CC BY
9Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2020. Том 27, № 4
УДК 533:6+533:9+519.688
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПЛОТНОСТИ МАТЕРИАЛА ДИСПЕРСНОЙ
КОМПОНЕНТЫ НА ИНТЕНСИВНОСТЬ ГЕНЕРАЦИИ АКУСТИЧЕСКОГО ИМПУЛЬСА В ЭЛЕКТРИЧЕСКИ ЗАРЯЖЕННОЙ ГАЗОВЗВЕСИ Д. А. Тукмаков
Аннотация. Статья посвящена моделированию течения запыленной среды, которое вызвано внутренним электрическим зарядом дисперсной компоненты. В данной работе рассматривается влияние физической плотности материала дисперсных частиц на интенсивность генерируемого в запыленной среде возмущения давления. Применяемая для моделирования процесса математическая модель учитывает скоростную и тепловую неравновесность потока двухфазной среды. Для каждой из компонент смеси решалась полная гидродинамическая система уравнений движения сплошной среды, включавшая в себя уравнения непрерывности, уравнения сохранения пространственных составляющих импульса и уравнения сохранения энергии. Система уравнений динамики многофазной среды решалась с помощью явного конечно-разностного метода второго порядка точности. В результате численного моделирования было выявлено, что увеличение физической плотности материала электрически заряженных частиц приводит к увеличению интенсивности генерируемого акустического возмущения.
Б01: 10.255877SVFU.2020.77.39.008
Ключевые слова: модель гетерогенной смеси, многофазные среды, межфазное взаимодействие, уравнение Навье — Стокса, сила Кулона.
1. Введение
Одной из развивающихся областей механики жидкости и газа является механика неоднородных сред [1-18]. Неоднородные среды могут быть гомогенными (одинаковыми по фазовому состоянию) смесями или же многофазными средами, состоящими из компонент с различным агрегатным состоянием [1]. Частным случаем многофазных сред являются газовзвеси — взвеси твердых частиц (запыленные среды) или же газокапельные среды (взвеси жидких капель). При описании движения течений неоднородных сред важной задачей является учет взаимодействия компонент смеси. Особенно важно, когда компоненты смеси имеют различные агрегатные состояния, а дисперсная компонента имеет суммарную массу, сопоставимую с массой несущей среды [2,3]. Такие течения во многом определяются эффектами, связанными с взаимодействием компонент, и сильно отличаются от течений однородных сред. Процессы,
© 2020 Тукмаков Д. А.
связанные с течениями жидких или твердых аэрозолей, возникают в аэрокосмических технологиях и в химической промышленности. При этом интерес представляет моделирование как электрически нейтральных [4,5,14,15], так и электрически заряженных газовзвесей [10-13,16-18]. В данной работе представлена континуальная математическая модель, в которой как для несущей среды, так и для дисперсной компоненты решается полная гидродинамическая система уравнений [1]. При таком подходе дисперсная компонента представляется сплошной средой, занимающей часть объема смеси, для дисперсной компоненты записываются уравнения неразрывности «средней плотности», сохранения импульса и энергии. Преимуществом таких моделей является то, что они позволяют описать взаимообратные эффекты межкомпонентного взаимодействия, возникающие в динамике неоднородных сред. При этом в динамике неоднородных сред, как правило, течение смеси формируется за счет движения несущей компоненты — воздуха или жидкости. В ряде случаев дисперсные включения могут двигаться под действием сил гравитационной [6] или электрической природы [16,17]. В работах [16,17] численно исследовались течения газовзвесей, вызванные движением электрически заряженных частиц. В работе [16] исследовано влияние размера дисперсных включений на интенсивность генерации акустического возмущения в газовзвеси, статья [17] посвящена исследованию параметров электрически заряженных частиц на амплитуду и частоту колебаний электрически заряженной газовзвеси в замкнутой области. В настоящей работе исследуется влияние плотности материала частиц дисперсной фазы на интенсивность генерируемого движением частиц акустического возмущения.
