain state, a linear elasticity model is used with an additional condition on the crack. For the numerical solution of the problem an approximation is constructed using the Galerkin discontinuous method which allows taking into account the interface condition in the variational formulation. We present the results of the numerical realization of the model problem using the proposed model of thermoelasticity.

DOI 10.25587/SVFU.2018.3.10888 Keywords: thermoelasticity, fracture, porous medium, fuel element, double diffusion model, interface condition, discontinuous Galerkin method, numerical simulation.

REFERENCES

1. Vasil'eva M. V. and Stal'nov D. A., "Mathematical modelling of the thermodynamic state of the heat-inducing element," Vestn. SVFU, No. 1, 45-59 (2016).

2. Hales J. D., Tonks M. R., Chockalingam K., Perez D. M., Novascone S. R., Spencer B. W., and Williamson R. L., "Asymptotic expansion homogenization for multiscale nuclear fuel analysis," Comput. Materials Sci., 99, 290-297 (2015).

3. Antic A. and Hill J. M., "The double-diffusivity heat transfer model for grain stores incorporating microwave heating," Appl. Math. Model., 27, No. 8, 629-647 (2003).

4. Bai M., Elsworth D., Roegiers J. C., "Multiporosity/multipermeability approach to the simulation of naturally fractured reservoirs," Water Resources Res., 29, No. 6, 1621-1633 (1993).

5. Lee A. I. and Hill J. M., "On the general linear coupled system for diffusion in media with two diffusivities," J. Math. Anal. Appl., 89, No. 2, 530-557 (1982).

6. Showalter R. E. and Visarraga D. B. "Double-diffusion models from a highly-heterogeneous medium," J. Math. Anal. Appl., 295, No. 1, 191-210 (2004).

7. Arbogast T., Douglas Jr. J., and Hornung U., "Derivation of the double porosity model of single phase flow via homogenization theory," SIAM J. Math. Anal., 21, No. 4, 823-836 (1990).

V. N. Alekseev was supported by the Presidential Grant MK—9613.2016.1. M. V. Vasilyeva was supported by the Russian Science Foundation (Grant 17—71—20055) and by the Presidential Grant MK—9613.2016. G. A. Prokopiev and A. A. Tyrylgin were supported by the Government of Russian Federation Megagrant No. 14.Y26.31.0013.

© 2017 V. N. Alekseev, M. V. Vasilyeva, G. A. Prokopiev, A. A. Tyrylgin

8. Barenblatt G. I., Zheltov I. P., and Kochina I. N., "Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks [strata]," J. Appl. Math. Mech., 24, No. 5, 1286—1303 (1960).

9. Kazemi H., Merrill Jr. L. S., Porterfield K. L., and Zeman P. R., "Numerical simulation of water-oil flow in naturally fractured reservoirs," Soc. Petrol. Eng. J., 16, No. 06, 317—326 (1976).

10. Warren J. E. and Root P. J., "The behavior of naturally fractured reservoirs," Soc. Petrol. Eng. J., 3, No. 3, 245-255 (1963).

11. Vabishhevich P. N. and Grigor'ev A. V., "Numerical modeling of fluid flow in anisotropic fractured porous media," Numer. Anal. Appl., 9, No. 1, 45-56 (2016).

12. Boal N., Gaspar F. J., Lisbona F., and Vabishchevich P., "Finite-difference analysis for the linear thermoporoelasticity problem and its numerical resolution by multigrid methods," Math. Model. Anal., 17, No. 2, 227-244 (2012).

13. Brown D. L. and Vasilyeva M., "A generalized multiscale finite element method for poroelasti-city problems. Part I: Linear problems," J. Comput. Appl. Math., 294, 372-388 (2016).

14. Brown D. L. and Vasilyeva M., "A generalized multiscale finite element method for poroelasti-city problems. Part I: Nonlinear coupling," J. Comput. Appl. Math., 297, 132-146 (2016).

