Консервативная разностная схема для задач фильтрации в трещиноватых средах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2018. Том 25, № 4

УДК 519.63

КОНСЕРВАТИВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ В ТРЕЩИНОВАТЫХ СРЕДАХ

М. В. Васильева, В. И. Васильев, А. А. Тырылгин

Аннотация. Рассмотрены задачи фильтрации в трещиноватых средах, которые необходимы при моделировании процессов извлечения углеводородного сырья из нетрадиционных коллекторов, разработки геотермальных месторождений, подземного захоронения радиоактивных отходов в водоносных коллекторах и др. Сети трещин в таких нефтяных месторождениях могут существовать на различных масштабах, а также различаться природой их возникновения. В данной статье рассмотрена математическая модель фильтрации жидкости в трещиноватых пористых средах, описываемая связанной системой уравнений смешанной размерности с заданием специальной функции перетока. Аппроксимация задачи строится с помощью метода конечных разностей на структурированных сетках с использованием встроенной модели трещин, что позволяет строить сетки для матрицы пористой среды независимо от сетки для трещин. Построение консервативной разностной схемы приводится для матрицы пористой среды с использованием интегро-интерполяционного метода и обобщается для связанной системы уравнений, описывающих математические модели мультиконтинуума с иерархическим представлением сети трещин. Представлены результаты численного исследования модельной двумерной задачи.

Б01: 10.25587/8УРи.2018.100.20556

Ключевые слова: трещиноватые пористые среды, модели мультиконтинуума, модель двойной пористости, модели смешанной размерности, численное моделирование, задача фильтрации, встроенная модель трещин, консервативная разностная схема.

Введение

Математические модели задач фильтрации в трещиноватых и неоднородных средах необходимы при моделировании нетрадиционных коллекторов углеводородного сырья, геотермальных месторождений, подземного захоронения радиоактивных отходов в водоносных коллекторах и пр. Традиционно для моделирования месторождений углеводородного сырья используются консервативные методы аппроксимации такие, как метод конечных объемов или смешанный метод конечных элементов.

Работа выполнена при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 17-01—00732).

© 2018 Васильева М. В., Васильев В. И., Тыр ылгин А. А.

Течение в трещинах оказывает существенное влияние на процессы фильтрации и требует их аккуратного учета. Более того, поскольку трещины отличаются большой проницаемостью и их толщина существенно меньше размеров моделируемого месторождения, то это приводит к необходимости строить специальные математические модели мультиконтинуума, где выделяются независимые переменные для описания течения в пористой среде и в сети трещин с учетом специальной функции перетока [1—3]. При этом следует разделять размеры трещин, так как они могут существовать на различных масштабах и могут различаться природой возникновения. В случае естественно-трещиноватых пористых сред система трещин, в основном, является связанной и для ее моделирования традиционно используют модели двойной пористости [4-7]. Взаимодействие континуумов в таких моделях задается посредством задания функций перетока между матрицей пористой среды и трещинами. В случае же крупномасштабных трещин, например, возникающих при использовании технологии гидроразрыва пласта, следует использовать модели явного учета течения в трещинах, такие как дискретная модель трещин (Discrete Fracture Model, DFM) [8, 9] или встроенная модель трещин (Embedded Fracture Model, EFM) [10,11], в которых явно учитывается сложная геометрия сети трещин с использованием моделей пониженной размерности. Методы дискретных и встроенных трещин отличаются процессом построения расчетной сетки, так, например, при использовании дискретной модели трещин расчетная сетка для пористой среды строится конформной сетке сети трещин. Данный факт приводит к существенным вычислительным затратам как при построении самой расчетной сетки, так и при проведении численного моделирования, поскольку сетки получаются очень подробными с мелкими шагами [12,13]. Второй альтернативой является метод встроенной сети трещин, где сетки для трещин и матрицы пористой среды строятся независимо и в математической модели объединяются заданием функции перетока между ними [14-16].

Задачи фильтрации рассмотрены М. В. Васильевой с соавторами в работах [1, 3,13]. В них используются конечно-элементные аппроксимации с использованием дискретной модели трещин и метода суперпозиции, а также рассмотрены методы построения аппроксимаций на грубых расчетных сетках. В [1,13] рассмотрены методы решения задач с использованием дискретной модели трещин и моделей мультиконтинуума, в которых методом суперпозиции предлагается учитывать влияние трещин для каждого из континуумов матрицы пористой среды. Предложенные методы были использованы для мелкомасштабных аппроксимаций при построении обобщенного многомасштабного метода конечных элементов, в которых исследуются методы построения моделей мультиконтину-ума с использованием построения связанных и не связанных многомасштабных базисных функций. В [3] предложены математические модели и вычислительные методы решения задач пороупругости в трещиноватых средах с использованием дискретной модели трещин, а также предложены методы построения крупномасштабных аппроксимаций.