В представленной модели смесь состоит из двух континуумов [1] — газовой и дисперсной фаз. Математическую модель динамики смеси составляют уравнения сохранения массы, импульса и энергии каждой компоненты. Для дисперсной компоненты смеси вводится понятие «средней плотности» — произведение объемного содержания дисперсной компоненты, являющегося функцией временной и пространственных переменных, и «физической плотности» дисперсной фазы [1], т. е. плотности материала твердых частиц, которая в моделируемом процессе не изменяется. Система уравнений динамики несущей среды учитывает вязкость, сжимаемость и теплопроводность газа [19, 20], а также межкомпонентное взаимодействие [1,2]:
2. Математическая модель
др! д(р1и1) д(р1у1) дЬ дх ду
+
0,
dei д (. . ßT!
д ( dTi
+ Q^ Пе1 +Р- TVVW ~ TxyUl + А —
= -Q - (\Fx\(Ul - u2) + \FV\(V1 - Vl)) + a + , (1)
p =(y - 1)(ei- pK + vf)/2),
,dUl 2 \ ( dVl 2
ei=^i(/+(u?+T;?)/2), = M ( 2^ - -D ) , туу = м ( 2-^ - -D
( ди1 dv1\ ( ди1 dv1
тхх = M + "тг- ) ,D = fJ,l — + — \ ду дх J \ дх ду
В уравнениях применяются следующие обозначения: pi — плотности (для несущей среды плотность газа, а для дисперсной компоненты средняя плотность) компонент, ui, vi — составляющие векторов скорости компонент смеси, Vi, ei и Ti — энергия и температура компонент смеси. Индекс «1» относится к физическим величинам несущей среды (газа), индекс «2» относится к физическим величинам дисперсной компоненты смеси. Здесь Л, p, y — коэффициенты теплопроводности, вязкости и постоянная адиабаты для несущей газообразной среды, I = RT1/(y — 1) — внутренняя энергия несущей среды (R — газовая постоянная) [2]; компоненты силы межфазного силового взаимодействия Fx, Fy и тепловой поток с поверхности дисперсной фазы Q определяются законами межфазного взаимодействия, тхх, тху, туу — составляющие тензора вязких напряжений несущей среды. Далее представлена система уравнений динамики дисперсной компоненты [2]:
др2 др2и2 dp2v2 _ 0 дЬ дх ду '
d(p2u2) д 2 д др
~dt~ + d~x{p2U2) + d-y[p2U2V2) = ~F' ~
д{Р2У2) д д 2 др (2)
__ + ^(p2u2v2) + -(P2v2) = -Fv - a-,
де2 д . , д . , „ ~dt ~дх 2 ~дх =
Р2 = ap20, ei = P2CP2T2 Здесь a — объемное содержание дисперсной фазы; Cp2 , p2o — удельная теплоемкость и физическая плотность вещества твердых частиц, r — радиус частиц. Предполагается, что все частицы имеют сферическую форму. Компоненты силы межфазного взаимодействия Fx и Fy определяются следующим
образом [1,2]:
Fx = £Cd'2P^~ u+ ~ v
f ди1 ди1 ди1 ди2 ди2 ди2 \ , „
+ O.oapi -7— + ui—--h ---7ГГ ~ --v2—— + FEx,
\ дЬ дх ду дЬ дх ду )
За / 2 2
Fy =—Cd2py {iti - и2) +((v1-v2) (v1-v2)
8r2
/ dvi dvi dv1 \ dt dx dy
( dvi dvi dvi dv2 dv2 dv2\ , „
+ 0.5api -7— + —--hwi^;----V2—--v2—~ + FEy
\ dt dx dy dt dx dy J
Выражение для межфазного теплообмена:
Q = 6aXNui2(Ti - T2)/(2r)2
Математические модели аэродинамики запыленных и газокапельных сред представлены в работе [2]. Силовое взаимодействие компонент смеси определяется коэффициентом сопротивления Cd2. Тепловое и силовое взаимодействие составляющих газовзвеси определяются [2] относительным числом Маха Mi2, относительным числом Рейнольдса Rei2, относительным числом Нуссель-та Nui2 и числом Прандтля Pri:
Cd2 = СЦЖММа), C°d2 = + щз + 0.4,
—0 427
ф{М12) = 1 + еМ-^ож), ¥>(«) = (1 " а)-2'5,
Rei2 = r2Pi|Vi - V2I/M, Mi2 = |Vi - V2I, Pri = сР1м(Л)-1,
Nui2 = 2exp(-Mi2) + 0/459Re°255PrO'33, V = [u^],
