Численное моделирование алгоритма расчета сооружений на динамические и статические воздействия Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 624.04:539.3.001.24

I ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АЛГОРИТМА РАСЧЕТА СООРУЖЕНИЙ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ M СТАТИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ

С.К. ЕльмуратовД.С. Епьмуратов Павлодарский государственный университет им С. Торайгырова

В работе рассматривается автоматизация новой численной схемы расчета сооружений - метода криволинейных сеток. Существует целый класс задач теории оболочек, когда отмечается низкая точность результатов расчета, повышение которой путем увеличения числа конечных элементов или путем сгущения сетки в различных численных методах не дает желаемых результатов. Эффективным методом решения таких задач является применение новой схемы - метода криволинейных сеток [1,2]. Метод основан на идее корректной аппроксимации ковариантной производной вектор-функции в криволинейной системе координат. За счет применения разностной схемы к векторным разрешающим соотношениям и исключения отрицательного эффекта жестких смещений достигается повышенная скорость сходимости решений. Разработана методика решения задач динамики, динамической и статической устойчивости ортотропных оболочек переменной жесткости. Для компактности построения метода расчета использован аппарат тензорного исчисления. Предлагаемый метод расчета реализован в виде комплекса программ на ЭВМ на языке Turbo Pascal. Комплекс предусматривает решение широкого круга задач механики деформируемого твердого тела с учетом физической и геометрической нелинейности.

В состав исходных данных входят следующие параметры:

1) переменные NX1, NX2, определяющие число узлов в направлении координатных осей XI и Х2 соответственно;

2) массив сеточной области МРО, служащий для определения типов используемых операторов в конечно-разностных узлах. Каждый узел характеризуется типом используемого оператора и условием закрепления. Характеристики физико-технических свойств объекта вводятся пользователем по запросу программы.

Для эффективного использования пакета прикладных программ все входящие в комплекс подпрограммы оформлены в виде загрузочных модулей. Подпрограммы разработаны таким образом, чтобы основную их часть можно было использовать для решения нескольких классов задач. Например, задачи об устойчивости и собственных колебаниях оболочек и пластин имеют сходную систему нелинейных алгебраических уравнений. Уравнения вынужденных колебаний оболочек в частном случае, при частоте колебаний внешней нагрузки равной нулю, дают решение об изгибе оболочек. Совершенно иной класс задач - динамическая устойчивость оболочек и пластин. Здесь имеет место временной параметр. Однако и в этих задачах формирование систем уравнений основано на сходных принципах, позволяющих разбить процесс исследования НДС оболочек и пластин на этапы, сформированные в виде отдельных подпрограмм. Основной модуль программы определяет тип решаемой задачи. Например, если решается задача устойчивости, то параметры амплитудно-частотных характеристик обнуляются; если решается задача о колебаниях, то отсутствуют параметры устойчивости. При решении задач о колебаниях оболочек и пластин с учетом статических сил в срединной поверхности присутствуют все исходные параметры. Укрупненная блок-схема программы приведена на рисунке 1.

Для решения задачи устойчивости ортотропных оболочек или пластин переменой толщины пользователю необходимо при входе в основной модуль ввести параметры устойчивости. В основном модуле автоматически формируется последовательность подпрограмм, необходимых для решения задач устойчивости: ЕШ - формирует построение параметров жесткостей оболочки переменной толщины (постоянная толщина формируется, как частный случай).

Структурно программа работает следующим образом.

Программа 8КШ1, определяющая построение схемы расчета оболочек на устойчивость, вызывает подпрограмму ЗЮБВ, которая в зависимости от параметров задачи, вводит исходные данные и распечатывает введенную и преобразованную информацию. После ввода исходных данных формируются массивы жесткостей. Подпрограмма Ш<СО строит шаблон разностных коэффициентов метода криволинейных сеток для узлов сеточной области с учетом граничных условий. Массив компонент векторов локальных базисов в узлах вспомогательного сеточного шаблона 9x9 формирует подпрограмма ЗКЖЫ. 8К18М - формирует блоки исходной матрицы разрешающих уравнений. ОЕи - вычисляет элементы

массива компонент касательных векторов основного локального базиса узлов вспомогательного сеточного шаблона 9x9. После этого вызывается подпрограмма SKU01, управляющая шаговым процессом решения задачи устойчивости оболочки (пластина рассчитывается как частный случай), который реализует численный алгоритм метода продолжения решения по параметру в сочетании с методом Ньютона-Канторовича. При решении задач о нелинейных колебаниях оболочки в зависимости от исходных данных, вызывается подпрограмма SKDS1 для свободных колебаний или SKDW1 для вынужденных колебаний. Обращение матрицы линеаризованных уравнений осуществляется подпрограммами OMU или OMDS, OMDW. Формирование исходной матрицы производят подпрограммы IMU, IMDS и IMDW. Программа SKUID при вводе исходных данных определяет конфигурацию программы и требуемые ресурсы оперативной памяти ЭВМ. В служебном разделе USES объявляются имена внешних модулей, содержащих необходимые процедуры и функции для решения задачи нелинейного деформирования оболочки или пластины: WNP - формирует коэффициенты матрицы заданной внешней нагрузки. UST02, DINS2, DINW2 -решают системы разрешающих уравнений.

Рисунок 1 - Блок-схема программы БКиГО нагрузки. и8Т02, ОШ82, DГ1SÍW2 -решают системы разрешающих уравнений.

