CC BY
5
УДК 51-72; 533; 537 ББК 22.2; 22.3 Т 81
Тукмаков Дмитрий Алексеевич
Кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Федерального исследовательского центра «Казанский научный центр Российской академии наук», Казань, e-mail: tukmakovDA@imm.knc.ru
Тукмакова Надежда Алексеевна
Преподаватель Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева, Казань, e-mail: nadejdatukmakova@yandex.ru Ахунов Адель Айратович
Аспирант Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева, Казань, e-mail: Ahunov.Adel@yandex.ru
Численное исследование распространения акустического импульса из однородного газа в электрически заряженную запыленную среду*
(Рецензирована)
Аннотация. Рассматривается взаимодействие акустического возмущения, генерируемого движущейся электрически заряженной запыленной средой с акустическим возмущением, распространяющимся из чистого газа. Выявлено, что при воздействии встречного акустического импульса происходит увеличение давления в акустическом возмущении, движущегося из электрически заряженной газовзвеси.
Ключевые слова: численное моделирование, многофазные среды, межфазное взаимодействие, вязкий газ, электрогидродинамика.
Tukmakov Dmitriy Alekseevich
Candidate of Physics and Mathematics, Researcher, Federal Research Center "Kazan Scientific Center of the Russian Academy of Sciences", Kazan, e-mail: tukmakovDA@imm.knc.ru
Tukmakova Nadezhda Alekseevna
Lecturer, Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev, Kazan, e-mail: nadejdatuk-makova@yandex. ru
Akhunov Adel Ayratovich
Post-gradient student, Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev, Kazan, e-mail: Ahunov.Adel@yandex.ru
Numerical study of the propagation of an acoustic pulse from a homogeneous gas into an electrically charged dusty medium
Abstract. This work considers the interaction of an acoustic disturbance generated by a moving electrically charged dusty medium with an acoustic disturbance propagating from a pure gas. It has been revealed that under the action of a counter propagating acoustic pulse, an increase in pressure occurs in an acoustic disturbance moving from an electrically charged gas suspension.
Keywords: numerical simulation, multiphase media, interfacial interaction, viscous gas, electrohydrodynamics.
Многие природные явления и промышленные технологии связаны с течениями неоднородных сред [1-13]. В ряде случаев возникает необходимость исследования динамики дисперсных потоков, движущихся как под действием аэродинамических сил, так и под влиянием сил электрической природы [10-13].
В данной работе моделируется течение среды, представляющей собой электрически заряженную газовзвесь монодисперсного состава. Предполагается, что все включения дисперсной фазы имеют одинаковый размер и состав, при этом со стороны несущей среды частицы находятся под действием силы аэродинамического сопротивления, динамической силы Архимеда, силы присоединенных масс [1]. При описании движения электрически заряженной многофазной среды учитывается сила Кулона [14], действующая со стороны электрического поля, которое создано распределенным зарядом дисперсной компоненты газовзвеси.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ. Грант № 19-01-00442.
Для описания движения неоднородной среды применяется система уравнений динамики двухскоростной и двухтемпературной газовзвеси (1)-(5) со скоростным скольжением фаз и межфазным теплообменом. Одним из наиболее важных параметров дисперсной компоненты гетерогенной смеси является «средняя плотность», представляющая собой произведение объемного содержания дисперсной компоненты на физическую плотность материала дисперсной фазы [1-3]. При этом физическая плотность материала дисперсных включений в процессе течения многофазной среды не изменяется.
Таким образом, объемное содержание дисперсной фазы смеси является функцией временной и пространственной переменных. Движение несущей среды описывается уравнением Навье-Стокса (2), для сжимаемого теплопроводного газа, с учетом межфазного силового взаимодействия и теплообмена:
дрг
■+V(piui ) = 0 (/=1,2), (1)
■+V(p1u21 + p -t) = -F + oVp, (2)
dt
dp1u1
~öt
dp2U2
fV(p2u22) = F-oVp, (3)
dW dt
d( «2)
d t
d V
+v(u ( + p-т) -u1t-ÄVT1) = -Q-|F|(u -u2) + oV(pu1) , (4)
+ V(«U2) =Q, (5)
2 =P2 9o- (6)
dx
Тензор вязких напряжений несущей среды вычисляется следующим образом:
4 d и т = — м-
3 dx
Межфазное силовое взаимодействие описывалось уравнениями:
3 б | и ч „ _ (du du Л
Fad = 4 (2r) Cd с U1 - U2 (U1 - U2 ' ' FA = бА ["df + U1 ) '
du1 du du2 du2
Fam = 0.°p1 | ^ + U1 ^ "^d1 - U2 ^ , FC =-q0 p2 dVdx ,
1 2 dt dx dt dx
F = Fd + Fa + F m + FC, Cd = — + -4T + 0.4.