Недавно в работах М. В. Васильевой с соавторами [14-16] были предложены новые методы аппроксимации для задач фильтрации в трещиноватых средах, основанные на методе конечных объемов и методах апскейлинга связанных задач мультиконтинуума. Новый метод основан на построении специальных связанных многомасштабных базисных функций, позволяющих учитывать сложное взаимодействие в моделях мультиконтинуума. Методы аппроксимации на мелкомасштабной сетке основаны на методе конечных объемов, широко используемом при моделировании процессов разработки нефтяных месторождений. В [15] рассмотрена математическая модель пороупругости в трещиноватых средах и предложен метод построения аппроксимации на грубой расчетной сетке, основанный на связанной аппроксимации с использованием метода конечных объемов для течения и метода конечных элементов для упругости. Новый нелокальный метод для задач мультиконтинуума имеет схожие характеристики с классическими методами. Основная особенность методов, предложенных авторами статьи, состоит в выделении дополнительной степени свободы для сети трещин, для корректной аппроксимации потоков и относится к моделям мультиконтинуума, где каждый континуум отвечает за выделенное характерное течение.

В работах [17, 18] рассмотрен и исследован метод конечных разностей для построения аппроксимации задач фильтрации. В [17] построены и исследованы конечно-разностные методы для задачи однофазной фильтрации. Учет трещин с использованием дискретной модели их представления предложен в [18]. Следует отметить, что основной характеристикой, необходимой при моделировании нефтяных месторождений, является консервативность построенных схем. Консервативные схемы для задач фильтрации классически строятся с использованием смешанного метода конечных элементов и метода конечных объемов. Аппроксимации задач фильтрации в трещиноватых средах с использованием моделей встроенной сети трещин и смешанного метода конечных элементов представлены в работе [19]. Консервативные разностные методы можно также строить посредством интегро-интерполяционного метода [20].

В данной работе предложены новые конечно-разностные методы аппроксимации задач фильтрации в трещиноватых средах с использованием моделей мультиконтинуума. Рассмотрение дискретного аналога двумерной задачи начинаем с построения консервативной схемы для задачи фильтрации в матрице пористой среды. Вывод дискретного аналога представлен для сетки, в которой узлы для аппроксимации давления расположены в серединах ячеек, а потоки определены на гранях квадратных ячеек. Отметим, что аппроксимации для одномерной задачи можно получить аналогично. Далее, во второй части работы, рассмотрена математическая модель для задачи фильтрации в трещиноватых средах и представлена аппроксимация задачи с использованием метода конечных разностей. Отметим, что рассматриваемая модель смешанной размерности является классической и более подробно исследована в [10,11, 21, 22]. Интегро-интерполяционный метод аппроксимации аналогичен методу конечных

объемов, но следует отметить, что и метод конечных элементов с линейными базисными функциями при аппроксимации диффузионного слагаемого имеет аналогичную матрицу, конечно, эти методы дают разные матрицы масс. Также следует отметить, что смешанный метод конечных объемов при специальном построении аппроксимации матрицы масс также приводит к аналогичным дискретным системам для структурированных расчетных сеток. Следовательно, многие методы аппроксимации хоть и отличаются концептуально, однако в некоторых частных случаях приводят к одним и тем же дискретным системам, при этом не следует забывать, что отличие основных концепций в методах приводит к различным их обобщениям, например, при построении схем высокого порядка точности. В данной работе рассмотрена встроенная модель трещин, поскольку она позволяет использовать структурированные расчетные сетки и было весьма интересно построить разностные схемы для такого типа задач и провести обобщение представленной консервативной разностной схемы для задач мультиконтинуума, которые могут быть получены, например, для задач с иерархическим представлением трещин. Предложенные методы исследованы численно на модельной задаче.

В работе строятся математическая модель и ее вычислительная реализация на основе интегро-интерполяционного метода, что позволяет получить консервативные разностные схемы для задач фильтрации в трещиноватых средах [17,18,20]. Отметим, что метод приводит к аппроксимациям, аналогичным получаемым методом конечных объемов. Рассматривается встроенная модель трещин и консервативная разностная схема для ее численного решения. В первой части работы рассмотрено течение жидкости в пористой среде и приводится аппроксимация задачи с использованием конечно-разностных схем. Во второй части предложена математическая модель смешанной размерности для задачи фильтрации в трещиноватых средах и посредством записи интегральных законов сохранения в ячейках (интегро-интерполяционный метод) построена консервативная разностная схема. Предложенная разностная схема для трещиноватых сред выражает законы сохранения на сеточном уровне и позволяет использовать сетки для матрицы пористой среды, не зависящие от сеток для трещин. В третьей части работы представлено обобщение математической модели и аппроксимации для задач с иерархическим представлением трещин, где для связанной мелкомасштабной сети трещин используется модель двойной пористости, а для крупномасштабных трещин применяется модель смешанной размерности. В четвертой части работы приводятся результаты численного решения модельных задач и в конце работы представлено заключение.