V = [ui, vi], i = 1, 2, — вектор скорости несущей и дисперсной компоненты. Система уравнений дополнялась соответствующими граничными условиями. На границах расчетной области задавались однородные граничные условия Дирихле для составляющих скорости несущей и дисперсной фаз и однородные граничные условия Неймана для остальных функций [2, 20-23]. Система уравнений динамики двухкомпонентной смеси решалась явным конечно-разностным методом Мак-Кормака [20] второго порядка точности с применением схемы нелинейной коррекции сеточной функции [21]. Составляющие силы Кулона на единицу объема газовзвеси определяются через ее удельный заряд, среднюю плотность твердой компоненты смеси и напряженность электрического поля:
т-1 dip dtp
ГЕХ = -ap2oqo-Q^, ГЕу =
где qo — удельный заряд единицы массы твердой компоненты смеси, p — потенциал электрического поля. Потенциал электрического поля в расчетной области определяется из решения уравнения Пуассона [23] :
Ap = P2Ç0. (3)
Уравнение Пуассона, описывающее потенциал электрического поля, решалось методом конечных разностей с помощью итерационной схемы метода установления [24] на газодинамической расчетной сетке, что объяснятся необходимостью
определять значения потенциала электрического поля при вычислении сил межфазного взаимодействия при описании динамики дисперсной и несущей компонент смеси, а также необходимостью вычисления значении средней плотности дисперсной фазы в узлах при решении уравнения Пуассона. В моделируемом процессе в начальный момент времени предполагалось разделение канала на две части, в одной из которых находится чистый газ, а в другой электрически заряженная запыленная среда. Для уравнения Пуассона задавались однородные граничные условия Неймана в области, занятой заряженной газовзвесью, и однородные граничные условия Дирихле в области, где газовзвесь в текущий момент времени отсутствует.
3. Результаты расчетов
В качестве несущей среды рассматривался воздух. Начальное объемное содержание дисперсной фазы в камере высокого давления предполагалось равным а = 0.001. Удельный электрический заряд единицы массы = —0.001 Кл/кг. Плотность несущей среды составляла р\ = 1.21 кг/м3. Теплопроводность несущей среды предполагалась равной Л = 0.02553Вт/(м- К), динамическая вязкость несущей среды р = 1.72 10-5 Па-с, Постоянная адиабаты и газовая постоянная несущей компоненты смеси 7 = 1.4, Я = 8.31 Дж/(моль-К).
Рис. 1. Схематичное изображение канала заполненного чистым газом и электрически заряженной двухфазной средой.
Параметры моделируемого канала составляли длина Ь = 2 м, ширина Н = 0.1м. На рис. 1 схематично изображен канал, разделенный на две части, в одной части канала расположена электрически заряженная запыленная среда, в другой части находится чистый газ. На рис. 2 представлено распределение х-составляющей силы Кулона в продольном направлении. Так как все частицы имеют заряд одинакового знака, то под действием силы Кулона дисперсная фаза приходит в движение. Наличие межфазного взаимодействия в газовзвеси приводит к тому, что движение дисперсной фазы формирует течение несущей среды — газа. На рис. 3 изображено пространственное распределение модуля скорости газа при движении возмущения давления по каналу. Из рисунка следует, что наибольшее значение модуля скорости наблюдается вблизи оси симметрии канала. В результате численного моделирования определено, что интенсивность возмущения давления газа имеет прямую зависимость от физической плотности материала электрически заряженной дисперсной фазы — рис. 4. Для физических плотностей дисперсной фазы р20 = 750кг/м3, интенсивность акустического возмущения, создаваемого движением электрически заряженной дисперсной компоненты, составляет Ар = Р2 — Р\ = 103 Па. Для
Рис. 2. Пространственное распределение в направлении продольной координаты к- составляющей силы Кулона.
