CC BY
6
УДК 517.958:535.4 doi:10.21685/2072-3040-2022-4-7
Численное исследование задачи об электромагнитных колебаниях трехслойного сферического резонатора, заполненного метаматериалом
Ю. Г. Смирнов1, Ю. А. Петрова2
1,2Пензенский государственный университет, Пенза, Россия 1mmm@pnzgu.ru, 2petroval1999@rambler.ru
Аннотация. Актуальность и цели. Цель работы - решение задачи об электромагнитных колебаниях трехслойного сферического резонатора, средний слой которого заполнен метаматериалом. Материалы и методы. Краевая задача для системы уравнений Максвелла сводится к решению скалярных уравнений для потенциалов Дебая. Получено дисперсионное уравнение относительно спектрального параметра - круговой частоты колебаний. Результаты. Дисперсионное уравнение решается численно на комплексной плоскости. Найдены приближенные резонансные частоты, имеющие отрицательную мнимую часть и симметрично расположенные относительно вещественной оси. Выводы. Предложен и реализован численный метод нахождения резонансных частот трехслойного сферического резонатора, средний слой которого заполнен метаматериалом.
Ключевые слова: трехслойный сферический резонатор, уравнения Максвелла, электромагнитные колебания, потенциалы Дебая, метаматериал
Финансирование: работа выполнена при поддержке гранта РНФ в рамках научного проекта 20-11-20087.
Для цитирования: Смирнов Ю. Г., Петрова Ю. А. Численное исследование задачи об электромагнитных колебаниях трехслойного сферического резонатора, заполненного метаматериалом // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2022. № 4. С. 69-75. doi:10.21685/2072-3040-2022-4-7
Numerical study of the problem of electromagnetic oscillations of a three-layer spherical resonator filled with a metamaterial
Yu.G. Smirnov1, Yu.A. Petrova2
12Penza State University, Penza, Russia 1mmm@pnzgu.ru, 2petroval1999@rambler.ru
Abstract. Background. The purpose of the work is to solve the problem of electromagnetic oscillations of a three-layer spherical resonator, the middle layer of which is filled with metamaterial. Materials and methods. The boundary value problem for the Maxwell system of equations is reduced to solving scalar equations for Debye potentials. The dispersion equation is obtained with respect to the spectral parameter - the circular oscillation frequency. Results. The dispersion equation is solved numerically on the complex plane. Approximate resonant frequencies having a negative imaginary part and symmetrically located relative to the real axis are found. Conclusions. A numerical method for finding the resonant frequencies of a three-layer spherical resonator, the middle layer of which is filled with metamaterial, is proposed and implemented.
© Смирнов Ю. Г., Петрова Ю. А., 2022. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
Keywords: triple layered ball resonator, Maxwell's equations, electromagnetic oscillations, Debye potentials, metamaterial
Acknowledgements: the research was financed by the RSF within the research project 20-11-20087.
For citation: Smirnov Yu.G., Petrova Yu.A. Numerical study of the problem of electromagnetic oscillations of a three-layer spherical resonator filled with a metamaterial. Izvesti-ya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2022;(4):69-75. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2022-4-7
Открытые диэлектрические резонаторы являются важными объектами изучения в электродинамике. Почти полное внутреннее отражение полей от гладкой криволинейной поверхности приводит к слабому излучению их энергии. Возможность применения электромагнитных колебаний резонаторов в технике связана с их малым затуханием, локализацией полей у границ раздела между средами.
Поскольку структура открытая, то, в общем случае, имеется излучение во внешнее пространство [1]. Доказано, что вещественных резонансных частот в обычных диэлектрических резонаторах быть не может [2, 3].
Однако в некоторых специальных случаях показано, что в среде без потерь, если среда анизотропная, в области неоднородности может находиться электромагнитная энергия, и при этом нет излучения в окружающее пространство. Это возможно для резонаторов из анизотропных метаматериалов. Полученные результаты открывают принципиальную возможность создания новых типов аккумуляторов электромагнитной энергии [4].
В этой связи интересными представляются расчеты комплексных резонансных частот резонатора, содержащего метаматериал. В настоящей статье рассматривается трехслойных сферический резонатор, средний слой которого заполнен метаматериалом. Предложен численный метод расчета резонансных частот, основанный на решении дисперсионного уравнения, которое получено с помощью представления полей через потенциалы Дебая. Представлены результаты расчетов резонансных частот для некоторых трехслойных сферических резонаторов.