Решение системы линеаризованных уравнений. Для решения системы уравнений используются подпрограммы, основанные на блочном методе Гаусса. Они способны эффективно решать системы уравнений высокого порядка как с полностью заполненными матрицами, так и с матрицами, имеющими ленточную структуру. Достоинством блочного метода Гаусса при решении задач теории оболочек являются:

- возможность решения задачи при однократном порождении исходной матрицы без необходимости ее хранения;

- соответствие блочного строения матрицы уравнений листовой структуре данных файла прямого доступа, которое упрощает организацию обмена информацией с ВЗУ на блоках прямого доступа;

- возможность одновременной обработки нескольких правых частей уравнений, соответствующих различным вариантам загружения оболочки и пластины;

- возможность попутного вычисления и анализа определителя исходной матрицы.

Преобразование исходной матрицы А по схеме Гаусса равносильно разложению матрицы на сомножители А=СВ:

где блоки А^, Са, В^- квадратные субматрицы из к-ой блок-строки и /-го блок-столбца матриц А, С, В. Матрицы-сомножители С и В имеют соответственно верхнюю треугольную и нижнюю треугольную структуру. Диагональ матрицы В составляется из единичных блоков В мм. Такой вид матриц С и В позволяет вычислять определитель деХИАЛ перемножением определителей диагональных субматриц С мм- В процессе счета исходная матрица А не хранится в памяти машины, а по мере получения ее блок-строки постепенно преобразуется в верхнюю треугольную матрицу. Это позволяет почти вдвое сократить объем запоминаемой информации.

Подпрограммы 118Т02, БШ82, ОПчГ\У2 используются при решении задач устойчивости и динамики оболочек и пластин методом продолжения решения по параметру. При пошаговом алгоритме этого метода на каждом шаге решается задача в приращениях, при этом, к числу неизвестных добавляется приращение параметра однопараметрической нагрузки. Правой частью системы уравнений является вектор невязки. При решении линеаризованной задачи в окрестности особой точки, где матрица становится близкой к нулю, метод Гаусса дает неустойчивое решение или вообще не дает его. Имеет место переполнение памяти машины. Поэтому, вблизи особых точек производится регуляризация матрицы линеаризованных уравнений посредством введения дополнительного неизвестного, то есть переноса нагрузки в левую часть, и введением нового дополнительного уравнения. Вводимое при регуляризации дополнительное уравнение представляет собой уравнение задания одной из компонент вектора перемещения узла, в котором это перемещение имеет максимальное значение. Новый вектор правой части представляет собой приращение значения компоненты перемещений, для которой введено уравнение. При этом матрица перестает быть вырожденной, но ее главный минор, являющий-

(к>ь)

(К<1)

ся определителем нерегуляризованной матрицы, по-прежнему остается нулевым, что не дает возможности использовать для таких точек метод Гаусса. Для устранения равенства нулю главного минора регуляризован-ной матрицы производится перестановка местами строки и введенного уравнения и строки уравнения для перемещения, выбранного новым ведущим параметром при регуляризации.

После обращения к подпрограммам UST02, DINS2, или DINW2 в результате той или иной задачи мы получаем векторы решений, которые хранятся на месте последних блоков преобразованной матрицы и могут быть вызваны специальным оператором при необходимости.

В разработанном комплексе программ предусмотрена контрольная распечатка на основных стадиях процедуры формирования и решения систем уравнений. На начальном этапе распечатываются исходные данные, начальные массивы параметров и исходные матрицы. В процессе расчета на каждом шаге вычисления печатаются приращение нагрузки и перемещения, значения накопленной нагрузки, номер разностного узла и максимальное перемещение, определитель системы линеаризованных алгебраических уравнений. Постоянно осуществляется контроль абсолютной и относительной погрешностей преобразования исходной матрицы.

На основе разработанного комплекса программ были проведены исследования динамики и устойчивости оболочек и пластин. Исследована сходимость метода криволинейных сеток на широком круге задач. Путем решения этих задач другими методами [3], сравнением отдельных задач с решениями, имеющимися в литературе [4,5], а так же экспериментальным путем[2]. Во всех случаях наблюдается хорошее совпадение результатов. Необходимо отметить, что метод криволинейных сеток имеет преимущества при решении задач сложного напряженно-деформированного состояния оболочек - таких, как состыкованные оболочки, оболочки с ребрами жесткости, с наличием отверстий и другие.

Литература

1. Гоцуляк Е.А., Ермишев В.Н., Жадрасинов Н.Т. Применение метода криволинейных сеток к расчету оболочек,- Киев: Киевский инж. стр. ин-т. (рукопись деп. в Укр НИИНТИ №2557), 1981.- 23с.

2. Ельмуратов С.К. Нелинейная деформация неоднородных оболочек и пластин переменной жесткости.- Павлодар:НПФ «Эко», 2005.- 210с.

3. Ельмуратов С.К. Численные метода расчета пластин и пологих оболочек на ЭВМ.//Уч.пособие для вузов.-Караганда, 1986.- 63с.

4. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластин и оболочек,- М.: Наука, 1972,- 432с.

5. Сахаров A.C., Соловей H.A. Исследование устойчивости оболочек методом конечных элементов в задачах пластин и оболочек. // пространств, констр. зданий и сооруж.- М.: 1977, вып. 3. с. 10-15.

Tyuwdejue

Ma^ajiada K^punuc ece6iuiif oKatfa ecenmey cbisSacuuuH ece6iHitj aemoMamu3aifUficbi-%ucbit$ mysimen OKemjepiniff edicmeMeci k,apacmupumaH.

Resume

The article considers an automation of new numerical account scheme of constructions by method of curvilinear nets.