CC BY
8
DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2020.96.6.004
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ НАЧАЛЬНОГО ОБЪЁМНОГО СОДЕРЖАНИЯ ДИСПЕРСНОЙ КОМПОНЕНТЫ СМЕСИ НА ИСТЕЧЕНИЕ ЗАПЫЛЁННОЙ СРЕДЫ В ВАКУУМ
Научная статья
Тукмаков Д.А.1 *, Уразов А.Н.2
1ORCID: 0000-0002-0335-8548, 1ИММ ФИЦ КазНЦ РАН, Казань, РФ;
2КНИТУ-КАИ, Казань, РФ
*Корреспондирующий автор (tukmakovDA [at]imm.knc.ru)
Аннотация
В работе математически моделируется течение однородного газа и неоднородной среды представляющей собой взвесь твердых частиц в газе - газовзвесь. Целью работы является изучение влияния начального объёмного содержания твердой компоненты смеси на процесс истечения смеси в вакуум и выявление отличий от процесса истечения в вакуум однородного газа. При моделировании процесса истечения учитывались вязкость, сжимаемость и теплопроводность газа. Математическая модель, примененная в данной работе, реализует континуальную методологию моделирования течения неоднородной среды, такого рода методика моделирования движения смеси предполагает решение полной гидродинамической системы уравнений движения для каждой из компонент смеси, системы уравнений движения компонент смеси связаны слагаемыми, отвечающими за межфазное силовое и тепловое взаимодействие. Система уравнений математической модели включает уравнения непрерывности для плотности несущей среды и «средней плотности» дисперсной компоненты смеси. Для описания сохранения импульса несущей среды решалось уравнение Навье-Стокса, для дисперсной компоненты смеси также записывалось уравнение сохранения импульса с учетом слагаемых отвечающих за межкомпонентное взаимодействие. Уравнения сохранения энергии компонент смеси решались с учётом межкомпонентного теплообмена. Система уравнений математической модели, дополненная краевыми условиями, решалась явным конечно-разностным методом второго порядка точности.
Ключевые слова: численное моделирование, гетерогенные смеси, уравнение Навье-Стокса.
NUMERICAL STUDY OF THE INFLUENCE OF INITIAL VOLUME CONTENT OF DISPERSION COMPONENT OF MIXTURE ON THE LEAKAGE OF DUSTY MEDIUM IN VACUUM
Research article
Tukmakov D.A.1*, Urazov A.N.2
1ORCID: 0000-0002-0335-8548, institute of Mechanics and Mechanical Engineering, Federal Research Centre Kazan Scientific Centre of the Russian
Academy of Sciences, Kazan, Russian Federation;
2Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, Kazan, Russian Federation
Correspondent author (tukmakovDA [at]imm.knc.ru)
Abstract
The following work mathematically models the flow of homogeneous gas and inhomogeneous medium in the form of a suspending matter of solid particles in gas - gas suspension. The aim of the work is to study the influence of the initial volumetric content of the solid component of the mixture on the process of its flow into a vacuum and to identify its differences from the process of the homogeneous gas leakage into a vacuum. When simulating the outflow process, we took into account the viscosity, compressibility, and thermal conductivity of gas. The mathematical model used in this work implements a continuous methodology for modeling the flow of an inhomogeneous medium. This kind of methodology for modeling the mixture motion involves solving the complete hydrodynamic system of equations of motion for each of the components of the mixture. In contrast, the system of equations of motion of the components of the mixture is connected with components responsible for the inter-phase force and thermal interaction. The system of equations of the mathematical model includes continuity equations for the density of the carrier medium and "average density" of the dispersed component of the mixture. The Navier-Stokes equation was solved to describe the momentum conservation of the carrier medium; the equation of momentum conservation was also written for the dispersed component of the mixture with regard to components responsible for the inter-component interaction. The energy conservation equations for the mixture components were solved, taking into account inter-component heat transfer. The system of equations of the mathematical model, supplemented by boundary conditions, was solved by the explicit finite-difference method of the second order of accuracy.
Keywords: numerical modeling, heterogeneous mixtures, Navier-Stokes equation.