1. Постановка задачи на трехслойном сферическом резонаторе
Рассмотрим трехслойный шар радиуса г, расположенный в изотропной среде. Он представляет собой систему из внутреннего шара радиуса г , и сферически симметричных диэлектрических слоев с постоянными диэлектрическими и магнитными проницаемостями, удовлетворяющими системам:
Введение
£Ь r < ri; £2, ri < r < r2; £3, r2 < r < гз; ^ r3 <r;
l(r )= <
1ъ r < ri; M-2, ri < r < r2; ^ r2 <r < гз; I4, гз < r ;
где £ у =£о у (1 + /8оу ), Цу = М-0у; е0у и М-0у ( = 1, 2, 3, 4) - постоянные относительные диэлектрические и магнитные проницаемости; tg5oу - тангенс
угла диэлектрических потерь у-го слоя.
Сведем решение уравнений Максвелла к решению скалярного уравнения для потенциалов Дебая [1]. Для этого воспользуемся сферической системой координат г, 0, ф и получим дифференциальные уравнения для электромагнитных потенциалов вида
Ту (г, 0, ф) = 0, ^Ту ун (г, 0, ф) = 0, (1)
где
1 Э . Л Э 1 Э2
А^ =——г—sin 9— +
2
sin 9 Э9 Э9 sin2 9Эф2'
т д 2 1-, , ®
Ту = эГ2+Ху; Ху =>№'*; к=7'
с - скорость света.
Решения уравнений (1) должны удовлетворять условиям: конечность амплитуд полей колебаний в центре сферы (г = 0), отсутствие приходящей и наличие уходящей волн при г ^^, непрерывность тангенциальных компонент полей на поверхностях раздела сред [1].
Решение системы (1) можно свести к характеристическому уравнению вида [5]:
уз]3 х{[ЛП2]1 [у2Пз]2 -[узЛ]1 [П2П3]2} = = [М3 ]3 х{[ ЛП2 ]1 [ 72 73 ]2 -[ Л Л ]1 [П2 73 ]2}. (2)
Здесь уп (х), цп (х), /^(х) - сферические функции, связанные отношениями
вида 2п (х ) = \/лХ7"2И 1 (х) с цилиндрическими функциями Бесселя
п+— 2
^ 1 (х), Неймана N 1 (х) и Ханкеля Н(1) (х) соответственно;
п+— п+— п+__
2 2 п+2
[ figj ]к = qifikSj,k - 4jfi,kSjk,q .
Si
Корни данного характеристического уравнения при заданных параметрах структуры определяют комплексные частоты собственных колебаний.
2. Численное исследование характеристического уравнения
Характеристическое уравнение (2) при заданных параметрах структуры определяет комплексные частоты собственных колебаний, т.е. соотношение
между волновым числом X и радиусом г . Моды диэлектрического шара описываются с помощью индексов m, п, q. Индекс q вводится из-за необходимости определения - какому множеству решений соответствует то или иное значение собственной частоты. Индекс показывает число узлов поля, лежащих внутри шара, и прямо пропорционален нулям функции Бесселя этого шара.
Далее численно исследуем структуру, в которой параметры внутреннего и внешнего шаров совпадают ( =£3; ^ =Цз ), а изучаемое вещество заполняет средний слой. При этом уравнение (2) принимает вид
Н]3 х{[73П2] [ЛПз ]2 -[НН ]1 [П2Пз ]2} = = [М3]3 х{[Н3П2]1 [Н2Н]2 -[НН2]1 [П2Н]2}. (3)
Если перенести правую часть равенства (3) влево, то мы получим дисперсионное уравнение для вычисления собственных значений X в виде
А(х) = [^Н]3 х{[Н3П2]1 [Н2П3]2 -[НН]1 [П2П3]2} --[М3]3 х{[Н3П2]1 [Н2Н]2 -[НН2]1 [П2Н]2} = 0 . (4)
Представим х = а + /'Р, где а,Ре Ж . Тогда, взяв вещественную и мнимую части от выражения (4), получим систему действительных уравнений для определения вещественной и мнимой частей волнового числа X:
Г Д1 (а, Р):= Re А (х) = 0, (5)
[А2 (а, Р):= 1т А (х) = 0.
Для определения (а,в) решим систему уравнений (5) с помощью
метода пристрелки [6].
Решения каждого уравнения в (5) определяют кривые на комплексной плоскости. Их точки пересечения являются решением исходной задачи. Измельчая сетку, можно добиться необходимой точности решений.
Проведем численное исследование характеристического уравнения относительно волнового числа X (точнее, относительно круговой частоты ю) с разными значениями относительной диэлектрической проницаемости среднего слоя £02 < 0 и с различными значениями толщин А=Г2 — Г1.