Рис. 3. Пространственное распределение модуля скорости газа, при формировании акустического возмущения в электрически заряженной запыленной среде. Физическая плотность дисперсной фазы р20=2700 кг/м3. Момент времени £ = 1.47 мс.
плотности материала частиц р2о = 1850 кг/м3 интенсивность акустического возмущения Ар = р2 — Р1 = 727 Па, при плотности материла дисперсной компоненты р20 = 2700 кг/м3 будет Ар = р2 — р\ = 1290 Па. Здесь р2 — максимальное, Р! — минимальное давление в движущемся газе. На рис. 5 и рис. 6 изображены распределения модуля скорости несущей (нижний индекс 1) и дисперсной (нижний индекс 2)комионент смеси соответственно, \Уг\ = + V?. В течении двухфазной среды, сформированном движением электрически заряженных частиц, скорости газа и дисперсной компоненты составляют | V | = 0.87м/с, |У21 = 1.02м/с для плотности материала частиц р20 = 1850кг/м3 и V1 = 1.61м/с, IV! | = 1.98 м/с для плотности материала частиц р2о = 2700 кг/м3 соответственно. Таким образом, увеличение плотности материала электрически заряженных частиц приводит к увеличению скорости движения дисперсной компоненты, а следовательно, к генерации акустического возмущения большей интенсивности с большей скоростью движения газа. Выявленные закономерности можно объяснить тем, что в данной модели заряд частицы прямо пропорционален ее массе. Более массивные частицы находятся под большим воздействием силы Кулона, соответственно и разгоняются до больших скоростей, при этом за счет межфаз-
р. кПа
0.0 O.J 1.0 1J5 2.0 Х: м
Рис. 4. Пространственное распределение давления газа. Кривая 1 — физическая плотность дисперсной компоненты смеси р20 =750 кг/м3; кривая 2 — физическая плотность дисперсной компоненты смеси р20 = 1850 кг/м3; Момент времени t = 1.47 мс.
IFj.Mi'c
Рис. 5. Пространственное распределение модуля скорости газа при распространении акустического возмущения по газовзвеси с плотностью дисперсной фазы Р20 = 1850 кг/м3 — кривая 1; по газовзвеси с плотностью дисперсной фазы р20=2700 кг/м3 — кривая 2. Момент времени £ = 1.47 мс.
М, С
1.0-I т
Рис. 6. Пространственное распределение модуля скорости дисперсной фазы при распространении акустического возмущения по газовзвеси с плотностью дисперсной фазы р20 = 1850 кг/м3 — кривая 1; по газовзвеси с плотностью дисперсной фазы р20=2700 кг/м3 — кривая 2. Момент времени £ = 1.47 мс.
ного взаимодействия достигается большая скорость потока газа, чем в случае, если частицы имеют меньшую массу и соответственно меньший заряд. Также можно отметить и то, что пространственные распределения скорости потока газа в направлении продольной координаты имеют несимметричную форму относительно начальной поверхности раздела запыленной среды и однородного газа. Связано это с тем, что в направлении начала координат акустическое возмущение движется по чистому газу, а в направлении увеличения ж-координаты акустический импульс движется по запыленной среде, имеющей большую диссипацию, чем однородный газ.