Введение
Течения неоднородных сред встречаются как в естественной природе, так и в технике. В ряде монографий разработана методология моделирования течений многофазных сред, смесей в которых компоненты имеют различное агрегатное состояние, в том числе газовзвесей - газовых взвесей жидких капель или твердых частиц: газокапельных и запылённых сред [1], [2], [4]. Теоретическому и экспериментальному исследованию динамики газовзвесей посвящены публикации в периодических изданиях. Актуальность исследований таких сред связана с оптимизацией работы реактивных двигателей, а также разработкой систем экранирования промышленных взрывов взвесями жидких капель или же твердых частиц [1], [2], [3]. Процессы, связанные с течением аэрозолей также возникают в работе газозаборных аппаратов [5], в статье [5] аналитически моделировался процесс аспирации аэрозоля, без учета взаимообратного
влияния несущей и дисперснои среды, предполагалось, что динамика дисперснои компоненты не оказывает влияние на движение газа. В данной работе теоретически исследуется влияние дисперсной компоненты на течение двухфазного потока, состоящего из газа и твердых частиц. Необходимость подобных исследований для промышленности связана с тем, что наличие дисперсных включений оказывает значительное влияние на характер процессов и рабочие характеристики устройств, в которых используются потоки неоднородных сред [1], [2], [4]. Данная работа посвящена исследованию влияния начального объёмного содержания дисперсной фазы на истечения двухкомпонентной смеси -газовзвеси в вакуум.
Движение неоднородной среды описывалось двумя системами уравнений - системой уравнений движения несущей фазы и системой уравнения движения дисперсной компоненты. Система уравнений движения несущей фазы включала в себя три уравнения. Уравнение непрерывности плотности газа (1). Уравнение Навье-Стокса [16], [17] в одномерном приближении (2) . Уравнение непрерывности полной энергии газа (3). Уравнение (4) описывает функцию сдвиговых вязких напряжений газа в одномерном течении:
Ф + д(ры) _
дt дx
= 0
(1)
д(р u) д 2 \ ъ дp
+—(р ы + p- т ) = - F + а—.
ЙУ\ / дx
д * дx
(2)
д(e) д (г , дГЛ I |е+ р- т] ы-1—
д * дх I д х
0-Ц(ы -ц)
а
д( ры)
дх
(3)
4 ды т = — ц—
3 дх
(4)
Динамика дисперсной фазы аэрозольной смеси описывается системой уравнений подобной системе уравнений (1)-(3), за рядом особенностей. Прежде всего, для дисперсной компоненты решается уравнение сохранения «средней плотности» (5), а не физической плотности материала дисперсных включений [1], [2]. «Средняя плотность» термин обозначающий произведение истинной (физической) плотности материала частиц и объемного содержания дисперсной фазы, являющегося функцией пространственной и временной переменных. Таким образом, при математическом моделировании дисперсная компонента также имеет некий аналог «сжимаемости», советующей сжимаемости несущей среды - газа. При этом сами частицы являются несжимаемыми. Система уравнений динамики дисперсной компоненты включает уравнение сохранения импульса (6), отличающееся от уравнения Навье-Стокса (2) отсутствием функции вязких напряжений. Для дисперсной компоненты смеси, записывается уравнение сохранения энергии (7). Уравнения математической модели (2), (3), (6), (7) в правых частях имеют слагаемые, отвечающие за обмен импульсом (в уравнениях сохранения импульса) и энергией (в уравнениях сохранения энергии) между компонентами смеси:
дР1. , д(Р Ы ) = 0
д *
дх
д(р1ц1) + —(р1 ы[ )= Е - а
д * дху ' дх
Ще1 «1 )=е.
(5)
(6)
(7)
д ^ дх
Е =
3 а
4 ( 2 г )
А =аРю. е1 =р1СрТ1. С Р« - («- Ц). Е = ар
ди ди
= 0-5ар1
Е = Е + Е + Е С
+ ы
vдt дху
л
ды ды ды, ды,
--ъ ы---1 - ы —-
д* дх д* дх
24 4
--+ —— + 0.4. М = |ы -щ\/с .