ad A am C' d Re1 Re<0
Функция межфазного силового взаимодействия F включает в себя силу аэродинамического сопротивления - Fad, динамическую силу Архимеда - FA, силу присоединенных масс - Fam [1], а также силу Кулона - FC [17]. Здесь p, рь щ - давление, плотность, скорость несущей среды; Т1, е1 -температура и полная энергия газа; р2, Т2, е2, u2 - средняя плотность, температура, внутренняя энергия, скорость дисперсной фазы, F - функция силового взаимодействия дисперсной фазы и несущей среды, Q - тепловой поток между дисперсной фазой и несущей средой [1, 2]; X и ц - теплопроводность и вязкость несущей среды соответственно.
Температура несущей среды находится c помощью выражения: Г1=(у-1) (e1/p1-0.5(m12))/R, где R - газовая постоянная несущей фазы, у - постоянная адиабаты, a=a(x,t) -объемное содержание дисперсной фазы. Внутренняя энергия взвешенной в газе дисперсной фазы определяется как e2=p2CpT2, где Ср - удельная теплоемкость единицы массы вещества
дисперсной фазы. Тепловой поток между компонентами смеси описывается выражением: Q=6aNu2\Л (71-72)/(2г) , здесь г - радиус частицы. Относительное число Нуссельта - Ыщ\ -определяется с помощью зависимости от относительных чисел Маха (число Маха выражается через скорость звука - с), Рейнольдса и от числа Прандтля [2]:
М21 = -и2|/с , Яе21 = с1 -и2\2г/м, Рг = г Срм/ л ,
Ш21 = 2ехр(-М21) + 0.459ЯвЦ55 Рг033 .
Для уравнения, описывающего потенциал внутреннего электрического поля, задавались граничные условия Неймана:
р(ы) = р(ь2), ф(г,н) = ф(Г,п-1) .
Уравнение Пуассона интегрировалось методом прогонки [15].
На границах расчетной области задавались граничные условия Дирихле для скоростей несущей и дисперсной компоненты и граничные условия Неймана для остальных функций [15, 16]:
и (t,\)= 0, и2 (t,\) = 0, и (, п) = 0, и2 (t,n) = 0, А (,1) = А (t,2), Рг (*) = р2 (t,2),
А (t,n) = а (t,n -\), рг (t,n) = рг ^,п -\), е\ (t, \) = е\ (t,2), ег (t, \) = ег (t, 2), ех (t,п) = е\ (t,n - \), е2 = е2 ^,п -\).
Количество узлов т=\000. Система уравнений динамики многофазной среды (\)-(5) решалась явным конечно-разностным методом Мак-Кормака, состоящим из двух последовательных этапов [17]. Рассмотрим явную двухэтапную конечно-разностную схему на примере скалярного нелинейного уравнения
и1 + ах = Ь, а = а (и), Ь = Ь( и). (7)
Для уравнения (7) алгоритм численной схемы будет иметь вид:
- А*
'' Ах
= 0,5(ит + и*]) - 0,5—(ат - а™ ) + 0,5АЬ.
-> 3 3 Ах 3 3/ з
Монотонность решения достигалась с помощью применения схемы коррекции [18] после перехода с т-го на новый временной слой t=tm+l.
В работе [7] было проведено сопоставление результатов расчетов нестационарных течений неоднородной среды, проведенных описанной ниже методикой моделирования, с известными из литературы результатами численного моделирования, в которых применялся метод крупных частиц [2]. Также результаты расчетов ударно-волновых течений запыленной среды явным конечно-разностным методом Мак-Кормака были сопоставлены с результатами физического эксперимента [8]. Сопоставление расчетов течений многофазных сред с численными расчетами, проведенными на основе другой методики моделирования и результатами физического эксперимента, показали приемлемое соответствие.