4. Выводы
В результате численного моделирования было выявлено, что в процессе формирования акустического импульса электрически заряженной запыленной средой увеличение плотности материала частиц электрически заряженной запыленной среды приводит к увеличению интенсивности акустического возмущения, увеличению скорости движения частиц и увеличению скорости потока газа.
ЛИТЕРАТУРА
1. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987. Ч. 1.
2. Кутушев А. Г. Математическое моделирование волновых процессов в аэродисперсных и порошкообразных средах. СПб.: Недра, 2003.
3. Федоров А. В., Фомин В. М., Хмель Т. А. Волновые процессы в газовзвесях частиц металлов. Новосибирск: Наука, 2015.
4. Садин Д. В. TVD-схема для жестких задач волновой динамики гетерогенных сред негиперболического неконсервативного типа // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2016. Т. 56, № 12. С. 2098-2109.
5. Вараксин Ю. А., Протасов М. В., Яценко В. П. Анализ механизмов осаждения твердых частиц на стенки каналов // Теплофизика высоких температур. 2013. № 5. С. 738-746.
6. Еремеева Н. Г., Куличкина Т. П., Матвеев И. А., Никифорова Л. В., Яковлев Б. В. Моделирование движения частицы в наклонной плоскости под действием потока воды // Мат. заметки СВФУ. 2019. Т. 26, № 4. С. 73-82.
7. Mehrabadi M., Tenneti S., Garg R., Subramaniam S. Pseudo-turbulent gas-phase velocity fluctuations in homogeneous gas-solid flow: fixed particle assemblies and freely evolving suspensions // J. Fluid Mech. 2015. V. 770. P. 210-246
8. Пахомов М. А., Терехов В. И. Влияние испарения капель на структуру течения и теп-ломассобмен в ограниченном закрученном газокапельном потоке за его внезапным расширением // Теплофизика и аэромеханика. 2018. № 6. С. 865-875.
9. Zhuoqing A., Jesse Z. Correlating the apparent viscosity with gas-solid suspension flow in straight pipelines // Powder Technol. 2019. V. 345. P. 346-351.
10. Tadaa Y., Yoshioka S., Takimoto A., Hayashi Y. Heat transfer enhancement in a gas-solid suspension flow by applying electric field // Int. J. Heat Mass Transfer. 2016. V. 93. P. 778787.
11. Jaiswal S., Hall T., LeBlanc S., Mukherjee R., Thomas E. Effect of magnetic field on the phase transition in a dusty plasma // Phys. Plasmas. 2017. V. 24. 113703.
12. Зинченко С. П., Толмачев Г. Н. О накоплении продуктов распыления сегнетоэлектри-ческой мишени в плазме тлеющего высокочастотного разряда // Прикл. физика. 2012. № 5. С. 53-56.
13. Дикалюк А. С., Суржиков С. Т. Численное моделирование разреженной пылевой плазмы в нормальном тлеющем разряде // Теплофизика высоких температур. 2012. Т. 50, № 5. С. 611-619.
14. Губайдуллин Д. А. Тукмаков Д. А. Численное исследование эволюции ударной волны в газовзвеси с учетом неравномерного распределения частиц // Мат. моделирование. 2014. Т. 26, № 10. С. 109-119.
15. Нигматулин Р. И., Губайдуллин Д. А., Тукмаков Д. А. Ударно-волновой разлет газовзвесей // Докл. АН. 2016. Т. 466, № 4. C. 418-421.
16. Тукмаков А. Л., Тукмаков Д. А. Генерация акустического возмущения движущейся заряженной газовзвесью // Инж.-физ. журн. 2018. № 5. С. 1-7.
17. Тукмаков А. Л., Кашапов Н. Ф., Тукмаков Д. А., Фазлыйяхматов М. Г. Процесс осаждения заряженной полидисперсной газовзвеси на поверхность пластины в электрическом поле // Теплофизика высоких температур. 2018. Т. 56, № 4. С. 498-502.