Яе1 Яе°0 1 1
Яв1 — р\и — щ\2г / ц, Рг = у С ц/X
В уравнениях (1), (5) правых частей нет, что связано с отсутствием массообменных процессов между компонентами, так называемой инертностью газовзвеси (отсутствием химических превращений и фазовых переходов). Здесь а=а(/,х) -функция, описывающая изменение объёмного содержания дисперсной фазы. Коэффициент сопротивления Сл -соответствует коэффициенту аэродинамического сопротивления частиц сферической формы. В уравнениях записаны следующие физические величины: р. и, ¿/-давление, плотность, скорость; Т. е -температура энергия. Индекс «1» обозначает физическую величину дисперсной компоненты смеси. Физическая величина без индекса описывает
изменение параметров газовой фазы. Температура газа находится из уравнения Т=(__1)(е/__0.5и2 )/К, где К- газовая
постоянная. Силовое взаимодействие несущей и дисперсной фазы учитывает несколько сил действующих на дисперсные частицы со стороны газа. А именно: силу Стокса-Р®, динамическую силу Архимеда-РЛ и силу присоединённых масс -Рат. При этом силовое воздействие имеет взаимообратный характер [2]. Математическая модель предполагает монодисперсный состав твердой компоненты газовзвеси - все частицы имеют одинаковый размер и одинаковые физические свойства- плотность и теплоёмкость материала. Тепловая энергия взвешенной в газе дисперсной фазы определяется как e^ = U^C^,7,^, где Ср - удельная теплоемкость единицы массы вещества, из которого состоят частицы. Тепловой поток между компонентами смеси описывается следующим выражением: О 6 Л'/// (Т-Т1)/(2г)2. В приведённых выражениях г-радиус частиц, с-скорость звука, д- динамическая вязкость газа, у-постоянная адиабаты, ^-теплопроводность газа. В математической модели использованы относительные числа Нуссельта, Маха, Рейнольдса, а также число Прандтля [9]:
Ыщ = 2 ехр( -М) + 0.459 Яв0,55 Рг033.
Для искомых функций задавались следующие граничные условия [2]:
и (t^) = 0, щ (и) = 0;
е^,\) = е^,2), е (М) = е (^2), р(t,l) = р(^2),рх (а) = А (t,2).
и(^Ы) = и(t,N -1), и ) = щ (^Ы-1), е() = е (^Ы -1), е ) = е (^Ы -1),
р() = р(-1), р( лы) = р1 -1).
В начальный момент времени компоненты смеси покоились: и (0,1) = 0, щ (0,1) = 0 . Для всех искомых функций в моделируемой области течения задавались начальные значения в левой половине канала ^<Ь/2): е(0,г) = е0, е1 (0,1) = е10, р (0,1) = р0 ,рх (0,1) = р10 ; и в правой половине канала ^^/2): е(0,г) = 0, е (0,1) = 0
, р( 0,1 ) = 0,р (0,1 ) = 0 . Система уравнений течения двухкомпонентной среды решалась явным конечно-
разностным методом второго порядка точности по пространственной переменной [16]. Для преодоления численных осцилляций применялась схема нелинейной коррекции сеточной функции [18].
Численное решение проводилось на равномерной сетке с количеством узлов вдоль оси х- N=1000. Методология моделирования тестировалась сопоставлением с численными решениями известными из литературы [2], [12] и результатами физических экспериментов [11], [13].
Так как объёмное содержание дисперсной фазы является динамическим параметром временной и пространственных переменных, то в работе изучалось влияние начального значения объёмного содержания твердой фазы смеси. Предполагалось, что в начальный момент времени, во всей области заполненной двухфазной средой, дисперсная компонента смеси распределена равномерно.
На рис.1 представлено схематичное изображение моделируемой области в начальный момент времени. Размер частиц составлял - Л=20 мкм, физическая плотность материала р10=2500 кг/м3, Ь=1 м, начальное давление газа - р=100 кПА.
%© о * «
ь
Рис.1 - Схематическое изображение моделируемого объекта
Рис.2 - Пространственное распределение скорости газа: аналитическое решение для невязкого газа-кривая 1; численное решение для однородного вязкого газа -кривая 2; численное решение для разлёта в вакуум газовзвеси
с объёмным содержанием дисперсной фазы а=0.001 -кривая 3.