На рисунке \ представлено начальное распределение давления в канале: 0<х<5, рг=98098 Па, а=0; 5,5<х<\0, р\=98000 Па, а=0.0005.
Интенсивность акустического импульса Ар=р2-р\=98 Па. Дисперсная фаза в правой части канала имела объемное содержание а=0.0005 и истинную плотность материала
u = um -—(a™ - am ) + Mbm, \v\ j+1 j > j
Р2о=1850 кг/м . Длина канала составляла Ь=10 м. Рисунок 2 - схематичное изображение канала, частично заполненного запыленной средой.
р, Па
98400-
98200-
98000
6 х,м
Рис. 1. Начальное распределение давления газа в трубе
Рис.2. Общий вид канала, частично заполненного запыленной средой
На рисунке 3 представлены результаты расчетов движения возмущения давления в различных средах: аналитическое решение для движения возмущения давления по невязкому газу [19] - кривая 1, численное решение для распространения акустического возмущения в вязком газе - кривая 2, численное решение для движения возмущения давления из чистого газа в запыленную среду, с размером частиц ё=10 мкм - кривая 3.
Наличие дисперсной фазы в области распространения начального разрыва давлений приводит к тому, что скорость движения возмущения уменьшается, одновременно с этим увеличивается интенсивность давления на переднем крае движущейся волны. Скорость движения несущей среды в акустическом возмущении, распространяющемся по запыленной среде, меньше, чем скорость движения вязкого газа без дисперсных частиц (рис. 4).
р, Па
98200
98000
u, м/с 0.120.100.08 0.060.040.02-
1
х,м
х, м
Рис. 3. Распределение давления при движении акустического импульса по невязкому газу - кривая 1, вязкому газу - кривая 2 и запыленной среде с диаметром частиц а?=10 мкм - кривая 3, ¿=6.7 мс
Рис.4. Распределение скорости газа при движении акустического импульса в вязком газе - кривая 1 и запыленной среде с диаметром частиц а?=10 мкм - кривая 2, ¿=6.7 мс
Таким образом, можно предположить, что в запыленной среде за счет межфазного взаимодействия происходит уменьшение скорости движения газа, в результате происходит переход кинетической энергии газа в потенциальную - увеличивается давление.
При заполнении канала электрически заряженной дисперсной средой, все дисперсные включения которой имеют заряд одинакового знака, удельная сила Кулона направлена из запыленной среды в чистый газ (рис. 5), при этом наибольшее значение силы Кулона достигается на границе запыленной среды и чистого газа.
0
2
Б, Н/кг
0.0- -
-0.5 I
-1.0
-1.5
-2.0
-2.5
-3.04_
6 8 10 х,м
Рис. 5. Распределение удельной силы Кулона на единицу массы дисперсной компоненты смеси, ^=6.7 мс
В работе [12] численно моделировался процесс генерации акустического возмущения движением электрически заряженной запыленной среды. Предполагалось, что если в канале находится газовзвесь с одинаковым зарядом частиц, то в начальный момент времени под действием силы Кулона частицы приходят в движение. Вследствие межфазного силового взаимодействия движение дисперсной компоненты смеси вызывает течение газа и генерацию акустического возмущения, движущегося из области электрически заряженной газовзвеси в ту часть канала, которая заполнена чистым газом.
Предположим, что начальное давление газа в области, заполненной электрически заряженной запыленной средой, меньше, чем начальное давление в той части канала, в которой находится чистый газ.
Ниже представлены результаты сопоставления численных расчетов процесса распространения акустического возмущения из электрически заряженной запыленной среды в покоящийся газ и в газ с движущимся по нему акустическим импульсом, сформированным начальным разрывом давлений. В последнем случае интенсивность давления в акустическом возмущении, движущимся из электрически заряженной запыленной среды, выше (рис. 6), так как при взаимодействии двух противоположно направленных волн давления происходит усиление более интенсивной волны [20].