Параметры для расчетов выбраны следующим образом: исследуем помещенную в вакуум структуру с радиусами: Г1 = 3,6, Г2 = 3,7 и Г3 = 3,9 см. Магнитная проницаемость всех сред равна единице. Внутренний шар и наружный слой будут считаться изготовленными из фторопласта с параметрами: £01 =£03 = 2,07, tg 601 = tg 603 = 1,7 10 4. Средний слой заполнялся метаматериалом: £02 = —0,1; — 0,3; —0,5; —0,7 . Расчеты на рис. 1 выполнены при Д = 0,1. Таким образом, найденные решения соответствуют комплексным резонансным частотам. Причем мнимая часть всех решений отрицательна, а сами корни симметричны относительно вещественной оси.
вещественная часть
D02
=-0.1
вещественная часть
02
=-0.3
вещественная часть
02
= -0.5
вещественная часть
02
=-0.7
Рис. 1. Численное решение системы (5) для колебаний Е-типа: синяя кривая - решение первого уравнения системы (15); красная кривая - решение второго уравнения системы (15); точка пересечения синей и красной кривых является решением системы (15)
Заключение
В статье предложен численный метод по нахождению корней дисперсионного уравнения, отвечающего задаче о собственных электромагнитных колебаниях трехслойного сферического резонатора, средний слой которого заполнен метаматериалом. Представлены численные результаты, которые качественно согласуются с теоретическими.
Список литературы
1. Смирнов Ю. Г., Петрова Ю. А. Численное и аналитическое исследование задачи об электромагнитных колебаниях открытых неоднородных резонаторов // Дифференциальные уравнения. 2022. Т. 58, № 9. С. 1266-1273.
2. Самохин А. Б., Смирнов Ю. Г. Теоремы единственности и существования решения задач рассеяния электромагнитных волн на анизотропных телах // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2021. Т. 496. С. 59-63.
3. Самохин А. Б., Смирнов Ю. Г. Теоремы единственности и существования решения задач рассеяния электромагнитных волн на трехмерных анизотропных телах в дифференциальной и интегральной постановке // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2021. Т. 61, № 1. С. 85-94.
4. Самохин А. Б. Условия существования резонансных анизотропных диэлектрических структур // Радиотехника и электроника. 2021. Т. 66, № 6. С. 571-576.
5. Суворова О. А., Филиппов Ю. Ф. Трехслойный шаровой резонатор для измерения диэлектрических проницаемостей веществ // Радиофизика и радиоастрономия. 2007. Т. 12, № 2, С. 214-222.
6. Петрова Ю. А. Численное исследование задачи об электромагнитных колебаниях открытых неоднородных сферических резонаторов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2022. № 1.
1. Smimov Yu.G., Petrova Yu.A. Numerical and analytical study of the problem of electromagnetic oscillations of open inhomogeneous resonators. Differentsial'nye uravneniya = Differential equations. 2022;58(9):1266-1273. (In Russ.)
2. Samokhin A.B., Smirnov Yu.G. Uniqueness and existence theorems for the solution of problems of scattering of electromagnetic waves by anisotropic bodies. Doklady RAN. Matematika, informatika, protsessy upravleniya = Reports of the Russian Academy of Sciences. Mathematics, computer science, control processes. 2021;496:59-63. (In Russ.)
3. Samokhin A.B., Smirnov Yu.G. Uniqueness and existence theorems for the solution of problems of scattering of electromagnetic waves by 3D anisotropic bodies in differential and integral formulations. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki = Journal of computational mathematics and mathematical physics. 2021;61(1):85-94. (In Russ.)
4. Samokhin A.B. Conditions for the existence of resonant anisotropic dielectric structures. Radiotekhnika i elektronika = Radio engineering and electronics. 2021; 66(6):571-576. (In Russ.)
5. Suvorova O.A., Filippov Yu.F. Three-layer spherical resonator for measuring the dielectric constants of substances. Radiofizika i radioastronomiya = Radiophysics and radio astronomy. 2007;12(2):214-222.
6. Petrova Yu.A. Numerical study of the problem of electromagnetic oscillations of open inhomogeneous spherical resonators. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzh-skiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2022;(1):3-12.
С. 3-12.
References
Информация об авторах / Information about the authors
Юрий Геннадьевич Смирнов
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Yuriy G. Smirnov
Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Юлия Александровна Петрова инженер-исследователь научно-исследовательского центра «Суперкомпьютерное моделирование в электродинамике», Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: petroval1999@rambler.ru
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию / Received 23.10.2022
Поступила после рецензирования и доработки / Revised 12.11.2022 Принята к публикации / Accepted 26.11.2022
Yuliya A. Petrova Research engineer of the Research Center "Supercomputer Simulation in Electrodynamics", Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