1. Математическая модель и аппроксимация для пористой среды

Дифференциальные уравнения обычно являются следствием интегральных законов сохранения. Разностные схемы их аппроксимации также должны выражать законы сохранения на сетке. Законы сохранения для всей сеточной

области должны быть следствием разностных уравнений.

Рассмотрим математическую модель течения однофазного флюида в пористой среде Течение в пористой среде описывается законом сохранения массы и законом Дарси

д = /, х Е д = —к grad и, х Е

(1)

где д — скорость фильтрации (поток) в пористой среде, и — давление, к = к//, к — проницаемость пористой среды, / — вязкость флюида и / — заданные источники/стоки. Отметим, что в данном случае мы пренебрегаем гравитационными и капиллярными силами и предполагаем несжимаемость как флюида, так и пористой среды.

Пусть Я — структурированная равномерная расчетная сетка в области ^ с узлами

= ((г — 0.5) • Л, (2 — 0.5) • Л), i = 1,..., N1, ? = 1,..., N2,

где Л — расстояние между узлами сетки (шаг сетки).

Введем сопряженную сетку Я^ для аппроксимации потоков с узлами

£¿-0.5,.; = ((г — °.5) • Л 2 • Л) и

-0.5 = (г • л, (2 — °.5) • Л).

Рис. 1. Иллюстрация расчетной сетки для области О. Пористая среда

Для построения консервативной конечно-разностной схемы воспользуемся интегро-интерполяционным методом (методом баланса). Запишем уравнение сохранения для каждой ячейки К. = [(г — 1) • Л, г • Л] х [(? — 1) • Л, ? • Л] с центром

в точке хг

,.

#¿+0.5. — ^г-0.5,; + Qi,j+0.5 — -0.5 = J /

Кц

(2)

Здесь величины дг-0.5., дг+0.5., дг.-0 5 и дг.+0.5 являются потоком флюида по нормали через грани ячейки

дг-0.5,; = J д • п дг.-0.5 = J д • п

х

где п — внешняя нормаль к границам, Ц_о.5ц, Ц+о.5ц, Г^-_о.5 и Г^-+о.5 — левая, правая, нижняя и верхняя грани ячейки Кц (рис. 1).

Чтобы получить из (2) разностное уравнение, проинтегрируем закон Дарси (к-1д = — grad и) по граням ячейки:

/ к-1д ■ пйя = — gradи ■ nds,

J k q • nds = — J grad u • nds.

Гi,j-0.5 ri,j-0.5

Введем сеточные аналоги производной:

J I Uij — Ui-I,j

- ' grad it • n as = grad it • п|д_0 5 3- ~ —-

|Ti-0.5,j1 J * °.5'3 h

ri-0.5,j

f gradu • n ds = gradu • -_0 ~ 1

^,¿-0.51 J *'3 °.5 h

r*,j-0.5

где |ri-o.5,j | = |ri,j-0.51 = h, h — расстояние между узлами xijj- и (или xijj-

И Xij-l ).

Предполагая q • n = const на гранях ri-o.5,j и ri j-o.5, получим следующие аппроксимации для потоков:

qi-0.5,j = ai-0.5,j (ui,j — ui-1,j )I qi,j-0.5 = ai,j-0.5 (ui,j — ui,j-1); где ui,j = u(xij), и

йг-0.5 ,j=\TF~-1 I k~1ds) , aij—o.5 = ("гр; ~-г [ к~г ds

V|1i-0.5,j1 J J V|ii,j-0.51 J

r*-0.5,j ri,j-0.5

Так, например, в случае неоднородных коэффициентов можно использовать следующие соотношения:

2ki,j ki—i, j 2ki,j ki,j-1

— -—j-1 ai,j-0.5 —

k ■ + k 1 ■' k ■ + k ■ 1 ' ki,j + ki-1,J ki,j + kij-1

Тем самым получаем

- О-г+О.Ь,] Ь

иг,3+1 ~ иг,3 , „ иг,3 ~ _ г /о\

- а»,¿+0.5-^--Н «¿,¿-0.5-^-- Лл, {¿)

где г = 1,.. ., N1, ] = 1,.. ., N2, filj = к / f dx и = Ь?. Отметим, что

" К

при задании граничных условий второго или третьего рода необходимо заменить поток вдоль соответствующей границы заданным граничным условием.

Таким образом, закон сохранения в представленной разностной схеме выполняется для каждой ячейки Кц. Отметим, что дискретный аналог системы уравнений (1), построенный методом конечных объемов на представленных структурированных сетках, совпадает с конечно-разностной аппроксимацией (3) системы уравнений (1), построенной интегро-интерполяционным методом А. А. Самарского [20], разработанным в 60-х годах прошлого века.