Рис. 6. Пространственное распределение давления газа при распространении акустического возмущения из электрически заряженной запыленной среды в покоящийся чистый газ - кривая \; распределение давления газа при взаимодействии акустического возмущения, движущегося из электрически заряженной запыленной среды со встречным акустическим возмущением, движущимся из чистого газа - кривая 2, t=6П мс
Рис.7. Пространственное распределение скорости газа при распространении акустического возмущения из электрически заряженной запыленной среды в покоящийся чистый газ - кривая 1; распределение скорости газа при взаимодействии акустического возмущения, движущегося из электрически заряженной запыленной среды со встречным акустическим возмущением, движущимся из чистого газа - кривая 2, ¿=6.7 мс
Также следует отметить, что в случае движения встречного акустического импульса скорость газа имеет меньшее значение (рис. 7), что может быть связано с тем, что при взаимодействии двух волн давления происходит переход кинетической энергии газа в потенциальную.
Выводы
В результате численного моделирования установлено, что при движении акустического импульса по запыленной среде с электрически нейтральной дисперсной компонентой вследствие межфазного взаимодействия скорость течения газа меньше, в то время как волна давления газа в запыленной среде имеет большую интенсивность, чем в чистом газе.
При взаимодействии акустического импульса из чистого газа и акустического импульса, движущегося из электрически заряженной запыленной среды, происходит увеличение интенсивности давления в акустическом возмущении, движущемся из электрически заряженной запыленной среды в чистый газ.
Одновременно с этим происходит уменьшение скорости движения газа относительно скорости потока газа при распространении акустического возмущения из электрически заряженной запыленной среды в покоящийся газ.
Примечания:
1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М.: Наука, 1987. 464 с.
2. Кутушев А.Г. Математическое моделирование волновых процессов в аэродисперсных и порошкообразных средах. Санкт-Петербург: Недра, 2003. 284 с.
3. Федоров А.В., Фомин В.М., Хмель Т.А. Волновые процессы в газовзвесях частиц металлов. Новосибирск, 2015. 301 с.
4. Садин Д.В. TVD-схема для жестких задач волновой динамики гетерогенных сред негиперболического неконсервативного типа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2016. № 12. С. 2098-2109.
5. Глазунов А.А., Дьяченко Н.Н., Дьяченко Л.И. Численное исследование течения ультрадисперсных частиц оксида алюминия в сопле ракетного двигателя твердого топлива // Теплофизика и аэромеханика. 2013. Т. 20, № 1. С. 81-88.
6. Zhuoqing A. Jesse Z. Correlating the apparent viscosity with gas-solid suspension flow in straight pipelines // Powder Technology. 2019. Vol. 345. P. 346-351.
7. Губайдуллин Д.А., Тукмаков Д.А. Численное исследование эволюции ударной волны в газовзвеси с учетом неравномерного распределения частиц // Математическое моделирование. 2014. № 10. С. 109-119.
8. Нигматулин Р.И., Губайдуллин Д.А., Тукмаков Д.А. Ударно-волновой разлет газовзвесей // Доклады академии наук. 2016. № 4. C. 418-421.
9. Tadaa Y., Yoshioka S., Takimoto A., Hayashi Y. Heat transfer enhancement in a gas - solid suspension flow by applying electric field // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2016. Vol. 93. P. 778-787.
10. Зинченко С.П., Толмачев Г.Н. О накоплении продуктов распыления сегнетоэлектрической мишени в плазме тлеющего высокочастотного разряда // Прикладная физика. 2012. № 5. С. 53-56.
11. Дикалюк А.С., Суржиков С.Т. Численное моделирование разреженной пылевой плазмы в нор-
References:
1. Nigmatulin R.I. The dynamics of multiphase media. Pt. 1. M.: Nauka, 1987. 464 pp.
2. Kutushev A.G. Mathematical modeling of wave processes in aerodispersed and powdery media. St. Petersburg: Nedra, 2003. 284 pp.
3. Fedorov A.V., Fomin V.M., Khmel T.A. Wave processes in gas-suspended particles of metals. Novosibirsk, 2015. 301 pp.
4. Sadin D.V. TVD scheme for stiff problems of wave dynamics of heterogeneous media of nonhyperbolic nonconservative type // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2016. No. 12. P. 20982109.
5. Glazunov A.A., Dyachenko N.N., Dyachenko L.I. Numerical investigation of the flow of ultradisperse particles of the aluminum oxide in the solid-fuel rocket engine nozzle // Thermophysics and Aeromechanics. 2013. Vol. 20, No. 1. P. 81-88.