Результаты расчётов скорости -и изображены на рис.2. В монографии [19] описана методика аналитического расчёта скорости истечения в вакуум газа, без учёта вязкости движущейся среды. Аналитическое решение составляет -и=727 м/с. Значение численного решения для однородного вязкого газа - и=561 м/с; численное решение для скорости в газовзвеси при начальном объёмном содержании дисперсной компоненты а=0.001- и=314 м/с. На рис.3 изображены численные расчёты для скорости газа при различных объёмных содержаниях дисперсной фазы. Из расчётов следует, что увеличение начального объёмного содержания дисперсной компоненты газовзвеси приводит к уменьшению скорости газа. В численном решении для однородного вязкого газа скорость газа составляла и=561 м/с.
В численных решениях для газовзвесей скорости движения среды достигали значений: в газовзвеси с начальным объёмным содержанием а=0.00001, и=550 м/с; в газовзвеси с начальным объёмным содержанием а=0.0001 - и=513 м/с; в газовзвеси с начальным объёмным содержанием дисперсной компоненты а=0.001 - и =316 м/с.
Увеличение объёмного содержания дисперсной компоненты смеси приводит к уменьшению скорости истечения газовой составляющей смеси в вакуум.
Выявленную закономерность, возможно объяснить увеличением интенсивности межфазного взаимодействия при увеличении объемного содержания дисперсной компоненты, в результате чего происходит уменьшение кинетической энергии газа. При начальном объёмном содержании а=0.00001 распределение скорости в газе близко с распределением скорости при разлёте однородного газа в вакуум.
Аналогичные закономерности наблюдаются для распределения давления газа -рис.4, увеличение начального объёмного содержания дисперсной компоненты газовзвеси приводит к замедлению истечения газовой компоненты в вакуум.
Рис.3 - Пространственное распределение скорости газа при разлёте в вакуум чистого вязкого газа -кривая 1; при разлёте в вакуум газовзвеси с начальным объёмным содержанием дисперсной фазы а=0.00001 -кривая 2; при разлёте в вакуум газовзвеси с начальным объёмным содержанием дисперсной фазы а=0.0001 -кривая 3; при разлёте в вакуум газовзвеси с начальным объёмным содержанием дисперсной фазы а=0.001 -кривая 4.
Рис.4 - Пространственное распределение давления газа при разлёте в вакуум чистого вязкого газа -кривая 1; при разлёте в вакуум газовзвеси с начальным объёмным содержанием дисперсной фазы а=0.00001 -кривая 2; при разлёте в вакуум газовзвеси с начальным объёмным содержанием дисперсной фазы а=0.0001 -кривая 3; при разлёте в вакуум газовзвеси с начальным объёмным содержанием дисперсной фазы а=0.001 -кривая 4.
Заключение
В работе численно моделируется разлёт в вакуум чистого вязкого газа и вязкого газа с дисперсной компонентной. Сопоставление аналитического решения для невязкого газа, известного из литературы, с численным расчётом показывает, что учёт вязкости существенно влияет на значение вычисленной скорости. Наличие дисперсной компоненты уменьшает скорость спутного потока газа и замедляет процесс истечения газа в вакуум. С помощью численного моделирования определена величина начального объёмного содержания дисперсной фазы (а>0.0001), в предположении одинакового размера и плотности материала частиц, при которой наличие дисперсной компоненты в запылённой среде оказывает существенное влияние на процесс истечения газовзвеси в вакуум. Рост начального объёмного содержания дисперсной фазы уменьшает скорость газа в потоке истекающей среды и замедляет процесс истечения.
Финансирование Funding
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта This work was financially supported by the RFBR grant РФФИ № 19-01-00442, а также за счет гранта No. 19-01-00442, as well as by the grant of the President президента РФ № МК-297.2020.1 of the Russian Federation No. MK-297.2020.1
Конфликт интересов Conflict of Interest
Не указан. None declared.
Список литературы / References
1. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред /Р.И. Нигматулин - Москва: Наука, 1978 -336 с.
2. Кутушев А.Г. Математическое моделирование волновых процессов в аэродисперсных и порошкообразных средах / А.Г. Кутушев- Санкт-Петербург: Недра, 2003 -284 с.
3. Стернин Л.Е. Двухфазные моно - и полидисперсные течения газа с частицами / Л.Е. Стернин - Москва: Машиностроение, 1980 -176 с.
4. Федоров А.В. Волновые процессы в газовзвесях частиц металлов / А.В. Федоров, В.М. Фомин, Т.А. Хмель -Новосибирск, 2015 -301 с.