-0.5.7

-0.5,3

2. Математическая модель и аппроксимация для трещиноватой пористой среды

Рассмотрим построение консервативной разностной схемы для уравнения течения в трещиноватой пористой среде. Аналогично представленной выше разностной схеме дискретный аналог строится при помощи интегро-интерполя-ционного метода.

Рассмотрим математическую модель течения однофазного флюида в трещиноватой пористой среде, где расчетная область содержит две подобласти:

О = От и 7,

здесь От — двумерная область матрицы пористой среды и 7 — одномерная область сети трещин. Отметим, что данная модель может быть легко обобщена на трехмерный случай.

Для течения в матрице пористой среды имеем закон сохранения и закон Дарси в области О:

ст—+<Иудт+гт? = Г,

от (4)

дт = —кт gradит, х Е О,

где ст — сжимаемость среды, дт — скорость фильтрации (поток) в пористой среде, ит — давление, кт = кт//, кт — проницаемость пористой среды, / — вязкость флюида и /т — заданные источники/стоки в пористой среде. Для течения в области 7 запишем

с?^—+ (Ну д? + г?"1 =, х € 7,

от (5)

/ = —к^ grad и/, х Е 7,

где с/ — сжимаемость в трещине, к/ = к///, к/ — проницаемость трещин, и — скорость фильтрации и давление в сети трещин, // — источники/стоки в трещинах. Данная постановка для встроенной сети трещин является классической и рассмотрена более подробно в работах [10, 11, 21, 22].

Уравнения (4) и (5) связаны посредством функции перетока между матрицей пористой среды и трещинами

г

= —г/т = — ),

где а — коэффициент перетока. Представленная математическая модель (4), (5) является связанной системой уравнений смешанной размерности и аналогична

моделям двойной пористости.

Рис. 2. Иллюстрация расчетной сетки для области О и 7. Трещиноватая пористая среда

Для проведения аппроксимации задачи введем одномерную расчетную сетку в области 7 с узлами х\ = (хц, х12) в середине ячеек ь\ = [х1-1 ,х\], I = 1,..., Nf (рис. 2). Напишем разностную схему для одномерного уравнения:

f f f f f

/Щ -Щ / 4+1 - Щ / Щ ш/ ,

т - 4+0.5 - + <-0.5-д2--ГА = /Л (6)

где А1 — неравномерный шаг сетки (расстояние между уздами х^-1 и х\) и а±0 5 = кf для случая однородных свойств трещины. Здесь мы используем неявную разностную схему для производной по времени с шагом по времени т, « и «т — значения функций с предыдущего временного слоя.

Для матрицы пористой среды введем индекс ^ = ] • N1 + г и запишем аппроксимацию в следующем виде для случая однородных свойств пористой среды:

„,т „хт «т _ « т « т _ « т

с ; к ^ ^

г т г т г т г т

+кт^ = (7)

где ^ = 1,..., Nm, Nm = N1 • N2. Функция перетока задается в ячейках К, в которых КП 11 = 0. Функция задает переток с ячейки трещины 1\ в ячейку матрицы пористой среды Ки аппроксимируется (интерполируется) следующей разностью:

гт\ = *(«т - «о,

где а = кmf Д11, ^ 1 — расстояние между центрами ячеек трещины и матрицы пористой среды и

к т = 2к f к т/(к f + к т). Таким образом, получили следующую связанную систему уравнений в матричной форме:

1 (Сш 0 \(иш-йш\ (А171 + Я -Я \{ит\_//т\ До С^Д^-й^Д -Я А*+ 11)\и* )> (8)

где Ят, ^, Ст, Сf являются диагональными матрицами, Ат — пятидиаго-нальная матрица в двумерном случае, Af — трехдиагональная матрица, и вектор неизвестных « = («т, «) имеет размерность N = Nm + Nf.

3. Иерархическая математическая модель и аппроксимация для фильтрации в трещиноватых средах

Модели мультиконтинуума встречаются весьма часто. В качестве примеров можно привести модели фильтрации в сланцевых месторождениях, когда для моделирования естественно-трещиноватых сред используются модели двойной пористости, а для крупномасштабных моделей, возникающих при использовании технологии гидроразрыва пласта, используются модели смешанной размерности. При моделировании сланцевых месторождений модели двойной пористости также описывают взаимодействие керогена и неорганической среды. Также при моделировании карбонатных месторождений модели мультиконти-нуума описывают сложное взаимодействие между пористой средой, наличием каверн — пустот и сети трещин. Рассмотрим модель, где мелкомасштабная связанная сеть трещин описывается классической моделью двойной пористости, а крупноразмерные трещины учитываются явно посредством встроенной модели трещин.

Пусть Ох и О2 — расчетные области для первого и второго континуумов, где первый континуум моделирует пористую среду, а второй относится к сети мелких связанных трещин, которая задана классической моделью двойной пористости. Третий континуум с явным учетом крупномасштабных трещин определим в области пониженной размерности 7.