18. Тукмаков Д. А. Численное моделирование колебаний электрически заряженной гетерогенной среды, обусловленных межкомпонентным взаимодействием // Изв. вузов. Прикл. нелин. динамика. 2019. Т. 27, № 3. С. 73-85.
19. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003.
20. Fletcher C. A. Computation techniques for fluid dynamics. Berlin: Springer-Verl., 1988.
21. Музафаров И. Ф., Утюжников С. В. Применение компактных разностных схем к исследованию нестационарных течений сжимаемого газа // Мат. моделирование. 1993. Т. 5, № 3. С. 74-83.
22. Тукмаков А. Л. Численное моделирование акустических течений при резонансных колебаниях газа в закрытой трубе // Изв. вузов. Авиацион. техника. 2006. № 4. С. 33-36
23. Сальянов Ф. А. Основы физики низкотемпературной плазмы, плазменных аппаратов и технологий. М.: Наука, 1997.
24. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы. М.: Наука, 1977. Т. 2.
Поступила в редакцию 12 апреля 2020 г. После доработки 9 октября 2020 г. Принята к публикации 29 ноября 2020 г.
Тукмаков Дмитрий Алексеевич
Федеральный исследовательский центр «Казанский научный центр»
Российской академии наук,
ул. Лобачевского, 2/31, Казань 420111
tukmakovDA@ imm.knc.ru
Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2020. Том 27, № 4
UDC 533:6+533:9+519.688
NUMERICAL STUDY OF INFLUENCE OF THE DISPERSION COMPONENT MATERIAL DENSITY ON INTENSITY OF ACOUSTIC PULSE GENERATION IN AN ELECTRICALLY CHARGED GAS SUSPENSION D. A. Tukmakov
Abstract: The article is devoted to modeling the flow of a dusty medium caused by the internal electric charge of a dispersed component. In this paper, we consider the effect of the true density of the dispersed particles material on the intensity of pressure perturbation generated in a dusty medium. The mathematical model used to simulate the process takes into account the velocity and thermal nonequilibrium of the flow of a two-phase medium. For each of the mixture components, we solved a complete hydrodynamic system of continuous medium motion equations that included continuity equations, conservation equations for momentum spatial components, and energy conservation equations. The system of equations of the multiphase medium dynamics was solved using the explicit finite-difference method of the second order of accuracy. As a result of the numerical simulation, it was found that an increase in the true density of the material of electrically charged particles leads to an increase in the intensity of the generated acoustic disturbance.
DOI: 10.25587/SVFU.2020.77.39.008
Keywords: heterogeneous mixture model, multiphase media, interphase interaction, Navier—Stokes equation, Coulomb force.
REFERENCES
1. Nigmatulin R. I., Dynamics of Multiphase Media [in Russian], Part 1, Nauka, Moscow (1987).
2. Kutushev A. G., Mathematical Modeling of Wave Processes in Aerodispersed and Powdery Media [in Russian], Nedra, St. Petersburg (2003).
3. Fedorov A. V., Fomin V. M., and Khmel T. A., Wave Processes in Gas-Suspension of Metal Particles [in Russian], Nauka, Novosibirsk (2015).
4. Sadin D. V., "TVD scheme for stiff problems of wave dynamics of heterogeneous media of nonhyperbolic nonconservative type," Comput. Math. Math. Phys., No. 12, 2068-2078 (2016).
5. Varaksin A. Y., Protasov M. V., and Yatsenko V. P., "Analysis of the deposition processes of solid particles onto channel walls," High Temperature, No. 5, 665-672 (2013).
6. Eremeeva N. G., Kulichkina T. P., Matveev I. A., Nikiforova L. V., and Yakovlev B. V., "Modeling the motion of a particle in an inclined plane under the influence of a water stream [in Russian]," Mat. Zametki SVFU, No. 4, 73-82 (2019).
7. Mehrabadi M., Tenneti S., Garg R., and Subramaniam S., Pseudo-turbulent gas-phase velocity fluctuations in homogeneous gas-solid flow: fixed particle assemblies and freely evolving suspensions," J. Fluid Mech., 770, 210-246 (2015).