6. Zhuoqing A. Jesse Z. Correlating the apparent viscosity with gas-solid suspension flow in straight pipelines // Powder Technology. 2019. Vol. 345. P. 346-351.
7. Gubaidullin D.A., Tukmakov D.A. Numerical investigation of the evolution of a shock wave in a gas suspension with consideration for the nonuniform distribution of the particles // Mathematical Models and Computer Simulations. 2015. Vol. 7, No. 3. P. 246-253.
8. Nigmatulin R.I., Gubaidullin D.A., Tukmakov D.A. Shock Wave Dispersion of Gas-Particle Mixtures // Doklady Physics. 2016. Vol. 61, No. 2. P. 70-73.
9. Tadaa Y., Yoshioka S., Takimoto A., Hayashi Y. Heat transfer enhancement in a gas - solid suspension flow by applying electric field // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2016. Vol. 93. P. 778-787.
10. Zinchenko S.P., Tolmachev G.N. Accumulation of products of ferroelectric target sputtering in the plasma of an RF glow discharge // Applied Physics. 2012. No. 5. P. 53-56.
11. Dikalyuk A.S., Surzhikov S.T. Numerical simulation of rarefied dusty plasma in a normal glow discharge
мальном тлеющем разряде // Теплофизика высоких температур. 2012. № 5. C. 611-619.
12. Тукмаков А.Л., Тукмаков Д.А. Генерация акустического возмущения движущейся заряженной газовзвесью // Инженерно-физический журнал. 2018. № 5. С. 1207-1213.
13. Тукмаков Д.А. Численное моделирование колебаний электрически заряженной гетерогенной среды, обусловленных межкомпонентным взаимодействием // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2019. № 3. P. 73-85.
14. Сальянов Ф.А. Основы физики низкотемпературной плазмы, плазменных аппаратов и технологий. Москва: Наука, 1997. 240 с.
15. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. Москва: Высшая школа, 2002. 840 с.
16. Тукмаков А.Л. Численное моделирование акустических течений при резонансных колебаниях газа в закрытой трубе // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2006. № 4. С. 33-36.
17. Fletcher C.A. Computation Techniques for Fluid Dynamics. Berlin: Springer-Verlang, 1988. 502 pp.
18. Музафаров И.Ф., Утюжников С.В. Применение компактных разностных схем к исследованию нестационарных течений сжимаемого газа // Математическое моделирование. 1993. № 3. С. 74-83.
19. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Москва: Дрофа, 2003. 784 с.
20. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.В. Теоретическая физика. Гидродинамика. Москва: Наука, 1986. 736 с.
// High Temperature. 2012. No. 5. P. 571-578.
12. Tukmakov A.L., Tukmakov D.A. Generation of Acoustic Disturbances by a Moving Charged Gas Suspension // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2018. No. 5. P. 1141-1147.
13. Tukmakov D.A. Numerical modeling of oscillations of an electrically charged heterogeneous medium due to inter-component interaction // News of Higher Educational Institutions. Applied Nonlinear Dynamics. 2019. No. 3. P. 73-85.
14. Salyanov F.A. Fundamentals of physics of low-temperature plasma, plasma devices and technologies. Moscow: Nauka, 1997. 240 pp.
15. Verzhbitsky V.M. Fundamentals of numerical methods. Moscow: Vysshaya Shkola, 2002. 840 pp.
16. Tukmakov A.L. Numerical simulation of acoustic flows during resonant gas oscillations in a closed pipe // News of Higher Educational Institutions. Aircraft Technology. 2006. No. 4. P. 33-36.
17. Fletcher C.A. Computation Techniques for Fluid Dynamics. Berlin: Springer-Verlang, 1988. 502 pp.
18. Muzafarov I.F., Utyuzhnikov S.V. Application of compact difference schemes to the study of unsteady flows of a compressible gas // Mathematical Modeling. 1993. No. 3. P. 74-83.
19. Loytsyansky L.G. Mechanics of fluid and gas. Moscow: Drofa, 2003. 784 pp.
20. Landau L.D., Lifshits E.V. Theoretical physics. Hydrodynamics. Moscow: Nauka, 1986. 736 pp.