Математическая модель выглядит следующим образом: ди1

с1^— + сИуд1 +г12 +гх/ =

д1 = —к1 grad и1

2ди2 2 12 , 2/ г2

с —--Ь сиу q — г + г -1 = т

д2 = —к2 grad и2

/ ди^ / 1 / 2 / с/

сг —--Ь сиу о V V —— т

дЬ 4 -1

х £ х £

х £ О2 х £ О2,

х £ 7, х £ 7,

(9)

= —grad и/

где — поток и давление, а — индекс континуума (а = 1,2,/), =

/а — источник/сток, ^ — вязкость флюида, са, — сжимаемость и проницаемость.

Система уравнений (9) является связанной посредством функции перетока между континуумами:

Г12 = ст12(и1 — и2), г1/ = а1/ (и1 — ^), г2/ = ^ (и2 — ^).

Связанную систему уравнений (9) запишем в общем виде (модель мульти-континуума):

т

с-+ сИуда + -и'3) = да = -каЧиа, (10)

где а, в = 1, 2,..., М и М — количество континуумов.

Для аппроксимации системы уравнений (9) введем равномерные сетки в двумерных областях О и О2, а также одномерную расчетную сетку в области 7. Аналогично представленным ранее аппроксимациям напишем консервативную разностную схему

| и1

_

Л2 Л2 Л2

+ к^ + а12« + -«>) = />,

/г2

+ к

2"/ "/ 1 _ а,2 " / ■ У. " /

Л2

Л2

(11)

Л2

- а12(и^ - пу) + а2/ (и2^ - п{) = />

с

/ _ / / _ /

А2

А2

- а1/ (п^ - и/) - а2/ ( и- и/ ) = // ,

где А; — шаг сетки для одномерной расчетной сетки, Л — шаг сетки для двумерной сетки. Здесь , ^ = 1,..., Жт, Жт = N/N2, где использованы одинаковые расчетные сетки для области и О2 с равным количеством узлов N1 и Ж2. В матричном виде дискретная система уравнений имеет следующий вид:

(12)

где

А =

'А1 + й12 + й1/ -й12

-й12 А2 + й12 + й2/

С1 0 0

С = | 0 С2 0

0 0 С /

12

.р

-й2/ А/ + й1/ + й2/

' /11 /2

Вектор неизвестных и = (и1, и2, П)т имеет размерность N = Жт + Жт + Ж/.

4. Численные результаты

Представим результаты численного моделирования рассматриваемой задачи. Задачу фильтрации рассмотрим в области О = [0, 2] х [0,1]. Для проведения численных расчетов построим квадратные структурированные сетки с параметрами, представленными в табл. 1. Сетки отображены на рис. 3. В качестве эталонного решения примем решение задачи на сетке 4. Расчетная сетка для трещин в области 7 содержит 1474 ячеек. Источник расположен в трещинах с //(х) = 0.001 при х £ [1.5, 0.48] х [1.52, 0.51]. Расчет проводится при 0 < 4 < Ттах, где Ттах = 100, с использованием 10 временных слоев.

Рис. 3. Расчетные сетки для области Сверху слева: сетка 1 (1800 ячеек). Сверху справа: сетка 2 (7200 ячеек). Снизу слева: сетка 3 (28800 ячеек). Снизу справа: сетка 4 (115200 ячеек)

Таблица 1

Количество вершин Количество граней Количество ячеек

Сетка 1 1891 3690 1800

Сетка 2 7281 14580 7200

Сетка 3 29161 57960 28800

Сетка 4 115921 231120 115200

Приведем результаты для двух модельных задач:

Задача 1 — задача фильтрации в трещиноватой среде, и = (ит, и?).

Задача 2 — задача фильтрации в трещиноватой среде с использованием модели двойной пористости, и = (и1, и2, и^).

4.1. Задача фильтрации в трещиноватой среде. Рассмотрим модельную задачу смешанной размерности, описывающую течение в матрице пористой среды и в сети трещин, ^ и 7. Относительные погрешности в процентах между сетками 1, 2, 3 и эталонной сеткой 4 на последний момент времени для задачи 1 отражены в табл. 2.

Таблица 2

1 1 2 3

N1 7.166 2.895 1.042

Рис. 4. Распределение давления в матрице пористой среды в последний момент времени для различных сеток. Задача 1.. Сверху: сетки 1 и 2 (слева направо). Снизу: сетки 3 и 4 (слева направо)

■Ш

\ Сетка 1

Ч^Сетка 2

;_ Сетка 3

0123456789

Рис. 5. Относительные погрешности по времени в процентах для сеток 1,2,3 и между эталонной сеткой 4. Задача 1

Значения коэффициентов для матрицы пористой среды и сети трещин взяты следующие: с/ = 0.001, к/ = 1.0, ст = 0.01, кт = 10-5, а = кт. Проведем численное сравнение относительных погрешностей в £2-норме для различных сеток:

£( и * - и? )2

1Ы12= 1

Е(и ?)