5. Ванюнина М.В. Аспирация аэрозоля в цилиндрический пробоотборник из низкоскоростного нисходящего потока и из неподвижной среды/ М. В. Ванюнина, Р.С. Галеев, Ш.Х. Зарипов, Э.В.Скворцов // Прикладная механика и техническая физика. 2005, №2 - C. 122-129.
6. Веревкин А.А. Течение дисперсной примеси в сопле Лаваля и рабочей секции двухфазной гиперзвуковой ударной трубы / А.А. Веревкин, Ю.М. Циркунов // Прикладная механика и техническая физика. 2008, №5 - С. 102- 113.
7. Вараксин Ю.А. Анализ механизмов осаждения твердых частиц на стенки каналов / А.Ю. Вараксин, М.В. Протасов, В.П. Яценко //Теплофизика высоких температур. 2013,№5 - С. 738-746.
8. Арефьев К.Ю. Расчетное исследование особенностей дробления и испарения капель в газодинамических течениях с циклическими ударными волнами / К.Ю. Арефьев, А.В. Воронецкий, С.А. Сучков //Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2015, № 10 - С. 17-30.
9. Hishida M., Fujiwara Т., Wolanski Р. Fundamentals of rotating detonations / M. Hishida, T. Fujiwara, P. Wolanski // Shock Waves. 2009, I. 1. - P. 1-10.
10. Тукмаков А.Л. Численное моделирование дрейфа твердых частиц при резонансных колебаниях газа в открытом канале/ А.Л. Тукмаков // Акустический журнал. 2009, № 2 - С. 247 -255.
11. Гельфанд Б. Е.. Ударные волны при разлете сжатого объема газовзвеси твердых частиц / Б.Е. Гельфанд, А.В. Губанов, С.П. Медведев С. П. и др. // Доклады АН СССР. 1985, № 5 - С. 1113-1116.
12. Губайдуллин Д.А. Численное исследование эволюции ударной волны в газовзвеси с учетом неравномерного распределения частиц / Д.А. Губайдуллин, Д.А. Тукмаков // Математическое моделирование. 2014, №10 - С. 109-119.
13. Нигматулин Р.И. Ударно-волновой раздет газовзвесей / Р.И. Нигматулин, Д.А. Губайдуллин, Д.А. Тукмаков // Доклады академии наук. 2016, № 4. - С. 418-421.
14. Tukmakov D.A. Numerical study of polydisperse aerosol dynamics with the drops destruction / D.A. Tukmakov // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2019, I. 6. - P. 824-827.
15. Тукмаков Д.А. Численное моделирование ударно-волновых течений в газовзвеси с неоднородной концентрацией дисперсной фазы /Тукмаков Д.А. // Авиационная техника. 2019, №1 - С.54-59.
16. Fletcher C.A. Computation Techniques for Fluid Dynacmics / Berlin: Springer-Verlang , 1988 - 409 p.
17. Ковеня В.М., Тарнавский Г.А., Черный С.Г. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики. / В.М. Ковеня, Г.А. Тарнавский, С.Г. Черный - Новосибирск: Наука, 1990 - 247 с.
18. Музафаров И.Ф. Применение компактных разностных схем к исследованию нестационарных течений сжимаемого газа /И.Ф. Музафаров, С.В. Утюжников// Математическое моделирование. 1993, №3- C.74-83.
19. Черный Г.Г. Газовая динамика/ Г.Г. Черный Москва: Наука, 1988. - 424. с.
Список литературы на английском языке / References in English
1. Nigmatulin R.I. Osnovy mekhaniki geterogennyh sred [Fundamentals of the mechanics of heterogeneous media] / R.I. Nigmatulin - Moscow: Science, 1978 - 336 p. [In Russian].
2. Kutushev A.G. Matematicheskoe modelirovanie volnovyh processov v aerodispersnyh i poroshkoobraznyh sredah [Mathematical modeling of wave processes in aerodispersed and powdery media] / A.G. Kutushev - St. Petersburg: Nedra, 2003- 284 p. [In Russian].
3. Stemin L.E. Dvuhfaznye mono - i polidispersnye techeniya gaza s chasticami [Two-phase mono - and polydisperse gas flows with particles] / L. Ye. Sternin - Moscow: Mechanical Engineering, 1980 - 176 p. [In Russian].