15. Kolesov A. E., Vabishchevich P. N., and Vasilyeva M. V., "Splitting schemes for poroelasticity and thermoelasticity problems," Comput. Math. Appl., 67, No. 12, 2185-2198 (2014).

16. Vabishhevich P. N., Vasil'eva M. V., and Kolesov A. E., "Splitting scheme for poroelasticity and thermoelasticity problems," Comput. Math. Math. Phys., 54, No. 8, 1345-1355 (2014).

17. Akkutlu I. Y., Efendiev Y., and Vasilyeva M., "Multiscale model reduction for shale gas transport in fractured media," Comput. Geosci., 20, No. 5, 953-973 (2016).

18. Chen H. Y. and Teufel L. W. "Coupling fluid-flow and geomechanics in dual-porosity modeling of naturally fractured reservoirs," in: Proc. SPE Int. Conf. Exhibit. (Mexico), Soc. Petrol. Eng. (1997).

19. Garipov T. T., Karimi-Fard M., and Tchelepi H. A., "Discrete fracture model for coupled flow and geomechanics," Comput. Geosci., 20, No. 1, 149?-160 (2016).

20. Goltsev A. S., "Using discontinuity method in plane thermoelastic problems of fracture mechanics," J. Thermal Stresses, 35, No. 12, 1108-1118 (2012).

21. Hanowski K. K. and Sander O., "Simulation of deformation and flow in fractured, poroelastic materials," arXiv preprint arXiv:1606.05765 (2016).

22. Martin V., Jaffré J., and Roberts J. E., "Modeling fractures and barriers as interfaces for flow in porous media," SIAM J. Sci. Comput., 26, No. 5, 1667-1691 (2005).

23. Duflot M., "The extended finite element method in thermoelastic fracture mechanics," Int. J. Numer. Methods Eng., 74, No. 5, 827-847 (2008).

24. Sivtsev P. V., Vabishchevich P. N., and Vasilyeva M. V., "Numerical simulation of thermoelas-ticity problems on high performance computing systems," Proc. Int. Conf. Finite Difference Methods, pp. 364-370, Springer, Cham (2014).

25. Vabishhevich P. N. and Vasil'eva M. V., "Numerical modelling of thermoelasticity problems [in Russian]," Vestn. SVFU, 10, No. 3, 5-10 (2013).

26. Chung E. T., Efendiev Y., Gibson R. L., and Vasilyeva M., "A generalized multiscale finite element method for elastic wave propagation in fractured media," GEM-Int. J. Geomath., 7, No. 2, 163-182 (2016).

27. Arnold D. N.,Brezzi F., Cockburn B., and Marini L. D., "Unified analysis of discontinuous Galerkin methods for elliptic problems," SIAM J. Numer. Anal., 39, No. 5, 1749-1779 (2002).

28. De Basabe J. D., Sen M. K., and Wheeler M. F., "The interior penalty discontinuous Galerkin method for elastic wave propagation: grid dispersion," Geophys. J. Int., 175, No. 1, 83-93 (2008).

29. Rivière B., Wheeler M. F., and Girault V., "Improved energy estimates for interior penalty, constrained and discontinuous Galerkin methods for elliptic problems. Part I," Comput. Geosci., 3, No. 3, 337-360 (1999).

30. Brenner S. and Scott R., The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer, New York (2007).

31. Riviere B., Discontinuous Galerkin Methods for Solving Elliptic and Parabolic Equations: Theory and Implementation, SIAM, Philadelphia, PA (2008).

32. Samarskii A. A. and Vabishhevich P. N., Vychislitel'naya Teploperedacha [in Russian], LIB-ROKOM, Moscow (2009).

Submitted August 22, 2017

Valentin N. Alekseev, Maria V. Vasilyeva,

Georgiy A. Prokopiev, Aleksei A. Tyrylgin

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University,

Institute of Mathematics and Informatics,

42 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia

alekseev.valen@mail.ru, vasilyevadotmdotv@gmail.com,

khloros@mail.ru, kocglk@mail.ru