е\2

———^ 1 \ /7)

Рис. 6. Распределение давления для первого континуума в последний момент времени для различных сеток. Задача 2. Сверху: сетки 1 и 2 (слева направо). Снизу: сетки 3 и 4 (слева направо)

Рис. 7. Распределение давления для второго континуума в последний момент времени для различных сеток. Задача 2. Сверху: сетки 1 и 2 (слева направо). Снизу: сетки 3 и 4 (слева направо)

Рис. 8. Относительные погрешности по времени в процентах для сеток 1,2,3 и между эталонной сеткой 4. Задача 2. Слева для первого континуума и справа для второго континуума

где I — текущая расчетная сетка (/ = 1, 2, 3), и и ие — решения задачи на текущей сетке и эталонной сетке (сетка 4).

Распределение давления в последний момент времени для различных сеток представлены на рис. 4. Относительные погрешности между эталонным решением для матрицы пористой среды представлены на рис. 5 и в последний момент времени в табл. 2. Время счета на сетках 1, 2, 3 составляет 20.156 сек., 76.567сек., 303.932 сек. соответственно.

4.2. Задача фильтрации в трещиноватой среде с использованием модели двойной пористости. Значения коэффициентов классической модели двойной пористости взяты следующие: с? = 0.001, с1 = 0.01, с2 = 0.01,

к1 = 0.5 • 10-5, к2 = 10-4, к? = 1.0, а12 = к1, а1 = к1, а2? = к2.

Проведем численное сравнение относительных погрешностей в Ь2-норме для различных сеток:

12

£(и? -■

ЕК1,е )2

22

2,е\ 2

£К - <-е)

_г_

£К2>е)2

т

т

где I — текущая расчетная сетка (I = 1, 2 и 3) с решением и1 ,и2 и и1,е,и2,е — решение на эталонной сетке (сетка 4).

Распределение давления в последний момент времени для различных сеток представлены на рис. 6, 7. Относительные погрешности между эталонным решением для давления представлены на рис. 8. В табл. 3 представлены относительные погрешности в процентах между сетками 1, 2, 3 и эталонной сеткой 4 на последний момент времени для задачи 2, в первой строке для первого континуума и во второй — для второго.

Таблица 3

1 1 2 3

IIе/1 II 14.767 2.685 0.533

H\\ 5.378 2.601 0.605

5. Заключение

В работе рассмотрена задача фильтрации в трещиноватой среде с использованием моделей смешанной размерности и моделей мультиконтинуума. Представлены математические модели и консервативные разностные схемы с использованием встроенной модели трещин. Результаты решения модельных задач иллюстрируют работоспособность предложенных вычислительных алгоритмов. Проведено численное исследование зависимости точности численного решения от выбора расчетной сетки. Показано, что использование достаточно мелких расчетных сеток необходимо для получения более точного решения рассматриваемой задачи. Основной особенностью предложенного метода является возможность использования структурированных расчетных сеток, что значительно упрощает процесс численного моделирования задач в трещиноватых пористых средах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Akkutlu I. Y., Efendiev Y., Vasilyeva M., Wang Y. Multiscale model reduction for shale gas transport in a coupled discrete fracture and dual-continuum porous media //J. Nat. Gas Sci. Eng. 2017. V. 48. P. 65-76.

2. Li L., Lee S. H. Efficient field-scale simulation of black oil in a naturally fractured reservoir through discrete fracture networks and homogenized media // SPE Reservoir Eval. Eng. 2008. V. 11, N 04. P. 750-758.

3. Akkutlu I. Y., Efendiev Y., Vasilyeva M., Wang Y. Multiscale model reduction for shale gas transport in poroelastic fractured media //J. Comput. Phys. 2018. V. 353. P. 356-376.

4. Kazemi H., Merrill L. S., Jr., Porterfield K. L., Zeman P. R. Numerical simulation of water-oil flow in naturally fractured reservoirs // Soc. Petrol. Eng. J. 1976. V. 16, N 06. P. 317-326.

5. Arbogast T., Douglas J., Jr., Hornung U. Derivation of the double porosity model of single phase flow via homogenization theory // SIAM J. Math. Anal. 1998. V. 21, N 4. P. 823-836.

6. Barenblatt G. I., Zheltov Yu. P., Kochina I. N. Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks [strata] //J. Appl. Math. Mech. 1968. V. 24, N 5. P. 1286-1303.

7. Warren J. E., Root P. J. The behavior of naturally fractured reservoirs // Soc. Petrol. Eng. J. 1963. V. 3, N 03. P. 245-255.

8. Karimi-Fard M., Durlofsky L. J., Aziz K. An efficient discrete fracture model applicable for general purpose reservoir simulators // Soc. Petrol. Eng. J. 2004. V. 9, N 2. P. 227-236.