4. Fedorov A.V. Volnovye processy v gazovzvesyah chastic metallov [Wave processes in gas-suspended particles of metals] / A.V. Fedorov, V.M. Fomin, T.A. Hops, Novosibirsk, 2015 - 301 p. [In Russian].
5. Vanyunina M.V. Aerosol aspiration into a cylindrical sampler from a low-velocity downward flow and from calm air /M.V.Vanyunina, R.S.Galeev, Sh.Kh.Zaripov, E.V.Skvortsov //Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2005, N 2. - P. 250-256.
6. Verevkin A.A. Flow of a dispersed phase in the Laval nozzle and in the test section of a two-phase hypersonic shock tunnel /A. A. Verevkin, Tsirkunov Yu.M.// Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2008, N 5. P. 789-798.
7. Varaksin A.Y. Analysis of the deposition processes of solid particles onto channel walls/A. Y. Varaksin, M.V. Protasov, V.P. Yatsenko// High Temperature. 2013, N 5 -P. 665-672.
8. Arefyev K.Yu. Raschetnoe issledovanie osobennostej drobleniya i ispareniya kapel' v gazodinamicheskih techeniyah s ciklicheskimi udarnymi volnami [Computational study of the features of crushing and evaporation of droplets in gas-dynamic flows with cyclic shock waves] / K.Yu. Arefiev, A.V. Voronetsky, S.A. Suchkov // Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij. Mashinostroenie. [News of higher educational institutions. Engineering]. 2015, No. 10- P. 17-30. [In Russian].
9. Hishida M. Fundamentals of rotating detonations / M. Hishida, T. Fujiwara, P. Wolanski // Shock Waves. 2009, Volume 19, Issue 1- P. 1-10.
10.Tukmakov A.L. Computer simulation of the drift of solid particles caused by resonance gas oscillations in the open channel /A.L. Tukmakov // Acoustical Physics. 2009, No 2 - P. 253-260.
11. Gelfand B.E. Udarnyye volny pri razlete szhatogo ob"yema gazovzvesi tverdykh chastits [Shock waves during expansion of a compressed volume of a gas suspension of solid particles] / B.E. Gelfand, A.V. Gubanov, S.P. Medvedev S.P. et al. // Doklady AN SSSR. [Reports of the USSR Academy of Sciences]. 1985, N. 5 - P. 1113-1116. [In Russian].
12. Gubajdullin D.A. Numerical investigation of the evolution of a shock wave in a gas suspension with consideration for the nonuniform distribution of the particles / D.A. Gubajdullin, D.A. Tukmakov // Mathematical Models and Computer Simulations. 2015, No 3 - P. 246-253.
13. Nigmatulin R.I. Shock Wave Dispersion of Gas - Particle Mixtures / R.I. Nigmatulin, D.A. Gubaidullin, D.A. Tukmakov // Doklady Physics. 2016, Vol. 61, No. 2- P. 70-73.
14. Tukmakov D.A. Numerical study of polydisperse aerosol dynamics with the drops destruction / D.A. Tukmakov // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2019, Vol. 40, N. 6 - P. 824-827.
15. Tukmakov D.A. Numerical Simulation of Shock-Wave Flows in a Gas Suspension with Inhomogeneous Concentration of the Dispersed Phase /D.A. Tukmakov//Russian Aeronautics. 2019, N 1 - P. 59-65
16. Fletcher C.A. Computation Techniques for Fluid Dynamics / S.A. Fletcher - Springer-Verlang: Berlin, 1988- 502 p.
17. Covena V.M. Primenenie metoda rasshchepleniya v zadachah aerodinamiki [Application of the splitting method in aerodynamics problems] / V.M. Covena, G.A. Tarnavsky, S.G. Cherny - Novosibirsk: Nauka, 1990 - 247 p. [In Russian].
18. Muzafarov I.F. Application of compact difference schemes to the study of unsteady flows of a compressible gas / I.F. Muzafarov, S.V. Utyuzhnikov // Matematicheskoye modelirovaniye [Mathematical Modeling]. 1993, No. 3- P. 74-83.
19. Chernyy G.G. Gazovaya dinamika [Gas dynamics]/ G.G. Chernyy - Moscow: Nauka, 1988. - 424. p