© 2020 D. A. Tukmakov
8. Pakhomov M. A. and Terekhov V. I., "Effect of droplet evaporation on the flow structure and heat and mass transfer in a confined swirling gas-droplet flow downstream of a tube sudden expansion," Thermophys. Aeromech., No. 6, 833—843 (2018).
9. Zhuoqing A. and Jesse Z., "Correlating the apparent viscosity with gas-solid suspension flow in straight pipelines," Powder Technol., 345, 346-351 (2019).
10. Tadaa Y., Yoshioka S., Takimoto A., and Hayashi Y., "Heat transfer enhancement in a gassolid suspension flow by applying electric field," Int. J. Heat Mass Transfer, 93, 778-787 (2016).
11. Jaiswal S., Hall T., LeBlanc S., Mukherjee R., and Thomas E., "Effect of magnetic field on the phase transition in a dusty plasma," Phys. Plasmas, 24, 113703 (2017).
12. Zinchenko S. P. and Tolmachev G. N., "Accumulation of products of ferroelectric target sputtering in the plasma of an RF glow discharge," Plasma Phys. Rep., No. 13, 1096-1098 (2013).
13. Dikalyuk A. S. and Surzhikov S. T., "Numerical simulation of rarefied dusty plasma in a normal glow discharge," High Temp., 50, No. 5, 571-578 (2012).
14. Gubaidullin D. A. and Tukmakov D. A., "Numerical investigation of the evolution of a shock wave in a gas suspension with consideration for the nonuniform distribution of the particles," Math. Models Computer Simul., No. 3, 246-253 (2015).
15. Nigmatulin R. I., Gubaidullin D. A., and Tukmakov D. A., "Shock-wave expansion of gas suspensions," Dokl. Akad. Nauk, No. 4, 418-421 (2016).
16. Tukmakov A. L. and Tukmakov D. A., "Generation of acoustic disturbances by a moving charged gas suspension," J. Eng. Phys. Thermophys., 91, No. 5, 1141-1147 (2018).
17. Tukmakov A. L., Kashapov N. F., Tukmakov D. A., and Fazliyakhmatov M. G., "Process of the deposition of charged polydisperse gas suspension on the plate surface in an electrical field," High Temp., No. 4, 481-485 (2018).
18. Tukmakov D. A., "Numerical simulation of oscillations of an electrically charged heterogeneous medium caused by inter-component interaction [in Russian]," Izv. Vuzov, Prikl. Nelin. Dina-mika, No. 3, 73-85 (2019).
19. Loytsyansky L. G., Mechanics of Liquid and Gas [in Russian], Drofa, Moscow (2003).
20. Fletcher C. A., Computation Techniques for Fluid Dynamics, Springer-Verl., Berlin (1988).
21. Muzafarov I. F. and Utyuzhnikov S. V., "Application of compact difference schemes to the study of unsteady flows of a compressible gas [in Russian]," Mat. Modelir., No. 3, 74-83 (1993).
22. Tukmakov A. L., "Numerical modeling of acoustic flows during resonant gas oscillations in a closed pipe [in Russian]," Izv. Vuzov, Aviatsion. Technika, No. 4, 33-36 (2006).
23. Salyanov F. A., Fundamentals of Low-Temperature Plasma Physics, Plasma Apparatuses and Technologies [in Russian], Nauka Moscow (1997).
24. Krylov V. I., Bobkov V. V., and Monastyrny P. I., Computational Methods [in Russian], vol. 2, Nauka, Moscow (1977).
Submitted April 12, 2020 Revised October 09, 2020 Accepted 29 November, 2020
Dmitry A. Tukmakov
Federal Research Center "Kazan Scientific Center" of the Russian Academy of Sciences, 2/31 Lobachevsky Street, Kazan 420111, Russia tukmakovDA@ imm.knc.ru