9. Tene M., Al Kobaisi M. S., Hajibeygi H. Algebraic multiscale solver for flow in heterogeneous fractured porous media // Pap. SPE Reservoir Simulation Symp. (Houston, TX, Feb. 23-25, 2015), Soc. Petrol. Eng., 2015.

10. Tene M., Bosma S. B., Al Kobaisi M. S., Hajibeygi H. Projection-based embedded discrete fracture model (pEDFM) // Adv. Water Res. 2017. V. 105. P. 205-216.

11. Li Q., Wang Y., Vasilyeva M. Multiscale model reduction for fluid infiltration simulation through dual-continuum porous media with localized uncertainties // J. Comput. Appl. Math. 2018. V. 336. P. 127-146.

12. Chung E. T., Efendiev Y., Leung T., Vasilyeva M. Coupling of multiscale and multi-continuum approaches // GEM-Int. J. Geomath. 2017. V. 8, N 1. P. 9-41.

13. Vasilyeva M. V., Chung E. T., Cheung W., Wang Y., Prokopiev G. Nonlocal multicontinua upscaling for multicontinua flow problems in fractured porous media // 2018. arXiv preprint arXiv: 1807.05656.

14. Vasilyeva M. V., Chung E. T., Efendiev Y., Kim J. Constrained energy minimization based upscaling for coupled flow and mechanics // 2018. arXiv preprint arXiv:1805.09382.

15. Vasilyeva M. V., Chung E. T., Leung W. T., Alekseev V. Nonlocal multicontinuum (NLMC) upscaling of mixed dimensional coupled flow problem for embedded and discrete fracture models // 2018. arXiv preprint arXiv:1805.09407.

16. Vabishchevich P., Vasil'eva M. Iterative solution of the pressure problem for the multiphase filtration // Math. Model. Anal. 2012. V. 17, N 4. P. 532-548.

17. Васильева М. В., Васильев В. И., Красников А. А., Никифоров Д. Я. Численное моделирование течения однофазной жидкости в трещиноватых пористых средах // Уч. зап. Казанск. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2017. Т. 159, № 1. С. 100-115.

18. Спиридонов Д. А., Васильева М. В. Моделирование задач фильтрации в трещиноватых пористых средах посредством смешанного метода конечных элементов (встроенная модель трещин) // Мат. заметки СВФУ. 2017. Т. 24, № 3. С. 100-108.

19. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.

20. Tene M., Al Kobaisi M. S., Hajibeygi H. Algebraic multiscale method for flow in heterogeneous porous media with embedded discrete fractures (F-AMS) //J. Comput. Phys. 2016. V. 321. P. 819-845.

21. Hosseini Mehr M., Cusini M., Vuik C., Hajibeygi H. Algebraic dynamic multilevel method for embedded discrete fracture model (F-ADM) // J. Comput. Phys. 2018. V. 373. P. 324-345.

Поступила в редакцию 22 октября 2018 г. После доработки 9 ноября 2018 г. Принята к публикации 13 ноября 2018 г.

Васильева Мария Васильевна, Васильев Василий Иванович, Тырылгин Алексей Афанасьевич

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова Институт математики и информатики ул. Кулаковского, 42, Якутск 677891

vasilyevadotmdotv@gmail.com, vasvasil@mail.ru, koc9tk@mail.ru

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2018. Том 25, № 4

UDC 519.63

CONSERVATIVE DIFFERENCE SCHEME FOR FILTERING PROBLEMS IN FRACTURED MEDIA

M. V. Vasilyeva, V. I. Vasil'ev, and A. A. Tyrylgin

Abstract: We consider filtration problems in the fractured media that are necessary when modeling the processes of extracting hydrocarbons from unconventional reservoirs, geothermal fields development, underground disposal of radioactive waste in aquifers, etc. Fracture networks in such oil pools can exist on different scales and differ in the nature of their occurrence. We discuss a mathematical model of fluid filtration in fractured porous media described by coupled equations of mixed dimension with assigning of a special flow function. The problem approximation is constructed through the finite difference method on structured grids using the embedded fracture model, which makes possible creating grids for the porous medium matrix independently of the fracture network grid. The construction of a conservative difference scheme is given for the matrix of porous medium with the use of an integro-interpolation method and generalized for coupled equations describing mathematical models of multicontinuum with hierarchical representation of fracture networks. The results of the numerical implementation of the two-dimensional model problem are presented.

DOI: 10.25587/SVFU.2018.100.20556 Keywords: fractured porous medium, multicontinuum models, dual porosity model, mixed dimensional formulation, numerical simulation, filtration problem, embedded fracture model, convervative difference scheme.

REFERENCES

1. Akkutlu I. Y., Efendiev Y., Vasilyeva M., and Wang Y., "Multiscale model reduction for shale gas transport in a coupled discrete fracture and dual-continuum porous media," J. Nat. Gas Sci. Eng., 48, 65-76 (2017).

2. Li L. and Lee S. H., "Efficient field-scale simulation of black oil in a naturally fractured reservoir through discrete fracture networks and homogenized media," SPE Reservoir Eval. Eng., 11, No. 04, 750-758 (2008).

3. Akkutlu I. Y., Efendiev Y., Vasilyeva M., and Wang Y. "Multiscale model reduction for shale gas transport in poroelastic fractured media," J. Comput. Phys., 353, 356-376 (2018).

4. Kazemi H., Merrill L. S., Jr., Porterfield K. L., and Zeman P. R., "Numerical simulation of water-oil flow in naturally fractured reservoirs," Soc. Petrol. Eng. J., 16, No. 06, 317-326 (1976).

5. Arbogast T., Douglas J., Jr., and Hornung U., "Derivation of the double porosity model of single phase flow via homogenization theory," SIAM J. Math. Anal., 21, No. 4, 823-836 (1990).

6. Barenblatt G. I., Zheltov Yu. P., and Kochina I. N., "Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks [strata]," J. Appl. Math. Mech., 24, No. 5, 1286-1303 (1960).

7. Warren J. E. and Root P. J., "The behavior of naturally fractured reservoirs," Soc. Petrol. Eng. J., 3, No. 03, 245-255 (1963).

© 2018 M. V. Vasilyeva, V. I. Vasil'ev, and A. A. Tyrylgin

Conservative difference scheme for filtering problems in fractured media 101

8. Karimi-Fard M., Durlofsky L. J., and Aziz K., "An efficient discrete fracture model applicable for general purpose reservoir simulators," Soc. Petrol. Eng. J., 9, No. 2, 227—236 (2004).

9. Tene M., Al Kobaisi M. S., and Hajibeygi H., "Algebraic multiscale solver for flow in heterogeneous fractured porous media," in: Pap. SPE Reservoir Simulation Symp. (Houston, TX, Feb. 23-25, 2015), Soc. Petrol. Eng. (2015).

10. Tene M., Bosma S. B., Al Kobaisi M. S., and Hajibeygi H., "Projection-based embedded discrete fracture model (pEDFM)," Adv. Water Res., 105, 205-216 (2017).

11. Li Q., Wang Y., and Vasilyeva M., "Multiscale model reduction for fluid infiltration simulation through dual-continuum porous media with localized uncertainties," J. Comput. Appl. Math., 336, 127-146 (2018).

12. Chung E. T., Efendiev Y., Leung T., and Vasilyeva M., "Coupling of multiscale and multi-continuum approaches," GEM-Int. J. Geomath., 8, No. 1, 9-41 (2017).

13. Vasilyeva M. V., Chung E. T., Cheung W., Wang Y., and Prokopiev G., "Nonlocal multi-continua upscaling for multicontinua flow problems in fractured porous media," arXiv preprint arXiv: 1807.05656 (2018).

14. Vasilyeva M. V., Chung E. T., Efendiev Y., and Kim J., "Constrained energy minimization based upscaling for coupled flow and mechanics," arXiv preprint arXiv:1805.09382 (2018).

15. Vasilyeva M. V., Chung E. T., Leung W. T., and Alekseev V., "Nonlocal multicontinuum (NLMC) upscaling of mixed dimensional coupled flow problem for embedded and discrete fracture models," arXiv preprint arXiv:1805.09407 (2018).

16. Vabishchevich P. and Vasil'eva M., "Iterative solution of the pressure problem for the multiphase filtration," Math. Model. Anal., 17, No. 4, 532-548 (2012).

17. Vasilyeva M. V., Vasil'ev V. I., Krasnikov A. A., and Nikiforov D. Ya., "Numerical modeling of the flow of a single-phase fluid in fractured porous media," Uch. Zap. Kazansk. Univ., 159, No. 1, 100-115 (2017).

18. Spiridonov D. A. and Vasilyeva M. V., "Simulation of filtration problems in fractured porous media with mixed finite element method (embedded fracture method) [in Russian]," Mat. Zametki SVFU, 24, No. 3, 100-108 (2017).

19. Samarskii A. A., The Theory of Difference Schemes, Marcel Dekker, New York, Basel (2001).

20. Tene M., Al Kobaisi M. S., and Hajibeygi H., "Algebraic multiscale method for flow in heterogeneous porous media with embedded discrete fractures (F-AMS)," J. Comput. Phys., 321, 819-845 (2016).

21. Hosseini Mehr M., Cusini M., Vuik C., and Hajibeygi H., "Algebraic dynamic multilevel method for embedded discrete fracture model (F-ADM)," J. Comput. Phys., 373, 324-345 (2018).

Submitted October 22, 2018 Revised November 9, 2018 Accepted November 13, 2018

Maria V. Vasilyeva, Vasily I. Vasil'ev, and Aleksei A. Tyrylgin M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics, 42 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia

vasilyevadotmdotv@gmail.com, vasvasil@mail.ru, koc9tk@mail.ru